Обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационное исчисление

ОБЫКНОВЕННЫЕ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 

Е.А. КОГАН

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано 
Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлениям подготовки 01.03.02 «Прикладная математика 
и информатика», 15.03.03 «Прикладная механика»
(квалификация (степень) «бакалавр»)
(протокол № 18 от 25.11.2019)

УДК 517.9(075.8)
ББК 22.161я73
 
К57

Коган Е.А.
К57  
Обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационное исчисление : учебное пособие / Е.А. Коган. — Москва : ИНФРА-М, 
2020. — 293 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — 
DOI 10.12737/1058922.

ISBN 978-5-16-015817-4 (print)
ISBN 978-5-16-108192-1 (online)
Учебное пособие содержит теоретические сведения в объеме лекционного курса и подробно разобранные примеры решения типовых задач, 
а также тестовые задания и задачи для самостоятельной работы. 
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 15.03.03 «Прикладная механика», 01.03.02 «Прикладная математика 
и информатика» (профиль «Математическое моделирование»), по специальности 23.05.01 «Наземные транспортно-технологические средства» 
(профиль «Динамика и прочность транспортно-технологических систем»). 
Может быть использовано преподавателями для проведения практических 
занятий.

УДК 517.9(075.8)
ББК 22.161я73

Р е ц е н з е н т ы:
Кузнецов Е.Б., доктор физико-математических наук, профессор 
Московского авиационного института (Национального исследовательского университета);
Шифрин Е.И., доктор физико-математических наук, профессор 
(Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского Российской 
академии наук)

ISBN 978-5-16-015817-4 (print)
ISBN 978-5-16-108192-1 (online)
© Коган Е.А., 2010, 2020

ВВЕДЕНИЕ 

Настоящее пособие посвящено двум важным и тесно связанным  между собой разделам математики: обыкновенным дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению.  
Первая часть, посвящëнная дифференциальным уравнениям, 
является безусловно центральным разделом в математической 
инженерной подготовке. Объясняется это тем, что дифференциальные уравнения представляют собой математические модели 
самых разнообразных процессов и явлений, так как их решения 
позволяют описать эволюцию изучаемого процесса, характер 
происходящих с материальной системой изменений в зависимости от первоначального состояния системы. 
Вывод дифференциальных уравнений (или систем дифференциальных уравнений), описывающих то или иное явление, 
представляет собой отдельную самостоятельную задачу. Сложность еë состоит в том, что при выводе дифференциальных уравнений необходимо удовлетворить противоречивым требованиям. 
С одной стороны, построенная математическая модель должна 
быть адекватной рассматриваемому явлению. С другой стороны, 
получающиеся дифференциальные уравнения должны иметь по 
возможности простое решение. Это требует введения различных 
допущений физического характера, а следовательно, глубокого 
понимания сути рассматриваемого явления. 
С выводом и применением дифференциальных уравнений 
(или  их систем) к решению тех или иных прикладных задач студенты встречаются при изучении различных общеобразовательных и специальных курсов (физики, теоретической механики, сопротивления материалов, электротехники и др.). Предметом 
настоящего пособия в его первой части является изучение аналитических методов решения обыкновенных дифференциальных 
уравнений и их систем. Вместе с тем, чтобы показать тесную 
связь теории дифференциальных уравнений  с практикой, в пособие включены некоторые известные решения прикладных задач 
по изгибу и устойчивости стержней и круговых пластин и колебаниям механических систем.  
Вторая часть пособия посвящена вариационному исчислению. 

Исследование экстремумов функций является одним из 
наиболее интересных и важных для практических приложений 
разделов математического анализа. Но наряду с подобными задачами на практике часто возникает необходимость отыскания максимальных и минимальных значений математических выражений 
более общего вида – так называемых функционалов - величин, 
численное значение которых зависит от выбора одной или нескольких функций.  
Вариационное исчисление и является разделом математики, 
посвящëнным исследованию методов отыскания экстремумов 
функционалов, зависящих от одной или нескольких функций, при 
разного рода ограничениях, налагаемых на эти функции.  
Теоретические основы классического вариационного исчисления были заложены в XVIII веке в фундаментальных работах 
Л.Эйлера и Ж.Лагранжа, хотя большой интерес к различным экстремальным задачам возник ещë в глубокой древности. Исторически первой задачей, известной задолго до нашей эры и отнесëнной впоследствии к так называемым изопериметрическим 
задачам вариационного исчисления, является “задача Дидоны” – 
задача отыскания замкнутой линии заданной длины, ограничивающей  максимальную площадь [28]. 
К числу классических задач, оказавших большое влияние на 
развитие вариационного исчисления, относятся “задача о брахистохроне” (линии наискорейшего спуска) и “задача о геодезических кривых”  - линиях наименьшей длины, соединяющих две заданные точки на некоторой поверхности.  
В настоящее время вариационные методы очень широко 
применяются в механике и физике, при решении задач оптимального управления. 
Решение классических вариационных задач сводится обычно к решению краевых задач  для дифференциальных уравнений. 
Пособие по замыслу автора имеет многоцелевое назначение. 
Оно объединяет в себе функции конспекта лекций и руководства 
к решению задач и содержит всю информацию, достаточную  для 
получения в конечном итоге практических навыков решения задач по рассмотренным разделам математики. 
Для этого в него включены теоретические сведения в объëме, обычно излагаемом на лекциях, многочисленные детально 

разобранные примеры решения типовых задач, иллюстрирующие 
применение излагаемых методов. Включено также большое количество задач, систематизированных в виде расчëтно – графических работ (РГР) и в виде тестов. Поэтому пособие может быть 
также полезным студентам для самостоятельной работы и преподавателям при проведении практических занятий и для контроля 
текущей успеваемости студентов. Для удобства пользования пособием при самостоятельном изучении курса приведена также 
некоторая справочная информация. 
Подробное изложение теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления содержится во многих учебниках и пособиях, некоторые из которых, рекомендуемые студентам втузов для самостоятельного изучения, приведены в списке 
литературы. 
Многочисленные примеры составления дифференциальных 
уравнений и применения их, а также вариационных методов к 
решению задач механики, геометрии, технического характера 
можно найти, например,  в книгах: 
1. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. 
Минск: Вышэйшая школа, 1973. 560 с.  
2. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. 
М.: Наука. Глав. ред. физ.-матем. лит-ры, 1987. 160 с. 
3. Амелькин В.В., Садовский А.П. Математические модели и 
дифференциальные уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 
1982. 272 с.  
4. Горт В. Дифференциальные уравнения. Перевод с немецкого. 
М.-Л. Гос. техн. – теорет. изд-во, 1933. 480 с. 
5. Понтрягин Л.С.. Дифференциальные уравнения и их приложения. М.: Наука. 1988. 208 с. 
6. Коллатц Л. Задачи  на собственные значения (с техническими 
приложениями). М.: Наука. Глав. ред. физико-матем. лит-ры, 
1968. 504 с. 
7. Шехтер Р. Вариационный метод в инженерных задачах. М.: 
Изд-во “Мир”. 1971. 292 с. 
8. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории 
упругости. М.-Л.: ОГИЗ, Гос. изд-во технико – теоретической 
литературы, 1943. 288 с. 
 

Часть 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ 

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 

1.1. Основные понятия 

При изучении различных физических процессов и явлений 
обычно не удаëтся найти непосредственную зависимость между 
искомой функцией, описывающей тот или иной процесс, и независимыми переменными. Как правило, удаëтся установить связь 
между неизвестной функцией и еë производными. 
Дифференциальным уравнением и называется уравнение, 
в которое неизвестная функция входит под знаком производной 
или дифференциала. 
Если производные от неизвестной функции, входящие в 
уравнение, берутся только по одной независимой переменной, то 
дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Уравнения, содержащие производные по нескольким независимым 
переменным, называются дифференциальными уравнениями в 
частных производных.  
Порядок наивысшей (старшей) производной, входящей в 
дифференциальное уравнение, определяет порядок дифференциального уравнения. 
Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в 
самом общем виде записывается так: 
                                     
0
)
,
,
,
,
,
(
)
(
n
y
y
y
y
x
F
,                          (1.1) 
где  
)
(x
y
неизвестная  функция,  x – независимая  переменная,   
),
(
),
(
x
y
x
y
)
(
,
)
(
x
y n
- производные от неизвестной функции. 
В частности, обыкновенное дифференциальное уравнение 
первого порядка имеет вид 
                                            
0
)
,
,
(
y
y
x
F
.                                     (1.2) 
Обычно обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано или в форме, разрешëнной относительно производной 
                                              
)
,
(
y
x
f
y                                        (1.3) 
или в форме, содержащей дифференциалы   

0
)
,
(
)
,
(
dy
y
x
N
dx
y
x
M
.                        (1.4) 

Обе эти формы записи эквивалентны и от одной формы записи легко перейти к другой. 
Пусть, например, уравнение задано в форме (1.4). Перенося 
первое слагаемое в правую часть, после деления на 
0
)
,
(
dx
y
x
N
 
получим уравнение, разрешëнное относительно производной: 

,
)
,
(
)
,
(
dx
y
x
M
dy
y
x
N
  
).
,
(
)
,
(
)
,
(
y
x
f
y
x
N
y
x
M
dx
dy


Решением дифференциального 
уравнения 
называется 
функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в 
тождество. Процесс нахождения решений дифференциального 
уравнения 
называется 
интегрированием дифференциального 
уравнения. График решения дифференциального уравнения 
называется интегральной кривой. 
 Характерное свойство дифференциальных уравнений состоит в том, что при их интегрировании получается бесчисленное 
множество решений. Для уравнения первого порядка это множество описывается одной произвольной постоянной. Например, 
уравнению 
)
(x
f
y , как известно из интегрального исчисления, 
удовлетворяет функция 
,
)
(
C
x
F
y
где 
)
(x
F
 - первообразная 
для функции 
)
(x
f
 (то есть 
)
(
)
(
x
f
x
F
), а C  - постоянная интегрирования. Следовательно, искомая функция 
)
(x
y
 определяется 
из дифференциального уравнения неоднозначно.  
  Чтобы выделить из бесконечного множества решений то, 
которое описывает именно данный процесс, необходимо задать 
дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса.  
Такое дополнительное условие называется  начальным 
условием.  Оно ставится так: требуется,  чтобы  при некотором 
начальном значении независимой переменной 
0x
x  искомая 
функция равнялась заданному числу 
:
0y
 
                             
0
0)
(
y
x
y
    или    
0
0
y
y
x
x
.                          (1.5) 

Задача интегрирования  дифференциального  уравнения первого  порядка  совместно с начальным  условием  называется  

начальной задачей или задачей Коши1. 
Можно доказать, что если в уравнении 
)
,
(
y
x
f
y , разрешëнном относительно производной, правая часть 
)
,
(
y
x
f
 непрерывна, ограничена и имеет ограниченную частную производную 

y
y
x
f
)
,
(
 в некоторой области, содержащей начальную точку 

),
,
(
0
0 y
x
 то существует решение уравнения и притом единственное, удовлетворяющее заданному начальному условию 
)
(
0x
y
  

0y
.  
Эта основная теорема теории дифференциальных уравнений 
первого порядка называется теоремой существования и единственности решения.  
Для дифференциальных  уравнений первого порядка различают общее, частное и особое решения, а также общий, частный 
и особый интегралы. 
Общим решением  дифференциального уравнения первого 
порядка, разрешëнного относительно производной,  называется 
такое семейство функций  
),
,
(
C
x
y
зависящих от x и произвольной постоянной C, что 
1) при любом  допустимом  значении  постоянной  C  функция 
)
,
( C
x
y
является решением уравнения; 
2) каково бы ни было начальное условие (1.5), можно подобрать такое значение постоянной 
0
C , что решение 
)
,
(
0
C
x
y

будет yдовлетворять условию 
0
0
0
)
,
(
y
C
x
.  
Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется  решение,  которое  получается  из общего 
при каком-либо конкретном значении произвольной постоянной 

0
C
C , то есть функция вида 
)
,
(
0
C
x
y
.     
        Поэтому общее решение дифференциального уравнения 
можно определить как множество всех частных решений уравнения. 
Особым решением дифференциального уравнения называется 
решение, которое не может быть получено из общего решения ни 

                                                           
1 К о ш и Огюстен Луи (21.08.1789-23.05.1857) – французский ма- 
  тематик и механик. 

при одном частном значении произвольной постоянной. 
Часто при интегрировании уравнения первого порядка не 
удается найти его общее решение в явном виде, а получается конечное (не дифференциальное) соотношение вида 

                                             
0
)
,
,
(
C
y
x
Ф
,                                   (1.6)    

содержащее решение y в неявной форме. Такое соотношение 
называется общим интегралом дифференциального уравнения. 
Частным интегралом называется соотношение, которое получается из общего интеграла при конкретном значении произвольной постоянной. 
Как известно, уравнение произвольной кривой на плоскости 
записывается в виде 
.0
)
,
(
y
x
f
 Сравнивая это соотношение с 
выражением для общего интеграла (1.6), легко заключить, что 
при различных конкретных значениях C будем получать различные интегральные кривые. Поэтому геометрически общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка изображается семейством интегральных кривых на плоскости, зависящих от 
одного параметра C. Частному интегралу соответствует одна 
кривая этого семейства, проходящая через заданную начальную 
точку  
).
,
(
0
0 y
x
  
Например, интегрирование уравнения 
y
x
y
/
приводит к 
общему интегралу вида 
,
2
2
2
C
y
x
где  С – произвольная постоянная. Это конечное соотношение при разных С представляет 
собой, очевидно, семейство концентрических окружностей с центром в начале координат различного радиуса С (рис. I.1). 

 
                                       Рис. I.1 

Частному интегралу будет соответствовать одна окружность, 
проходящая через заданную начальную точку 
)
,
(
0
0 y
x
.  

1.2. Геометрическая интерпретация  
дифференциального уравнения первого порядка. 
Поле направлений. Изоклины 

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, 
разрешëнное относительно производной 
)
,
(
y
x
f
y . Задавая координаты 
)
,
(
y
x
 произвольной точки на плоскости, можно определить значение производной в этой точке 
,
yто есть найти 
направление касательной к интегральной кривой, проходящей 
через эту точку. Поэтому говорят, что дифференциальное уравнение первого порядка определяет поле направлений в той области D  на плоскости, в которой определена правая часть уравнения. В каждой точке этой области известно направление касательной к интегральной кривой, проходящей через данную точку. 
Геометрически поле направлений изображается векторами (или 
штрихами) с угловым коэффициентом 
tg
y
x
f
y
)
,
(
 (см. рис. 
I.2).  
 

 
                                             Рис. I.2 

Геометрическое место точек, в которых касательные  к интегральным кривым имеют одинаковый наклон, то есть выполняется соотношение 
,
const
C
y
 называется изоклиной данного 
дифференциального уравнения.