Моделирование систем безопасности

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ 

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ 
БЕЗОПАСНОСТИ  

Монография 

ВОРОНЕЖ 
2019

УДК 004 
ББК 32.97 
   М75 

Рекомендовано советом по научно-исследовательской и редакционноиздательской деятельности Воронежского института ФСИН России 19 декабря 
2018 г., протокол № 12. 

Р е ц е н з е н т ы : 
генеральный директор АО НПО «Инфобезопасность» кандидат технических наук, доцент И. В. Гончаров; 
профессор кафедры безопасности информации и защиты сведений, составляющих государственную тайну, ФКОУ ВО Воронежский институт ФСИН 
России доктор технических наук, профессор А. С. Соловьев 

Моделирование 
систем 
безопасности
: 
монография
/ 

[В. И. Новосельцев, А. В. Душкин, В. И. Сумин, С. С. Кочедыков, 
Д. Е. Орлова] ; ФКОУ ВО Воронежский институт ФСИН России. - Воронеж, 2019. - 197 с.
ISBN 978-5-4446-1333-7
В монографии рассмотрены теоретические и практические аспекты 
моделирования систем безопасности как сложных систем. Приводится 
описание методологических подходов и принципов разработки моделей 
систем безопасности. Дается системно-аналитический обзор тензорного 
анализа Крона и его учения – диакоптики (исследования сложных систем 
по частям). Рассматриваются вопросы применения тензорной идеологии 
Крона для системно-математического моделирования конфликтов и оптимизации информационно-коммуникационных систем в условиях кибератак. Строятся математические модели координации (на примере обеспечения комплексной безопасности), представляющие собой дальнейшее 
развитие идей Крона в направлении корректного решения проблемы оптимизации сложных систем при их исследовании по частям.  
Издание предназначено для научных работников, адъюнктов, аспирантов, соискателей и студентов образовательных организаций, чьей специализацией является разработка автоматизированных систем управления, информационное и математическое моделирование систем безопасности, а также методы исследования сложных систем. 
УДК 004 
ББК 32.97 
Издано в авторской редакции 

© ФКОУ ВО Воронежский институт ФСИН 
России, 2019 
© Новосельцев В.И., Душкин 
А.В., Сумин В.И., Кочедыков С.С., 
Орлова Д.Е., 2019 

М75

ISBN 978-5-4446-1333-7

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................ 5

1 Основополагающие идеи тензорного анализа Крона................................. 8
1.1 Системное единство..................................................................................18
1.2 Пространство .............................................................................................21
1.3 Унифицированная кодировка ..................................................................25
1.4 Тензорные уравнения................................................................................26
1.5 Преобразование координат ......................................................................28
1.6 Двойственное понимание тензора...........................................................30
1.7 Динамика....................................................................................................32
1.8 Постулаты обобщения ..............................................................................36

2 Математический аппарат тензорного анализа Крона...............................40
2.1 Матрицы.....................................................................................................40
2.2 Преобразование систем координат и проекций объекта ......................47
2.3 Матричные уравнения ..............................................................................56
2.4 Матрица и геометрический объект .........................................................59
2.5 Виды преобразований и тензоры.............................................................63
2.6 Операции над тензорами ..........................................................................70
2.7 Компаунд- и мультитензоры....................................................................72

3 Применение тензорной идеологии для системно-математического 

моделирования конфликтов .....................................................................................75

3.1 Предварительные замечания....................................................................75
3.2 Технология моделирования конфликтов................................................79
3.3 Макроуровень............................................................................................87
3.4 Мезоуровень ..............................................................................................91
3.5 Микроуровень............................................................................................94

4 Безопаность информационно-коммуникационных систем в условиях 

кибератак (применение идей Крона по оптимизации)........................................112

4.1 Общие соображения и формулировка задачи ......................................112
4.2 Оптимизация в топологическом пространстве ....................................118
4.3 Оптимизация в информационном пространстве..................................121
4.4 Оптимизация в функциональном пространстве...................................124
4.5 Матричная модель выявления конфликтов в структуре программного 

обеспечения..............................................................................................................137

4.6 Влияние кибератак на исход конкурентной борьбы ...........................144

5 Обеспечение комплексной безопасности, или координация ................152
5.1 Введение в проблему ..............................................................................152
5.2 Математическая модель координации..................................................153

5.3 Оценка рассогласованности частных процессов обеспечения 

безопасности ............................................................................................................161

5.4 Выбор целесообразного способа координации....................................164
5.5 Алгоритмы эффективной координации................................................167
5.6 Интегральная оценка безопасности объекта........................................171
5.7 Экспертные методики получения исходных данных для интегральной 

оценки безопасности...............................................................................................177

5.8 Логико-лингвистический метод выбора и координации проектов по 

обеспечению безопасности.....................................................................................183

ЗАКЛЮЧЕНИЕ .............................................................................................191

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.............................................................................193

ВВЕДЕНИЕ

Слова «система», «системный» широко используются в нашей жизни. 

Интуитивно под этими терминами мы понимаем нечто большое, развивающееся, состоящее из множества объектов. Себя мы тоже причисляем к системам, 
чувствующим, воспринимающим, мыслящим и действующим. Системность 
придает ощущение причастности ко всему происходящему, заставляет задумываться над многими профессиональными и личными вопросами, но пока мало 
что добавляет в нашу жизнь и почти не связывается с нашими деяниями. Почему мы бессистемно строим города? Почему бессистемно лечим людей? Почему 
бессистемно управляем страной, регионом, городом, поселком, вузом, школой? 
Почему многие ученые полагают, что системность – это искусственная иллюзорная категория, способная в разное время иметь различные проявления: то 
конструктивные, то деструктивные, то позитивные, то негативные? 

Ответ на эти вопросы простой: генетически люди наследуют фрагментарное 

узкое мышление, основанное на инстинктах, традициях, прошлом опыте, интуиции и «логике здравого смысла». Через беды и кровь, через смерть и слезы, но 
именно такое мышление обеспечило существование человеческой цивилизации с 
момента ее зарождения и по сей день. С этим мышлением человек как биологический вид прошел через многие тысячелетия, выжил в видовой конкурентной 
борьбе, научился плохо или хорошо разрешать обыденные проблемы, а потому 
фрагментарность закрепилась в нашем сознании, стала доминантой в психических 
механизмах принятия решений, передаваясь с генами от одного поколения к другому. Конечно, во все времена жили люди, мыслящие системными категориями и 
склонные к комплексному восприятию проблемных ситуаций, но они были скорее 
исключением, чем правилом. К таким исключениям и уникальным явлениям системного характера можно с полным основанием отнести личность Габриэля Крона, который в своих трудах изложил основы оригинальной методологии анализа и 
расчета параметров технических систем.

Глобальная задача, которую поставил перед собой Крон, состояла в сле
дующем. Предположим, что имеется довольно большая и сложная физическая 
или техническая система, элементы которой могут обладать разнообразными 
свойствами. Необходимо вывести уравнения состояний всей системы по уравнениям отдельных ее частей, полученных обычным способом. Метод, который 
он предлагает для решения этой задачи, состоит из следующих этапов:

– расчленение системы на логические группы, которые удобно анализи
ровать как одно целое, что математически означает поиск такого преобразова

ния системы координат, при котором обеспечиваются удобства составления 
уравнений состояния каждой группы;

– составление уравнений состояния (алгебраических, дифференциальных

или иных) для каждой из выделенных групп по отдельности так, как если бы 
другие части системы не существовали (то есть без учета внутрисистемных 
связей, которые, собственно, и усложняют анализ);

– построение матрицы соединений, показывающей связи между различ
ными группами (частями) системы;

– установление уравнений состояния соединенной системы путем приме
нения матрицы соединений и законов преобразования тензорного анализа.

Если анализируемая система сама является частью более сложной систе
мы, то ее уравнения состояния будут, в свою очередь, блоком более общей матрицы надсистемы. Для перехода к еще большим системам ограничений не существует. Для перехода же к подсистемам пределом выступает «элемент» – далее не расчленяемая часть системы. 

Говоря современным языком, в этой методологии хорошо различимы две 

составляющие: 1) способы расчленения (декомпозиции) сложносоставных систем 
на части и их исследования (расчета) по частям; 2) способы объединения (композиции) частных результатов с целью синтеза решения для системы в целом.

*
*
*

«Второе дыхание» идеи тензорного анализа Крона приобретают в наши 

дни в рамках системотехники, системного анализа и информационной безопасности, особенно в части описания и анализа сложных конфликтующих систем и 
построения компьютерных сетей, устойчивых к атакам со стороны хакеров, инсайдеров, фрикеров, крэкеров и других субъектов компьютерной преступности.

В настоящее время теория системного анализа активно используется ав
торским коллективом при решении прикладных задач математического моделирования процессов комплексной безопасности, информационных технологий 
и защиты информации, основные труды излагались в монографиях, учебниках, 
учебных пособиях и материалах статей [2; 5; 15; 19–30; 34; 36; 38–40; 42–51; 53; 
63; 66–68; 71; 73–75; 79; 82; 84], сложилась научная школа и формируется теоретический базис для решения задач информационной безопасности с опорой 
на теорию системного анализа и принятия решений. Представленная монография является продолжением ранее изложенного подхода в работах профессора 
В. И. Новосельцева «Системный анализ: современные концепции»
[54], 

В. П. Балана, А. В. Душкина, В. И. Новосельцева и др. «Конфликтология» и 
«Управление конфликтами» [15; 64], В. П. Балана, А. В. Душкина, В. И. Новосельцева, В. И. Сумина «Введение в системное проектирование интеллектуаль

ных баз знаний» [8] и включает в себя пять глав, подробно раскрывающих теоретическое обоснование теории системного анализа и принятия решений.

В первых двух главах монографии дается краткое изложение основ тен
зорного анализа Крона, рассчитанное на то, чтобы читатели получили общее 
представление о содержании этой методологии и основных правилах ее применения для решения практических задач в своих конкретных областях.

В третьей главе рассматриваются вопросы применения тензорной идео
логии Крона для системно-математического моделирования конфликтов.

Четвертая глава посвящена вопросам применения идей Крона для опти
мизации пространственно-разнесенных информационно-коммуникационных 
систем в условиях кибератак.

В пятой главе предлагаются математические модели координации на 

примере решения задач обеспечения комплексной безопасности систем. Эти 
модели, как и координационный подход в целом, следует воспринимать как 
дальнейшее развитие идей Крона в направлении решения проблемы корректной 
оптимизации сложных систем при их исследовании по частям. 

При написании монографии труд между авторами распределялся следу
ющим образом: глава 1 – В. И. Новосельцев, глава 2 – В. И. Сумин, глава 3 –
А. В. Душкин, глава 4 – С. С. Кочедыков, глава 5 – Д. Е. Орлова.

1 ОСНОВОПОЛАГАЮЩИЕ ИДЕИ 

ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА КРОНА

Математический тензорный анализ и тензорный анализ Крона ориенти
рованы на разные предметы анализа (исследования) и на существенно различающиеся цели применения предлагаемых ими методов. Математический тензорный анализ ориентирован на исследование проблем теории непрерывных полей 
(непрерывных систем); для этого в нем формируются и исследуются так называемые «локальные тензоры в малом». Тензорный анализ Крона ориентирован 
на описание и исследование дискретных сетей (систем), для чего нужно использовать «глобальные тензоры в целом». Основная цель математического 
тензорного анализа – обоснование и описание тензора как абстрактного математического объекта, обоснование правил и алгоритмов составления и решения 
тензорных уравнений и систем тензорных уравнений. При этом в математическом тензорном анализе отчетливо прослеживается тенденция представить тензорами «всеохватывающие» уравнения и получить такие общие закономерности решения тензорных уравнений, которые одинаково пригодны для как можно больших наборов ситуаций и предметных областей. В отличие от этого цели 
тензорного анализа Крона – инженерный анализ и синтез, прежде всего, реальных материальных сетей передачи электроэнергии и таких их компонентов, как 
динамо-машины, электродвигатели, трансформаторы и т. п. Попутно Крон доказывает, что его тензорный анализ применим к решению разнообразных инженерных задач любых дискретных систем и сетей. Как математический, так и 
тензорный анализ Крона следует рассматривать как обобщение и развитие векторного анализа, базирующееся на таких разделах математики, как дифференциальная геометрия и топология. Не только Крон, но и другие авторы работ по 
тензорному анализу настойчиво подчеркивают следующее. Усвоение этой методологии и тем более ее применение для решения практических задач может 
быть успешным только в том случае, если ее будущий пользователь сумеет 
преодолеть инерцию традиций и перестроить свой способ мышления, а также 
сложившуюся личную шкалу ценностей в области методов анализа явлений реального мира. Прежде всего, это касается того, что вне органической связи с 
пространством невозможно глубокое, тонкое и адекватное реалиям описание и 
оценка свойств и возможностей объектов и процессов. Между тем традиционный системный аналитик мыслит и работает с объектом, который связан с пространством только своими проекциями на оси координат трехмерного пространства. С позиций тензорного анализа Крона это неправильно. Системному 
аналитику важно исходить из того, что при перемещениях объекта в простран

стве меняются его свойства и протекающие в нем процессы. Только при таком 
подходе можно правильно интерпретировать существо фундаментальной черты 
тензора как системы функций точки пространства, продуктивно формировать 
тензоры и использовать их при проектировании систем.

Тензорный анализ Крона положительно зарекомендовал себя, прежде 

всего, при проектировании сетей передачи электроэнергии. Такие сети, в которых циркулируют электрические токи, составляются из больших количеств источников (генераторов), преобразователей (трансформаторов), разнообразных 
потребителей, проводов и устройств коммутации (муфты, рубильники, выключатели и т. п.). Удачно интерпретировав к данной предметной области понятие 
«тензор» и трактуя изменения состава компонентов и способов их соединения 
как преобразования сети, Крон разработал удобную и конструктивную методологию проектирования и исследования таких сетей. Впоследствии выяснилось, 
что эта методология оправдывает себя при исследовании не только электрических сетей, но и вообще любых сетей и цепей с потоками энергии или информации. Нетрудно заметить, что системы радиосвязи тоже могут исследоваться, 
как сети, в которых по радиоканалам циркулируют потоки сигналов. Более того, выяснилось, что эта методология достаточно хорошо «работает» при исследованиях экономических систем. В частности, в упомянутой  выше книге 
А. Е. Петрова подробно прослежена технология применения тензорного анализа Крона для решения экономической задачи балансового планирования. 

Следует отметить, что в своих работах термину «анализ» Крон придает 

более богатый смысл по сравнению с его традиционным общепринятым содержанием. Термин «анализ» он использует не в смысле антитезы термину «синтез», а как категорию, обозначающую аналитические исследования, то есть исследования, предполагающие разложение явлений и вещей на их составляющие, изучение значения каждой части, выявление связей, отыскание причин и 
следствий, понимание на основании всего этого их сути и поиск рациональных 
управлений ими. Фактически можно констатировать, что в рамках тензорного 
анализа Крона термины «анализ» и «системно-аналитические исследования» 
являются синонимами. Соответственно, у Крона инженер – это не просто лицо 
с высшим техническим образованием, умеющее проектировать машины и 
управлять ими. Это системный аналитик, осуществляющий комплексную инженерную деятельность, включая: прикладные исследования, планирование, 
проектирование, конструирование, разработку технологии изготовления (сооружения), подготовку технической документации, производство, наладку, испытание, эксплуатацию, техническое обслуживание, ремонт, утилизацию и 
управление качеством.

Способ декомпозиции был применен Кроном для установления уравне
ний полностью разорванной модели, которую он назвал «примитивной» и в качестве которой выбирается наиболее простая, несоединенная система. Решения 
отдельных подсистем, образующих примитивную систему и, соответственно, 
результирующее решение могут быть точными или приближенными, могут 
представлять линейные или с определенными предосторожностями нелинейные 
системы. Они могут быть выражены в численной форме или на языке матриц, 
имеющих своими элементами действительные или комплексные числа, функции времени, дифференциальные или другие операторы и т. д. На примере многочисленных задач Крон убедительно показал, что метод разрывания по частям 
применим для решения алгебраических уравнений, уравнений в обычных и 
частных производных с различными граничными условиями, задач по нахождению собственных значений. Метод допускает постоянное расширение и 
обобщение. Этот процесс, по словам Крона, аналогичен строительству небоскреба путем сооружения стального каркаса и только после этого заполнения 
промежутков между балками так, как это необходимо.

Способ композиции, который предлагает Крон, основан на сокращении 

числа уравнений, описывающих подсистемы путем перехода к тензорному описанию, а затем уменьшения валентности тензоров и получения инвариантов, 
характеризующих систему в целом. По существу, речь идет о целенаправленном упрощении модели изучаемой или анализируемой системы, при котором 
отсекаются несущественные в каком-то смысле свойства моделируемого объекта, но сохраняется то главное, что интересует исследователя. Подобные процедуры в тензорном анализе хорошо развиты: сокращение числа переменных 
(тензоров) путем введения компаунд-тензоров для исключения промежуточных 
и ненужных шагов при решении систем уравнений и умножении на тензор преобразования для выделения нужных свойств. Применительно к системам, описываемым обычными алгебраическими уравнениями, сказанное в схематичном 
изложении выглядит следующим образом. Пусть некоторый объект описан системой линейных уравнений

1
2
3
4
5

1
2
3
4
5

1
2
3
4
5

1
2
3
4
5

1
2
3
4
5

x
2x
3x
4x
5x
10;

2x
4x
3x
5x
x
9;

3x
4x
5x
2x
3x
8;

x
2x
4x
3x
5x
7;

5x
x
3x
3x
2x
6,



































содержащей пять переменных, а нас интересуют только переменные х1 и 

х2. Вместо решения системы уравнений с пятью неизвестными можно путем