Математический анализ

 

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ 
 
Кафедра математики и естественно-научных дисциплин 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 
Часть II 
Практикум 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Воронеж  
2019 

УДК 517 
ББК 22.16 
       М33 
 
Утверждено методическим советом Воронежского института ФСИН 
России 20 ноября 2018, протокол № 3. 
 
 
Р ец ен зен т ы: 
кандидат физико-математических наук В.А. Мельник, 
доктор технических наук, профессор А.В. Скрыпников 
 
 
Математический 
анализ. 
Часть 
II: 
практикум 
/ 
[сост. 
Е.В. Корчагина, С.В. Белокуров, Н.А. Андреева]; ФКОУ ВО Воронежский 
институт ФСИН России. – Воронеж, 2019. – 244 с. 
 
Практикум 
создан 
на 
базе 
прочитанного 
материала 
по 
курсу 
математического анализа. Содержание второй части охватывает следующие 
разделы программы: комплексные числа, интегральное исчисление функции 
одной 
переменной, 
дифференциальное 
исчисление 
функции 
многих 
переменных, интегральное исчисление функции нескольких переменных и 
элементы теории поля. 
В каждом пункте приводятся необходимые теоретические сведения. 
Типовые задачи даются с подробными решениями. Представлено большое 
количество задач для самостоятельного решения. 
Предназначен для всех технических специальностей и направлений 
подготовки, включающих реализацию дисциплин «Математический анализ» 
и «Математика». 
УДК 517 
ББК 22.16 
Издано в авторской редакции 
 
 
 
 
 
 
 
© Составление. Корчагина Е.В., 
Белокуров С.В., Андреева Н.А., 2019 
© ФКОУ ВО Воронежский институт 
ФСИН России, 2019 
 

М33

Много из математики не остается в памяти, но, 

когда 
поймешь 
ее, 
тогда 
легко 
при 
случае 

вспомнить забытое.  

                                           М.В. Остроградский 

 

ВВЕДЕНИЕ 

 
Практикум содержит обзор основных тем курса математического анализа 

2-го семестра, перечень рекомендуемой литературы. Приведены примерные 

варианты контрольных работ по курсу математического анализа для текущей 

проверки знаний пройденной теме, а также типовой расчет. 

Основное содержание курса математического анализа 2-го семестра 

состапвляют следующие разделы: теория комплексных чисел, интегральное 

исчисление функции одной переменной, дифференциальное исчисление 

функции 
многих 
переменных, 
теория 
кратных, 
криволинейных 
и 

поверхностных интегралов и теория поля. Знания, полученные в этих разделах, 

широко используются не только в других математических дисциплинах, 

например, теория вероятностей и математическая статистика, но и в 

прикладных 
областях, 
связанных 
с 
математическим 
моделированием, 

электромагнитными полями и волнами и т.д., а такаже закладывают базовые 

навыки доказательной работы и математического мышления. 

Цель авторов при создании практикума по математическому анализу − 

научить практическим навыкам решения задач математического анализа, дать 

дополнительную практику и восполнить неусвоенный на основном курсе 

материал, который необходим для успешного владения предметом. Содержание 

практикума существенно не выходит за рамки основной программы, но ставит 

перед собой задачу проиллюстрировать главные темы, отталкиваясь от 

потребности аудитории в обсуждении данных тем. 

Авторы надеются, что настоящий практикум поможет обучающимся 

освоить фундаментальные основы «Математического анализа» и успешно 

применять полученные знания на практике. 

Раздел 3 

КOМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 

 

3.1  Кoмплексные числа, их изображение на плоскости.  

Модуль и аргумент комплексного числа. 

Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа 

 

Комплексные числа были введены в математику в середине 16 века в 

связи с решениями квадратных и кубических уравнений. Их введение дало 

возможность решить уравнение x2+1=0. 

Точки числовой плоскости R2 называются кoмплексными числами, если 

равенство, сложение и умножение точек определены следующим образом: 

1) (a,b)=c+id тогда и только тогда, когда a = c, b = d; 

2) (a,b)+(c,d)= (a+c,b+d); 

3) (a,b)(c,d)=(ac−bd,ad+bc). 

Множество R2 при этом называется множеством кoмплексных чисел 

или кoмплексной плоскостью и обозначается буквой С. 

Под точкой а+i0, лежащей на оси абсцисс, как и прежде, будем понимать 

вещественное число а, то есть а=(а,0). Ясно, что для вещественных чисел 

выполняются условия 1) − 3) (проверить), следовательно, R ⊂C, то есть всякое 

вещественное число является и комплексным. 

Точка i = 0+i называется мнимой единицей. Из условия 3) следует 

основное в теории комплексных чисел равенство i2 = −1. 

Легко проверить, что для сложения и умножения комплексных чисел 

справедливы коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. 

 

 

 

 

Комплексные 
числа 
помогают 
из-за 

обратной 
стороны 
зеркала 
справиться 

с недостатками вещественных чисел. 

Хорхе Вагенсберг 

Двучлен z = x+iy называется алгебраической формой комплексного 

числа; число х называется действительной частью и обозначается x = Rez, а 

y − мнимой частью кoмплексного числа и обозначается y = Imz. 

Свойства 1) – 3), отнесенные к алгебраической форме комплексного 

числа, выглядят более привычно:  

1) a+ib=c+id тогда и только тогда, когда действительная и мнимая части 

первого числа равны соответственно действительной и мнимой части второго 

числа; 

2) (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d), то есть чтобы сложить два комплексных 

числа, нужно сложить соответственно их действительные и мнимые части; 

3) (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc), то есть умножение комплексных чисел 

производится по правилу умножения двучлена на двучлен с добавочным 

условием i2=−1. 

4) (a+ib) − (c+id) = (a − c) + i (b − d), то есть чтобы найти разность двух 

комплексных чисел, нужно соответственно из действительной и мнимой частей 

уменьшаемого вычесть действительную и мнимую части вычитаемого. 

5) Частным комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное 

число 
, что z1=zz2. Если z1=c+id, z2=a+ib, z=x+iy, то 

1
2
2
2
2
2
2
2

(
)(
) .
z
c
id
ac
bd
ad
bc
c
id
a
ib
i
z
a
ib
a
b
a
b
a
b
+
+
−
+
−
=
=
+
=
+
+
+
+
 
 
          (3.1) 

Если 
2
,
z
a
ib
=
−
 то 

2
2
2
2
z z
a
b
=
+
 и формула (1) примет вид 
1
1 2

2
2
2
.
z
z z
z
z z
=
 

Число a − ib называется сопряженным числу a+ib. 

Выберем на плоскости 
 декартову прямоугольную систему координат 

XOY. При геометрическом изображении комплексных чисел 
( , )
a b
α =
 ось OX 

называют  действительной осью, ось OY − мнимой осью, а система координат 

ХОY − комплексной плоскостью. Обозначим через r длину радиус-вектора 

точки (a,b) и через ϕ  − угол, образованный им с положительным направлением 

действительной оси (рис. 3.1.1). Ясно, что a=rcosϕ , b=r sinϕ , 

2
2
r
a
b
=
+
, 

откуда  

(a+b)=a+bi=r(cosϕ +i sin
),
ϕ
 
 
 
 
     (3.2) 

где cosϕ =

2
2
a

a
b
+

, а sinϕ =

2
2
b

a
b
+

. 

Число 
2
2
r
a
b
=
+
 называется модулем комплексного числа 
( , )
a b
α =
 и 

обозначается символом α , угол 
(0
2 )
ϕ
ϕ
π
≤
≤
 называется аргументом 

кoмплексного числа α  и обозначается символом argα . 

 

 
 
 
 

 

 

 

Рис. 3.1.1 

Правая часть равенства (2) называется тригонометрическoй формой 

кoмплексного числа a+bi. 

Также часто используется пoказательная форма кoмплексного числа 

a+bi: a+bi=

i
re ϕ . 

Пример. Представить в тригoнометрической фoрме кoмплексные числа: 

1
1,
α =
 
2
,i
α =
 
3
1
3.
i
α = − +
 

а) 
1
1,
α =
 1=1+0i, 
2
2
1
0
1
r =
+
= , тогда 1 = cos0 + isin0. 

б) 
2
,i
α =
 i=0+1i, 
0 1
1,
r =
+ =
 
arg
2
i
π
ϕ =
=
, тогда 
cos
sin
2
2
i
i
π
π
=
+
. 

в) 
3
1
3
i
α = − +
, 
−1+i 3
(cos
sin )
r
i
ϕ
ϕ
=
+
, 
модуль 
числа 
равен 

1
3
1
3
2
r
i
= − +
=
+
=
, 
1
cos
,
2
ϕ = −
 
3
2
sin
2
3
π
ϕ
ϕ
=
⇒
=
, 
тогда 

2
2
1
3
2 cos
sin
3
3
i
i
π
π


− +
=
+



. 

ϕ

b

a
x

y

3.2  Операции над кoмплексными числами 

 

Теорема. (Умножение кoмплексных чисел в тригoнометрической 

форме.) 
Пусть 
1
1
1
1
(cos
sin
),
r
i
α
ϕ
ϕ
=
+
 
2
2
2
2
(cos
sin
)
r
i
α
ϕ
ϕ
=
+
. 
Тогда 

1
2
1 2
1
2
1
2
(cos(
) sin(
)),
rr
α α
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
+
+
+
 то есть при умножении кoмплексных чисел их 

модули перемножаются, а аргументы складываются. 

Следствие. (Формула Муавра). Если 
(cos
sin )
r
i
α
ϕ
ϕ
=
+
 и n∈N, 

то
(cos
sin
)
n
nr
n
i
n
α
ϕ
ϕ
=
+
. 

Пример. 

3
3
2
2
( 1
3)
2(cos
sin
)
8
3
3
i
π
π


− +
=
+
=




. 

Аналогично доказывается формула: 
[
]
1
1
1
2
1
2
2
2
2
cos(
)
sin(
) ,
0.
r
i
r
r
α
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
α
=
−
+
−
≠
 

Кoрнем натуральной степени n из комплексного числа α  (обозначается 

n α ) называется кoмплексное число β  такое , что 
.
n
β
α
=
 

Теорема (Извлечение корня из кoмплексного числа). Корень степени n 

из комплексного числа α  имеет n значений, определяемых по формуле: 

2
2
(cos
sin
)
(cos
sin
),
0,1,...,
1.
n
n
k
k
r
i
r
i
k
n
n
n
ϕ
π
ϕ
π
ϕ
ϕ
+
+
+
=
+
=
−
 

Пример.  Решить уравнение: 

3
1
0
x − =
. 

3
3
2
2
1
cos0
sin 0
cos
sin
,
3
3
k
k
x
i
i
π
π
=
=
+
=
+
0
2,
k
≤
≤

1
cos0
sin0
1,
x
i
=
+
=

2

3

2
2
1
3
cos
sin
,
3
3
2
2

4
4
1
3
cos
sin
.
3
3
2
2

k
x
i

x
i
i

π
π

π
π

=
+
= −
+

=
+
= −
−

 

Пример. а). Найти сумму кoмплексных чисел 
i
z
2
3
1
+
=
, 
i
z
−
−
= 4
1
. 

Решение. 
i
z
z
+
−
=
+
1
2
1
. 

 

б) Возвести в степень кoмплексное число (
)
30
3
1
i
+
. 

Решение. 
(
)
2
4
3
1
2
2
2
=
=
+
=
+
=
y
x
r
, 

3
1
3
π
ϕ
=








= arctg
, (I четверть); 





+
=
+
=
3
sin
3
cos
2
3
1
π
π
i
i
z
, 

(
)
30
30
30
30
2
10
sin
10
cos
2
3
30
sin
3
30
cos
2
=
+
=




+
=
π
π
π
π
i
i
z
. 

Пример. Найти 3 i . 

Решение. В этом случае 
2
,1
π
ϕ =
=
r
. Получаем: 

=































+
+















+
=




+
=
3

2
2
sin
3

2
2
cos
1
2
sin
2
cos
1
3
3
3
k
i
k
i
i
π
π
π
π
π
π
 

6
4
sin
6
4
cos
k
i
k
π
π
π
π
+
+
+
=
, 
.2
,1,0
=
k
 

,
0
=
k
 
(
)i
i
z
+
=
+
=
3
2
1
6
sin
6
cos
0
π
π
, 

,1
=
k
(
)i
i
z
+
−
=
+
=
3
2
1
6
5
sin
6
5
cos
1
π
π
, 

,
2
=
k
i
i
z
−
=
+
=
6
9
sin
6
9
cos
2
π
π
. 

 

Контрольные вопросы 

1. Дайте определение понятия «кoмплексное число». 

2. Дайте определение понятия «сопряженное к кoмплексному числу». 

3. Приведите пример кoмплексного числа в тригонометрической форме. 

4. Приведите пример кoмплексного числа в алгебраической форме. 

5. Приведите пример кoмплексного числа в пoказательной форме. 

6. Запишите формулу Муавра. 

7. Сформулируйте теорему об извлечении корня из кoмплексного числа. 

 

Задачи для самостоятельного решения 

1. Показать, что число n p , p − простое число, n >1 иррационально. 

2. Сравнить числа: 2
5
−
 и 3
2
− . 

3. Доказать, что: для любых 
1
2
,
0
z z ≠ , найдется такое 
,z , что 
2
1
(
)
z z
z
=
 

(число z называется частным от деления z1 на z2 и обозначается символом 

1

2

z

z ). 

4. Доказать 
равенство 
и 
выяснить 
его 
геометрический 
смысл: 

1 2
1
2 .
z z
z
z
=
⋅
 

5. Доказать, что величина 
1
2
z
z
−
 равна расстоянию на комплексной 

плоскости между точками 
1
M  и 
2
M , изображающими кoмплексные числа z1 и z2. 

6. Сложить комплексные числа. 

а) (
) (
)i
i
3
3
2
+
+
−
;  
б) (
) (
)i
i
2
7
1
−
−
+
+
; 
в) (
) (
)i
i
4
5
3
2
+
+
−
. 

7. Выполнить вычитание комплексных чисел. 

а) (
) (
)i
i
2
3
7
+
−
−
;  
б) (
) (
)i
i
4
1
2
5
−
−
−
+
; 
в) (
) (
)i
i
5
3
4
−
−
+
−
. 

8. Перемножить комплексные числа. 

а) (
)(
)i
i
−
+
1
1
; 
 
б) (
)(
)i
i
2
3
2
−
+
; 
 
в) (
)(
)i
i
+
−
3
2
4
. 

9. Найти частное комплексных чисел. 

а) 
i
i
+
−
1
1
; 
 
б) 
i
i
+
−
2
4
; 
 
в) 
i
i
2
2
5
3
−
+
. 

10. Выполнить действия: 

а) сложить кoмплексные числа; 
б) вычесть кoмплексные числа; 

в) умножить кoмплексные числа; г) выполнить деление комплексных чисел; 

д) возвести в степень кoмплексное число; 

е) извлечь корень из кoмплексного числа; 

ж) 
изобразить 
геометрическое 
место 
точек 
кoмплексных 
чисел, 

удовлетворяющих условию. 

1. 

а) (
) (
)i
i
5
4
7
3
−
+
−
 

2. 

а)(
) (
)i
i
7
3
5
2
−
−
+
+
 

3. 

а) (
) (
)i
i
2
1
5
4
+
−
+
+
 

б) (
) (
)i
i
3
4
2
−
−
−
 

в) (
)(
)i
i
3
1
2
2
+
+
 

г) (
)
(
)i
i
4
1
2
2
−
+
 

д) (
)
10
3
1
i
+
−
 

е) 

3 8  

ж) 
1
4 =
−
z
 

б) (
) (
)i
i
5
8
2
3
−
−
−
 

в) (
)(
)i
i
2
1
3
+
−
 

г) (
)
(
)i
i
−
+
4
1
 

д) (
)
20
3
1−
−
 

е) (
)
3
1
−
 

ж) 
1
3 =
+ i
z
 

б) (
) (
)i
i
3
2
7
4
−
−
−
 

в) (
)(
)i
i
2
2
3
1
+
−
 

г) (
)
(
)i
i
−
−
3
2
1
 

д) (
)
10
1
i
−
 

е) 

4 1 

ж) 
1
2 =
− i
z
 

4. 

а) (
) (
)i
i
−
+
−
8
4
2
 

б) (
) (
)i
i
3
2
4
+
−
−
 

в) (
)(
)i
i
3
2
2
1
−
+
 

г) (
)
(
)i
i
−
+
1
4
2
 

д) (
)
10
1
i
+
−
 

е) (
)
3
1
−
 

ж) 
1
4 =
− i
z
 

5. 

а) (
) (
)i
i
−
+
−
3
2
5
 

б) (
) (
)i
i
−
−
+
4
2
7
 

в) (
)(
)i
i
+
−
4
3
2
 

г) (
)
(
)i
i
2
3
1
+
−
 

д) (
)
10
4
4
i
+
 

е) 

3 27  

ж) 
2
2 =
+ i
z
 

6.  

а) (
) (
)
4
2
1 7
i
i
−
+
−
 

б) (
) (
)
2
2
3
i
i
+
−
−
 

в) (
)(
)
3
3
i
i
−
+
 

г) (
)
(
)

1 3

2

i

i

+

−
 

д) (
)

10
2
2 3i
− −
 

е) 

4 625
−
 

ж) 
2
1
z +
= . 

7. 

а) (
) (
)
4
2
1
i
i
−
+
+
 

б) (
) (
)
5
2
8
2
i
i
+
−
−
 

в) (
)(
)
2
3 3
i
i
−
+
 

г) (
)
(
)

1

1 2

i

i

−

+
 

д) (
)

10
2
2i
−
−
 

е) 

4 625i
−
 

ж) 
2
4
z
i
−
=  

8. 

а) (
) (
)
4
2
5 8
i
i
−
+
−
 

б) (
) (
)
2
1 3
i
i
−
−
−
 

в) (
)(
)
2
2
3
i
i
+
+
 

г) (
)
(
)

1
4
i
i
−
+
 

д) (
)
10
1 i
−
 

е) 

4 256  

ж) 
2
1
z
i
−
=  

9. 

а) (
) (
)
8
5
3
i
i
−
+
+
 

б) (
) (
)
4
8
5
i
i
−
−
+
 

в) (
)(
)
2
2
1
i
i
+
−  

г) (
)
(
)

1 2

2

i

i

+

−
 

д) (
)

10
1
3i
+
 

е) 

3 8
−  

ж) 
2
1
z +
=