Математический анализ

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ

Кафедра математики и естественно-научных дисциплин

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Сборник задач

Воронеж 

2019

УДК 517
ББК 22.16
М34

Утверждено учебно-методическим советом Воронежского института 

ФСИН России от 25 ноября 2019 г., протокол № 3.

Рецензенты:

старший преподаватель кафедры основ радиотехники и электроники 
ФКОУ ВО Воронежский институт ФСИН России кандидат физико
математических наук доцент В. А. Мельник;

и.о. заведующего кафедрой радиоэлектронных устройств и систем 

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет» 

кандидат технических наук доцент Д. В. Журавлев.

Математический анализ : сборник задач / [сост. Е. В. Корчагина, 

Н. А. Андреева] ; ФКОУ ВО Воронежский институт ФСИН России. –
Воронеж, 2019. – 187 с.

Сборник задач создан на базе прочитанного материала по курсу 

математического анализа. Содержание сборника охватывает следующие 
разделы программы: ряды, дифференциальные уравнения, операционное 
исчисление.

В каждом пункте приводятся необходимые теоретические сведения. 

Типовые задачи даются с подробными решениями. Представлено 
большое количество задач для самостоятельного решения.

Предназначен для всех технических специальностей и направлений 

подготовки, включающих реализацию дисциплин «Математический 
анализ» и «Математика».

УДК 517
ББК 22.16

Издано в авторской редакции

© Составление. Корчагина Е. В., 
Андреева Н. А., 2019
©ФКОУ ВО Воронежский
институт ФСИН России, 2019

 

М34 

ВВЕДЕНИЕ

Без знания математики нельзя понять основ 

современной техники, ни того, как ученые изучают 

природные и социальные явления.

А. Н. Колмогоров

Предлагаемый вашему вниманию сборник задач фактически является 

третьей частью практикума «Математический анализ» [7, 8] и охватывает темы, 

изучаемые в последнем семестре по математическому анализу. Здесь

рассмотрены теория рядов, обыкновенные дифференциальные уравнения

и операционное исчисление. Знания, полученные в этих разделах, широко 

используются не только в других математических дисциплинах. Например, 

в теории вероятностей и математической статистике терия рядов используется 

для нахождения характеристик случайных величин, производящей функции

и др., в курсе по основам теории цепей, в курсе радиотехники с помощью рядов 

Фурье изучаются периодические сигналы, строятся амплитудные и фазовый 

спектры.

Каждый раздел сборника начинается с необходимого теоретического 

минимума, включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем 

идет блок рассморенных задач. В конце каждого раздела находится, 

составляющий наиболее существенную его часть, массив задач для 

самостоятельной работы курсантов. И, наконец, еще в сборнике присутствуют 

контрольные работы по каждому разделу. Их могут использовать как курсанты 

при подготовке к экзамену или контрольным, так и преподаватели при 

проведении последних.

Цель сборника по математическому анализу − дать дополнительную 

практику и восполнить неусвоенный на основном курсе материал, который 

необходим для успешного владения предметом. Содержание сборника

существенно не выходит за рамки основной программы, но ставит перед собой 

задачу проиллюстрировать главные темы, отталкиваясь от потребности 

аудитории в обсуждении данных тем.

Авторы надеются, что настоящий сборник задач поможет обучающимся 

освоить фундаментальные основы «Математического анализа» и успешно 

применять полученные знания на практике.

РАЗДЕЛ 8. РЯДЫ

8.1. Числовые ряды

Понятие ряда, его сходимость

Признаки сходимости

Пусть задана бесконечная числовая последовательность


,
,
,
,
2
1
n
a
a
a

Определение. Бесконечным числовым рядом называется выражение












1

2
1

n

n
n
a
a
a
a


, 
(8.1)

причем числа  


,
,
,
,
2
1
n
a
a
a
называются членами ряда, 
n
a
− общим членом

ряда. [1]

Определение. Конечная сумма первых n членов ряда называется n-ой 

частичной суммой ряда и обозначается 
n
S :

n
z
n
a
a
a
S





2
. 
(8.2)

Определение. Ряд называется сходящимся, если его n-ая частичная сумма 

n
S при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, то есть

S
Sn
n




lim
, 
(8.3)

причем число S называется суммой ряда.

Определение. Ряд называется расходящимся, если его n-ая частичная 

сумма 
n
S
при неограниченном возрастании n возрастает неограниченно или 

вообще не стремится ни к какому пределу.

Определение. Разность между суммой сходящегося ряда и его n-ой 

частичной суммой называется n-ым остатком ряда:

n
n
S
S
R


.
(8.4)

Первой 
основной 
задачей 
теории 
рядов 
является 
исследование 

сходимости ряда. В качестве простого примера рассмотрим исследование 

сходимости бесконечно убывающей геометрической прогрессии








1
2
n
aq
aq
aq
a

Известна формула суммы первых n членов прогрессии

1
1




q
q
a
S

n

n
.

Если 
1

q
, то 
0
lim





n

n
q
, поэтому

q

a

q
a
q
q
a
S

n

n

n
n
n










1
1

1
lim
1
lim
lim
.

Следовательно, при 
1

q
бесконечная геометрическая прогрессия 

образует сходящийся ряд, сумма которого равна

q

a
S

 1
.

Если 
1

q
, то 






n

n
q
lim
, ряд расходится. При  
1

q
последовательность 

частичных сумм не стремится ни к какому пределу. [1]

Пример. Исследовать ряд на сходимость













0 2

1

2

1

4
1

2
1
1

n
n
n


.

Решение. Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей 

геометрической прогрессии, в которой 
1

a
, знаменатель прогрессии 
2
1

q
. Так 

как 
1

q
, то бесконечная геометрическая прогрессия образует сходящийся ряд, 

сумма которого равна

2

2
1
1

1

1







q

a
S
.

Ряд 













1

1
1

3
1

2
1
1

n
n
n


,

называется гармоническим. Гармонический ряд расходится.

Ряд   
,
1

3

1

2

1
1







p
p
p
n
где 
0

p
, называется рядом Дирихле. Этот 

ряд сходится при 
1

p
и расходится при 0
1
p

 . Частным случаем ряда 

Дирихле (при 
1

p
) является гармонический ряд.

Свойства сходящихся числовых рядов

1. Ряд, полученный из данного сходящегося ряда отбрасыванием первых 

его n членов, также сходится.

2. Если  ряд 



1
n

n
a
сходится и имеет сумму S , то ряд   













1
1
n

n

n

n
ca
a
c
(с 
постоянная)  также сходится и имеет сумму cS .

3. Если ряд 



1
n

n
a сходится и имеет сумму 
1
S , ряд  



1
n

n
b сходится и имеет 

сумму 
2
S , то ряд  






















1
1
1
n

n
n

n

n

n

n
b
a
b
a
сходится и имеет сумму 
2
1
S
S 
.

Необходимый признак сходимости

Если ряд  



1
n

n
a
сходится, то при неограниченном возрастании n предел 

общего члена ряда стремится к нулю, то есть 
0
lim



n
n
a
.

Достаточный признак расходимости

Если 
n
n
a



lim
не равен нулю или не существует, то ряд расходится.

Первый признак сравнения

Второй признак сравнения

Если существует конечный и отличный от нуля предел  
k
b
a

n

n

n




lim
, то оба 

ряда 



1
n

n
a
и 



1
n

n
b одновременно сходятся или одновременно расходятся.

При использовании первого и второго признака сравнения, как правило, 

сравнивают исходный ряд с соответствующим рядом дирихле. При этом часто 

Если члены знакоположительного ряда 



1
n

n
a
(1), начиная с некоторого 

номера, не превосходят соответствующих членов ряда 



1
n

n
b
(2), то из 

сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) 

следует расходимость ряда (2). [1]

используют 
эквивалентность 
следующих 
бесконечно 
малых 

последовательностей (при 


n
):  

n
1
sin

n
tg 1 
1
1
1
ln
1
1
arcsin
n
n
n
arctg
n






 


.

Признак Даламбера. Если в знакоположительном ряде 



1
n

n
a существует 

предел отношения 






n

n

n
a
a
1
lim
, то при 
1


ряд сходится, при 
1


ряд 

расходится (при 
1


вопрос о сходимости ряда остается открытым).

Признак Коши. Если для ряда 



1
n

n
a
существует 
C
a
n
n
n




lim
, то этот ряд 

сходится при 
1

C
и расходится при 
1

C
. При 
1

C
необходимы 

дополнительные исследования.

Интегральный 
признак 
сходимости. 
Пусть 




1
n

n
a
ряд 
с 

положительными 
членами, 
для 
которого 
существует 
положительная, 

непрерывная и монотонно убывающая на промежутке 
)
,1[ 
функция 
)
(x
f

такая, что 
n
a
n
f

)
(
, 
,...
2,1

n

Тогда ряд 



1
n

n
a
и несобственный интеграл 




1

)
(
dx
x
f
сходятся или 

расходятся одновременно. [1]

Пример. Покажем, что ряд

















1
)1
(

1

)1
(

1

4
3

1

3
2
1

2
1

1

n
n
n
n
n



сходится. 

Решение. Возьмем сумму 
n
S первых п членов ряда

.)1
(

1

3
2
1

2
1

1








n
n
Sn


Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде

.
1

1
1

)1
(

1
;
;
4
1

3
1

4
3

1
;
3
1

2
1

3
2
1
;
2
1
1
2
1

1














n
n
n
n


Поэтому

.
1

1
1
1

1
1

4
1

3
1

3
1

2
1

2
1
1



































 

n
n
n
Sn


Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм данного ряда 

равен единице:

.1
1

1
lim
1
1

1
1
lim
lim





















n
n
S

n
n
n
n

Таким образом, ряд сходится, и его сумма S равна 1. 

Пример. Установим, сходится или расходится ряд





















1

1
1
.
)1
(
1
1
1
1
1

n

n
n



Решение.
Последовательность 
его 
частичных 
сумм 
имеет 
вид 

1
1 
S
,

,0
,1
,0
4
3
2



S
S
S
и, значит, не сходится ни к какому пределу, поэтому 

данный ряд расходится.

Пример. Исследовать ряд на сходимость








3
3
3

1

3
1

2
1
1

n

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом 








n
1

3
1

2
1
1

Каждый 
член 
исследуемого 
ряда, 
начиная 
со 
второго, 
больше 

соответствующего члена гармонического ряда. Так как гармонический ряд 

расходится, то по признаку сравнения, данный ряд расходится.

Пример. Исследовать ряд на сходимость








n
n

3
3

3

3

2

3
1

3
2

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера и получим 
1

n
-ый член ряда, 

подстановкой в общий член ряда 
n
n

n
a

3


вместо числа n числа 
1

n
: 

3
3

1

3

1
1
1








n
n
n

n
n
a
. Найдем отношение 





n

n

n

n

a
a
n

n

n

n

3

1
3

3
3

1
1









, а затем вычислим 

предел



1
3
1
1
lim
3
1
lim
1










n

n

a
a

n
n

n

n
.

Так как 
1


, то данный ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость числового ряда 

2

1

.
(3 )!
n

n
n





Решение. Имеем 

2

(3 )!

n

n
u
n

, 



2

1

1

(3
3)!

n

n
u
n






. Применяя признак Даламбера, 

вычислим


 



.1
0
)1
3
)(
2
3
)(
3
3
(

1

)!
3
3
(

!
3
1
2

2

2

1
lim
lim
lim
























n
n
n

n

n
n

n
n

u
u
l

n
n
n

n

n

По признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример. Исследовать ряд на сходимость:

1
3

1
1
2

2













n

n
n
n
.

Решение. Воспользуемся признаком Коши:

,
1
2

2

1
2

2

1
2

2

1
3
1
3
1
3
n
n
n

n

n

n
n
n
n

n
n

n
n
a




































а 
2
1

1
2

2
lim






n
n

n
и 
3
1
3
lim






 



n
n
, получим
.1
8
1

2
1

1
2

2
lim
lim

3
1
3




























n

n

n
n
n
n
n
a

Исходный ряд сходится по признаку Коши.

Пример.
Исследовать 
на 
сходимость 
ряд 

2

1
ln
n
n
n




, 
применяя 

интегральный признак. Указать первообразную для функции 
)
(x
f
и 



a

dx
x
f
)
(
.