Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2014, № 4

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 4

ТУЛА

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ

2014

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 4. — Тула: Изд-во ТулГУ,
2014. — 203 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, прикладной математики и информатики, биологии,
наукам о Земле.

Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов,
студентов
и
аспирантов,
специализирующихся
в
области
естественных наук.

Редакционный совет

М.В. Грязев, д-р техн. наук, проф. — председатель, В.Д. Кухарь, д-р техн.
наук, проф. — зам. председателя, А.А. Маликов, д-р техн. наук, проф. —
отв. секретарь, В.В. Прейс, д-р техн. наук, проф. — главный редактор,
В.А. Алфёров, канд. хим. наук, доц., И.А. Батанина, д-р полит. наук, проф.,
О.И. Борискин, д-р техн. наук, проф., Л.А. Васин, д-р техн. наук, проф.,
В.И. Иванов, д-р физ.-мат. наук, проф., Н.М. Качурин, д-р техн. наук, проф.,
Р.А. Ковалев, д-р техн. наук, доц., А.А. Сычугов, канд. техн. наук, доц.,
А.К. Талалаев, д-р техн. наук, проф., А.Н. Чуков, д-р техн. наук, проф.

Редакционная коллегия

В.И.
Иванов
(Тула)
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров
(Тула),
С.В.
Анциферов
(Тула),
И.М.
Буркин
(Тула),
Н.М.
Добровольский
(Тула), Д.М. Левин (Тула), А.А. Маркин (Тула) — зам. отв. редактора,
Е.Н. Музафаров (Тула), Л.А. Толоконников (Тула), С.А. Скобельцын
(Тула) — отв. секретарь, В.Г. Кротов (Минск, Беларусь), В.В. Литвиненко
(Харьков, Украина), Н.П. Матвейко (Минск, Беларусь), В.М. Мирсалимов
(Баку, Азербайджан), Н.Т. Темиргалиев (Астана, Казахстан), М.Ш. Шабозов
(Душанбе, Таджикистан)

Подписной индекс 27845

по Объединенному каталогу «Пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в перечень
ведущих научных журналов и изданий,
выпускаемых в Российской Федерации,
в которых должны быть опубликованы
научные результаты диссертаций на
соискание ученой степени доктора наук

c⃝ Авторы научных статей, 2014
c⃝ Издательство ТулГУ, 2014

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Горбачев Д.В. Экстремальная задача Бомана для преобразования Фурье–
Ганкеля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Горбачев Д.В. Нижние асимптотические оценки мощности дизайнов на сфере
S2 и шаре B2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

Иванов В. И., Лю Юнпин , Смирнов О. И. Некоторые классы целых функций
экспоненциального типа в пространствах Lp(Rd) со степенным весом . . . . . .
26

МЕХАНИКА

Глаголев В. В., Глаголева М. О. Модель трещины поперечного сдвига в теле
конечных размеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

Глаголев В. В.,
Фурсаев А. А.
Задача
Дагдейла
в
рамках
одной
модели
трещины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

Ларин Н. В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Об определении линейных
законов
неоднородности
цилиндрического
упругого
слоя,
имеющего
наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука . . . . .
54

Нетребко А. В., Пшеничнов С. Г. Нестационарная динамическая задача для
линейно-вязкоупругой цилиндрической оболочки конечной длины . . . . . . . . .
63

Овчаренко Ю. Н. К теории (концепции) разрушения «локальная плотность
энергии деформации» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80

Скобельцын С. А. Рассеяние звуковых волн конечной упругой криволинейной
пластиной с неоднородным покрытием и полостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

Толоконников Л. А., Ходюшина Е. В. Определение радиуса концентрической
полости упругого цилиндра по известному рассеянному акустическому
полю. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Христич Д. В. Компьютерное моделирование экспериментов по определению
типа начальной анизотропии упругих материалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Грязев М. В.,
Кузнецова О. А.
Оптимизирующая
последовательность
вариации структуры управляющего воздействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Данг Нгок Хоанг Тхань Устранение гауссовского и пуассоновского шумов на
растровых изображениях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Фам К. Т.,
Копылов А. В.
Мультиквадратичная
процедура
динамического
программирования
для
восстановления
изображений
с
сохранением
локальных особенностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Содержание

БИОЛОГИЯ

Волкова Е. М., Пельгунова Л. А., Кочкина А. В. Динамика развития болот в
карстово-суффозионных депрессиях и накопление химических элементов в
торфяных залежах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Филатова И. Ю., Музафаров Е. Н., Захарова М. В. Суперпродукция, очистка и
характеристика транскрипционного фактора SgpR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

Крамаренко В. В.,
Молоков В. Ю.,
Молокова Л. Л. Физические
свойства
и
структурная прочность глинистых грунтов территории Томской области . . 184

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Редколлегия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Editorial Board . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 198

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 5–10

Математика

УДК 517.5

Экстремальная задача Бомана
для преобразования Фурье–Ганкеля ∗

Д.В. Горбачев

Аннотация.
Решена
экстремальная
задача
Бомана
для
неотрицательных функций с компактным носителем преобразования
Фурье–Ганкеля. Для этого применяются квадратурные формулы
Бесселя. Как следствие, дано новое решение n-мерной задачи
Бомана для неотрицательных целых функций экспоненциального
сферического типа, полученное W. Ehm, T. Gneiting и D. Richards.
Ключевые слова: Преобразование Фурье–Ганкеля, экстремальная
задача Бомана, квадратурная формула Бесселя.

Пусть n ∈ N, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, xy = ∑n
j=1 xjyj
— скалярное
произведение векторов x, y ∈ Rn, |x| = (xx)1/2, Bn = {x ∈ Rn : |x| ⩽ 1} —
единичный евклидов шар, ∆ = ∑n
j=1 ∂2/∂x2
j — оператор Лапласа, supp f —
носитель
функции
f
(замыкание
множества
{x: f(x) ̸= 0}),
χA
—
характеристическая функция множества A (χA(x) = 1 при x ∈ A и χA(x) = 0
иначе).

Многомерная экстремальная задача Бомана [1] для шара заключается
в нахождении минимума величины −∆φ(0) на классе характеристических
в вероятностном смысле функций φ ∈ C2(Rn) с носителем supp φ ⊂ τBn,
τ > 0. Пусть

Bn(τ) = inf (−∆φ(0)).

Функции φ являются положительно определенными функциями вида

φ(x) = f(x) =
∫

Rn f(y)e−ixy dy,

где
f
—
преобразование
Фурье
функции
f ⩾ 0,
φ(0) = f(0) = 1.
В вероятностном смысле функция f является плотностью распределения,
а величина

−∆φ(0) =
∫

Rn |x|2f(x) dx

* Работа
выполнена
при
финансовой
поддержке
РФФИ
(грант
№13-01-00045),
Министерства образования и науки РФ (госзадание №5414ГЗ) и Фонда Дмитрия Зимина
«Династия».

Д.В. Горбачев

имеет смысл дисперсии. Поэтому задача Бомана эквивалентна следующей
экстремальной задаче:

Bn(τ) = inf
∫

Rn |x|2f(x) dx,
f ∈ Bn(τ),

где Bn(τ) — класс неотрицательных функций f ∈ C(Rn), |x|2f ∈ L1(Rn),
таких что supp f ⊂ τBn и
f(0) = 1. Отметим, что функции f можно
отождествить
с
целыми
функциями
экспоненциального
сферического
типа ⩽ τ [2, 3].

В одномерном случае H. Bohman [4] доказал, что

B1([−τ, τ]) = −( f1)′′(0) =
( π

τ

)2
,

где

f1(x) = 4τ

π3

( cos (τx/2)

1 − (τx/π)2

)2
∈ B1([−τ, τ]).

В многомерном случае задачу Бомана решили W. Ehm, T. Gneiting
и D. Richards [1]. Они доказали, что для n ∈ N и τ > 0

Bn(τ) = −∆ fn(0) =
( 2qα

τ

)2
,

fn(x) =
22−2nτ n

πn/2Γ(n/2)q2α

(
jα(τ|x|/2)

1 − (τ|x|/(2qα))2

)2
∈ Bn(τ),

где jα(t) = Γ(α + 1)(t/2)−αJα(t) — нормированная функция Бесселя, 0 <
< qα,1 < qα,2 < . . . — положительные нули Jα(t), qα = qα,1, α = n/2 − 1 [2].
При n = 1 имеем j−1/2(t) = cos t и q−1/2 = π/2.

Отметим, что при решении экстремальных задач теории приближений
функции fn, fn использовались в работах [5, 6] еще до работы [1].

Для
вычисления
величины
Bn(τ)
авторы
[1]
воспользовались
следующими многомерными рассуждениями.

Во-первых,
при
поиске
экстремума
достаточно
ограничиться
радиальными функциями: f(x) = f0(|x|), x ∈ Rn. Преобразование Фурье
таких
функций
также
радиально
и
выражается
через
интегральное
преобразование Фурье–Ганкеля [2]: f(y) = f0(|y|), y ∈ Rn,

f0(s) = ωα

∫ ∞

0
f0(t)jα(st) t2α+1 dt,
s ∈ R+,

где ωα = 2πα+1Γ−1(α + 1).

Во-вторых, применялась теорема Рудина о представлении радиальной
положительно определенной функции φ с компактным носителем supp φ ⊂
⊂ τBn:

φ =

∞
∑

k=1
uk ∗ uk,

Экстремальная задача Бомана для преобразования Фурье–Ганкеля
7

где ряд сходится равномерно, supp uk ⊂ (τ/2)Bn, выражение

u ∗ u(x) =
∫

Rn u(y)u(y + x) dy

обозначает свертку функции u с собой.

В-третьих, использовалось неравенство Рэлея

∫

C |∇u(x)|2 dx
∫

C |u(x)|2 dx
⩾ λ1

для первого (минимального) собственного значения λ1 оператора Лапласа
в центрально-симметричном теле C ⊂ Rn:

−∆u = λu,
x ∈ C,
u|∂C = 0.

Равенство достигается только на первой собственной функции u1. Для шара
C = Bn имеем λ1 = qα, u1(x) = jα(qα|x|).

Сформулируем задачу Бомана для радиальных функций в одномерной
постановке:

B0α(τ) = inf ωα

∫ ∞

0
t2f0(t) t2α+1 dt,
f0 ∈ B0α(τ),

где B0α(τ) — класс четных неотрицательных функций f0 ∈ C(R), t2f0 ∈
∈ L1
t2α+1(R+), таких, что supp f0 ⊂ [0, τ] и f0(0) = 1. Функции f0 можно
отождествить с целыми функциями экспоненциального типа ⩽ τ [2]. При
этом, очевидно, что f0 ∈ L1
t2α+1(R+).

Для α = n/2 − 1 имеем B0α(τ) = Bn(τ). Представляет интерес решить
задачу Бомана B0α(τ) для произвольного α ⩾ −1/2, когда нет возможности
опереться на многомерные рассуждения. Мы сделаем это при помощи
квадратурных формул Бесселя. Похожие рассуждения были использованы
автором в близких экстремальных задачах (см. [2, 3]).

Определим дифференциальный оператор

Dα =
1

t2α+1
d
dt t2α+1 d

dt ,

для которого
Dαjα(st) = −s2jα(st).
(1)

Оператор Dn/2−1 совпадает с радиальной частью оператора Лапласа ∆.

Теорема 1. Для α ⩾ −1/2

B0α(τ) = −Dα f0α(0) =
( qα

πτ

)2
,

где единственная экстремальная функция

f0α(t) =
2−4α−2τ 2α+2

πα+1Γ(α + 1)q2α

(
jα(τt/2)

1 − (τt/(2qα))2

)2
∈ B0α(τ).

Д.В. Горбачев

Доказательство. Нам потребуются два вспомогательных утверждения
из [2, 3].

Пусть φ — произвольная четная целая функция экспоненциального
типа ⩽ 2τ, такая, что t2α+1φ ∈ L1(R+), α > −1.

1. Для функции φ справедлива квадратурная формула Гаусса–Бесселя

∫ ∞

0
φ(t) t2α+1 dt =

∞
∑

k=1

γαk
τ 2α+2 φ
( qαk

τ

)
,
γαk = 2
(
qα
αk

J′α(qαk)

)2
,

где ряд сходится абсолютно. При этом для любого ε > 0 существуют функции
типа 2τ + ε, для которых квадратурная формула неверна.

2. Пусть

φ(t) =
j2
α(t)

Ω2m(t) φ1(t),

где Ω2m — четный многочлен степени 2m ⩾ 0, нули которого являются
подмножеством нулей jα(τt) и имеют кратность ⩽ 2. Тогда φ1 — четный
многочлен степени 2m − 2 при m ⩾ 1 и φ1 = 0 при m = 0.

Вернемся к доказательству теоремы. Пусть f0 ∈ B0α(τ). Тогда f0 —
неотрицательная
четная
целая
функция
экспоненциального
типа
⩽ τ,
f0, t2f0 ∈ L1
t2α+1(R+),

f0(0) = ωα

∫ ∞

0
f0(t) t2α+1 dt = 1.

К функциям f0 и t2f0 можно применить квадратурную формулу Бесселя:

I1 = ωα

∫ ∞

0
f0(t) t2α+1 dt = ωα

∞
∑

k=1

γαk

(τ/2)2α+2 f0
( qαk

τ/2

)
= 1,

I2 = ωα

∫ ∞

0
t2f0(t) t2α+1 dt = ωα

∞
∑

k=1

γαk

(τ/2)2α+2

( qαk

τ/2

)2
f0
( qαk

τ/2

)
.

Поскольку f0 ⩾ 0 и qαk возрастают с ростом k, то

I2 ⩾ ωα
( qα1

τ/2

)2 ∞
∑

k=1

γαk

(τ/2)2α+2 f0
( qαk

τ/2

)
=
( qα1

τ/2

)2
I1 =
( 2qα

τ

)2
.

Эта оценка будет точной тогда и только тогда, когда функция t2f0
имеет нули в узлах 2qαk/τ
при k ⩾ 2, причем кратности 2 в силу
неотрицательности f0. Таким образом,

t2f0(t) =
(
jα(τt/2)

1 − (τt/(2qα))2

)2
φ1(t).

Отсюда и из утверждения п. 2 следует, что φ1 — четный многочлен
степени ⩽ 2. Это возможно только для многочлена φ1(t) = Ct2.

Экстремальная задача Бомана для преобразования Фурье–Ганкеля
9

Таким образом, единственной экстремальной функцией будет функция

f0(t) = C
(
jα(τt/2)

1 − (τt/(2qα))2

)2
,

где константа C выбирается из условия f0(0) = 1. Ее можно вычислить из
равенства

1 = ωα

∞
∑

k=1

γαk

(τ/2)2α+2 f0
( qαk

τ/2

)
= ωα
γα1

(τ/2)2α+2 f0
( 2qα

τ

)
.

Здесь γα1 = 2q2α
α (J′
α(qα))−2,

f0
( 2qα

τ

)
= C
lim
t→2qα/τ

(
jα(τt/2)

1 − (τt/(2qα))2

)2
= C lim
t→qα

( Γ(α + 1)(t/2)−αJα(t)

1 − (t/qα)2

)2
=

= C
( Γ(α + 1)(qα/2)−αJ′
α(qα)

−2/qα

)2
= C 22α−1Γ2(α + 1)q2
α

γα1
.

Таким образом,

1 =
2πα+1

Γ(α + 1)
γα1

(τ/2)2α+2 C 22α−1Γ2(α + 1)q2
α

γα1
,
C =
2−4α−2τ 2α+2

πα+1Γ(α + 1)q2α
.

Отсюда приходим к функции f0α.

Для доказательства равенства

ωα

∫ ∞

0
t2f0(t) t2α+1 dt = −Dα f0(0)

достаточно воспользоваться свойством (1) и определением преобразования
Фурье–Ганкеля f0.

Нетрудно проверить, что при α = n/2 − 1, n ∈ N, мы получим результаты
W. Ehm, T. Gneiting и D. Richards.

Теорема доказана.

Список литературы

1. Ehm W., Gneiting T., Richards D. Convolution roots of radial positive definite
functions with compact support // Trans. Amer. Math. Soc. 2004. V. 356.
P. 4655–4685.

2. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений. 2 изд.
Тула: Гриф и К, 2005.

3. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи теории функций и теории приближений:
дисc. . . . д-ра физ.-мат. наук. Екатеринбург, 2006. 200 с.

4. Bohman H. Approximate Fourier analysis of distribution functions // Ark. Mat. 1960.
V. 4. P. 99–157.

Д.В. Горбачев

5. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона // Матем. заметки. 1976. Т. 20. №3.
С. 439—444.

6. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Lp // Матем. заметки.
1994. Т. 56. №2. С. 15–40.

Горбачев
Дмитрий
Викторович
(dvgmail@mail.ru),
д.ф.-м.н.,
профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский
государственный университет.

Extremal Bohman’s problem for Fourier–Hankel transform

D.V. Gorbachev

Abstract. We solve the extremal Bohman problem for nonnegative functions
with compact support of the Fourier–Hankel transform. We use Bessel quadrature
formulas. As a consequence, we give a new solution of n-dimensional Bohman
problem for nonnegative entire functions of exponential spherical type obtained
by W. Ehm, T. Gneiting and D. Richards.
Keywords: Fourier–Hankel transform, Bohman extremal problem, Bessel
quadrature formulae.

Gorbachev Dmitry (dvgmail@mail.ru), doctor of physical and mathematical
sciences, professor, department of applied mathematics and computer science,
Tula State University.

Поступила 03.11.2014

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 11–25

Математика

УДК 517.5

Нижние асимптотические оценки мощности
дизайнов на сфере S2 и шаре B2 ∗

Д.В. Горбачев

Аннотация. Мы доказываем, что

c = lim inf
s→∞ s−2N(s) > 0.275,

где
N(s)
—
минимальное
число
точек
(мощность)
s-дизайна
на евклидовой сфере S2. Эта оценка лучше оценок c ⩾ 0.25
и c > 0.272, вытекающих из границ Дельсарта–Геталса–Зейделя
и Юдина соответственно. В качестве следствия улучшена нижняя
асимптотическая граница мощности дизайнов в евклидовом шаре
B2, полученная Yuan Xu.
Ключевые
слова: евклидова
сфера,
евклидов
шар,
дизайн,
плотность упаковки, задача Дельсарта.

Введение

Пусть n ∈ N, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, xy = x1y1 + . . . + xnyn — скалярное
произведение векторов x, y ∈ Rn, |x| = (xx)1/2 — евклидова норма x, Sn−1 =
= {x ∈ Rn : |x| = 1} — единичная евклидова сфера, |Sn−1| = 2πn/2/Γ(n/2) —
ее площадь, Bn = {x ∈ Rn : |x| ⩽ 1} — единичный евклидов шар, |Bn| =
= πn/2/Γ(n/2 + 1) — его объем, supp f — носитель функции f (замыкание
множества {x: f(x) ̸= 0}), χA — характеристическая функция множества A
(χA(x) = 1 для x ∈ A и χA(x) = 0 иначе). Обозначения ≲ и ≳ в асимптотиках
означают ⩽ C и ⩾ C соответственно с некоторой константой C > 0.

Дизайнами
называются
узлы
и
веса
квадратурных
формул
на
многообразии,
точных
для
многочленов.
В
частности,
сферическим
(чебышевским) дизайном порядка s (или s-дизайном), s ∈ Z+, называется
конечное множество точек X = {xν}N
ν=1 ⊂ Sn−1, для которого квадратурная

* Работа
выполнена
при
финансовой
поддержке
РФФИ
(грант
№13-01-00045),
Министерства образования и науки РФ (госзадание №5414ГЗ) и Фонда Дмитрия Зимина
«Династия».

Д.В. Горбачев

формула с равными весами

1

|Sn−1|

∫

Sn−1 f(x) dx = 1

N

N
∑

ν=1
f(xν)

точна для любого алгебраического многочлена f степени s [1, 2]:

f(x) =
∑

k
fk1. . . knxk1
1 . . . xkn
n ,
k ∈ Zn
+,
|k| = k1 + . . . + kn ⩽ s,

Число точек N = |X| называется мощностью дизайна X. В силу
инвариантности интеграла по сфере относительно вращений дизайны можно
определять с точностью до вращений.

В связи с многочисленными приложениями представляют интерес так
называемые минимальные s-дизайны XN, для которых число точек N при
заданных n и s минимально. Положим

Nn(s) = min |X|,
X ⊂ Sn−1 — s-дизайн,
Nn(s) = |XN|.

В плоском случае имеем N2(s) = s + 1 и Xs+1 — вершины правильного

(s + 1)-угольника, вписанного в окружность S1. Также легко видеть, что
Nn(0) = 1, X1 — любая точка сферы, например северный полюс, Nn(1) = 2,
X2 — северный и южный полюсы сферы. Кроме того известно, что Nn(2) =
= n + 1, Xn+1 — вершины правильного симплекса, вписанного в сферу Sn−1;
Nn(3) = 2n, X2n — вершины октаэдра.

Нахождение величины Nn(s) для произвольных n ⩾ 3 и s ⩾ 4, начиная
с доказательства факта существования чебышевских дизайнов, является
сложной
задачей.
Поэтому
большой
интерес
представляют
хорошие
оценки Nn(s). Далее рассматриваются асимптотические оценки величины

N(s) = N3(s)

для больших s в случае сферы S2. В качестве следствия будет уточнена
нижняя асимптотическая оценка мощности дизайнов в шаре B2.

Оценки
сверху. P.D. Seymour и T. Zaslavsky [3] доказали, что
сферические дизайны существуют для любых n и s:

Nn(s) < ∞.

J. Korevaar и J.L.H. Meyers [2] получили асимптотическое неравенство

Nn(s) ≲ sn(n−1)/2,
s → ∞,

и выдвинули гипотезу, что показатель в степени s можно заменить на n − 1.

А. Бондаренко, Д. Радченко и М. Вязовская [4] доказали эту гипотезу:

Nn(s) ≲ sn−1,
s → ∞.