Постановка и решение математических задач в области электроэнергетики

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Департамент научно-технологической политики и образования

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования

«Волгоградский государственный аграрный университет»

Кафедра «Высшая математика»

А.А. Шубович

Ю.М. Перевозкина

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В ОБЛАСТИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ

Учебное пособие

для бакалавров по направлениям подготовки:

13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника»,

35.03.06 «Агроинженерия»;

для специалистов по направлению подготовки 

13.05.01 «Тепло- и электрообеспечение специальных технических 

систем и объектов»

Волгоград

Волгоградский ГАУ

2019

УДК 51
ББК 22.1
Ш-95

Рецензенты:

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационных систем и математического моделирования Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте 
Российской Федерации (Волгоградский филиал) А.Ю. Савушкин; кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Высшая математика»
ФГБОУ ВО «Волгоградский ГАУ» Е.А. Комарова

Шубович, Александр Анатольевич

Ш-95 Постановка и решение математических задач в области электроэнергетики: учебное пособие для бакалавров по направлениям
подготовки: 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника», 35.03.06 
«Агроинженерия»; для специалистов по направлению подготовки 
13.05.01 «Тепло- и электрообеспечение специальных технических 
систем и объектов» / А.А. Шубович, Ю.М. Перевозкина. – Волгоград: 
ФГБОУ ВО Волгоградский ГАУ, 2019. – 124 с.

Пособие предназначено для студентов очной и заочной формы 

обучения третьего курса электроэнергетического факультета аграрного университета при изучении следующих дисциплин: «Математические задачи электрификации», «Математические задачи электроэнергетики». 

Содержит теоретические сведения, сборник практических заня
тий, индивидуальную расчетно-графическую работу, справочные материалы по устойчивости и надежности электроэнергетических систем. Решение практических работ и задач индивидуальной работы 
также может опираться на разобранные примеры и задачи. 

Приводятся решения большого количества задач с помощью па
кета математических программ MathCad. Количество часов и построение материала полностью соответствует стандартам третьего поколения, а также учебным планам, рабочим программам на электроэнергетическом  факультете в пятом семестре.

УДК 51

ББК 22.1

© ФГБОУ ВО Волгоградский ГАУ, 
2019
© Шубович А.А., Перевозкина Ю.М., 
2019

ВВЕДЕНИЕ

Изучение фундаментальных основ технических дисциплин про
должается на электроэнергетическом факультете аграрного университета в течение всего периода обучения. Для студентов-бакалавров, 
обучающихся по направлению подготовки 13.03.02 – «Электроэнергетика и электротехника», а также 35.03.06 – «Агроинженерия» – это 
составляет 4 года, для студентов-специалистов, обучающихся по направлению подготовки 13.05.01 – «Тепло- и электрообеспечение специальных технических систем и объектов» – 5 лет.

Для соблюдения обязательных требований при реализации про
граммы бакалавриата, учебное пособие составлено с учетом ФГОС 
ВО 3++ по направлению подготовки 35.03.06 «Агроинженерия», утвержденное 14.09.2017, а также 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника», утвержденное 28.02.2018.

При разработке программы бакалавриата на электроэнергетиче
ском факультете были сформированы требования к результатам ее освоения в виде компетенций. Успешное освоение учебного пособия 
способствует закреплению у студентов системного и критического 
мышления. При этом формируется часть компетенция УК-1: способность осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, 
применять системный подход для решения поставленных задач. По 
направлению подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» закладываются основы фундаментальной подготовки, при этом 
реализуется часть компетенции ОПК-2: способность применять соответствующий физико-математический аппарат, методы анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при 
решении профессиональных задач. По направлению подготовки 
35.03.06 «Агроинженерия» также реализуется часть компетенции 
ОПК-1: способность решать типовые задачи профессиональной деятельности на основе знаний основных законов математических и естественных наук с применением информационно-коммуникационных 
технологий.

На старших курсах, в рамках освоения программы бакалавриата

и специалитета, применяя полученные знания, студенты электроэнергетического факультета могут готовиться к решению задач профессиональной деятельности научно-исследовательского типа.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Методы решения неоднородных СЛАУ

Решение систем уравнений рассмотрим на примере неоднород
ной системы вида

 
                     
                     
                     

 
(1)

Каждое уравнение системы составлено по второму закону Кирх
гофа, при этом   ,   ,   – неизвестные значения силы токов,    , 
   ,    ,    ,    ,    ,    ,    ,    – сопротивления участков цепи,
  ,   ,   – значения ЭДС.

Все системы подобного вида совместные и определенные, то 

есть имеют единственное решение. Это означает, что определитель 
системы уравнений (1)

   

   
   
   

   
   
   

   
   
   

   .

I.
Решение систем линейных уравнений по формулам 

Крамера.

Вычисляются определители

    

  
   
   

  
   
   

  
   
   

 ,     

   
  
   

   
  
   

   
  
   

 ,     

   
   
  

   
   
  

   
   
  

 ,

по формулам Крамера находится решение системы (1)

   

  
 ,    

  
 ,    

  
 . 
(2)

Пример 1. Определить силы токов из системы уравнений

 

            

               

            

 

Решение. Определитель системы уравнений

   

 
  
 

 
 
 

 
  
 

                                           

           , вспомогательные определители

    

 
  
 

  
 
 

 
  
 

    ,     

 
 
 

 
  
 

 
 
 

    ,     

 
  
 

 
 
  

 
  
 

     , тогда 

,    

  

    ,    

   

    ,

следовательно, абсолютные значения сил токов соответственно равны 
      ,       ,       , а направления токов   и   противоположны выбранным. Проверка в MathCad. 

Второй способ проверки решения (с помощью встроенной 

функции solve). 

.

II.
Решение систем линейных уравнений с помощью об
ратной матрицы.

Система (1) записывается в матричном виде. Для этого вводятся 

следующие обозначения.

Матрица    

   
   
   

   
   
   

   
   
   

 называется матрицей системы 

уравнений (1),    

  
  
  

 и    

  
  
  

  векторы-столбцы из неизвест
ных сил токов и правой части ЭДС. Система (1) в матричном виде: 

    .
(3)

Решение матричного уравнения (3) записывается в виде

      , или
(4)

2I1
I2

I3

2

3I1
2I2

2I3

2


I1
2I2

I3

1









solve

I1

I2

I3










2
1

3

(
)


.



2

3

1

1


2

2


1

2

1










1

2

2


1

1


2

2


1

2

1










1
10


5


2

2

3

1

2

2


1

1

2

1










3

2

3

1

1


2

2


2

2


1










2
5


3
15



I1

1




I2

2




I3

3




I3
3



,
(5)

где    – матрица, обратная для матрицы  ;    – алгебраические дополнения
элементов    матрицы  , то есть миноры этих элементов, умноженные на 
       : 

               ,          
(6)

где минором    называется определитель, получаемый вычёркиванием i-й строки 
и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент    .

Условие существования обратной матрицы          всегда 

выполнено для такого рода систем уравнений.

Пример 2. Определить силы токов из системы уравнений

 

            

              
             

 с помощью обратной матрицы.

Решение. Определитель системы уравнений

   

 
 
  

  
 
 

 
 
 

                  .

Вычисляются алгебраические дополнения матрицы 

   

 
 
  

  
 
 

 
 
 

 .

      
 

 
     ,         
 

 
     ,        
 

 
      ,

       
  

 
      ,       
  

 
    ,        
 

 
     ,

      
  

 
    ,        
  

  
    ,       
 

  
    .

Матрица, обратная матрице  ,  и решение системы уравнений:

    

 

   

  
   
 

  
 
 

   
  
 

  

 

 
 

 

 

 
 

 

 

 

 

  

  

 

  

 

  

 

  

  
 

 

  

 

   

 
 ;

.

Таким образом, решение системы уравнений

   

 

           ,    

  

                

 

            .

Проверка в MathCad. 

.

III.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Суть метода: выполняя элементарные преобразования, привес
ти расширенную матрицу к ступенчатому виду. Далее, из системы, 
соответствующей ступенчатой матрице, обратным ходом последовательно находят неизвестные. Рассматриваемые системы уравнений 
всегда совместны, поэтому нет необходимости применять теорему 
Кронекера-Капелли. 

Пример 3. Методом Гаусса определить токи из системы урав
нений

 

                 
                

                  

                

 

Решение. Расширенная матрица системы уравнений

       

 
 
 
 

 
  
 
  

  
 

  
 

  
  

 
 

 

  
  
 
 

 .

R 1
 E

1

6

13
30

1
30





















0.167

0.433

0.033












30

E

1

0

2












1

3


1

2

1

4

1


2

3











R 1

simplify

1

6

11
30

13

30

1

3

2
15

1

15

1
6

1
30

7
30





















Матрица преобразуется к ступенчатому, а лучше, к совершен
ному виду. Первая и вторая строки меняются местами, и проводятся
элементарные преобразования с расширенной матрицей

       

 
  
 
  

 
 
 
 

  
 

  
 

  
  

 
 

 

  
  
 
 

    

 
  
 
  

 
 
   
 

 
 

  
 

 
  

  
 

 

  
 
 
 

    

 
  
 
  

 
 
 
  

 
 

  
 

 

   

  
 

 

  
 
 
 

  

   

 
  
 
  

 
 
 
  

 
 

 
 

  
   

  
 

 

  
 
  
   

    

 
  
 
  

 
 
 
  

 
 

 
 

 

   

    
 
 

 

  
 

    
 

   

  

   

 
  
 
  

 
 
 
  

 
 

 
 

 
 

    
 

    
 

 

  
 

    
 

     
 

    

 
  
 
  

 
 
 
  

 
 

 
 

 
 

    
 
 

 

  
 

    
 
 

 .

Последняя матрица записывается в виде системы уравнений

   

                  

            

    

       

   

     

 

Теперь обратным ходом, от последнего уравнения к первому, 

последовательно находятся неизвестные силы токов

    ,    

  

   

 

     

  

   

 

      ,

                     ,

                           .

Таким образом, модули сил токов принимают значения

      ,       ,       ,       .

Проверка в MathCad. 

.

Применение методов линейной алгебры в расчетах электрических 

цепей

Теория электрических цепей изучает электромагнитные явления 

в технических системах, предназначенных для производства и распределения электрической энергии.

3I1
2I2

I3

I4

2


I1
I2

4I3

I4

1


2
 I1
2I2

3I3

I4

9

I1
5I2

I3

2I4

4















solve

I1

I2

I3

I4
















3

1

2 7
(
)


При расчете линейной электрической цепи используются сле
дующие методы: метод контурных токов, метод узловых потенциалов, 
метод эквивалентного генератора. Более подробно остановимся на 
первых двух. Метод контурных токов основан на применении второго 
закона Кирхгофа, метод узловых потенциалов основан на применении 
первого закона Кирхгофа. Расчеты неизвестных величин в системах 
уравнений проводятся методом Крамера, методом обратной матрицы, 
или методом Гаусса.

Пример 4. В схеме электрической цепи        м ,    

    м,        м, 

       м,        м,
       м,         ,
      ,         , 
       ,        .
Определить токи в ветвях.

Решение. 
Метод 
кон
турных токов (МКТ).  Изобразим расчетную схему и обозначим    ,    ,    – токи в контурах     ,     ,       соответственно. Собственные сопротивления контуров
                   ,
                   ,
                   .

Контурные ЭДС

                                           ,

                ,

                           .

  

  

  

  
  

  

  

  

  

   
   

 

  

  

  

  
  

  

  

  

  

   
   

  

  

   

  

  

  

  

 

 

 

 

 

 

   

   

   

Система уравнений для контурных токов

 
                         
                         
                         

 

где                  м,
                 м,
                 м.

Получается система уравнений

 

                       

                         
                        

 

которая решается методом Гаусса.

  

   
   
   

   
   
   

   
   
   

 

   
    
   

    

   
   
   

 
     
     

 
     
     

 

   

     
     

  

   

   
   
   

 
     
     

 
 
         

 

   

     

         

    

   
   
   

 
     
     

 
 
 

 

   

     
     

 .

Последовательно определяется:

           ,     

                

     
        ,

    

                     

   
        .

Следовательно, значения сил токов в ветвях

                           ,

              ,

                              ,

                               ,

                                     ,

              .

Метод узловых напряжений (МУН). В этом методе за неиз
вестные принимают потенциалы узлов схемы, а токи ветвей находят 
по закону Ома. Потенциал узла  приравнивается к нулю, и записываются уравнения для определения потенциалов остальных узлов.