Дифференциальные уравнения

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ -  БАКАЛАВРИАТ 

серия основана в 1 ЭЭБ г.

Г.С. ЖУКОВА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

УЧЕБНИК

Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов России 
по образованию в области химической технологии и биотехнологии 
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по химико-технологическим направлениям и биотехнологии

Э
л в к т р о н н о 
znanium.com

Москва
ИНФРА-М

2020

УДК 517.9(075.8) 
Б Б К  22.161.6я73 
Ж 86

Р е ц е н з е н т ы :

Гордеев Л.С., доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета имени Д.И. Менделеева, заслуженный деятель науки Российской Федерации;

Самохин В.Н., доктор физико-математических наук, профессор 
Московского политехнического университета

Жукова Г.С.

Ж  86 
Дифференциальные уравнения : учебник /  Г.С. Жукова. — Москва : 
ИНФРА-М, 2020. — 504 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1072180.

ISBN 978-5-16-015970-6 (print)
ISBN 978-5-16-108354-3 (online)
В учебнике излагается теория обыкновенных дифференциальных уравнений, составляющая предмет дисциплины «Дифференциальные уравнения». Изучены разделы: дифференциальные уравнения первого, второго, 
произвольного порядков; системы дифференциальных уравнений; интегрирование начальных и краевых задач; теория устойчивости решений дифференциальных уравнений и систем. Введены основные понятия, доказаны свойства дифференциальных уравнений и систем. Изложены методы 
анализа и решения. Рассмотрены приложения полученных результатов, 
которые иллюстрируются на большом числе конкретных задач. Для самостоятельного контроля качества овладения материалом курса предложены 
контрольные вопросы по теории, упражнения и задачи.

Рекомендуется преподавателям, аспирантам и студентам высших учебных заведений, изучающим дифференциальные уравнения и их приложения.

УДК 517.9(075.8) 
ББК 22.161.6я73

ISBN 978-5-16-015970-6 (print) 
ISBN 978-5-16-108354-3 (online)
© Жукова Г.С., 2007, 2020

В В Е Д Е Н И Е

Вторжение математики во все области научной и практической 
деятельности продолжается с возрастающей интенсивностью. Несомненно, идет прогрессирующий процесс математизации всех наук.

Для анализа многих задач необходимо, прежде всего, чтобы эти задачи были переведены на математический язык, после чего они 
анализируются и решаются.

Совершенно очевидно, что наиболее трудной частью в этой цепи 
является сам "перевод" 
задачи на математический язык. Это 
объясняется тем, что для правильной математической формулировки 
даже самой простой проблемы нужно быть компетентным не только в 
той науке, 
из которой возникла 
задача, 
но иметь высокую 
математическую культуру и большой объем математических знаний.

Требования к математической подготовке современного специалиста 
постоянно возрастают. Кроме хороших знаний по своей специальности, 
ему необходимо уметь использовать в своей практической деятельности возможности вычислительной техники, современные математические методы, уметь выбирать наиболее подходящие к анализу его задачи комбинации различных известных методов

Эти обстоятельства предъявляют к выпускникам высших учебных 
заведений повышенные требования в их математической подготовке: 
знание теории и овладение навыкат решения задач по основным разделам высшей математики, умение изложить их основы на четком алгоритмическом языке, знание преимуществ и недостатков того ши иного 
метода решения.

Эта книга написана на базе лекций и практических занятий по курсу 
обыкновенных дифференциальных уравнений, которые автор читает 
студентам Московского государственного социального университета и 
Российского химико-технологического университета им. Д.И. Менделеева. Книга содержит следующие разделы:

• 
дифференциальные уравнения первого порядка',

• 
дифференциальные уравнения второго и более высокого порядков',

• 
системы дифференциальных уравнений:

• 
элементы теории устойчивости:

• 
начальные и краевые задачи.

3

В каждом параграфе нумерация теорем, замечаний, формул, рисунков 
и примеров с решениями самостоятельная.

Для оценки полученных знаний предложен перечень контрольных вопросов по теории и задачи (с ответами) для самостоятельного решения.

Книга может быть использована студентами вузов как для работы 
под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

Преподавателям вузов, читающим лекции по курсу обыкновенных 
дифференциальных уравнений, можно было бы посоветовать следующий порядок изложения материала, включенного в книгу:

Дифференциальные уравнения первого порядка

1. 
Дифференциальные уравнения: порядок, решение, теорема существования и единственности решения. Геометрическая интерпретация. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (§ 1, 2).

2. 
Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения (§ 3, 4).

3. 
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка (§ 5).

4. 
Уравнения в полных дифференциалах. Уравнения с интегрирующим 
множителем (§ 6, 7).

Дифференциальные уравнения высших порядков

5. 
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго 
порядка. Свойства решений (§ 8, 9).

6. 
Линейная независимость функций. Определитель Вронского. 
Структура общего решения линейных однородных и неоднородных 
дифференциальных уравнений второго порядка. Фундаментальная 
система решений (§ 9).

7. 
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (§ 10).

8. 
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго 
порядка с постоянными коэффициентами (§ 11).

4

9. 
Понятие о краевых задачах. Построение функции Грина (§ 12).

Ю- 
Линейные дифференциальные уравнения П-го порядка: свойства 
решений, теоремы о структуре общего решения, метод вариации 
произвольных постоянных (§ 13, 14).

И- 
Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами. Алгоритм построения общего решения (§ 
15, 16). 
‘ 
^ 
*

12. 
Операционный метод. Интегрирование с помощью степенных рядов (§17, 18). 
*

Системы дифференциальных уравнений

13. 
Системы дифференциальных уравнений первого порядка: общие 
понятия, теорема существования и единственности решения. Интегрирование методом исключения (§ 19).

14. 
Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка: 
свойства решений; теоремы о структуре общего решения; метод 
вариации произвольных постоянных (§ 20).

15. 
Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с 
постоянными коэффициентами (§ 21).

16. 
Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с 
постоянными коэффициентами (§ 22).

Элементы теории устойчивости

17. 
Основные понятия Устойчивость линейных систем (§ 23, 24).

18. 
Устойчивость линейных дифференциальных систем с постоянными коэффициентами (§ 25).

19. 
Исследование устойчивости нелинейных дифференциальных систем по первому приближению (§ 26).

20. 
Классификация точек покоя (§ 27).

Рекомендуется преподавателям и студентам вузов, изучающим высшую математику.

5

Г л а в а  /. 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

LL ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, называется дифференциальным уравнением.

Если в уравнении неизвестной функцией является функция нескольких переменных, то уравнение называется диФФеюенииалъным уравнением в частных производных. Если в уравнении неизвестная функция 
зависит только от одной переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

К дифференциальным уравнениям приводят многие важные задачи 
различных областей естествознания.

Это и не удивительно. Напомним, что с геометрической точки зрения производная 
у '( х ) 
равна тангенсу угла, образованного с осью 

О х касательной к графику функции у  = у (х ) 
в точке (X; у(дг)) . С 

физической точки зрения производная у '{х ) совпадает со скоростью 

изменения функции у  = у ( х )  в момент времени 
Х\ 
функция 

у"(х ) — с ускорением в момент времени X.

Дадим некоторые рекомендации.

1. 
Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые некоторого семейства

<р(х,у,с1,...,сп)= 0, 
(1)

надо продифференцировать по 
X равенство (1) 
п 
раз, считая у  
функцией от X , а затем из полученных уравнений и уравнения (1) исключить произвольные постоянные.

6

2. При рассмотрении геометрической задачи надо построить чертеж, обозначив искомую кривую 
у  = _у(х), если задача решается в 

прямоугольных координатах. Затем выразить все упоминаемые в задаче величины через х , у , у'. Тогда данное в условии задачи соотношение превратится в дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая функция _р(х).

3. В физических задачах надо, во-первых, решить, что принять за 
независимую переменную, а что -  за искомую функцию. Затем выразить приращение функции 
Ау = у(х + Ах) -  у(х) 
через величины, о 

которых говорится в задаче. Разделив Ау на Ах и переходя к пределу 

при Ах —> 0 , получают дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая функция _у(х).

В качестве иллюстрации рассмотрим несколько простых примеров, 
приводящих к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

П р и м е р  1. Составить дифференциальное уравнение семейства 
кривых

с {х  + ( у - с 2) 2 =0. 
(2)

Р е ш е н и е .  Семейство кривых (2) является двухпараметрическим, 
так как формула (2) содержит две произвольные постоянные.

Поэтому продифференцируем по X равенство (2) дважды, считая 
У — у(х). Тогда получим уравнения:

с, + 2 ( у - с 2) - у '  = 0,

2 (у ')2 + 2 (у - с 2) ■ у " = 0.

Отсюда находим:

Подставив (3) в формулу (2), получим дифференциальное уравнение 
семейства кривых (2):

7

П р и  м е р 2. Составить дифференциальное уравнение семейства 
окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой у  = 2х .

Р е ш е н и е .  Напомним, что окружность радиуса г с центром в точке (х 0',у0) имеет уравнение:

( х - х 0)2 + (у -у 0У =г2.

В рассматриваемом примере Г = 1, у й = 2х0. Следовательно, изучаемое семейство окружностей задается уравнением:

(х —х0)2 + О - 2 х 0)2 =1. 
(4)

Это -  однопараметрическое семейство, где роль параметра играет число
х0 (х0 е  R).

Чтобы составить дифференциальное уравнение семейства (4), считаем у  = у ( х )  и дифференцируем по X равенство (4) один раз:

8

л 2
2 х  + 2 у у
x + v y

X  
1 + 2 /
1 + 2 /

(х + 2ху' - х - у у ' ) 2 + ( у  + 2у у ' - 2 х - 2уу')1\2

2
(1 + 2/ )

(2х - у У  - ( у 1) 2 + ( у - 2 х У  
(2х - у У  •(! + ( / ) “)
г\2

'\2
f\2
(1 + 2/ )
(1 + 2/ )

Следовательно, дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют все окружности семейства (4), имеет вид:

( 2 х -  у У  -(1 + ( / ) 2) = (1 + 2
/ /

t \  2

От в е т :  (2х - у У  •(! + ( / ) )  = G + 2 / / .
»\2

UJL и м е р 3. Наити форму зеркала прожектора, отражающего параллельно заданному направлению все лучи, выходящие из некоторого
источника света.

Р е ш е н и е .  Введем прямоугольную систему координат Оху, где

ось Ох совпадает с заданным направлением, а начало координат -  с
источником света.

Пусть ^(х ) — кривая, полученная в сечении зеркала прожектора

плоскостью О ху (см. рис. 1).

У=У(х)

Рис. 1

9

Пусть М ( х \ у )  — произвольная точка графика функции у  = у(х). 

Пусть М А — касательная к графику, проведенная через точку М .

Тогда угол падения луча из точки О в точку М  ранен углу отражения луча, то есть 
/ А  М О  = /В М С , 
где М С  || Ох 
(по условию 

задачи).

Поэтому /.В М С  —/.М АО  
и 
ААМ О  — равнобедренный. Следовательно, заключаем:

\АО\ = \ОМ\ = yjx2 + у 2.

Кроме того, из AA M D  по определению тангенса угла имеем:

«
л
. И
. ______Z _____
И  *+,/777'

Из определения производной известно равенство:

tgP = y \ x ) .

Таким 
образом, 
искомая 
функция 
у  = _у(х) 
удовлетворяет 
дифференциальному уравнению первого порядка:

У
У' =

x  + -Jx2 + у 2

(5)

Далее, говоря об однородных дифференциальных уравнениях перво. _ порядка, мы научимся интегрировать уравнение (5). Его решениями 
будет любая функция _р(х), удовлетворяющая равенству:

го

7 2 = 2 с
х  + —

2

(6)

где с — произвольное отличное от нуля число.

10