Теория телетрафика

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ 

Кафедра технических комплексов охраны и связи 

ТЕОРИЯ ТЕЛЕТРАФИКА 
Практикум 

Воронеж 
2019 

УДК 621.391/394.343 
ББК 32.88 
     Т33 

Рекомендовано методическим советом Воронежского института ФСИН 
России от 25 ноября 2019 г., протокол № 3. 

Р е ц е н з е н т ы: 
профессор кафедры математики и моделирования систем 
Воронежского института МВД России доктор физико-математических наук 
профессор В. А. Родин; 
доцент кафедры основ радиотехники и электроники  
ФКОУ ВО Воронежский институт ФСИН России кандидат технических наук 
доцент М. Ю.Чепелев. 

Теория телетрафика : практикум / [С. В.Синегубова, А. В. Паринов, С. Ю. Кобзистый] ; ФКОУ ВО Воронежский институт ФСИН России. – Воронеж, 2019.– 115 с. 

Практикум содержит общие теоретические сведения, необходимые 
для решения практических задач, примеры решения показательных задач, 
а также перечень задач для самостоятельного решения. 
Практикум предназначен для курсантов, студентов и слушателей 
технических специальностей. 
УДК 621.391/394.343 
ББК 32.88 
Издано в авторской редакции. 

 Синегубова С. В., Паринов А. В., 
Кобзистый С. Ю., 2019 
 ФКОУ ВО Воронежский институт 
ФСИН России, 2019 

Т33

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение………………………………………………………………………… 
4

1 Основы теории телетрафика. Потоки вызовов, их основные характеристики…………………………………………………………………….. 
6

1.1 Основные теоретические сведения…………………………………….. 
6

1.2 Примеры решения задач………………………………………………… 
25

1.3 Задачи для самостоятельного решения………………………………… 
38

2 Нагрузка и ее виды. Характеристики качества обслуживания……………..
40

2.1 Основные теоретические сведения…………………………………….. 
40

2.2 Примеры решения задач………………………………………………. 
62

2.3 Задачи для самостоятельного решения………………………………… 
64

3 Обслуживание простейшего потока вызовов. Полнодоступный пучок. 
Неполнодоступное включение………………………………………………..
66

3.1 Основные теоретические сведения…………………………………….. 
66

3.2 Примеры решения задач………………………………………………... 
88

3.3 Задачи для самостоятельного решения………………………………… 
89

4 Имитационное моделирование процессов обслуживания вызовов… ……. 
92

4.1 Основные теоретические сведения…………………………………….. 
92

4.2 Примеры решения задач………………………………………………… 
94

4.3 Задачи для самостоятельного решения………………………………… 107

Заключение……………………………………………………………………… 110
Список литературы…………………………………………………………….. 111

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время первостепенную роль в удовлетворении самых разных 

потребностей населения в информации играют инфокоммуникационные системы и сети. Высокая конкуренция на этом рынке требует от поставщиков оказания услуг (операторов связи) обеспечения высокого качества этих самых услуг. 
Показатели качества этих услуг, в первую очередь, зависят от нагрузки, которая 
создается потоками сообщений (вызовов). Причем эта нагрузка создается не 
только пользователями, которые подключены к конкретному оператору. В трафик (объем передаваемой информации) входят и различные транзитные потоки 
информации.

Если определить понятие «телетрафик» как информационный поток, пе
редаваемый удаленными абонентами сети, то под теорией телетрафика следует 
понимать научную дисциплину, которая позволяет изучить системы телекоммуникаций, количественно описать процессы движения сообщений в сетях и 
системах и отследить закономерности в них. Предметом теории телетрафика 
являются процессы обслуживания системами распределения информации поступающих потоков сообщений и их численные характеристики.

Основоположником направления, которое сейчас называется «теорией 

телетрафика», в начале ХХ века стал датский ученый А.К. Эрланг (Anger 
Krarup Erlang, 1878-1929), сотрудник Копенгагенской телефонной компании. 
Его интересовали вопросы оценки качества обслуживания телефонного трафика компании, в которой он работал. Поэтому понятие «телетрафик» изначально 
было связано с обслуживанием телефонной нагрузки. Однако в настоящее время под телетрафиком подразумевается любая нагрузка, поступающая на инфокоммуникационные системы.

Одной из главных задач, стоящих перед инфокоммуникационными сис
темами, является поддержание качества услуг на определенном высоком уровне. Для этого с увеличением числа пользователей было бы логичным увеличить 
и количество оборудования, т. е. увеличить пропускную способность системы. 
Однако на практике оказывается, что операторы связи имеют ограниченные 
финансовые ресурсы, поэтому обычно с увеличением количества потребителей
качество предоставляемых ими услуг снижается. Таким образом, актуальной 
становится задача исследования предполагаемых сценариев развития инфокоммуникационных систем для того, чтобы быть готовыми к требуемым изменениям.

Именно разработка методов, позволяющих проводить оценку качества 

обслуживания инфокоммуникационных потоков, и является основной целью 

теории телетрафика. В свою очередь, задачи теории телетрафика подразделяются на задачи анализа, синтеза и оптимизации.

Опыт эксплуатации существующих систем коммутации и сетей связи по
казывает, что основные ошибки в определении количества необходимого оборудования возникают из-за плохо спрогнозированного ожидания интенсивности потока сообщений. Поэтому возможность теоретического исследования 
существующих или предполагаемых инфокоммуникационных систем и сетей с 
учетом их дальнейшего развития позволяет значительно сократить финансовые 
издержки на реструктуризацию и поддержание качества предоставляемых услуг в последующем.

По проблемам теории телетрафика существует немало хорошей литера
туры. Среди нее следует отметить работы Лившица Б. С., Пшеничникова А.П., 
Харкевича А.Д., Крылова В.В. [1, 4, 5 и др.]. Однако, на взгляд авторов, имеется 
необходимость в разработке издания, содержащего необходимые теоретические 
сведения и задачи с примерами их решений, в том числе с привлечениеминженерного математического программного обеспечения Mathcad. 

Составители настоящего практикума поставили своей целью разработать 

основной комплекс задач с примерами решений, которые необходимы для построения математических моделей, отображающих реальные процессы в системах распределения информации, и разработке методов оценки качества их 
функционирования.

Представленный практикум структурно состоит из четырех разделов. 
Первый раздел посвящен основам теории телетрафика. Вводятся понятия 

конфликтов в системах массового обслуживания, случайного процесса в системе массового обслуживания, описываются характеристики и свойства потоков 
вызовов, дается их классификация.

Во втором разделе исследуются понятия нагрузки, анализируется распре
деление интенсивности нагрузки по времени, вводится и характеризуется понятие дисциплины обслуживания, анализируется пропускная способность коммутационных систем, а также методы измерения параметров нагрузки, рассматриваются вопросы распределения нагрузки по направлениям.

Третий раздел посвящен вопросам обслуживания простейшего потока вы
зовов, рассчитывается пропускная способность. 

В четвертом разделе рассмотрены основы имитационного моделирования 

процессов обслуживания вызовов с использованием программного обеспечения 
Mathcad.

В каждом разделе приводятся основные теоретические сведения по соот
ветствующим темам, примеры решения типовых задач, а также задачи для самостоятельного решения.

1 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕЛЕТРАФИКА. ПОТОКИ ВЫЗОВОВ, 

ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1.1 Основные теоретические сведения

1.1.1 Конфликты в системах массового обслуживания

Между работой телефонистки на коммутационном узле и многими дру
гими системами, в том числе и без участия человека, нетрудно провести аналогии, в которых проявляется задержка реагирования, зависящая от интенсивности прихода требований на предоставление услуги или даже отказ в такой услуге. Это популярные парикмахерские и аттракционы в парке, кабинеты чиновников, скачивание информации с интересного сайта в Интернете, работа операционной системы Windowsна вашем компьютере. Все эти системы объединяет наличие внутреннего конфликта между несколькими поступающими на обслуживание запросами из-за невозможности системы удовлетворить эти запросы одновременно в силу ограниченности ресурсов исполнения. Иными словами, все 
эти системы могут быть отнесены к общему классу динамических, т.е. функционирующих во времени систем, на вход которых поступают запросы, для обслуживания каждого из которых требуется какое-то время, используемое из 
имеющегося ресурса данной системы. И, надо заметить, что число таких ресурсов недостаточно, чтобы обслужить все поступающие запросы одновременно. 
Наука, которая стала заниматься исследованием таких систем, получила название теории массового обслуживания (теории очередей).

Коммутатор с телефонисткой, а, значит, и вся коммутируемая телефонная 

сеть, конечно, также может рассматриваться как система массового обслуживания (СМО). В этом смысле теория телетрафика является разделом теории СМО, 
однако, наличие весьма специфических особенностей потока сообщений в сетях связи и высокая интенсивность их исследований приводят к выделению 
теории телетрафика в отдельную научную дисциплину.

Основной задачей инфокоммуникационных систем являются передача и 

обработка сообщений. Здесь сообщение – это некоторое одномерное представлением информации, в котором обязательно выделены началом и конец. Поступившее в инфокоммуникационную систему сообщение требуется сразу передать или обработать. Временем обслуживания называется время, которое необходимо системе для обработки или передачи каждого сообщения, поступающего в систему. Следует отметить, что время обслуживания – конечно.

Поступившее в инфокоммуникационную систему сообщение обрабатыва
ется с помощью некоторой части системы (сервера), причем в это время, т.е. 
когда система занята, никакое другое сообщение не может быть обслужено. Если в системе есть только один сервер для обработки сообщений, то получится, 
что в каждый отдельный момент времени система может обрабатывать не более 

одного сообщения. Но если в тот момент, когда система занята, все-таки поступает еще одно сообщение на вход в инфокоммуникационную систему, то новое 
сообщение получает отказ в обслуживании. Таким образом, здесь получается 
ресурсный конфликт, т.к. сообщения, которые поступают в систему друг за 
другом, не могут быть полностью обслужены и переданы за промежутки времени, которые образуются между поступлениями сообщений.

Чтобы избежать таких проблем достаточно иметь в системе несколько 

серверов для обработки сообщений, а не один. Включить эти сервера необходимо таким образом, чтобы сообщения, которые поступают в систему, перераспределялись на любой сервер, который будет свободен в данный момент времени.

Однако даже несколько серверов могут также создать ресурсный кон
фликт, если время, требующееся на обработку сообщения, не бесконечно мало 
по сравнению с интервалом, который имеется между поступлениями сообщений. В данной случае сообщению будет отказано в обслуживании, оно будет 
отброшено из системы и потеряется. При таких условиях система будет называться заблокированной. Важной характеристикой инфокоммуникационной 
системы является такая возможность блокировки системы.

Для того, чтобы избежать ресурсного конфликта в инфокоммуникацион
ной системе, потребуется предусмотреть в системе буфер особого назначения –
буфер памяти. Когда будут появляться сообщения, которые система обслужить 
не в состоянии, они будут размещаться в такой буфер сразу, в момент их поступления в систему. Из таких собранных в буфере сообщений будет организовываться очередь сообщений, а инфокоммуникационная система будет наблюдаться как система с очередями.

Очередь может быть неограниченной, т.е. в ней могут находиться одно
временно некоторое количество требований. Если количество сообщений, поступающих на вход нашей инфокоммуникационной системы, не будет постоянно расти, то в определенный момент времени все сообщения, находящиеся в 
очереди (буфере памяти), будут обработаны системой. К сожалению, точно определить время, которое будут проводить сообщения в очереди, определить невозможно, т.к. оно будет разным, поэтому это самое время будет рассматриваться далее как случайная величина.Распределение этой случайной величины 
является одной из важнейших характеристик системы обслуживания. Но иногда достаточно будет использовать для расчетов и оценки качества обслуживания только среднее время ожидания обслуживания.

Таким образом, можно сделать вывод, что если в рассматриваемой инфо
коммуникационной системе недостаточно ресурсов для обслуживания входящего потока вызовов, то это приводит или к полной потере сообщений, которые 
поступили в систему для их обработки или передачи, или к задержке их обслуживания.

1.1.2 Системы массового обслуживания. Основные понятия

Под системой массового обслуживания (СМО) понимается система, кото
рая производит обслуживание поступающих в нее требований (рис. 1). Она состоит из:

- входного потока заявок (требований) на обслуживание;
- приборов (каналов) обслуживания;
- очереди заявок, которые ожидают, когда их обслужат;
- выходного потока уже обслуженных заявок;
- потока заявок, повторно отправленных на обслуживание после отказа;
- потока необслуженных заявок.

Рис. 1.Схематичное представление системы массового обслуживания

Задача системы массового обслуживания состоит в выполнении потока 

заявок, который поступает на вход эту систему. Время поступления входящих 
заявок может быть случайным или неслучайным. Для того, чтобы обслужить 
входящую заявку, системе требуется некоторое время. Только после того, как 
обслуживание заявки будет полностью завершено, занятый канал освобождается и может принять следующую заявку, например, из очереди. Это количество 
каналов, которые участвуют в обработке входящих заявок в системе массового 
обслуживания, дает представление о пропускной способности рассматриваемой 
системы.

Количество заявок, которое система массового обслуживания может об
служить в единицу времени, называется абсолютной пропускной способностью 
системы.

Среднее отношение числа заявок, которые были обслужены рассматри
ваемой системой, к числу общему заявок, в целом поданных на вход системы, 
называется относительной пропускной способностью системы.

Важным показателем систем массового обслуживания является случай
ность. Случайными могут быть моменты времени, когда заявка поступает в 

систему, время, затрачиваемое на обслуживание поступившей заявки, и т.д. 
Входящий поток, поступающий в систему, тоже является случайным, например, могут быть моменты, когда заявок нет, а, значит, что рассматриваемая система свободна и простаивает. Могут быть моменты концентрации заявок, что 
может привести систему к образованию очередей, если у системы есть такая 
возможность, или к отказам в обслуживании некоторых заявок, если возможности сохранения заявок в очереди нет. 

Так как в инфокоммуникационной системе изменяются число занятых 

каналов, количество заявок в очереди и т.д., т.е. система постоянно переходит 
из одного состояния в другое, то это подтверждает тот факт, что функционирование СМО – это случайный процесс.

Таким образом, рассматриваемая система массового обслуживания явля
ется физической системой дискретного типа с конечным (счетным) множеством 
состояний. В тот момент времени, когда в системе происходит какое-то новое 
событие, например, освобождается канал после завершения обслуживания заявки, некоторая заявка поступает из очереди на обслуживание, на вход системы 
приходит новая заявка и т.д.), наша система меняет свое состояние - скачком
переходит из одного положения в другое.

Рассмотрим физическую систему X, пусть у нее будет счетное множество 

состояний x1,х2, …, хn,….

Система X в любой момент времени t может находиться в одном из этих 

состояний. Обозначим pk(t) (k = 1, 2, …, n, ...) вероятность того, что система в 
момент времени t будет находиться в состоянии хк. Тогда можно записать:

(t)
1
k

k

p


.
(1)

Течение случайного процесса данной системы характеризует совокуп
ность вероятностей pk(t). 

В дискретной системе со счетным множеством состояний случайные 

процессы могут быть с дискретным временем или непрерывным. Если изменения состояния системы, т.е. когда система переходит из одного состояния в 
другое, происходят только в строго определенные моменты времени (заранее 
известные) t1, t2, ..., то это будут случайные процессы с дискретным временем. 
Если же изменение состояния системы массового обслуживания может происходить в любой момент времени t, то такие процессы называются случайными 
процессами с непрерывным временем.

Чаще всего в системах массового обслуживания случайные процессы яв
ляются процессами с непрерывным временем.

Например, рассмотрим одноканальную СМО, т.е. она имеет одну теле
фонную линию. Заявка, поступающая на канал в тот момент времени, когда он 
занят, получает отказ и покидает систему, т.к. в очередь стать не может. 

Таким образом, наша одноканальная система массового обслуживания с 

непрерывным временем обслуживания будет иметь только два варианта состояния:

х0 - канал свободен;
х1 - канал занят.
Надо заметить, что переходы системы из одного состояния в другое могут 

проходить как в прямом, так и в обратном направлении (рис. 2).

Рис. 2.Одноканальная система массового обслуживания, варианты состояний и переходов 

между ними

Теперь рассмотрим систему массового обслуживания, которая имеет n
каналов. Состояния такой системы могут быть следующими (рис. 3):

х0 - все каналы свободны; 
х1 - занят один канал; 
х2 - занято два канала и т.д.

Рис. 3. Система массового обслуживания с n-каналами, варианты состояний и переходов ме
жду ними

Теперь рассмотрим одноканальную дискретную систему с непрерывным 

временем с ремонтом. Здесь состояния системы будут уже другими (рис. 4):

х0 – наш единственный канал исправен и свободен; 
х1 – канал исправен, но занят для обслуживания; 
х2 – канал неисправен, т.е. не принимает заявки на обслуживание, и ждет 

ремонта; 

х3 – канал неисправен и ремонтируется.

Рис. 4.Одноканальная дискретная система с непрерывным временем с ремонтом, 

ее состояния и переходы между ними

Задачей теории телетрафика является математическое описание системы 

массового обслуживания, а, так как в таких системах именно поток заявок является основным фактором, влияющим на процессы, протекающие в ней, значит и первое, что требуется описать, это поток заявок, поступающих в систему.