Электромагнетизм в ключевых задачах

А.Н. ПАРШАКОВ 

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ  
В КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧАХ

ФИЗИКА В КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧАХ

Второе издание

À.Í. Ïàðøàêîâ
Ýëåêòðîìàãíåòèçì â êëþ÷åâûõ çàäà÷àõ: Ó÷åáíîå ïîñîáèå /
À.Í. Ïàðøàêîâ – 2-å äîï. èçä. – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé
Äîì «Èíòåëëåêò», 2019. – 288 ñ.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå âîñïîëíÿåò ñóùåñòâåííûå ïðîáåëû â ïðåïîäàâàíèè âàæíåéøåãî ðàçäåëà îáùåé ôèçèêè äëÿ ôèçè÷åñêèõ è èíæåíåðíûõ ñïåöèàëüíîñòåé.
Êíèãà íàðÿäó ñ òåîðåòè÷åñêèìè îñíîâàìè äàåò ïðåäåëüíî ÿñíûé è ïîäðîáíûé ðàçáîð íàèáîëåå âàæíûõ äëÿ ïîíèìàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ñèòóàöèé, ïîäàííûõ â ôîðìå çàäà÷.
Ïîñîáèå íå èìååò àíàëîãîâ ñðåäè ñòàâøèõ ïðèâû÷íûìè ó÷åáíèêîâ ôèçèêè, ïî ñðàâíåíèþ ñ íèìè øèðå èñïîëüçóþòñÿ ïîíÿòèå
ñèììåòðèè, ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåì îòñ÷åòà, âåêòîð Óìîâà-Ïîéíòèíãà.
Èñ÷åðïûâàþùèé õàðàêòåð èçëîæåíèÿ ïîçâîëÿåò àâòîðó ñî÷åòàòü
ìåòîäè÷åñêè âàæíûå çàäà÷è ñ àêòóàëüíûìè òåìàìè, íîâûìè äëÿ
êóðñîâ ôèçèêè.
Ó÷åáíîå ïîñîáèå ìîæíî ïîñòàâèòü â ðÿä ñ áåññìåðòíûì ó÷åáíèêîì Ã.Å. Çèëüáåðìàíà «Ýëåêòðè÷åñòâî è ìàãíåòèçì» è èñïîëüçîâàòü íà ýòàïå óãëóáëåííîãî èçó÷åíèÿ ïðåäìåòà.

Äëÿ ñòóäåíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé ôèçèêè – îò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ëèöååâ äî óíèâåðñèòåòîâ.

Ïåðâîå èçäàíèå êíèãè øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â âåäóùèõ ðîññèéñêèõ êëàññè÷åñêèõ è òåõíè÷åñêèõ óíèâåðñèòåòàõ.

© 2019, À.Í. Ïàðøàêîâ
© 2019, ÎÎÎ «Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-269-7

ISBN 978-5-91559-269-7

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Глава 1. Электростатика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля . . . . . . . . .
9
1.1.1.
Заряд внутри полой сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1.2.
Опыт Кулона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.3.
Разрыв кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1.4.
Заряд внутри кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.5.
Поле диполя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.6.
Взаимодействие диполя с точечным зарядом . . . . . . . . .
16
1.1.7.
Движение заряда в поле диполя . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.1.8.
Взаимодействие диполей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.1.9.
Поле квадруполя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.1.10. Взаимодействие полярной и неполярной молекул . . . . . .
20
1.1.11. Заряженное кольцо и неполярная молекула . . . . . . . . . .
21
1.1.12. Поле плоских поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.2. Теорема Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.2.1.
Поле двух параллельных пластин . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.2.2.
Сфера с отверстием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.2.3.
Поле полусферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.2.4.
Заряд внутри тетраэдра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.2.5.
Взаимодействие граней куба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.2.6.
Шар со сферической полостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.2.7.
Пересекающиеся шары . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.2.8.
Атом Томсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.2.9.
Заряженная сфера с однородным полем внутри . . . . . . .
38

Оглавление

1.3. Потенциал. Проводники в электрическом поле . . . . . . . . . . . . .
40
1.3.1.
Слияние капель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.3.2.
Двухпроводная линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
1.3.3.
Потенциал тонкого диска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.3.4.
Потенциал диполя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.3.5.
Проводящий шарик в однородном поле . . . . . . . . . . . . .
49
1.3.6.
Взаимодействие проводящих шариков в однородном электрическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1.3.7.
Распределение индуцированных зарядов на проводящей
плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1.3.8.
Заряд между двумя проводящими плоскостями . . . . . . .
52
1.3.9.
Проводящий шар и точечный заряд . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.3.10. Взаимодействие точечного заряда и металлического шара
57
1.4. Электрическое поле в диэлектриках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
1.4.1.
Диэлектрическая проницаемость гелия . . . . . . . . . . . . .
62
1.4.2.
Точечный заряд в центре диэлектрического шара . . . . . .
64
1.4.3.
Объемно заряженный диэлектрический шар . . . . . . . . . .
65
1.4.4.
Шар из диэлектрика в электрическом поле . . . . . . . . . .
66
1.4.5.
Поле в полости внутри диэлектрика . . . . . . . . . . . . . . .
69
1.4.6.
Диэлектрическая пластина в «косом» поле. . . . . . . . . . .
70
1.4.7.
Точечный заряд над плоской границей диэлектрика . . . .
71
1.4.8.
Проводящий шар на границе раздела диэлектриков . . . . .
74
1.5. Конденсаторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
1.5.1.
Емкость двух металлических шариков . . . . . . . . . . . . .
80
1.5.2.
Рулонный конденсатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
1.5.3.
Плоский конденсатор в металлической коробке . . . . . . .
83
1.5.4.
Сферический конденсатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
1.5.5.
Соединение конденсаторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
1.5.6.
Перетекание заряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
1.6. Энергия электрического поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
1.6.1.
Преобразование линии в треугольник . . . . . . . . . . . . . .
92
1.6.2.
Электрон внутри проводящей сферы . . . . . . . . . . . . . . .
93
1.6.3.
Энергия индуцированных зарядов. . . . . . . . . . . . . . . . .
95
1.6.4.
Складывание треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
1.6.5.
Энергия точечного заряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
1.6.6.
Заряд внутри проводящего слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
1.6.7.
Стержень внутри расширяющегося канала . . . . . . . . . . .
99
1.6.8.
Переключения в системе конденсаторов . . . . . . . . . . . .
100
1.6.9.
Энергетические превращения в конденсаторе . . . . . . . . .
101
1.6.10. Капиллярный вольтметр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104

Оглавление
5

Глава 2. Электрический ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106

2.1. Закон Ома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
2.1.1.
Опыт Толмена и Стюарта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
2.1.2.
Соединение проводников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
2.1.3.
Сопротивление цилиндрической банки . . . . . . . . . . . . .
112
2.1.4.
Сопротивление однородной среды . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
2.1.5.
Напряжения на конденсаторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
2.1.6.
Заряд на границе между диэлектриками . . . . . . . . . . . .
114
2.1.7.
Конденсатор с переменной емкостью . . . . . . . . . . . . . . .
115
2.1.8.
Дуговой разряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
2.1.9.
Цепь с двумя конденсаторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
2.1.10. Измерение напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
2.1.11. Зарядка аккумулятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
2.1.12. Разветвленная цепь с конденсатором . . . . . . . . . . . . . .
121
2.1.13. Мостик Уитстона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
2.2. Мощность тока. Закон Джоуля–Ленца . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
2.2.1.
Полезная мощность источника тока . . . . . . . . . . . . . . .
127
2.2.2. Максимальная мощность двух параллельно соединенных
источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
2.2.3. Мощность лампочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
2.2.4. Мощность электродвигателя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
2.2.5. Зарядка конденсатора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
2.2.6. Разряд сферического конденсатора . . . . . . . . . . . . . . . .
133

Глава 3. Магнетизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136

3.1. Индукция магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
3.1.1.
Поле элементарного витка (магнитного диполя) . . . . . . .
137
3.1.2.
Поле плоских контуров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
3.1.3.
Поле полусферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
3.1.4.
Поле треугольной пластины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
3.1.5.
Поле токов, распределенных по поверхности . . . . . . . . .
144
3.1.6.
Поле трубки с током . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
3.1.7.
Провод с цилиндрической полостью . . . . . . . . . . . . . . .
148
3.1.8.
Поле соленоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
3.1.9.
Поле полубесконечного соленоида . . . . . . . . . . . . . . . .
151
3.1.10. Растекание тока в полубесконечной среде . . . . . . . . . . .
152
3.1.11. Поле вращающегося шарика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153

Оглавление

3.2. Силы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
3.2.1.
Взаимодействие параллельных проводов . . . . . . . . . . . .
157
3.2.2. Прецессия кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
3.2.3. Виток около прямого провода . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
3.2.4. Взаимодействие коротких катушек . . . . . . . . . . . . . . . .
162
3.2.5. Разрыв катушки в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . .
163
3.2.6. Давление внутри соленоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
3.2.7. Соленоид в аксиально-симметричном поле . . . . . . . . . . .
165
3.2.8. Проводник в электролите . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
3.2.9. Электролит в кювете . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
3.2.10. Электромагнитный насос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
3.2.11. Давление внутри жидкого проводника . . . . . . . . . . . . .
169
3.3. Магнитное поле в веществе. Сверхпроводники. . . . . . . . . . . . .
171
3.3.1.
Связь намагниченности ⃗J и поля ⃗B, ⃗H магнетика . . . . . .
173
3.3.2. Поле прямого тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
3.3.3. Магнитная проницаемость железа . . . . . . . . . . . . . . . .
180
3.3.4. Парамагнитная жидкость в капилляре . . . . . . . . . . . . .
182
3.3.5. Провод над сверхпроводящей плоскостью . . . . . . . . . . .
184
3.3.6. Магнитик над сверхпроводником . . . . . . . . . . . . . . . . .
186

Глава 4. Нестационарные задачи электромагнетизма . . . . .
188

4.1. Электромагнитная индукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
4.1.1.
Вращающиеся диски . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192
4.1.2.
Движущийся в магнитном поле проводник . . . . . . . . . .
192
4.1.3.
Проводящее кольцо в соленоиде . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
4.1.4.
Непроводящее кольцо в магнитном поле . . . . . . . . . . . .
196
4.1.5.
Импульс рамки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
4.1.6.
Соединение индуктивностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
4.1.7.
Взаимная индуктивность треугольных контуров . . . . . . .
199
4.1.8.
Теорема взаимности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
4.1.9.
Электрическая цепь с индуктивностью . . . . . . . . . . . . .
202
4.1.10. Пролет сверхпроводящего стержня через соленоид . . . . .
203
4.2. Электрические колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203
4.2.1.
Конденсатор с утечкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
205
4.2.2. Треугольный колебательный контур . . . . . . . . . . . . . . .
206
4.2.3. Контур с индуктивной связью . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
4.2.4. Контур в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
4.2.5. Контур с постоянной ЭДС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209

Оглавление
7

4.2.6. Установление колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210
4.2.7. Сглаживающий фильтр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
4.2.8. Правила Кирхгофа для переменных синусоидальных токов
213
4.2.9. Колебания в двухпроводной линии . . . . . . . . . . . . . . . .
216
4.3. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях . . . . .
219
4.3.1.
Преломление электронного пучка . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
4.3.2. Угловой разброс электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
4.3.3. Расширение электронного пучка . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
4.3.4. Фокусировка в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
4.3.5. Удаление электрона от провода . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
4.3.6. Пролет электрона через конденсатор . . . . . . . . . . . . . . .
226
4.3.7. Магнетрон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
4.3.8. Циклотрон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
4.3.9. Бетатрон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231

Глава 5. Уравнения Максвелла. Энергия и импульс
электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233

5.1. Взаимосвязь электрического и магнитного полей . . . . . . . . . . .
235
5.1.1.
Преобразование электрического и магнитного полей . . . .
235
5.1.2.
Магнитное поле движущегося заряда . . . . . . . . . . . . . .
239
5.2. Распространение электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . .
241
5.2.1.
Скин-эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
5.2.2. Диэлектрик в быстропеременном электрическом поле . . .
244
5.2.3. Распространение электромагнитных волн в волноводе . . .
249
5.3. Энергия и импульс электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . .
253
5.3.1.
Вектор Пойнтинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
5.3.2. Момент импульса электромагнитного поля . . . . . . . . . .
259
5.3.3. Излучение диполя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262
5.3.4. Падение электрона на ядро . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
268

Дополнение ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271

Д.1. Резонансный метод измерения элементарного заряда . . . . . . . .
271
Д.2. Дробовой эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
Д.3. Тепловой шум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
280

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Данное учебное пособие является вторым выпуском из серии «Физика в ключевых задачах» и посвящено выяснению физического
смысла и содержания основных положений электромагнетизма. Рассмотрены следующие разделы: электростатика, электрический ток, магнетизм и различные нестационарные задачи электромагнетизма — явление электромагнитной индукции, электрические колебания, движение
заряженных частиц в электромагнитных полях, уравнения Максвелла.
При рассмотрении законов электромагнетизма в качестве основной
физиками принята гауссова система единиц. Обусловлено это тем, что
основные соотношения электродинамики в гауссовой системе выглядят
более простыми и естественными, и в ней нет «лишних» размерных коэффициентов (типа ε0 и µ0). Однако, следуя программе обучения в техническом вузе, в данном пособии применяется международная система
единиц СИ. Ее преимуществом перед гауссовой системой является то,
что окончательные численные результаты сразу получаются в практически используемых единицах — вольтах, амперах, омах, джоулях и т. д.
В пособии уделено большое внимание иллюстрации основных законов электромагнетизма на примере различных практических задач в
сочетании с применением основных методологических принципов (симметрии, относительности и др.). Некоторые задачи иллюстрируют весьма необычное поведение электрических свойств веществ в быстропеременном электромагнитном поле и более полно раскрывают свойства
самого электромагнитного поля.
Более полно свойства сред с одновременно отрицательными значениями ε и µ рассмотрены в книге «Оптика в ключевых задачах».
Автор выражает искреннюю благодарность Л. Ф. Соловейчику за
помощь в подборе тематики задач и обсуждении их результатов.
Пособие предназначено для студентов и преподавателей общей физики технических вузов и физических факультетов. Его можно также
использовать для более углубленного изучения физики в классах физико-математического профиля школ и лицеев.

Г Л А В А
1

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

1.1.
ЗАКОН КУЛОНА.
НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Опыт показывает, что взаимодействие неподвижных точечных зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии r, подчиняется
закону Кулона:

F = k|q1q2|

r2
.

Здесь F — модуль силы взаимодействия, одинаковый для обоих зарядов,
k — коэффициент пропорциональности, который в системе единиц СИ
полагают равным

k =
1

4πε0 = 9 · 109 м/Ф,

где ε0 называют электрической постоянной (ε0 ≈ 8,85 · 10−12 Ф/м, Ф —
единица емкости — фарада).
Напряженность электрического поля точечного заряда в точке, заданной радиус-вектором ⃗r, рассчитывается по формуле

⃗E =
1

4πε0
q
r2
⃗r
r.

По существу последняя формула выражает не что иное, как закон
Кулона, но в «полевой» форме. Из последнего выражения следует так
называемая теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля
L

⃗E d⃗l = 0.

Глава 1. Электростатика

Другой опытный факт, кроме закона Кулона, заключается в том,
что напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна
векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом
в отдельности.
Для упрощения математических расчетов бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру, и считать, что
они «размазаны» в пространстве с некоторой плотностью. При переходе к непрерывному распределению вводится понятие плотности зарядов — объемной (ρ = dq/dV), поверхностной (σ = dq/dS) и линейной
(λ = dq/dx). С учетом понятия плотности распределения зарядов напряженность электрического поля, например, для объемно заряженного
тела можно рассчитать как

⃗E =
1

4πε0

ρ⃗r dV

r3
,

где интегрирование проводится по всему пространству, в котором ρ
отлично от нуля.
В общем случае расчет напряженности электрического поля сопряжен со значительными техническими трудности (правда, не принципиального характера). Связано это с тем, что для нахождения вектора ⃗E
надо вычислить по существу три интеграла от проекций вектора ⃗E.
И только в тех случаях, когда система зарядов обладает той или иной
симметрией, задача, как правило, значительно облегчается.
1.1.1. Заряд внутри полой сферы.
Какой минимальный заряд Q
нужно закрепить в нижней точке гладкой сферической полости радиуса R, чтобы в поле тяжести небольшой заряженный шарик массой m и

Рис. 1.1

зарядом q находился в верхней точке в положении устойчивого равновесия?
Известно, что для достижения устойчивого равновесия необходимо чтобы при любом
малом отклонении от положения равновесия
появлялись силы, возвращающие тело к положению равновесия. На рис. 1.1 отображены
все силы, действующие на заряд q, при его
малом отклонении от положения равновесия
(на рисунке это точка C). Так как отклонение
заряда является малым, то участок дуги Cq
можно считать практически прямолинейным
и расположенным параллельно оси X. В этом
случае для достижения устойчивого равновесия при малых значениях
углов α и ϕ необходимо выполнить условия

Nx ≥ Fkx,
mg + N = Fk,
(1)

1.1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля
11

где Nx — проекция силы реакции опоры на ось X: Nx ≈ Nϕ, Fkx — проекция кулоновской силы взаимодействия зарядов Fk на ось X: Fkx ≈ Fkα =
= Fkϕ/2. Перепишем первое уравнение системы (1) в виде: Nϕ ≥ Fkϕ/2.
Откуда находим N > Fk/2. В этом случае второе уравнение системы (1)
примет вид:
mg + Fk/2 ≤ Fk
⇒
Fk ≥ 2mg,

где Fk = qQ/16πε0R2. И тогда для минимального значения заряда Q
получаем
Q = 32πε0mgR2

q
.

1.1.2. Опыт Кулона. Один из опытов Кулона, с помощью которого
он убедился в том, что сила притяжения между разноименными точечными зарядами обратно пропорциональна квадрату расстояния между

Рис. 1.2

ними, состоял в следующем. В окрестности маленького заряженного шарика подвешивалась на нити небольшая горизонтальная шеллаковая стрелка, на одном
конце которой был прикреплен небольшой
электрически заряженный кружок из золотой фольги. Измерялся период малых
колебаний стрелки T в зависимости от ее
расстояния d до заряженного шарика. Предполагая справедливым закон
Кулона, найти зависимость периода колебаний стрелки от указанного
расстояния и других параметров системы. Полагать длину стрелки l
много меньшей расстояния d.
Пусть для определенности неподвижный заряд q1 — положительный, а заряд на конце стрелки q2 — отрицательный. Отобразим схематически данный опыт на рис. 1.2 (вид сверху). При малых отклонениях
от положения равновесия стрелки с закрепленным на ней зарядом q2
(α ≪ 1) появляется момент силы, возвращающий стрелку к положению
равновесия. Запишем для стрелки основной закон динамики вращательного движения (пренебрегая затуханием)

−Fk
l
2 sin α = I ¨α,
(1)

где Fk =
q1q2

4πε0r2 ≈
q1q2

4πε0d2 , I — момент инерции стрелки относительно

ее центра инерции. С учетом малости угла α уравнение (1) можно
представить в виде

¨α +
q1q2l

8πε0d2Iα = 0.

Глава 1. Электростатика

Откуда находим выражение для периода малых колебаний стрелки

T = 4πd
2πε0I
q1q2l .

1.1.3. Разрыв кольца. Металлическое кольцо разорвалось кулоновскими силами, когда заряд кольца был равен Q. Сделали точно такое же
новое кольцо, но из материала, прочность которого в десять раз больше.
Какой заряд разорвет новое кольцо? Какой заряд разорвет новое кольцо,
сделанное из прежнего материала, если все размеры нового кольца в
десять раз больше размеров старого?
Понятно, что разрыв кольца обусловлен кулоновским взаимодействием зарядов кольца. В предыдущих задачах, где участвовали точечные заряды, мы имели возможность напрямую воспользоваться законом
Кулона, сформулированным именно для точечных зарядов. В данной же
задаче у нас нет такой возможности, так как кольцо не является точкой.
Если бы перед нами стояла задача найти точное выражение для силы
кулоновского взаимодействия, то схема действий была бы следующей.
Необходимо разбить кольцо на бесконечно малые элементы, которые
можно считать точечными зарядами. Затем найти силу взаимодействия
какого-либо бесконечно малого элемента одной половины кольца со
всеми бесконечно малыми элементами другой половины кольца. И после этого проинтегрировать полученное выражение по всем элементам
первой половины кольца с учетом того, что сила это вектор. Таким
образом, мы придем к некоторому двойному интегралу, взять который
является достаточно трудной задачей.
Но, к счастью, нам не требуется знать точное выражение для силы взаимодействия зарядов кольца. Требуется определить только, что
произойдет с силой взаимодействия при изменении каких либо параметров задачи. Поэтому разумно воспользоваться методом анализа размерностей.
Из структуры закона Кулона видно, что размерность силы кулоновского взаимодействия пропорциональна размерности квадрата заряда и
обратна размерности квадрата длины

[Fk] ∼ [Q2]

[R2].

В нашем случае Q — заряд кольца (только он один присутствует
в задаче), R — некоторый характерный размер, не обязательно равный радиусу кольца. Откуда сразу видно, что для увеличения силы
разрыва в десять раз (так как прочность выросла в десять раз) при
сохранении размеров необходимо увеличить заряд в
√

10 раз. При уве

1.1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля
13

личении же размеров кольца в десять раз (но сохранении его материала) необходимо увеличить заряд уже в сто раз. Связано это с тем,
что, во-первых, возросли размеры и, во-вторых, выросла сила разрыва,
пропорциональная площади сечения материала кольца, которая в свою
очередь пропорциональна квадрату толщины кольца (толщина кольца
также выросла!).
1.1.4. Заряд внутри кольца. В центр тонкого проволочного кольца
радиусом R и зарядом q поместили точечный заряд q0. Каково приращение силы, растягивающей кольцо?
В отличие от задачи 1.1.3 здесь вообще не ставится вопрос о силе
растяжения кольца, с которой, как мы убедились, связано множество
чисто технических проблем. Здесь нужно только сравнить силы растяжения кольца без заряда внутри и с зарядом. Поэтому выделим бесконечно малый элемент кольца, видимый из его центра под углом δα,
и сравним силы, действующие на выбранный элемент в двух случаях.
На рис. 1.3, а обозначено: T — сила натяжения кольца, уравновешенная
силой кулоновского взаимодействия δFk выделенного элемента кольца
со всеми остальными элементами. Рисунок 1.3, б отличается тем, что
внутри кольца появился заряд q0, который добавил к прежней кулоновской силе значение δF′
k, что привело к увеличению силы натяжения
на ∆T.

Рис. 1.3

Из условия равновесия элемента кольца в обоих случаях следует

T δα = δFk,
(1)
(T + ∆T)δα = δFk + δF′
k.
(2)

Значение δF′
k нетрудно найти из закона Кулона

δF′
k =
q0δq

4πε0R2 ,
(3)

Глава 1. Электростатика

где δq — заряд бесконечно малого элемента кольца, равный qδα/2π. Из
соотношений (1)–(3) находим

∆T =
q0q

8π2ε0R2 .

1.1.5. Поле диполя. Найти напряженность электрического поля точечного диполя с дипольным моментом ⃗p. Расстояние до диполя r ≫ l,

Рис. 1.4

где l — расстояние между зарядами (плечо диполя).
Это известная классическая задача,
имеющая большое практическое значение. Многие молекулы можно представить в виде точечного диполя — системы
из двух одинаковых зарядов +q и −q,
находящихся на некотором расстоянии l
друг от друга. Когда говорят о поле диполя, то обычно предполагают сам диполь точечным, т. е. считают расстояние
от диполя до интересующих точек поля значительно больше l. Главной характеристикой диполя является его дипольный (электрический) момент.
Этой величине сопоставляется вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному и равный произведению заряда на вектор⃗l:
⃗p = q⃗l (рис. 1.4).
Для расчета поля диполя ⃗E воспользуемся принципом суперпозиции

⃗E = ⃗E+ + ⃗E−,

где ⃗E+ и ⃗E− — напряженности полей, созданных положительным и
отрицательным зарядами соответственно. Их значения удобно представить в векторном виде

⃗E+ = k q

r3
+
⃗r+,
⃗E− = k q

r3
−
⃗r−.

Такая форма записи дает наглядную информацию и о направлении векторов ⃗E+ и ⃗E−. Здесь для удобства введено обозначение

k =
1

4πε0 .
(1)

Таким образом, поле любого диполя будет равно

⃗E = kq
„⃗r+

r3
+
− ⃗r−

r3
−

«
.
(2)

1.1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля
15

Это выражение разумно представить через дипольный момент ⃗p и расстояние от центра диполя до заданной точки поля r, направление на
которую будем задавать через угол θ (рис. 1.4). Для этого представим
значения r+ и r− в виде

r+ ≈ r − l

2 cos θ,
r− ≈ r + l

2 cos θ.
(3)

Подставляя (3) в (2), получаем:

⃗E ≈ kq




⃗r+
„
r − l

2 cos θ
«3 −
⃗r−
„
r + l

2 cos θ
«3



 ≈

≈ kq

r3
(⃗r+ −⃗r−) + (⃗r+ +⃗r−)3

2
l
r cos θ
.
(4)

При этом мы учли приближенные формулы (1+x)3 ≈ 1+3x,
1

1 + x ≈ 1−x
для x ≪ 1. Кроме того, из рис. 1.4 следует

⃗r+ −⃗r− = −⃗l,
⃗r+ +⃗r− ≈ 2⃗r.

Эти соотношения позволяют записать выражение (4) в виде:

⃗E = −kq⃗l

r3 + 3k⃗r

r4 ql cos θ.

С учетом определения дипольного момента ⃗p = q⃗l второе слагаемое
можно представить в виде скалярного произведения 3k(⃗p⃗r)⃗r/r5, и тогда
получаем окончательно

⃗E = 3k(⃗p⃗r)⃗r

r5
− k⃗p

r3 .
(5)

Таким образом, нам удалось представить вектор ⃗E в виде суммы
двух векторов
⃗E = ⃗El + ⃗Er,

где вектор ⃗El направлен вдоль оси диполя, а вектор ⃗Er направлен вдоль
прямой, соединяющей диполь и данную точку поля. Такое представление иногда оказывается очень удобным.
И в заключение найдем модуль вектора ⃗E. По теореме косинусов
получаем

E2 = E2
l + E2
r − 2ErEl cos θ = k2
»9p2

r6 cos2 θ + p2

r6 − 6p2

r6 cos2 θ
–
.