Теория вероятностей и математическая статистика

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ 
 
Кафедра математики и естественно-научных дисциплин 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 
 
Практикум 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Воронеж  
2019 

УДК 519.2 
ББК 22.17 
    Т34 
 
Рекомендовано методическим советом Воронежского института ФСИН 
России 20 ноября 2018 г., протокол № 3. 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
доцент кафедры математики и моделирования систем  
Воронежского института МВД России  
канд. физ.-мат. наук, доцент В. Н. Думачев; 
старший преподаватель кафедры основ радиотехники и электроники 
ФКОУ ВО Воронежский институт ФСИН России 
канд. физ.-мат. наук, доцент В. А. Мельник. 
 
 
Теория вероятностей и математическая статистика : практикум 
[сост. В. В. Корчагин, С. В. Белокуров, Р. В. Кузьменко] ; ФКОУ ВО Воронежский институт ФСИН России. – Воронеж, 2019. – 162 с. 
 
В практикуме содержатся необходимые теоретические сведения 
и расчетные формулы для вычисления случайных событий, случайных 
величин. Приведены примеры типовых задач с подробными решениями. 
Представлены задания для самостоятельного решения, сопровождающиеся ответами. Приведен перечень литературы. 
Предназначен для обучающихся по инженерно-техническим специальностям и направлениям подготовки всех форм обучения. Также может 
быть полезен лицам, применяющим при решении практических задач вероятностные и статистические методы. 
УДК 519.2 
ББК 22.17 
 
 

 
 
 
 
© Составление. Корчагин В.В.,  
Белокуров С.В., Кузьменко Р.В., 2019 
© ФКОУ ВО Воронежский 
институт ФСИН России, 2019 

Т34

ВВЕДЕНИЕ

 
Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности, присущие массовым случайным явлениям, наблюдаемым при многократном повторении опытов [17; 22]. 
Теория вероятностей не предсказывает результат отдельного опыта (испытания) с различными случайными исходами, однако она с достаточной 
надежностью предсказывает результат большого количества таких опытов (испытаний). 
Теория вероятностей возникла в конце XVII в. как теория азартных игр 
(игральные кости, рулетка, карты и др.). Начало ее развития связано с именами 
Я. Бернулли, Б. Паскаля, П. Лапласа, А. Муавра, а позднее (начало XIX в.) – 
С. Пуассона, К. Гаусса. 
Первые исследования по теории вероятностей в России относятся к середине XIX в. и связаны с именами таких выдающихся математиков, как 
Н. И. Лобачевский, В. Я. Буняковский, М. В. Остроградский [11; 12].  
В конце XIX в. и начале 20-х гг. XX в. развитие теории вероятностей связано с именами русских ученых П. Л. Чебышева и его учеников А. А. Маркова 
и А. М. Ляпунова. С 30-х гг. XX в. теория вероятностей находит применение в 
различных областях науки и техники. Российские ученые А. Н. Колмогоров, 
А. Я. Хинчин и др. внесли существенный вклад в развитие теории вероятностей. В 1933 г. А. Н. Колмогоров предложил аксиоматическое построение теории вероятностей. Он установил связь теории вероятностей с другими разделами математики (теорией меры, теорией множеств, функциональным анализом). 
Теория вероятностей рассматривает не сами реальные явления (или процессы), а их упрощенные схемы – математические модели случайных экспериментов, исходы которых нельзя однозначно определить условиями проведения 
опыта. При этом предполагается, что сам эксперимент может быть повторен 
(хотя бы в принципе) любое число раз при неизменном комплексе условий, а 
исходы эксперимента обладают статистической устойчивостью [21]. 
Примерами таких экспериментов можно назвать: 
1. Бросок игральной кости. На верхней грани игральной кости возможно 
выпадение шести исходов (выпадение числа 1, 2, 3, 4, 5, 6), результат которого 
установить до начала опыта невозможно.  
2. Однократный бросок монеты. В результате проведения такого опыта 
возникает лишь один исход (выпадение орла либо решки), результат которого 
установить до начала опыта невозможно.  
3. Выполнение курсантом стрельбы по мишени. Возможные исходы в 
этом опыте могут быть представлены координатами (х, у) точки попадания пули в мишень. Воздействия комплекса случайных факторов на траекторию движения пули приводят к тому, что установить координаты (х, у) можно только 
после выполнения выстрела.  
Свойство устойчивости частоты позволяет, не имея возможности заранее 
предсказать исход отдельного испытания, достаточно точно прогнозировать 
свойства явлений, связанных с рассматриваемым испытанием. Однако опреде

ление вероятности через частоту не является удовлетворительным для теории 
вероятностей как математической науки. Поэтому А. Н. Колмогоров предложил 
аксиоматическое определение вероятности. Именно оно и является общепринятым в настоящее время в литературе [21]. 
Предметом теории вероятностей являются математические модели случайных явлений [22].  
Цель теории вероятностей [22] – осуществление прогноза в области случайных явлений, влияние на ход этих явлений, контроль над ними, ограничение 
сферы действия случайности. Сейчас нет практически ни одной области науки, 
в которой в той или иной степени не применялись бы вероятностные методы. 
Математическая статистика – это раздел прикладной математики, который изучает методы обработки результатов наблюдений массовых случайных 
явлений, обладающих статистической устойчивостью, закономерностью, с целью выявления этой закономерности. Для вынесения более определенного заключения о закономерностях явлений математическая статистика опирается на 
теорию вероятностей [23]. 
Практикум соответствует требованиям федеральных государственных 
образовательных стандартов высшего образования по специальности 11.05.02 
Специальные радиотехнические системы и направлению подготовки 11.03.02 
Инфокоммуникационные технологии и системы связи. Дисциплина «Теория 
вероятностей и математическая статистика» формирует у обучающихся теоретические знания, умения и практические навыки, необходимые для вычисления 
вероятностей случайного события, проведения обработки и анализа массовых 
экспериментальных данных, построения и применения вероятностных моделей 
и методов математической статистики для решения практических задач в области инфокоммуникационных технологий и радиотехнических систем.  
Практикум предназначен для развития у обучающихся навыков решения 
практических задач. При подготовке практикума по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» авторы использовали общепризнанные 
учебники коллективов авторов под руководством Е. С. Вентцель [3–5], 
П. Е. Данко [15], А. А. Гусака [14], Д. Т. Письменного [22], А. И. Кибзуна [17], 
Р. К. Романовского [25], А. В. Печинкина [21] и др., которые были переработаны с учетом специфики подготовки и требований к изучению дисциплины 
«Теория вероятностей и математическая статистика» в Воронежском институте 
ФСИН России. Данный практикум является продолжением ранее изданных пособий, подготовленных на кафедре математики и естественно-научных дисциплин в разные годы [1, 19].  
Построение практикума имеет так называемую «блочную» структуру. 
В начале каждого пункта приводятся основные теоретические сведения, затем 
дается подробный алгоритм решения типовых задач. В конце пункта предлагаются задачи для самостоятельного решения, сопровождающиеся ответами.  
Структура практикума состоит из шести взаимосвязанных глав. 
В первой главе «Основные понятия теории вероятностей» рассмотрены 
основополагающие понятия дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» – «случайное событие», «достоверное событие», «невозмож

ное событие», «несовместные события». Рассмотрены формулы комбинаторики 
с повторением и без повторения. Дана характеристика пространства элементарных исходов, рассмотрены операции, выполняемые над событиями. Рассмотрены формулы для расчета вероятности события.  
Вторая глава «Теоремы сложения и умножения вероятностей» посвящена 
рассмотрению основных теорем и следствий сложения и умножения вероятностей несовместных и совместных событий. Вводится понятие условной вероятности события. 
В третьей главе «Повторение испытаний» приводятся задачи, относящиеся к схеме Бернулли, которые часто рассматриваются в теории надежности, 
теории стрельб. Рассматриваются задачи нахождения так называемых «редких» 
событий, когда число испытаний очень велико, а значение вероятности близко 
к нулю, т. е. очень мало. Рассмотрены локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа. 
Четвертая глава «Законы распределения случайных величин и их числовые характеристики» посвящена рассмотрению дискретных и непрерывных 
случайных величин. Вводится понятие закона распределения дискретной и непрерывной случайных величин, функции распределения дискретных и непрерывных случайных величин. Рассмотрены свойства плотности распределения 
вероятностей непрерывной случайной величины. Приведены основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. 
Пятая глава «Закон больших чисел» посвящена рассмотрению неравенств 
Маркова и Чебышева, которые справедливы для дискретных и непрерывных 
случайных величин. Дается формулировка теоремы Чебышева, на применении 
которой основан выборочный метод, широко применяемый в математической 
статистике. Рассмотрена теорема Бернулли, устанавливающая связь между частотой события и его вероятностью. 
В шестой главе «Выборочный метод» приведены основные способы отбора исследуемых объектов для анализа некоторого признака. Даются понятия 
генеральной и выборочной совокупностей, объема выборки. Рассмотрено построение статистического распределения выборки дискретных и непрерывных 
случайных величин. Дано понятие и основные свойства эмпирической функции 
распределения. 
В конце практикума расположен библиографический список, который 
использовался авторами при подготовке данного практикума, и приведены таблицы значений функций Гаусса и Лапласа. 
Практикум предназначен для обучающихся по инженерно-техническим 
специальностям и направлениям подготовки всех форм обучения.  
Практикум может быть использован как для изучения материала под руководством преподавателя, так и при самостоятельном освоении дисциплины 
«Теория вероятностей и математическая статистика». Авторы будут признательны за все замечания, направленные на улучшение данного практикума. 
 
 
 

Глава 1 
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
 
1.1  Виды случайных событий

 
К основным понятиям ТВиМС можно отнести: «событие», «опыт и пространство элементарных событий». 

Событие – это факт, регистрируемый в результате опыта (испытания). 
Для обозначения случайных событий обычно используются прописные 
буквы латинского алфавита A, B, C, … .  
В качестве примеров событий можно назвать: 
– выпадение решки при однократном бросании монеты; 
– выпадение двух орлов при двукратном бросании монеты; 
– появление короля при вынимании карты из колоды; 
– попадание курсанта в цель при стрельбе по мишени. 
Под опытом S (испытанием, экспериментом) [4; 5; 11; 12; 17] 
понимается 
воспроизведение 
какого-либо 
комплекса 
условий 
U 
для 
наблюдения исследуемого события А, который можно практически или 
мысленно воспроизвести сколь угодно большое число раз. 
В качестве примеров опытов можно назвать: 
– вынимание трех карт из колоды; 
– совершение десяти выстрелов по мишени стрелком; 
– набор абонентом телефонного номера. 
Под элементарным событием понимается появление или непоявление 
того или иного исхода испытания. 
Пространством элементарных событий [7] называют множество, каждому элементу которого соответствует один исход испытания. 
Подмножество пространства элементарных событий называют случайным 
событием. 
Предметом теории вероятностей является рассмотрение наблюдаемых 
нами событий (или явлений), которые можно разделить на три вида [11]: 
– случайные; 
– достоверные; 
– невозможные.  
Случайное событие [3; 7; 11; 18; 22] – это всякое явление, которое при 

осуществлении определенной совокупности условий U в результате проведенного опыта (или испытания) может либо произойти, либо не произойти, при 
этом, до проведения опыта, неизвестно, произойдет оно или нет.  

Достоверное событие [3; 7; 9] – это событие Е, которое обязательно про
изойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий U. При 
этом достоверное событие включает все точки пространства элементарных событий. 

Невозможное событие [3; 7; 9] – это событие (обозначается ∅), которое 

заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность 

условий U. При этом невозможное событие не содержит ни одной точки пространства элементарных событий. 

Несовместными [11; 18] называют события, для которых появление од
ного из них исключает возможность появления в одном и том же испытании других событий.  

События А1, А2, …, Аn образуют полную группу [3; 11; 18], если в ре
зультате испытания S появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы является достоверным событием. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в 
результате опыта появится одно и только одно из этих событий.  

Равновозможные событиям [3–5; 11; 12] – это события, о которых можно 

сказать, что ни одно из событий не является более возможным, чем другое.  

Элементарные исходы – это явления, которые происходят при выполнении определенного комплекса условий (в результате проведения случайного 
испытания). Считается, что при проведении случайного испытания реализуется 
только один из возможных элементарных исходов. 
Несколько событий называются случаями («шансами»), если они [3]:  
1) образуют полную группу;  
2) равновозможны; 
3) несовместны. 
 
Примеры решения задач: 
 

Пример № 1.1.1 

Курсант стреляет по мишени, разделенной на три части. Испытание – это 

выстрел курсанта по мишени, событие – попадание курсанта в определенный 
сектор мишени. 

Пример № 1.1.2 

Достоверным событием можно считать получение курсантом положи
тельной оценки в период проведения промежуточной аттестации, если он знает 
учебный материал и не имеет текущих задолженностей.  

Знание учебного материала дисциплины и отсутствие текущих задолжен
ностей составляют совокупность условий U. 
 

Пример № 1.1.3   

Невозможным событием можно считать появление цифры семь при брос
ке одной игральной кости, так как при броске могут выпасть только цифры 1, 2, 
3, 4, 5, 6. 

Пример № 1.1.4  

Несовместные события – это одновременное выпадение при однократном 

бросании монеты орла и решки. Выпадение на монете орла исключает одновременное появление на монете решки.  

Пример № 1.1.5   

Полную группу попарно несовместных событий можно рассмотреть на 

примере приобретения двух билетов денежно-вещевой лотереи. Обязательно 
произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на 
первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и 
выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не 
выпал».  

Пример № 1.1.6   

Равновозможные события – это выпадение того или иного числа очков 

при броске игральной кости. Считается, что игральная кость имеет форму правильного многогранника, изготовлена из однородного материала и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани. 

 
Задачи для самостоятельного решения: 
 
1.1. Образуют ли полную группу следующие группы событий? 
а) опыт – бросание монеты; события: А1 – выпадение на монете герба; 
А2 – выпадение на монете решки; 
б) опыт – бросание двух монет; события: В1 – выпадение на двух монетах 
герба; В2 – выпадение на двух монетах решки; 
в) опыт – два выстрела по мишени; события: А0 – ни одного попадания в 
мишень; А1 – одно попадание в мишень; А2 – два попадания в мишень; 
г) опыт – два выстрела по мишени; события: С1 – хотя бы одно попадание 
в мишень; С2 – хотя бы один промах; 
д) опыт – вынимание игральной карты из колоды; события: D1 – появление игральной карты червонной масти; D2 – появление игральной карты бубновой масти; D3 – появление игральной карты трефовой масти? 
1.2. Являются ли несовместными следующие события: 
а) опыт – бросание монеты; события: А1 – выпадение на монете герба; А2 – 
выпадение на монете решки; 
б) опыт – бросание двух монет; события: В1 – выпадение герба на первой 
монете; В2 – выпадение решки на второй монете; 
в) опыт – два выстрела по мишени; события: С0 – ни одного попадания в 
мишень; С1 – одно попадание в мишень; С2 – два попадания в мишень; 
г) опыт – два выстрела по мишени; события: D1 – хотя бы одно попадание 
в мишень; D2 – хотя бы один промах; 
д) опыт – вынимание двух игральных карт из колоды; события: Е1 – появление двух карт черной масти; Е2 – появление игральной карты туз; Е3  – появление игральной карты дама. 
1.3. Являются ли равновозможными следующие события? 
а) опыт – бросание симметричной монеты; события: А1 – выпадение на 
монете герба; А2 – выпадение на монете решки; 

б) опыт – бросание неправильной (погнутой) монеты; события: В1 – выпадение на монете герба; В2  – выпадение на монете решки; 
в) опыт – выстрел по мишени; события: С1 – попадание; С2 – промах; 
г) опыт – бросание двух монет; события: D1 – выпадение на двух монетах 
герба; D2  – выпадение на двух монетах решки; D3 – выпадение на одной монете 
герба, а на другой – решки;  
д) опыт – вынимание одной игральной карты из колоды; события: Е1 – 
появление игральной карты червонной масти; Е2 – появление игральной карты 
бубновой масти; Е3  – появление игральной карты трефовой масти; 
е) опыт – бросание игральной кости; события: F1  – выпадение не менее 
трех очков на кости; F2  – выпадение не более четырех очков на кости. 
1.4. Являются ли случаями следующие группы событий: 
а) опыт – бросание монеты; события: А1 – выпадение на монете герба; А2 – 
выпадение на монете решки; 
б) опыт – бросание двух монет; события: В1 – выпадение на двух монетах 
герба; В2  – выпадение на двух монетах решки; В3 – выпадение одного герба и 
одной решки; 
в) опыт – бросание игральной кости; события: С1 – выпадение не более 
двух очков на кости; С2 – выпадение трех или четырех очков на кости; С3 – выпадение не менее пяти очков на кости; 
г) опыт – выстрел по мишени; события: D1  – попадание; D2  – промах; 
д) опыт – два выстрела по мишени; события: Е0 – ни одного попадания в 
мишень; Е1  – одно попадание в мишень; Е2 – два попадания в мишень; 
е) опыт – вынимание двух игральных карт из колоды; события: F1  – появление двух карт красной масти; F2  – появление двух карт черной масти. 
1.5. Укажите пространство элементарных событий для следующих испытаний: 
а) проводится выстрел по мишени, представляющей собой 10 концентрических кругов, занумерованных числами от 1 до 10; 
б) наудачу извлекается одна игральная кость из полной игры домино. 
Можно ли составить несколько пространств элементарных событий для 
какого-нибудь из этих испытаний.  
1.6. Определите количество элементарных событий, которое содержит 
каждое из следующих случайных событий:  
а) сумма двух наудачу выбранных однозначных чисел равна двенадцати: 
(элементарное событие ‒ появление пары однозначных чисел (т ; п)); 
б) наудачу выбранная игральная кость из полной игры домино ‒ «дубль» 
(элементарное событие ‒ появление кости т : п , где т и п могут принимать 
значения 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 и т < п); 
в) число очков, выпавшее на верхней грани игрального кубика, нечетное 
(элементарное событие ‒ появление т очков, где т принимает значения 1; 2; 3; 
4; 5; 6); 
г) наудачу вырванный листок из нового календаря соответствует тридцатому числу (элементарное событие ‒ появление одного из 365 листков календаря); 

д) наудачу выбранное слово из множества А = {тор, куб, квадрат, гипотенуза, событие, перпендикуляр, ромб} содержит не менее двух гласных (элементарное событие ‒ появление какого-либо из этих слов). 
1.7. На десяти жетонах выбиты числа от одного до десяти. Наудачу извлекается один жетон. В каких из следующих ответов указаны все возможные 
исходы испытания?  
а) {четное; нечетное}; 
б) {простое; 4; б; 8; 9; 10}; 
в) {четное; 1; 3; 5}; 
г) {не более трех; не менее четырех}. 
1.8. Проводится испытание, состоящее в двукратном броске игрального 
кубика. Запишите все возможные исходы испытания, если элементы пространства элементарных событий S:  
а) являются упорядоченными парами чисел т и п; 
б) являются неупорядоченными парами чисел т и п; 
в) являются суммами т и п. 
Во всех трех случаях т и п выражают число очков, выпавших при каждом 
броске. 
1.9. Поясните, в каких из следующих примеров указаны все возможные исходы испытания: 
а) выигрыш, проигрыш в шахматной партии;  
б) выпадение (в указанном порядке) на монете герба ‒ герба, герба ‒ решки, решки ‒ решки при двукратном подбрасывании монеты; 
в) попадание, промах при одном выстреле; 
г) появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при однократном бросании игральной кости. 
1.10. Укажите, какие из следующих событий являются: 1) случайными, 
2) достоверными, 3) невозможными:  
а) выигрыш по одному билету денежно-вещевой лотереи; 
б) извлечение из урны цветного шара, если в ней находятся три зеленых 
и пять коричневых шаров; 
в) получение абитуриентом 25 баллов на вступительных экзаменах в институте при сдаче четырех экзаменов, если применяется пятибалльная система 
оценок; 
г) извлечение «дубля» из полной игры в домино; 
д) выпадение не более шести очков на верхней грани игрального кубика. 
1.11. Определите, какие из следующих пар событий являются несовместными: 
а) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 100 включительно: делится на 10; делится на 11; 
б) нарушение в работе: первого; второго мотора летящего самолета; 
в) попадание; промах при одном выстреле; 
г) выигрыш; проигрыш в шахматной партии; 
д) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 25 включительно является: четным; кратным трем.