Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2015, № 4

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Тульский государственный университет»

16+
ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 4

ТУЛА
ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ
2015

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 4. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015.
314 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, физики, химии, биологии.
Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в области естественных наук.

Редакционный совет
М.В.
Грязев
—
председатель,
В.Д.
Кухарь
—
зам.
председателя,
В.В.
Прейс
—
главный
редактор,
А.А.
Маликов
—
отв.
секретарь,
И.А. Батанина, О.И. Борискин, А.Ю. Головин, В.Н. Егоров, В.И. Иванов,
Н.М. Качурин, В.М. Петровичев

Редакционная коллегия
В.И.
Иванов
(Тула)
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров
(Тула),
И.М. Буркин (Тула), Н.М. Добровольский (Тула), Д.М. Левин (Тула),
А.А. Маркин (Тула) — зам. отв. редактора, Е.Н. Музафаров (Тула),
Л.А. Толоконников (Тула), С.А. Скобельцын (Тула) — отв. секретарь,
В.Г. Кротов (Минск, Беларусь), В.В. Литвиненко (Харьков, Украина),
Н.П. Матвейко (Минск, Беларусь), В.М. Мирсалимов (Баку, Азербайджан),
Н.Т. Темиргалиев (Астана, Казахстан), М.Ш. Шабозов (Душанбе, Таджикистан)

Подписной индекс 27845
по Объединенному каталогу «Пресса России»

Сборник
зарегистрирован
в
Федеральной
службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций
(Роскомнадзор).
ПИ
№
ФС
77-61106
от
19 марта 2015 г.
«Известия
ТулГУ»
входят
в
перечень
ведущих
научных
журналов
и
изданий,
выпускаемых
в
Российской
Федерации,
в
которых
должны
быть
опубликованы
научные
результаты
диссертаций
на
соискание
ученой
степени
доктора
наук

c⃝ Авторы научных статей, 2015
c⃝ Издательство ТулГУ, 2015

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Алгазин С.Д., Соловьёв Г.Х. О спектральной задаче для оператора Орра–
Зоммерфельда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Горбачев Д.В. Связь многомерных экстремальных задач Бомана и Логана. . . .
14
Данг Н. Х. Т., Двоенко С. Д. О восстановлении функции яркости изображения
методом полной вариации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Маленичев А. А., Красоткина О. В., Моттль В. В., Середин О. С. Обучение
многоклассовому распознаванию образов по большим обучающим совокупностям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Привалов Ал.А. Единственность интерполяционного полинома наилучшего
приближения в пространстве L(a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Середин О. С., Моттль В. В. Метод опорных объектов для обучения распознаванию образов в произвольных метрических пространствах . . . . . . . . . . . .
49
Турков П. А., Красоткина О. В., Моттль В. В. Отбор признаков в задаче классификации при смещении решающего правила . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Фам К. Т., Копылов А. В. Математическое описание минимизации гиббсовской
энергии в задаче сглаживания изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Шабозов М. Ш., Хуромонов Х. М. О поперечниках некоторых классов функций
в весовом пространстве Бергмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Шабозова А. А. К полигональной интерполяции кривых в пространстве Rm . . 107

МЕХАНИКА

Астапов Ю. В. Конечные деформации ортотропного цилиндра при нагружении внутренним давлением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Басинский К. Ю. Нелинейная задача о волнах на поверхности слоя вязкой
жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Желтков В. И., Ван Хуан Чыонг Изгибные колебания тонкого крыла симметричного профиля в потоке воздуха. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Маркин А. А., Козлов В. В. Вопросы конкретизации определяющих соотношений нелинейной теории упругости на основе рассмотрения одноосного однородного растяжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Кондрашов В. О., Соколова М. Ю. Определение напряженно-деформированного
состояния протектора шины в местах крепления шипов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Лавит И. М. Краткий обзор работ И.А. Кийко по исследованию сверхзвукового панельного флаттера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Скобельцын С. А. Идентификация плотности материала упругого цилиндра по
рассеянному акустическому полю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Содержание

Толоконников Л. А., Свечников И. М. О моделировании дискретно-слоистого
покрытия упругого шара радиально-неоднородным слоем в задаче рассеяния звука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

ФИЗИКА

Красильников В. В., Савотченко С. Е. Особенности рассеяния частиц точечным дефектом с внутренней структурой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

ХИМИЯ

Арляпов В. А., Атрощенко Ю. М., Блохин И. В., Мухторов Л. Г., Шахкельдян И. В., Шумский А. Н. Квантово-химическое моделирование взаимодействия 2-метил-5,7-динитробензо[d]оксазола с метоксид-ионом . . . . . . . . . . . . . . 184
Арляпов В. А., Волкова Е. М., Нечаева И. А., Скворцова Л. С. Содержание тяжелых металлов в почве как индикатор антропогенного загрязнения Тульской области. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Дмитриева Е. Д., Горячева А. А., Переломов Л. В., Сюндюкова К. В., Леонтьева М. М. Сорбционная способность гуминовых веществ торфов различного происхождения Тульской области по отношению к ионам Pb(II). . . . . . 205

БИОЛОГИЯ

Акатова Е. В., Арляпов В. А. Оценка экологического состояния донных отложений водоемов Тульской области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Горелова С. В., Волкова Е. М., Фронтасьева М. В. Биоиндикация и биомониторинг антропогенного загрязнения экосистем с использованием биогеохимических характеристик листьев древесных растений (на примере Тульской
области) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Делеган Я. А., Ветрова А. А., Чернявская М. И., Титок М. А., Филонов А. Е.
Термотолерантные актиномицеты как агенты ремедиации нефтезагрязненных грунтов и вод в условиях жаркого аридного климата. . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Короткова А. А., Дубинин М. С. Трофическая структура энтомофауны в районах линий электропередач в Тульской области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Лештаев А. А. Определение уровня сапробности водоёмов г. Тулы . . . . . . . . . . . 267
Лобанова Т. Н., Жуков Н. Н., Бойкова О. И., Иванищев В. В. Динамика ответных реакций проростков тритикале на стресс, индуцируемый сульфатным
и карбонатным засолением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Нечаева И. А., Арляпов В. А., Акатова Е. В., Волкова Е. М. Экологическое состояние почвенного покрова Тульской области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Ширшиков Н. В.,
Редикульцев Ю. В.,
Сизов А. Н.,
Шевелев Д. А.,
Безручко В. В.,
Гаврилов А. Б.
Культивирование
дрожжей
Saccharomyces
cerevisiae в биореакторе с диффузором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Редколлегия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305
Editorial Board . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 309

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 5–13

Математика

УДК 519.632.4

О спектральной задаче для оператора
Орра–Зоммерфельда ∗

С.Д. Алгазин, Г.Х. Соловьёв

Аннотация. Методом вычислительного эксперимента исследуется задача о распределении собственных значений оператора Орра–
Зоммерфельда.
Ключевые слова: численный алгоритм без насыщения, уравнение
Орра–Зоммерфельда.

Введение

Запишем полную систему уравнений движения вязкой несжимаемой
жидкости, состоящую из уравнения неразрывности и трёх уравнений Навье–
Стокса:
div ⃗υ = 0; ρ dυi

dt = −∇ip + µ∆υi.
(1)

Неизвестными являются три компоненты вектора скорости ⃗υ = {u, υ, w}
и давление р. Обезразмерим уравнения, выбрав в качестве размернонезависимых
параметров
характерную
длину,
скорость
и
плотность
жидкости L, U и ρ. Тогда в системе останется единственный безразмерный
параметр — число Рейнольдса R = LUρ/µ. Раскрывая производные в (1),
получаем следующую систему уравнений:

∂u
∂x + ∂υ

∂y + ∂w

∂z = 0,

∂u
∂t + u ∂u

∂x + υ ∂u

∂y + w ∂u

∂z = − ∂p

∂x + 1

R

∂2u

∂x2 + ∂2u

∂y2 + ∂2u

∂z2

,

∂υ
∂t + u ∂υ

∂x + υ ∂υ

∂y + w ∂υ

∂z = − ∂p

∂y + 1

R

∂2υ

∂x2 + ∂2υ

∂y2 + ∂2υ

∂z2

,
(2)

∂w
∂t + u ∂w

∂x + υ ∂w

∂y + w ∂w

∂z = − ∂p

∂z + 1

R

∂2w

∂x2 + ∂2w

∂y2 + ∂2w

∂z2

.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 15-01-01739,
№ 16-01-00189).

С.Д. Алгазин, Г.Х. Соловьёв

Будем рассматривать малые возмущения некоторого заданного установившегося плоскопараллельного течения

u = u0 (z) ,
υ = 0,
w = 0,
p = p0,

вектор скорости которого параллелен оси х и зависит только от координаты
z, а давление постоянно. Возмущённое движение имеет вид

u = u0 (z) + u′ (x, y, z, t) , υ = υ′ (x, y, z, t) ,

w = w′ (x, y, z, t) , p = p0 + p′ (x, y, z, t) .

Здесь
штрихом
обозначены
возмущённые
величины,
причём
|u′| , |υ′| , |w′| << max |u0|, |p′| << p0. Устойчивость будем изучать в линейном
приближении. Для этого подставим эти выражения в (2), линеаризуем и
вычтем те же уравнения для невозмущённого течения. В результате получим
следующую
систему
линейных
уравнений
относительно
возмущенных
величин:
∂u′

∂x + ∂υ′

∂y + ∂w′

∂z = 0,

∂u′

∂t + u0
∂u′

∂x + w′ ∂u0

∂z = − ∂p′

∂x + 1

R

∂2u′

∂x2 + ∂2u′

∂y2 + ∂2u′

∂z2

,

∂υ′

∂t + u0
∂υ′

∂x = − ∂p′

∂y + 1

R

∂2υ′

∂x2 + ∂2υ′

∂y2 + ∂2υ′

∂z2

,
(3)

∂w′

∂t + u0
∂w′

∂x = − ∂p′

∂z + 1

R

∂2w′

∂x2 + ∂2w′

∂y2 + ∂2w′

∂z2

.

Система (3), дополненная граничными и начальными условиями, определяет поведение малых возмущений течения.
Заметим, во-первых, что хотя физическая постановка задачи предполагает, что возмущения действительны, в силу линейности уравнений можно
рассматривать и комплексные решения. Такие решения предполагают, что
физический смысл имеет их действительная и мнимая части, а комплексная
форма используется исключительно из-за математического удобства.
Во-вторых, полученная линейная система имеет коэффициенты, зависящие только от z и, следовательно, имеет решения, экспоненциальные по х,
у и t. Это свойство используется в основном методе исследования устойчивости — методе нормальных (или собственных) мод, который заключается
в следующем. Рассматриваются не произвольные возмущения с начальными
условиями, а возмущения специального вида:
u′ (x, y, z, t)
υ′ (x, y, z, t)
w′ (x, y, z, t)
p′ (x, y, z, t)

=

u (z)
υ (z)
w (z)
p (z)

· ei(αx+βy−ωt).
(4)

О спектральной задаче для оператора Орра–Зоммерфельда
7

Здесь α и β — заданные вещественные числа. Такие решения, называемые
модами, являются бегущими волнами: их вещественные (и мнимые) части
имеют вид

Re f′ (x, y, z, t) = Re
f (z) ei(αx+βy−ωt)=

=
Re f (z) cos (αx + βy − Reωt) − Im f (z) cos (αx + βy − Reωt)
eImωt =

=
f (z)
cos (αx + βy + φ (z) − Reωt) eImωt.

В каждом слое z = const движение имеет вид волны, перемещающейся
без деформации в направлении, заданном α и β Одновременно происходит
усиление или затухание волны, зависящее от знака Imω Величины α и β
называются волновыми числами; вектор {α, β} в плоскости xy называется
волновым вектором. Направление волнового вектора задает направление
движения волны, а его длина определяет длину волныλ:

α2 + β2 = 2π

λ .

Величина ω называется частотой волны. Она должна находиться из решения системы (3) после подстановки туда (4), как будет показано ниже.
Таким образом, ω = ω (α, β) Если Imω (α, β) > 0 для каких-нибудь α и β, то
течение неустойчиво. Если же Imω (α, β) ⩽ 0 для всех α, β ∈ R, то можно
говорить лишь об устойчивости возмущения вида (4). Однако часто из этого
следует и устойчивость возмущений произвольного вида.
Итак, поведение возмущений в виде бегущей волны (4) часто определяют
устойчивость течения по отношению к произвольным возмущениям, поэтому
сначала остановимся на исследовании таких возмущений. Возмущения произвольного вида будут рассмотрены позже. Подставим (4) в (3), введя для
удобства вместо ω величинуc = ω/α, называемую фазовой скоростью:

iαu + iβυ + ∂ w

∂z = 0,

iα (u0 − c) u + w ∂u0

∂z = −iαp + 1

R

−α2u − β2u + ∂2u

∂z2

,

iα (u0 − c) υ = −iβp + 1

R

−α2υ − β2υ + ∂2υ

∂z2

,
(5)

iα (u0 − c) w = − ∂p

∂z + 1

R

−α2 w − β2 w + ∂2 w

∂z2

.

Граничные условия для этой системы зависят от рассматриваемого основного течения. Если, например, это течение между двумя твёрдыми стенками
z = z1, z2, то это условия прилипания:

С.Д. Алгазин, Г.Х. Соловьёв

u = υ = w = 0,
z = z1, z2.

Тривиальное решение (5) с однородными граничными условиями — нулевое. Очевидно, нас интересуют решения, отличные от нуля; они существуют
лишь при некоторых определённых значениях c. Таким образом, получаем
задачу на собственные значения c, которые могут быть выражены в виде

F (α, β, c, R) = 0.
(6)

Целью исследования уравнения (6) является определение такого числа
Рейнольдса Rcr, что течение устойчиво при R ⩽ Rcr и неустойчиво при
R > Rcr. Такое исследование упрощается благодаря теореме Сквайера, который показал, что достаточно исследовать только плоские возмущения (т.е.
возмущения с β = 0), поскольку они являются наиболее неустойчивыми.
Теорема Сквайера. Для вычисления критического числа Рейнольдса
Rcr течения вязкой жидкости достаточно рассматривать только плоские
возмущения.
Уравнения Орра–Зоммерфельда и Рэлея. Таким образом, дальше
будем рассматривать плоские возмущения. Система (5) принимает вид

iαu + ∂ w

∂z = 0,
iα (u0 − c) u + w ∂u0

∂z = −iαp + 1

R
−α2u + ∂2u

∂z2
,

iα (u0 − c) w = − ∂p

∂z + 1

R
−α2 w + ∂2 w

∂z2
.

Преобразуем её к одному уравнению относительно w. Выразим u из
первого уравнения

u = i

α
∂ w
∂z
(7)

и подставим во второе:

p = i

α (u0 − c) ∂ w

∂z + i

α w ∂u0

∂z + 1

R

− ∂ w

∂z + 1

α2
∂3 w
∂z3

.

Подставляя p в третье уравнение, получаем

1

iRα

∂4 w

∂z4 − 2α2 ∂2 w

∂z2 + α4 w
= ∂

∂z

(u0 − c) ∂ w

∂z − w ∂u0

∂z

− α2 (u0 − c) w.

Это уравнение называется уравнением Орра–Зоммерфельда. Часто его
записывают в операторной форме:

1

iRα
D2 − α22 w = (u0 − c)
D2 − α2w − ∂2u0

∂z2 w,

где D = ∂/∂z.

О спектральной задаче для оператора Орра–Зоммерфельда
9

Граничное условие прилипания на твёрдых стенках в силу (7) формулируется так:

w = ∂ w

∂z = 0,
z = z1, z2.

С этими граничными условиями уравнение Орра–Зоммерфельда определяет задачу на собственные значения c.
В случае невязкой жидкости R → ∞ и уравнение Орра–Зоммерфельда
вырождается в уравнение, называемое уравнением Рэлея:

∂
∂z

(uo − c) ∂ w

∂z − w ∂u0

∂z

− α2 (u0 − c) w = 0,

или

(u0 − c)
D2 − α2w − ∂2u0

∂z2 w = 0.

Поскольку оно имеет не 4-й, а 2-й порядок, то ставится лишь по одному
граничному условию на жёстких стенках — условию непротекания: w = 0,
z = z1, z2.
Итак, мы получили два уравнения, описывающие поведение возмущений:
в вязкой жидкости это уравнение Орра–Зоммерфельда, в невязкой — уравнение Рэлея. Каждое из них вместе с граничными условиями определяет задачу на собственные значения c. Если существует α ∈ R, такое, что Imc (α) > 0,
то течение неустойчиво. В противном случае течение устойчиво, при этом
различают два типа устойчивости: если Imc (α) < 0, то устойчивость асимптотическая (возмущение экспоненциально затухает), если же Imc (α) = 0,
то такая устойчивость называется нейтральной — амплитуда возмущения не
растёт и не затухает. Изучению уравнения Орра-Зоммерфельда посвящены
работы [1, 2, 5]. Численные методы можно найти в [1, 3, 4].

1. Численный алгоритм без насыщения для уравнения
Орра–Зоммерфельда

Уравнение для собственных функций. Пусть lα =
d2
dx2 − α2. Тогда

l2
α · ψ + iαR (U′′ − Ulα) ψ − Rλlαψ = 0,
ψ (±1) = ψ′ (±1) = 0.
(8)

Здесь α — вещественный параметр; R — число Рейнольдса; U=1 − y2 —
невозмущенный профиль; λ — спектральный параметр (неустойчивому течению соответствуют λ с положительной мнимой частью). Запишем уравнение
(8) в виде
ψIV (x) = p (x) ψ′′ (x) + q (x) ψ,

С.Д. Алгазин, Г.Х. Соловьёв

где

p (x) = 2α2 + λR + iαRU (x) ,
−q (x) = α4 + iαRU′′ + iα3RU + Rλ.

Пусть K (x, y) − функция
Грина оператора
d4
dx4 с граничными условиями

ψ (±1) = ψ′ (±1) = 0.

Тогда

ψ (x) =

1
−1
A (x, y)ψ (y) dy + λ

1
−1
B (x, y) ψ (y) dy,

A (x, y) = − (α4 + iα3RU (y)) K (x, y) + 2 iα RU′ (y) Ky (x, y) +
+ (2α2 + iαRU (y)) Kyy (x, y) ; B(x, y) = R [Kyy(x, y) − α2K(x, y)].

Причем

K(x, y) =
1
24 (1 + x)2(1 − y)2(1 + 2y − 2x − xy),
y > x,
1
24 (1 − x)2(1 + y)2(1 + 2x − 2y − xy),
y < x,

Kyy (x, y) =

(1+x)2

4
[−1 + 2y − xy] ,
y > x,
(1−x)2

4
[−1 − 2y − xy] ,
y > x,

Ky (x, y) =

(1+x)2(1−y)

8
(x − 2y + xy) ,
y > x,
(1−x)2(1+y)

8
(x − 2y − xy) ,
y < x.

2. Дискретизация

Имеем

ψ (x) ←

n
j=1
lnj (x) ψj,
lnj (x) =
Tn (x)

(x − xj) T ′n (xj) ,
xj = cos 2j − 1

2n
π, j = 1, 2, ...,

ψi =
j

1
−1
A (xi, y)lnj (y) dy ψj + λ
j

1
−1
B (xi, y)lnj (y) dy ψj + ρi,

aij =

1
−1
A (xi, y) lnj (y) dy,
bij =

1
−1
B (xi, y) lnj (y) dy,

О спектральной задаче для оператора Орра–Зоммерфельда
11

χi — приближенные значения собственных функций в узлах, µ — собственные значения дискретной задачи, χ = (χ1, χ2, ..., χn)′,

χ = Aχ + µBχ,
(I − A) χ − µBχ = 0.

Получаем алгебраическую задачу на собственные значения
1

µ I − (I − A)−1 B
χ = 0.

3. Уравнение Орра–Зоммерфельда. Формулы
для программирования

Входные параметры: α — вещественное, R — число Рейнольдса, m —
размер матрицы (n=2m),

±1
« + », чётный случай,
« − », нечётный случай.
.

Конечномерная задача имеет вид: υ = Aυ + λBυ, где A и В — матрицы
размера m × m. Имеем

Ai j = 1

m

2m−1
k=0

′1 ± (−1)kcos kθj
Imk (xi) ,

θj = (2j − 1) π

2n
= (2j − 1) π

4m
,
j = 1, 2, 3, ..., m;

xi = cos θi, i = 1, 2, 3, ..., m; причем «+» для четных собственных функций и
«−» для нечетных, штрих у знака суммы означает, что слагаемое при k=0
берётся с коэффициентом 1/2. Формулы для Imk (xi) имеют вид

Imk (xi) =
2α2I1k (xi) − α4I4k (xi)
+ i
αRI2k (xi) + 2αRI3k (xi) − α3RI5k (xi)
.

Поэтому следует написать две подпрограммы для вычисления ReA и
ImA.
Далее

Bij = 1

m

2m−1
k=0

′1 ± (−1)kcos kθj · Ink (xi) ,

Ink (xi) = i
α3RI4k (xi) − αRI1k (xi)
.

Таким образом, матрица B — чисто мнимая (сравни с ReA ).
Формулы для вычисления интегралов Ijk, j = 1, 2, 3, 4, 5, имеют вид

I1k (x) = − 1

4
1 − x2˜Ik0 (x) + (x + 2) ˜Ik1 (x)
+

+ 1

4 (1 + x)2 − ˜Jk0 (x) + (2 − x) ˜Jk1 (x)
,

С.Д. Алгазин, Г.Х. Соловьёв

I2k (x) = + 1

4
1 − x2˜Ik2 (x) + (x + 2) ˜Ik3 (x)
−

− 1

4 (1 + x)2 − ˜Jk2 (x) + (2 − x) ˜Jk3 (x)
+ I1k,

I3k (x) = − 1

4 (1 − x2)
x˜Ik1 (x) − 2˜Ik2 (x) − (2 + x) ˜Ik3 (x)
−
− 1

4 (1 + x)2 x ˜Jk1 (x) − 2 ˜Jk2 (x) + (2 − x) ˜Jk3 (x)
,

I4k(x) =
1
24 (1 − x2)×
×
(1 + 2x) ˜Ik0 (x) + 3x˜Ik1 (x) − 3˜Ik2 (x) − (2 + x) ˜Ik3 (x)
+
+ 1

24 (1 + x)2 (1 − 2x) ˜Jk0 (x) + 3x ˜Jk1 (x) − 3 ˜Jk2 (x) + (2 − x) ˜Jk3 (x)
,

I5k (x) = I4k (x) −
− 1

24 (1 − x2)
(1 + 2x) ˜Ik2 (x) + 3x˜Ik3 (x) − 3˜Ik4 (x) − (2 + x) ˜Ik5 (x)
−
− 1

24 (1 + x)2 (1 − 2x) ˜Jk2 (x) + 3x ˜Jk3 (x) − 3 ˜Jk4 (x) + (2 − x) ˜Jk5 (x)
.

Список литературы

1. Скороходов С.Л. Численный анализ спектра задачи Орра–Зоммерфельда // Ж.
вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 10. С. 1672–1691.
2. Шкаликов А.А. Спектральные портреты оператора Орра–Зоммерфельда при
больших числах Рейнольдса // Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 3. С. 89–112.
3. Алгазин С.Д. Численные алгоритмы классической математической физики. М.:
Диалог-МИФИ, 2010. 240 с.
4. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.
5. Курочкин С.В. Метод выявления неустойчивости и поиска неустойчивых собственных значений в задаче Орра-Зоммерфельда // Журнал вычисл. матем. и
матем. физ. 2001. Т. 41. № 1. С. 86–94.

Алгазин Сергей Дмитриевич (algazinsd@mail.ru), д.ф.-м.н., в.н.с., Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва.

Соловьёв Гариф Хусаинович (19tatarin45@rambler.ru), к.т.н, доцент, Московский государственный машиностроительный университет, Москва.

About the spectral problem for the Orr–Somerfield

S.D. Algazin, G.X. Solov’ev

Abstract. The method of computing experiment investigates a problem about
a distribution of eigenvalues of an operator of Orr–Somerfield.
Keywords:
numerical
algorithm
without
saturation,
equation
of
Orr–Somerfield.