Электромагнетизм в ключевых задачах

А.Н. ПАРШАКОВ 

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ  
В КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧАХ

ФИЗИКА В КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧАХ

Второе издание

À.Í. Ïàðøàêîâ
Ýëåêòðîìàãíåòèçì â êëþ÷åâûõ çàäà÷àõ: Ó÷åáíîå ïîñîáèå /
À.Í. Ïàðøàêîâ – 2-å äîï. èçä. – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé
Äîì «Èíòåëëåêò», 2019. – 288 ñ.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå âîñïîëíÿåò ñóùåñòâåííûå ïðîáåëû â ïðåïîäàâàíèè âàæíåéøåãî ðàçäåëà îáùåé ôèçèêè äëÿ ôèçè÷åñêèõ è èíæåíåðíûõ ñïåöèàëüíîñòåé.
Êíèãà íàðÿäó ñ òåîðåòè÷åñêèìè îñíîâàìè äàåò ïðåäåëüíî ÿñíûé è ïîäðîáíûé ðàçáîð íàèáîëåå âàæíûõ äëÿ ïîíèìàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ñèòóàöèé, ïîäàííûõ â ôîðìå çàäà÷.
Ïîñîáèå íå èìååò àíàëîãîâ ñðåäè ñòàâøèõ ïðèâû÷íûìè ó÷åáíèêîâ ôèçèêè, ïî ñðàâíåíèþ ñ íèìè øèðå èñïîëüçóþòñÿ ïîíÿòèå
ñèììåòðèè, ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåì îòñ÷åòà, âåêòîð Óìîâà-Ïîéíòèíãà.
Èñ÷åðïûâàþùèé õàðàêòåð èçëîæåíèÿ ïîçâîëÿåò àâòîðó ñî÷åòàòü
ìåòîäè÷åñêè âàæíûå çàäà÷è ñ àêòóàëüíûìè òåìàìè, íîâûìè äëÿ
êóðñîâ ôèçèêè.
Ó÷åáíîå ïîñîáèå ìîæíî ïîñòàâèòü â ðÿä ñ áåññìåðòíûì ó÷åáíèêîì Ã.Å. Çèëüáåðìàíà «Ýëåêòðè÷åñòâî è ìàãíåòèçì» è èñïîëüçîâàòü íà ýòàïå óãëóáëåííîãî èçó÷åíèÿ ïðåäìåòà.

Äëÿ ñòóäåíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé ôèçèêè – îò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ëèöååâ äî óíèâåðñèòåòîâ.

Ïåðâîå èçäàíèå êíèãè øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â âåäóùèõ ðîññèéñêèõ êëàññè÷åñêèõ è òåõíè÷åñêèõ óíèâåðñèòåòàõ.

© 2019, À.Í. Ïàðøàêîâ
© 2019, ÎÎÎ «Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-269-7

ISBN 978-5-91559-269-7

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Глава 1. Электростатика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля . . . . . . . . .
9
1.1.1.
Заряд внутри полой сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1.2.
Опыт Кулона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.3.
Разрыв кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1.4.
Заряд внутри кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.5.
Поле диполя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.6.
Взаимодействие диполя с точечным зарядом . . . . . . . . .
16
1.1.7.
Движение заряда в поле диполя . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.1.8.
Взаимодействие диполей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.1.9.
Поле квадруполя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.1.10. Взаимодействие полярной и неполярной молекул . . . . . .
20
1.1.11. Заряженное кольцо и неполярная молекула . . . . . . . . . .
21
1.1.12. Поле плоских поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.2. Теорема Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.2.1.
Поле двух параллельных пластин . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.2.2.
Сфера с отверстием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.2.3.
Поле полусферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.2.4.
Заряд внутри тетраэдра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.2.5.
Взаимодействие граней куба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.2.6.
Шар со сферической полостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.2.7.
Пересекающиеся шары . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.2.8.
Атом Томсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.2.9.
Заряженная сфера с однородным полем внутри . . . . . . .
38

Оглавление

1.3. Потенциал. Проводники в электрическом поле . . . . . . . . . . . . .
40
1.3.1.
Слияние капель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.3.2.
Двухпроводная линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
1.3.3.
Потенциал тонкого диска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.3.4.
Потенциал диполя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.3.5.
Проводящий шарик в однородном поле . . . . . . . . . . . . .
49
1.3.6.
Взаимодействие проводящих шариков в однородном электрическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1.3.7.
Распределение индуцированных зарядов на проводящей
плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1.3.8.
Заряд между двумя проводящими плоскостями . . . . . . .
52
1.3.9.
Проводящий шар и точечный заряд . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.3.10. Взаимодействие точечного заряда и металлического шара
57
1.4. Электрическое поле в диэлектриках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
1.4.1.
Диэлектрическая проницаемость гелия . . . . . . . . . . . . .
62
1.4.2.
Точечный заряд в центре диэлектрического шара . . . . . .
64
1.4.3.
Объемно заряженный диэлектрический шар . . . . . . . . . .
65
1.4.4.
Шар из диэлектрика в электрическом поле . . . . . . . . . .
66
1.4.5.
Поле в полости внутри диэлектрика . . . . . . . . . . . . . . .
69
1.4.6.
Диэлектрическая пластина в «косом» поле. . . . . . . . . . .
70
1.4.7.
Точечный заряд над плоской границей диэлектрика . . . .
71
1.4.8.
Проводящий шар на границе раздела диэлектриков . . . . .
74
1.5. Конденсаторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
1.5.1.
Емкость двух металлических шариков . . . . . . . . . . . . .
80
1.5.2.
Рулонный конденсатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
1.5.3.
Плоский конденсатор в металлической коробке . . . . . . .
83
1.5.4.
Сферический конденсатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
1.5.5.
Соединение конденсаторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
1.5.6.
Перетекание заряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
1.6. Энергия электрического поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
1.6.1.
Преобразование линии в треугольник . . . . . . . . . . . . . .
92
1.6.2.
Электрон внутри проводящей сферы . . . . . . . . . . . . . . .
93
1.6.3.
Энергия индуцированных зарядов. . . . . . . . . . . . . . . . .
95
1.6.4.
Складывание треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
1.6.5.
Энергия точечного заряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
1.6.6.
Заряд внутри проводящего слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
1.6.7.
Стержень внутри расширяющегося канала . . . . . . . . . . .
99
1.6.8.
Переключения в системе конденсаторов . . . . . . . . . . . .
100
1.6.9.
Энергетические превращения в конденсаторе . . . . . . . . .
101
1.6.10. Капиллярный вольтметр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104

Оглавление
5

Глава 2. Электрический ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106

2.1. Закон Ома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
2.1.1.
Опыт Толмена и Стюарта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
2.1.2.
Соединение проводников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
2.1.3.
Сопротивление цилиндрической банки . . . . . . . . . . . . .
112
2.1.4.
Сопротивление однородной среды . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
2.1.5.
Напряжения на конденсаторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
2.1.6.
Заряд на границе между диэлектриками . . . . . . . . . . . .
114
2.1.7.
Конденсатор с переменной емкостью . . . . . . . . . . . . . . .
115
2.1.8.
Дуговой разряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
2.1.9.
Цепь с двумя конденсаторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
2.1.10. Измерение напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
2.1.11. Зарядка аккумулятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
2.1.12. Разветвленная цепь с конденсатором . . . . . . . . . . . . . .
121
2.1.13. Мостик Уитстона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
2.2. Мощность тока. Закон Джоуля–Ленца . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
2.2.1.
Полезная мощность источника тока . . . . . . . . . . . . . . .
127
2.2.2. Максимальная мощность двух параллельно соединенных
источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
2.2.3. Мощность лампочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
2.2.4. Мощность электродвигателя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
2.2.5. Зарядка конденсатора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
2.2.6. Разряд сферического конденсатора . . . . . . . . . . . . . . . .
133

Глава 3. Магнетизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136

3.1. Индукция магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
3.1.1.
Поле элементарного витка (магнитного диполя) . . . . . . .
137
3.1.2.
Поле плоских контуров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
3.1.3.
Поле полусферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
3.1.4.
Поле треугольной пластины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
3.1.5.
Поле токов, распределенных по поверхности . . . . . . . . .
144
3.1.6.
Поле трубки с током . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
3.1.7.
Провод с цилиндрической полостью . . . . . . . . . . . . . . .
148
3.1.8.
Поле соленоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
3.1.9.
Поле полубесконечного соленоида . . . . . . . . . . . . . . . .
151
3.1.10. Растекание тока в полубесконечной среде . . . . . . . . . . .
152
3.1.11. Поле вращающегося шарика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153

Оглавление

3.2. Силы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
3.2.1.
Взаимодействие параллельных проводов . . . . . . . . . . . .
157
3.2.2. Прецессия кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
3.2.3. Виток около прямого провода . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
3.2.4. Взаимодействие коротких катушек . . . . . . . . . . . . . . . .
162
3.2.5. Разрыв катушки в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . .
163
3.2.6. Давление внутри соленоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
3.2.7. Соленоид в аксиально-симметричном поле . . . . . . . . . . .
165
3.2.8. Проводник в электролите . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
3.2.9. Электролит в кювете . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
3.2.10. Электромагнитный насос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
3.2.11. Давление внутри жидкого проводника . . . . . . . . . . . . .
169
3.3. Магнитное поле в веществе. Сверхпроводники. . . . . . . . . . . . .
171
3.3.1.
Связь намагниченности ⃗J и поля ⃗B, ⃗H магнетика . . . . . .
173
3.3.2. Поле прямого тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
3.3.3. Магнитная проницаемость железа . . . . . . . . . . . . . . . .
180
3.3.4. Парамагнитная жидкость в капилляре . . . . . . . . . . . . .
182
3.3.5. Провод над сверхпроводящей плоскостью . . . . . . . . . . .
184
3.3.6. Магнитик над сверхпроводником . . . . . . . . . . . . . . . . .
186

Глава 4. Нестационарные задачи электромагнетизма . . . . .
188

4.1. Электромагнитная индукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
4.1.1.
Вращающиеся диски . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192
4.1.2.
Движущийся в магнитном поле проводник . . . . . . . . . .
192
4.1.3.
Проводящее кольцо в соленоиде . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
4.1.4.
Непроводящее кольцо в магнитном поле . . . . . . . . . . . .
196
4.1.5.
Импульс рамки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
4.1.6.
Соединение индуктивностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
4.1.7.
Взаимная индуктивность треугольных контуров . . . . . . .
199
4.1.8.
Теорема взаимности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
4.1.9.
Электрическая цепь с индуктивностью . . . . . . . . . . . . .
202
4.1.10. Пролет сверхпроводящего стержня через соленоид . . . . .
203
4.2. Электрические колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203
4.2.1.
Конденсатор с утечкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
205
4.2.2. Треугольный колебательный контур . . . . . . . . . . . . . . .
206
4.2.3. Контур с индуктивной связью . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
4.2.4. Контур в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
4.2.5. Контур с постоянной ЭДС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209

Оглавление
7

4.2.6. Установление колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210
4.2.7. Сглаживающий фильтр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
4.2.8. Правила Кирхгофа для переменных синусоидальных токов
213
4.2.9. Колебания в двухпроводной линии . . . . . . . . . . . . . . . .
216
4.3. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях . . . . .
219
4.3.1.
Преломление электронного пучка . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
4.3.2. Угловой разброс электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
4.3.3. Расширение электронного пучка . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
4.3.4. Фокусировка в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
4.3.5. Удаление электрона от провода . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
4.3.6. Пролет электрона через конденсатор . . . . . . . . . . . . . . .
226
4.3.7. Магнетрон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
4.3.8. Циклотрон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
4.3.9. Бетатрон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231

Глава 5. Уравнения Максвелла. Энергия и импульс
электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233

5.1. Взаимосвязь электрического и магнитного полей . . . . . . . . . . .
235
5.1.1.
Преобразование электрического и магнитного полей . . . .
235
5.1.2.
Магнитное поле движущегося заряда . . . . . . . . . . . . . .
239
5.2. Распространение электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . .
241
5.2.1.
Скин-эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
5.2.2. Диэлектрик в быстропеременном электрическом поле . . .
244
5.2.3. Распространение электромагнитных волн в волноводе . . .
249
5.3. Энергия и импульс электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . .
253
5.3.1.
Вектор Пойнтинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
5.3.2. Момент импульса электромагнитного поля . . . . . . . . . .
259
5.3.3. Излучение диполя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262
5.3.4. Падение электрона на ядро . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
268

Дополнение ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271

Д.1. Резонансный метод измерения элементарного заряда . . . . . . . .
271
Д.2. Дробовой эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
Д.3. Тепловой шум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
280

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Данное учебное пособие является вторым выпуском из серии «Физика в ключевых задачах» и посвящено выяснению физического
смысла и содержания основных положений электромагнетизма. Рассмотрены следующие разделы: электростатика, электрический ток, магнетизм и различные нестационарные задачи электромагнетизма — явление электромагнитной индукции, электрические колебания, движение
заряженных частиц в электромагнитных полях, уравнения Максвелла.
При рассмотрении законов электромагнетизма в качестве основной
физиками принята гауссова система единиц. Обусловлено это тем, что
основные соотношения электродинамики в гауссовой системе выглядят
более простыми и естественными, и в ней нет «лишних» размерных коэффициентов (типа ε0 и µ0). Однако, следуя программе обучения в техническом вузе, в данном пособии применяется международная система
единиц СИ. Ее преимуществом перед гауссовой системой является то,
что окончательные численные результаты сразу получаются в практически используемых единицах — вольтах, амперах, омах, джоулях и т. д.
В пособии уделено большое внимание иллюстрации основных законов электромагнетизма на примере различных практических задач в
сочетании с применением основных методологических принципов (симметрии, относительности и др.). Некоторые задачи иллюстрируют весьма необычное поведение электрических свойств веществ в быстропеременном электромагнитном поле и более полно раскрывают свойства
самого электромагнитного поля.
Более полно свойства сред с одновременно отрицательными значениями ε и µ рассмотрены в книге «Оптика в ключевых задачах».
Автор выражает искреннюю благодарность Л. Ф. Соловейчику за
помощь в подборе тематики задач и обсуждении их результатов.
Пособие предназначено для студентов и преподавателей общей физики технических вузов и физических факультетов. Его можно также
использовать для более углубленного изучения физики в классах физико-математического профиля школ и лицеев.

Г Л А В А
1

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

1.1.
ЗАКОН КУЛОНА.
НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Опыт показывает, что взаимодействие неподвижных точечных зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии r, подчиняется
закону Кулона:

F = k|q1q2|

r2
.

Здесь F — модуль силы взаимодействия, одинаковый для обоих зарядов,
k — коэффициент пропорциональности, который в системе единиц СИ
полагают равным

k =
1

4πε0 = 9 · 109 м/Ф,

где ε0 называют электрической постоянной (ε0 ≈ 8,85 · 10−12 Ф/м, Ф —
единица емкости — фарада).
Напряженность электрического поля точечного заряда в точке, заданной радиус-вектором ⃗r, рассчитывается по формуле

⃗E =
1

4πε0
q
r2
⃗r
r.

По существу последняя формула выражает не что иное, как закон
Кулона, но в «полевой» форме. Из последнего выражения следует так
называемая теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля
L

⃗E d⃗l = 0.

Глава 1. Электростатика

Другой опытный факт, кроме закона Кулона, заключается в том,
что напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна
векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом
в отдельности.
Для упрощения математических расчетов бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру, и считать, что
они «размазаны» в пространстве с некоторой плотностью. При переходе к непрерывному распределению вводится понятие плотности зарядов — объемной (ρ = dq/dV), поверхностной (σ = dq/dS) и линейной
(λ = dq/dx). С учетом понятия плотности распределения зарядов напряженность электрического поля, например, для объемно заряженного
тела можно рассчитать как

⃗E =
1

4πε0

ρ⃗r dV

r3
,

где интегрирование проводится по всему пространству, в котором ρ
отлично от нуля.
В общем случае расчет напряженности электрического поля сопряжен со значительными техническими трудности (правда, не принципиального характера). Связано это с тем, что для нахождения вектора ⃗E
надо вычислить по существу три интеграла от проекций вектора ⃗E.
И только в тех случаях, когда система зарядов обладает той или иной
симметрией, задача, как правило, значительно облегчается.
1.1.1. Заряд внутри полой сферы.
Какой минимальный заряд Q
нужно закрепить в нижней точке гладкой сферической полости радиуса R, чтобы в поле тяжести небольшой заряженный шарик массой m и

Рис. 1.1

зарядом q находился в верхней точке в положении устойчивого равновесия?
Известно, что для достижения устойчивого равновесия необходимо чтобы при любом
малом отклонении от положения равновесия
появлялись силы, возвращающие тело к положению равновесия. На рис. 1.1 отображены
все силы, действующие на заряд q, при его
малом отклонении от положения равновесия
(на рисунке это точка C). Так как отклонение
заряда является малым, то участок дуги Cq
можно считать практически прямолинейным
и расположенным параллельно оси X. В этом
случае для достижения устойчивого равновесия при малых значениях
углов α и ϕ необходимо выполнить условия

Nx ≥ Fkx,
mg + N = Fk,
(1)