Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление

Е.А. КОГАН
Г.С. ЖУКОВА
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 
И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Рекомендовано 
Межрегиональным учебно-методическим советом профессионального 
образования в качестве учебного пособия для студентов высших 
учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 
01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 
15.03.03 «Прикладная механика», 15.03.01 «Машиностроение»
(квалификация (степень) «бакалавр»)
(протокол № 18 от 25.11.2019)
Москва
ИНФРА-М
2020

УДК 517.53/.54(075.8)
ББК 22.161.5я73
 
К57
Одобрено методической комиссией по естественным 
и математическим дисциплинам факультета базовых компетенций 
Московского политехнического университета
Р е ц е н з е н т ы:
Кузнецов Е.Б., доктор физико-математических наук, профессор кафедры моделирования динамических систем Московского авиационного института (Национального исследовательского университета);
Бутусов О.Б., доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики Московского политехнического университета
Коган Е.А.
К57  
Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление : учебное пособие / Е.А. Коган, Г.С. Жукова. — Москва : 
ИНФРА-М, 2020. — 180 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — 
DOI 10.12737/1058889.
ISBN 978-5-16-015816-7 (print)
ISBN 978-5-16-108191-4 (online)
Учебное пособие содержит теоретические сведения в объеме лекционного курса и подробно разобранные примеры решения типовых задач, 
а также тестовые задания и задачи для самостоятельной работы. 
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 15.03.03 «Прикладная механика», 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем», 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника», 
15.03.01 «Машиностроение», 15.03.04 «Автоматизация технологических 
процессов и производств», 27.03.04 «Управление в технических системах». 
Может быть использовано и преподавателями для проведения практических занятий.
УДК 517.53/.54(075.8)
ББК 22.161.5я73
ISBN 978-5-16-015816-7 (print)
ISBN 978-5-16-108191-4 (online)
© Коган Е.А., Жукова Г.С., 
2019, 2020

2
 


c
bx
ax
.
0
4
2
t

 
ac
b
D
,
0

D
3 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
На протяжении многих столетий в математике происходило 
последовательное обобщение понятия числа. От натуральных (целых положительных) чисел в математике перешли к целым (положительным и отрицательным) числам, затем к рациональным 
(дробным), далее к действительным (включающим и иррациональные) числам. Каждое расширение понятия числа открывало возможности решения новых задач, казавшихся до этого неразрешимыми. Так произошло и с комплексными числами.  
Как известно, алгебраическое уравнение второй степени  
 имеет действительные корни, если дискриминант 
уравнения 
 Первым, кто рассмотрел задачи, не 
удовлетворяющие этому условию, был Джеронимо Кардано1 (1545 
г.). Он обнаружил, что если дискриминант квадратного уравнения 
 то вычисление корней сводится к извлечению квадратного 
корня из отрицательного числа (что невозможно в области действительных чисел). Полученные числа он назвал «софистическими».  
Позднее Р. Декарт2 в приложении к своему труду «Рассуждение о методе, чтобы хорошо направить свой разум и отыскивать 
истину в науках» (1637 г.), рассматривая алгебраическое уравнение n - ой степени, показал, что оно имеет всегда n корней, но 
среди них возможны, кроме действительных, и «воображаемые» 
(названные им мнимыми) корни. 
Формальное математическое определение мнимого числа 
было дано Л. Эйлером3 в работе  «Введение в математический анализ» (1746 г.). Используя первую букву предложенного Р. Декартом термина (мнимый - imaginares), Л.Эйлер определил мнимую 
                                                 
1 Кардано Джеронимо  (24.09.1501 - 21.09.1576) - итальянский  математик. 
2 Декарт Рене (31.03.1596 - 11.02.1650) - французский математик и философ. 
3 Эйлер Леонард (15.04.1707 - 18.09.1783) - швейцарский математик, механик и физик (с 1727 г. по 1741г.  и с 1766 г. До конца жизни жил и работал 
в России). 
 

2

 
i
4 
 
единицу равенством 
 (так как действительных чисел, которые при возведении в квадрат были бы отрицательными, не существует). 
Введение мнимого числа было отнюдь не тривиальным шагом и потребовало исторически длительного периода осмысления 
нового понятия. Это подтверждается, например, так называемым 
«парадоксом Карно4». Парадокс состоял в следующем преобразовании: 
 
.
1
1
)
1
)(
1
(
1
1
2
r
 
 


 

˜

 
i
2
i
1

.
1

.
ab
b
a
 
˜
b
a,
ab
1

1

,
ab
b
a
 
˜
Таким образом, получалось, что 
 равно и  
 и  
 Приведенное преобразование связано с применением равенства  
 Справедливость его доказывается в алгебре в предположении, что числа  
 и 
 положительны, как и значения 
корней из этих чисел. В рассматриваемом же случае числа 
 и  
 
не 
являются 
положительными. 
Поэтому 
равенство 
 доказанное в алгебре при указанных выше ограничениях, было применено для других условий, что и привело к неверному выводу. 
Последовательную геометрическую интерпретацию и современное обозначение новых чисел, назвав их комплексными, дал К. 
Гаусс5 в работе «Теория биквадратных вычетов» (1799 г.) и позднее в работе «Арифметическая теория комплексных чисел» (1806, 
1825 и 1831 гг.). 
Введение комплексных чисел и основанных на них функций 
комплексной переменной оказалось весьма удобным при интегрировании элементарных функций, при решении дифференциальных 
уравнений, где часто приходится выходить за пределы области 
действительных чисел. Основанные на понятии комплексного 
числа методы теории функций комплексной переменой оказались 
весьма эффективными и позволили решить многие новые задачи в 
таких сложных областях естествознания и техники, как аэро - и 
гидродинамика, теория горения и взрыва, плоская задача теории 
                                                 
4 Карно Никола Леонард Сади (01.06.1796 - 24.08.1832) - французский физик и инженер. 
5 Гаусс Карл Фридрих (30.04.1777 - 23.02.1855) - немецкий математик. 

упругости, механика разрушения, технологические задачи теории 
пластичности и др.  
Учебное пособие написано в соответствии с типовой программой дисциплины «Математика» и предназначено для студентов, обучающихся, прежде всего, по направлениям подготовки 
01.03.02 Прикладная математика и информатика, 15.03.03 Прикладная механика, 10.05.03 Информационная безопасность автоматизированных систем, 09.03.01 Информатика и вычислительная 
техника, 15.03.01 Машиностроение, 15.03.04 Автоматизация технологических процессов и производств, 27.03.04 Управление в 
технических системах. Но оно может быть полезно также студентам, обучающимся по другим направлениям подготовки, в частности, при изучении комплексных чисел и многочленов, дифференциальных уравнений. 
 К основным целям освоения дисциплины «Теория функций 
комплексной переменной» следует отнести: 
- воспитание у студентов общей математической культуры; 
- развитие способности студентов к индуктивному и 
дедуктивному мышлению наряду с развитием логики и 
математической интуиции;  
- умение студентами развивать навыки самостоятельного 
изучения 
учебной 
и 
научной 
литературы, 
содержащей 
математические сведения и результаты;  
- формирование у студента требуемого набора компетенций, 
соответствующих его направлению подготовки и обеспечивающих его конкурентоспособность на рынке труда. 
Основными задачами освоения дисциплины «Теория 
функций комплексной переменной» являются: 
- освоение студентами основных понятий, и методов, 
формирующих общую математическую подготовку, необходи- 
мую для успешного решения прикладных задач; 
- подготовку студентов к профессиональной деятельности в 
соответствии с квалификационной характеристикой бакалавра по 
направлению. 
Следует иметь в виду, что дисциплина «Теория функций 
комплексной 
переменной» 
взаимосвязана 
логически 
и 
содержательно - методически со многими дисциплинами базовой 

и вариативной частей образовательных программ: математическим 
анализом, 
обыкновенными 
дифференциальными 
уравнениями и уравнениями математической физики, гармоническим анализом, теорией упругости, аналитической динамикой 
и 
теорией 
колебаний, 
физикой 
прочности 
и 
механикой 
разрушения, 
математическим 
моделированием 
физических 
процессов, электротехникой и электроникой, теорией автоматического управления, материаловедением и др. 
Поэтому в результате освоения курса студент должен: 
знать 
основные 
теоретические 
понятия, 
предусмотренные 
программой курса (понятие комплексного числа и действия над 
комплексными 
числами, 
понятие 
и 
свойства 
функций 
комплексного 
аргумента, 
геометрическую 
интерпретацию 
функций комплексного аргумента как отображения плоских 
множеств, 
правила 
и 
методы 
дифференцирования 
и 
интегрирования функций комплексного аргумента, свойства рядов 
в 
комплексной 
области, 
операционный 
метод 
решения 
дифференциальных уравнений); 
уметь применять понятия, модели и методы теории функций 
комплексной переменной для постановки и решения стандартных 
прикладных задач;   
владеть математическим аппаратом комплексного анализа для 
нахождения эффективных способов решения задач, возникающих 
в профессиональной деятельности. 
Пособие написано на основании многолетнего опыта чтения 
лекций по данному курсу и апробирования ранее издававшихся 
учебно - методических материалов для студентов МАМИ (ныне - 
Московский политехнический университет). 
Отличительной чертой пособия, является максимальное приближение излагаемого материала к лекционным и практическим 
занятиям.  Поэтому рассмотрение основных понятий и методов сопровождается большим количеством подробно разобранных иллюстративных примеров решения различных типовых задач. 
Включены также контрольные вопросы по теории и «практикум», 
содержащий около 500 задач для самостоятельной работы студентов. По этой причине пособие может быть использовано одновременно и преподавателями для проведения практических занятий. 
 

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 
И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 
 
Комплексным числом z называется выражение вида          
                                           
,
iy
x
z

 
                                     (1.1) 
где  x и  y - действительные числа, а  i  - символ, называемый мнимой единицей, удовлетворяющий условию 
1
2

 
i
. 
Числа x и y называются соответственно действительной и 
мнимой частями комплексного числа и обозначаются символами: 
,
Re
)
Re(
z
iy
x
x
 

 
  
z
iy
x
y
Im
)
Im(
 

 
6. 
Таким образом, комплексное число характеризуется комплексом (парой) действительных чисел с установленным порядком следования этих чисел. 
Запись комплексного числа в форме (1.1) называется алгебраической формой записи. 
В частности, при  
0
 
y
  комплексное  число
x
i
x
z
 
˜

 
0
 
совпадает с действительным числом, при  
0
 
x
  
iy
iy
z
 

 0
  и 
называется чисто мнимым числом. 
Определим на множестве комплексных чисел понятия равенства и алгебраические операции. 
Два комплексных числа  
1
1
1
iy
x
z

 
 и  
2
2
2
iy
x
z

 
  равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные 
и мнимые части:  
2
1
x
x  
 и  
.
2
1
y
y  
 
Комплексное число 
iy
x 
 называется сопряженным с числом 
iy
x
z

 
  и записывается в виде  
.
z
iy
x 
 
  
Очевидно,  
,
2
Re
z
z
z

 
 
.
2
2
Im
z
z
i
i
z
z
z

 

 
 
Сложение и умножение комплексных чисел производятся по 
правилам сложения и умножения алгебраических многочленов. 
Суммой комплексных чисел  
1
1
1
iy
x
z

 
 и  
2
2
2
iy
x
z

 
 называется комплексное число 
).
(
2
1
2
1
2
1
y
y
i
x
x
z
z
z



 

 
 
Сложение допускает обратную операцию - вычитание: комплекс- 
                                                 
6 Re - начальные буквы латинского слова realis - действительный, Im - 
начальные буквы слова imaginarius - мнимый. 

ное число 
)
(
2
1
2
1
2
1
y
y
i
x
x
z
z
z



 

 
 называется разностью 
комплексных чисел  
1
z  и  
.
2
z   
Произведением комплексных чисел 
1
z  и 
2
z  называется комплексное число вида 
).
(
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
i
y
y
x
x
z
z
z



 
 
 
Из этого определения, в частности, следует, что если  
,
2
1
i
z
z
 
 
 то  
1
2

 
i
. 
Заметим, что так как возведение в целую положительную степень сводится к последовательному умножению, то 
,...
,
1
,
4
5
3
4
2
3
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
 
 
 

 
 

 
 
 
Как видно, значение степени мнимого числа n
i  периодически 
повторяется при увеличении показателя степени на  4. Поэтому 
при возведении мнимого числа в некоторую степень, большую четырех, можно в показателе степени отбросить число, кратное четырем. Например,  
.
1
1
144
145
i
i
i
i
 
 
 

 
Умножение также допускает обратную операцию - деление 
(если делитель не равен нулю). 
Частным двух чисел  (
0
2 z
z
) называется комплексное число 
2
1
2
1
1
y
x
x
y
x
y
i
y
x
y
y
x
x
z
z
z





 
 
                 (1.2) 
                                
.
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
Действительно, выражение (1.2) получается, если дробь 
умножить на комплексное число 
2
z , сопряженное знаменателю 
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
y
x
x
y
x
y
i
y
x
y
y
x
x
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
z
z
z





 


˜


 


 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
.
2
2
2
2
Из приведенных определений следует, что для комплексных 
чисел, как и для действительных, справедливы переместительный, 
сочетательный законы сложения и умножения и распределительный закон: 
,
1
2
2
1
z
z
z
z

 

       
,
)
(
)
(
3
2
1
3
2
1
z
z
z
z
z
z


 


 
                 
,
1
2
2
1
z
z
z
z
 
                    
,
)
(
)
(
3
2
1
3
2
1
z
z
z
z
z
z
 
 
.
)
(
3
2
3
1
3
2
1
z
z
z
z
z
z
z

 

 
        1.1. Геометрическая интерпретация комплексного числа 
Как известно, существует взаимно однозначное соответствие 
между множеством действительных чисел и множеством точек 

числовой оси (прямой): каждому действительному числу соответствует одна определенная точка на числовой оси и наоборот. Так 
как комплексное число представляется  парой действительных чисел, то оказалось возможным дать и комплексному числу наглядную геометрическую интерпретацию, изображая его точкой плоскости с координатами 
).
,
(
y
x
  
Введем систему декартовых прямоугольных координат на 
плоскости 
y
x0 . Число 
0
 
z
 ставится в соответствие началу координат.  При этом действительные числа  x будут изображаться точками оси абсцисс x, которую будем называть действительной 
осью, а чисто мнимые числа - точками оси ординат, которую будем называть мнимой осью. Определенную таким образом плоскость будем называть плоскостью комплексной переменной или 
комплексной плоскостью (рис. 1). И обратно, каждой точке плоскости 
y
x0  с координатами 
)
,
(
y
x
 может быть поставлено в соответствие комплексное число 
.
iy
x
z

 
 Таким образом, между множеством всех комплексных чисел и всех точек плоскости установлено взаимно однозначное соответствие. 
 
 
Рис. 1 
 
Заметим, что сопряженные комплексные числа на комплексной плоскости будут изображаться точками, симметричными относительно действительной оси 
Действительной и мнимой частям комплексного числа 
можно также поставить в соответствие координаты радиуса - вектора точки, изображающей комплексное число, то есть проекции 
его на оси координат. Следовательно, комплексные числа можно 
изображать и с помощью векторов на плоскости. Поэтому операции сложения и вычитания комплексных чисел имеют наглядный 
геометрический смысл: сумма и разность комплексных чисел 
1
z  и  

2
z  изображаются соответствующими векторами, равными (по правилу суммы и вычитания векторов) диагоналям параллелограмма, 
построенного на векторах 
1
z  и  
2
z  (см. рис. 2).  
 
Рис. 2 
 
Сумма нескольких комплексных чисел изобразится геометрической суммой векторов, изображающих эти числа. Для этого из 
конца первого вектора проводят вектор, равный второму, из конца 
второго вектора откладывают вектор, равный третьему и т.д.  В 
результате, суммой n  векторов будет вектор 
,
ON  соединяющий 
начало первого вектора с концом последнего n -го вектора (см. 
рис. 3). 
 
                                               Рис. 3 
 
Положение точки, изображающей комплексное число z , 
можно  также  характеризовать  полярными  координатами  r  и ij 
(рис. 1). 
Полярный радиус r  называется модулем комплексного 
числа и обозначается символом  
z
r  
. Это длина вектора, соответствующего комплексному числу z :    
.
0
2
2
t

 
 
y
x
z
r