Компьютерное моделирование задач молекулярной физики

ЛИСИЦЫН С.Г.

КОМПЬЮТЕРНОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ 
МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

Ñ.Ã. Ëèñèöûí
Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå çàäà÷ ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè:
Ó÷åáíîå ïîñîáèå / Ñ.Ã. Ëèñèöûí  – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2019. – 144 ñ.

ISBN 978-5-91559-266-6

Ïðåäëàãàåìûå ÷èòàòåëþ ó÷åáíîå ïîñîáèå è ïðîãðàììíûé êîìïëåêñ ïî
ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêå ïîçâîëÿò ïðîâåñòè ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà äî ïîëóòîðà äåñÿòêîâ ðàçëè÷íûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïî êóðñó ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè. Êîìïüþòåð ïðè ýòîì âûñòóïàåò â ðîëè ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêè äëÿ ïðîâåäåíèÿ ôèçè÷åñêèõ îïûòîâ.
Îïûòû, â îòëè÷èå îò òåõ, ÷òî ïðîâîäÿòñÿ â îáû÷íîé ôèçè÷åñêîé ëàáîðàòîðèè, ãäå ìû «çàäà¸ì âîïðîñ» íåïîñðåäñòâåííî ïðèðîäå è ïîëó÷àåì îò
íå¸ îòâåò â âèäå ðåçóëüòàòà ýêñïåðèìåíòà, ñòàâÿòñÿ íàä ñîîòâåòñòâóþùåé
ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ ÿâëåíèÿ, ò.å. íàä ñèñòåìîé óðàâíåíèé âòîðîãî
çàêîíà Íüþòîíà, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå áîëüøîãî ÷èñëà âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. Êîìïüþòåð, â ñîîòâåòñòâèè ñ çàëîæåííûì â íåãî àëãîðèòìîì, ïðîèçâîäèò ÷èñëåííîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Óñëîâèÿ ýêñïåðèìåíòà, êàê è åãî ñîäåðæàíèå, îïðåäåëÿåò ïîëüçîâàòåëü êîìïëåêñà.
Âàæíî ïðè ýòîì, ÷òî êîìïüþòåð «íå çíàåò» çàêîíîâ ìîëåêóëÿðíîé
ôèçèêè, îí òîëüêî ðåøàåò óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. Ìû íàáëþäàåì ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà
çà äâèæåíèåì ñèñòåìû ÷àñòèö. Ìåíÿÿ óñëîâèÿ ýêñïåðèìåíòà, ïîëó÷àåì
ðàçëè÷íûå ñîñòîÿíèÿ ýòîé ñèñòåìû – òâ¸ðäîå, æèäêîå, ãàçîîáðàçíîå. Ìû
ìîæåì ïðîâåñòè ðàçëè÷íûå ïðîöåññû â ýòîé ñèñòåìå, òàêèå êàê ïðîöåññû
â ãàçàõ ñ èçìåíåíèåì îáú¸ìà è/èëè òåìïåðàòóðû, ïëàâëåíèå òâ¸ðäîãî
òåëà ñ ïðåâðàùåíèåì åãî â æèäêîñòü, èñïàðåíèå æèäêîñòè, àäèàáàòè÷åñêîå ðàñøèðåíèå ãàçà ñ ïîñëåäóþùåé êîíäåíñàöèåé ãàçà â æèäêîñòü è ò.ï.
 ïîñîáèè, ïîìèìî äåòàëüíîãî îáñóæäåíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè, ïîäðîáíî îáñóæäàþòñÿ ÷èñëåííûå àëãîðèòìû, èñïîëüçóåìûå äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîöåññîâ, äîñòóïíàÿ â êîìïüþòåðíûõ ýêñïåðèìåíòàõ òî÷íîñòü ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ.
Êíèãà è ïðîãðàììíûé êîìïëåêñ ìîãóò áûòü ïîëåçíû êàê ïðåïîäàâàòåëÿì ôèçèêè âóçîâ è øêîë, òàê è ó÷àùèìñÿ, îò øêîëüíèêîâ ñòàðøèõ
êëàññîâ äî ñòóäåíòîâ óíèâåðñèòåòîâ.

© 2019, Ñ.Ã. Ëèñèöûí
© 2019, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-266-6

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Цели и возможности программного комплекса . . . .
5

1.1.
Точность получаемых результатов и их интерпретация . . . .
6
1.2.
Изучение теоретического материала . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.
Место программного комплекса в учебном процессе . . . . .
9
1.4.
Начало работы с комплексом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.5.
Получение помощи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

Глава 2. Моделирование броуновского движения . . . . . . . . .
12

2.1.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2.
Порядок выполнения работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3. Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.4. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.5. Приложение. Теория броуновского движения . . . . . . . . . .
19
2.6. Ответы на контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

Глава 3. Молекулярная динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24

3.1.
Назначение программного комплекса «Молекулярная динамика»
24
3.2. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3. Численный алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.4. Уравнения механики и необратимость тепловых процессов .
36
3.5. Описание программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.6. Работа с программой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.7. Как прервать эксперимент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

Оглавление

3.8. Эксперименты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.8.1. Изохорические процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.8.2. Процессы с изменением объема . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.9. Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.10. Приложение 1. Тепловое движение . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.11. Приложение 2. Средние по системе и по времени . . . . . . .
91
3.12. Приложение 3. Флуктуации аддитивных величин . . . . . . .
94
3.13. Приложение 4. Теорема вириала . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.14. Приложение 5. Теплоемкость кристаллов . . . . . . . . . . . . .
96
3.15. Приложение 6. Адиабатическое расширение газа. . . . . . . .
100
3.16. Ответы на контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103

Глава 4. Модель Изинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105

4.1.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
4.2. Знакомство с моделью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
4.3. Критические индексы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
4.4. Выбор граничных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
4.5. Тепловое движение спинов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
4.6. Выбор единиц измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
4.7. Порядок работы с программой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
4.8. Определение температуры Кюри и критических индексов
ферромагнетика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
4.9. Определение температуры Нееля и критических индексов
антиферромагнетика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118

4.10. Петля гистерезиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
4.11. Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
4.12. Приложение 1. Флуктуации энергии и намагниченности . . .
124
4.13. Приложение 2. Свойства ферромагнетиков . . . . . . . . . . . .
127
4.14. Приложение 3. Свойства антиферромагнетиков . . . . . . . . .
130
4.15. Ответы на контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134

Г Л А В А
1

ЦЕЛИ И ВОЗМОЖНОСТИ
ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

Данный программный комплекс отличается от многих
других обучающих программных продуктов своей целью. Автор хотел, чтобы данный комплекс позволил его пользователю провести с
помощью компьютера самостоятельное исследование различных
физических процессов и проанализировать полученные результаты. В этой ситуации компьютер выступает в роли экспериментальной установки для проведения «физических» опытов. Понятно, что
опыт здесь совсем не тот, что проводится в обычной физической
лаборатории. Там мы «задаем вопрос» непосредственно природе и
получаем от нее ответ в виде результата эксперимента. Здесь мы
ставим вопрос компьютеру, в который заложена соответствующая
математическая модель, т. е. система уравнений, описывающих
соответствующее физическое явление. Компьютер, в соответствии
с заложенным в него алгоритмом решения уравнений с заданными
начальными и краевыми условиями, производит их численное решение. Какие задавать условия эксперимента, и какой эксперимент
проводить, определяет пользователь комплекса. В ходе компьютерного эксперимента можно наблюдать такие детали процесса, которые в обычном эксперименте зачастую в принципе не наблюдаемы.
Так, мы не можем наблюдать движение отдельных молекул, но поставить соответствующий эксперимент на компьютере достаточно
просто. Сравнивая результаты компьютерного и натурного экспериментов, мы можем оценить точность наших представлений о соответствующем процессе. Возможно, уточнить эти представления.
Результаты компьютерного эксперимента требуют определенной
интерпретации, так же, как и результаты натурного эксперимента
в лаборатории. Это обстоятельство отличает данный программный
комплекс от большинства известных автору обучающих программных

Глава 1. Цели и возможности программного комплекса

продуктов. В упомянутых продуктах результаты, получаемые с их
помощью, чаще всего вычисляются по известным простым формулам. Иными словами, учащийся знакомится скорее с тем, как работают эти формулы, и видит графики, изображающие соответствующие идеализированные результаты. Этот этап, безусловно, необходим на начальной стадии знакомства с предметом. Но более глубокое изучение физики требует понимания того, что изучаемые простые формулы нередко есть лишь определенное приближение к истине. И необходимо понимание того, ценой каких упрощений получены эти простые формулы, и что же происходит на самом деле.
Необходимость получить от компьютера ответ на поставленный
вопрос требует от учащегося глубокого проникновения в суть изучаемой проблемы, полученный ответ порождает новые вопросы, и
в результате происходит закрепление теоретического материала и
развивается физическая интуиция.
И все же уместно спросить: а нужны ли компьютерные эксперименты, ведь физика призвана изучать явления природы и познавать
ее законы, а не математические модели? Ответ отчасти уже дан
выше и состоит он в том, что не всякий натурный эксперимент
мы можем осуществить не только по причине его сложности и дороговизны или продолжительности времени его проведения, но и
по причинам принципиального характера. Так, выше упоминалась
проблема наблюдения движения молекул в теле. Если попытаться
оценить параметры такого эксперимента и характеристики установки, на которой его следует проводить, то окажется, что такой
эксперимент, по крайней мере, в настоящее время, а возможно и
в принципе, неосуществим. Тем не менее, ясно, что подобный эксперимент был бы весьма поучительным. Современные компьютеры
позволяют нам поставить такой эксперимент и увидеть множество
интересных деталей поведения микрочастиц.
И все же, несмотря на богатые возможности, которые предоставляют нам компьютерные эксперименты, они ни в коем случае
не должны служить заменой натурных экспериментов, но могут
быть очень интересным их дополнением, как в лабораторном практикуме, так и на лекциях.

1.1.
ТОЧНОСТЬ ПОЛУЧАЕМЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
И ИХ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Результаты любого физического эксперимента содержат определенные погрешности. Этот факт приводит, в частности,
к тому, что точки, изображающие полученные результаты, вовсе

1.2. Изучение теоретического материала
7

не ложатся на какие-либо плавные кривые. Всегда имеется определенный разброс этих точек относительно искомых графиков. Поэтому результаты экспериментов обычно требуют определенной интерпретации. То же самое имеет место и в компьютерных экспериментах. Правда, погрешности компьютерного эксперимента имеют
иную природу, нежели погрешности натурного эксперимента. Так,
для погрешностей проводимых здесь экспериментов, моделирующих тепловые процессы, значительную роль играет то, что эксперимент ставится на системе малого числа частиц. Это приводит к
значительным флуктуациям различных физических величин, т. е.
к погрешностям эксперимента (подробнее об этом см. разд. 3.12).
Разумеется, никакой компьютер не в состоянии смоделировать движение, скажем моля, т. е. 1023 частиц. Однако, качественно приемлемые результаты можно получить, рассматривая движение системы из нескольких десятков частиц. Такая задача решается за
сравнительно небольшое время и ее результаты вполне узнаваемы. С другой стороны, неизбежное наличие достаточно больших
погрешностей в компьютерном эксперименте позволяет нам ограничиться применением сравнительно простых моделей и алгоритмов. Более подробно эти модели описаны в соответствующих разделах пособия. Здесь же отметим, что поскольку высокая точность
результатов в наших экспериментах принципиально недостижима,
то анализ результатов и различные расчеты следует проводить на
уровне оценок. Следует обратить внимание на то, что это не обесценивает наши результаты. Как раз наоборот, зачастую оценки бывают нужнее «точных» расчетов. На этот факт обычно обращается недостаточное внимание в процессе преподавания физики. Скажем, вполне серьезный ответ на шутливый вопрос: «Почему коровы не летают?» можно дать на основе простых энергетических
оценок. При этом совершенно не требуется анализировать возможные механизмы полета. Вот если бы упомянутые оценки показали
возможность таких полетов, то в случае необходимости их реализации пришлось бы проводить серьезные расчеты разных схем
полета.

1.2.
ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

В пособии реализован такой подход к анализу полученных экспериментальных результатов, что основное внимание
уделяется качественной оценке результатов. Вместе с тем еще
раз подчеркнем, что качественные результаты не являются чем-то

Глава 1. Цели и возможности программного комплекса

ущербным, и их анализ возможен лишь на основе надежных теоретических положений. Поэтому параллельно с проведением экспериментов учащимися необходимо чтение ими учебников. Для работы с комплексом вполне достаточно стандартных учебников физики, например учебника И. В. Савельева «Курс общей физики», Т. 1
(М.: Лань, 2019). Следует упомянуть также прекрасный учебник
Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезера и Е. М. Лифшица «Механика и молекулярная физика в курсе общей физики» (5-е изд. Долгопрудный:
ИД «Интеллект», 2017). Авторы этого учебника исходили из того,
что систематический вывод количественных формул и уравнений
должен даваться в курсе теоретической физики. Поэтому формулы
выводятся по возможности на простейших примерах и лишь постольку, поскольку они могут помочь читателю понять связь между
явлениями. Пожалуй, этот учебник общей физики можно считать
образцовым.
Разумеется, перечисленными учебниками выбор литературы никак не ограничивается, вы можете использовать любые книги, руководствуясь своим опытом работы и критериями оценки учебников.
Несколько слов необходимо сказать о теоретических приложениях к работам комплекса. В них автор, ни в коей мере не претендуя на какую-либо оригинальность, обсуждал те понятия и явления, которые встречались при описании экспериментов. Но в это
обсуждение он включал вопросы реализации соответствующих понятий при компьютерном моделировании. Насколько удачно смог
автор соединить обсуждение известных понятий с вопросами разработки компьютерных алгоритмов, судить читателю.
К перечисленному выше списку книг по физике необходимо добавить также и книги по компьютерной тематике. Наиболее близкой по содержанию к данному пособию является книга Х. Гулда и
Я. Тобочника «Компьютерное моделирование в физике» (М.: Мир,
1990). Несмотря на почтенный с точки зрения компьютерной науки
возраст этой книги она ни в чем не устарела. Книга написана прекрасными знатоками физики и компьютерных вычислений, содержит массу интересных задач. Ряд идей из этой книги послужили
основой создания данного программного комплекса.
Следует также сказать, что ко всем экспериментам имеются
многочисленные вопросы и дополнительные задания. Конечно же,
работать с комплексом можно, не разбираясь с поставленными вопросами, и не выполняя никаких дополнительных экспериментов.
Это тоже будет интересно, но многие важные детали при такой
работе могут быть упущены, кое-что окажется непонятым, словом,
время будет потрачено не слишком эффективно. Поэтому настоя

1.3. Место программного комплекса в учебном процессе
9

тельно рекомендуется прочитать нужные разделы пособия, прежде
чем читатели начнут эксперименты. Желательно также найти ответы к поставленным вопросам. Они несложные, но их обдумывание
принесет, полагаю, определенную пользу.

1.3.
МЕСТО ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА
В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

Большинство экспериментов, входящих в программный комплекс, не требуют большого времени на их выполнение.
Поэтому преподаватели могут их применять не только в лабораторном практикуме, но и в качестве лекционных демонстраций. Для
этого необходимо иметь соответствующий проектор, связанный с
компьютером, либо монитор с достаточно большим экраном. Исключение составляют эксперименты с изотермическим и изобарическим процессами в неидеальных газах. Они могут продолжаться
сравнительно долго, порядка 1–1,5 ч. Эти эксперименты могут быть
предложены учащимся лишь в качестве лабораторных работ.
Результаты практически всех экспериментов представляются в
виде графиков, которые выводятся на экран компьютера и могут
быть распечатаны на принтере. Именно эти распечатки и являются
отчетом о выполнении лабораторной работы. На листе с графиками
выводится информация об исполнителе работы и параметрах эксперимента, поэтому списывание результатов по существу исключено.
Все эксперименты проводятся однократно, поэтому определить
случайную погрешность эксперимента здесь нельзя. Да и большого
смысла в определении такой погрешности нет. Можно лишь дать
оценку такой погрешности. Важнее другое. Можно и нужно оценить то, насколько правильно с качественной точки зрения в вашем
эксперименте переданы основные особенности процесса. Есть ли,
например, на графиках участки фазового равновесия или таковых
нет, и поэтому имел место процесс в однофазной системе? Как вела
себя теплоемкость и иные параметры системы в ходе процесса? Соответствуют ли результаты экспериментов нашим представлениям
или есть различия? Чем вызваны эти различия? И т. п.
Еще один интересный вопрос, который желательно обсудить,
это соответствие масштабов компьютерного эксперимента и аналогичных натурных процессов. Подробно об этом написано в разд. 4.6.
Умение выбрать удобные масштабы измерений и переходить от одних единиц к другим является важным качеством исследователя.
Обратите внимание на соответствующие задания к лабораторным
работам и постарайтесь их выполнить.

Глава 1. Цели и возможности программного комплекса

Если эксперименты проводятся в качестве лекционных демонстраций, то комментарии к ним придется давать преподавателю.
Поэтому преподаватели должны сами провести эти эксперименты
до лекции с тем, чтобы понять каковы особенности демонстрируемых экспериментов, сколько времени они потребуют и насколько
значимы будут их результаты. Здесь же можно будет указать и
соотношение масштабов компьютерных экспериментов и натурных
процессов.

1.4.
НАЧАЛО РАБОТЫ С КОМПЛЕКСОМ

Запустите программу «Молекулярная физика» на ПК,
после чего откроется окно программы (рис. 1.1).
В левой половине окна расположены пять кнопок, справа от них
надписи, поясняющие функции этих кнопок. Если вы щелкнете на
первой кнопке, то раскроете страницу справки, с кратким описанием возможностей комплекса.
Вторая, третья и четвертая кнопки запускают соответствующие
программы комплекса.
Нажав кнопку Выход, вы закончите работу с комплексом.

Рис. 1.1. Окно программы

Если вы, не нажимая на клавишу мыши, будете двигать в левой половине окна ее указатель, то в тот момент, когда указатель
окажется над кнопкой или надписью справа от нее, вы увидите в
правой половине окна краткую информацию о содержании соответствующей программы (рис. 1.1).

1.5. Получение помощи
11

1.5.
ПОЛУЧЕНИЕ ПОМОЩИ

В любой момент работы программы вы можете получить помощь, щелкнув в открытом окне мышью на кнопке или
пункте меню с надписью Помощь, либо нажав клавишу F1. В этом
последнем случае вы получите контекстную подсказку в соответствии с тем заданием, которое выполняете в данный момент. Содержание файла помощи не дублирует текст пособия, поэтому необходима работа с пособием. В частности, в справке не дублируется
содержание теоретических приложений.

Г Л А В А
2

МОДЕЛИРОВАНИЕ
БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ

Цель работы. Наблюдение случайных блужданий системы
частиц и проверка закона Эйнштейна для броуновских частиц.

2.1.
ВВЕДЕНИЕ

Как известно, малая частица совершает беспорядочное (броуновское) движение благодаря взаимодействию с молекулами среды. Впервые этот факт был обнаружен английским ботаником Броуном в 1827 г., который наблюдал в микроскоп движение
цветочной пыльцы в капле воды. При соударениях молекул с частицей происходит изменение величины и направления скорости движения частицы. Процесс соударений носит случайный характер,
т. е. заранее неизвестно, куда и с какой скоростью будет двигаться частица после соударения. Однако можно определить средний
квадрат расстояния, на которое уйдет частица от своего первоначального положения за время t. Это соотношение (его вывод см.
в разд. 2.5) имеет следующий вид:

⟨R2⟩ = D · t,

где D — константа, называемая коэффициентом диффузии частицы,
t — время движения, ⟨R2⟩ — средний квадрат расстояния от первоначального положения частицы. Это соотношение впервые было установлено Эйнштейном и Смолуховским и называется законом Эйнштейна. Можно проверить это соотношение, наблюдая
за движением броуновских частиц в микроскоп, как это делали
в свое время французский физик Перрен и швед Сведеберг. Но