Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2013, № 3

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 3

ТУЛА
ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ
2013

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ,
2013. 344 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, прикладной математики и информатики, физики,
химии, биологии, наукам о земле.
Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов,
студентов
и
аспирантов,
специализирующихся
в
области
естественных наук.

Редакционный совет
М.В. Грязев, д-р техн. наук, проф. — председатель, В.Д. Кухарь, д-р техн.
наук, проф. — зам. председателя, А.А. Маликов, д-р техн. наук, проф. —
отв. секретарь, В.В. Прейс, д-р техн. наук, проф. — главный редактор,
В.А. Алфёров, канд. хим. наук., доц., И.А. Батанина, д-р полит. наук, проф.,
О.И. Борискин, д-р техн. наук, проф., Л.А. Васин, д-р техн. наук, проф.,
В.И. Иванов, д-р физ.-мат. наук, проф., В.С. Карпов, д-р техн. наук, проф.,
Н.М. Качурин, д-р техн. наук, проф., Р.А. Ковалев, д-р техн. наук, доц.,
А.К. Талалаев, д-р техн. наук, проф., А.Н. Чуков, д-р техн. наук, проф.

Редакционная коллегия
В.И.
Иванов
(Тула)
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров
(Тула),
С.В.
Анциферов
(Тула),
И.М.
Буркин
(Тула),
Н.М.
Добровольский
(Тула), Д.М. Левин (Тула), А.А. Маркин (Тула) — зам. отв. редактора,
Е.Н. Музафаров (Тула), Л.А. Толоконников (Тула), С.А. Скобельцын
(Тула) — отв. секретарь, В.Г. Кротов (Минск, Белоруссия), В.В. Литвиненко
(Харьков, Украина), Н.П. Матвейко (Минск, Белоруссия), В.М. Мирсалимов
(Баку, Азербайджан), Н.Т. Темиргалиев (Астана, Казахстан), М.Ш. Шабозов
(Душанбе, Таджикистан)

Подписной индекс 27845
по Объединенному каталогу «Пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в перечень
ведущих научных журналов и изданий,
выпускаемых в Российской Федерации,
в которых должны быть опубликованы
научные результаты диссертаций на
соискание ученой степени доктора наук

c⃝ Авторы научных статей, 2013
c⃝ Издательство ТулГУ, 2013

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Вепринцев Р. А. Некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на сфере
и шаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Вепринцев Р. А. Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом
Данкля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Верещагин В. П.,
Субботин Ю. Н.,
Черных Н. И.
Расширение
класса
преобразований векторного поля и его приложения к дифференциальным
уравнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Иванов А. В.,
Иванов В. И.,
Ха
Тхи
Минь
Хуэ
Oбобщенная
константа
Джексона в пространстве L2(Rd) с весом Данкля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Скорикова О. В. Сильная равномерная распределенность системы функций
ван дер Корпута–Хеммерсли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

МЕХАНИКА

Абрамчук В. С.,
Абрамчук И. В.,
Мозговой А. В.
Анализ
механических
колебаний с учетом рассеяния внутренней энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Володин Г. Т.,
Чан
Тхань
Тунг
Метод
Б.Г.
Галёркина
в
задачах
гарантированного разрушения пластин взрывом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Каталажнова И. Н., Скачков М. Н. Определение спектра мезоскопического
индекса в µ-модели сыпучей среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Кузнецов Е. Е., Матченко Н. М. Уравнения равновесия элемента сплошной
среды при условии кратности промежуточного главного напряжения. . . . . . 129
Кузнецов Е. Е.,
Матченко Н. М.
Об
уравнениях
предельного
состояния
изотропных идеально связных сред при плоском чистом сдвиге. . . . . . . . . . . . 135
Кузнецов Е. Е., Матченко И. Н., Матченко Н. М. Об уравнениях предельного
состояния идеально связных анизотропных сред при пространственном
чистом сдвиге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Маркин А. А., Лыу Туан Ань Движение тонкого жёсткопластического тела по
конической и тороидальной поверхностям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Христич Д. В. Критерий экспериментальной идентификации ромбического,
моноклинного и триклинного материалов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Иванов В. И.,
Скобельцын С. А.
Влияние
неоднородного
покрытия
на
прохождение звука через упругую оболочку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Серегина Н. К. Алгоритмы численного интегрирования с правилом остановки 193
Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с
неоднородным упругим покрытием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Содержание

ФИЗИКА

Головнев О. В.,
Сомова Н. Ю.
Влияние
обменного
взаимодействия
на
экситонный спектр в наноразмерных сверхрешетках EuO – SrO . . . . . . . . . . . 209
Захарова С. И.,
Ростовцев Р. Н.
Термодинамические
и
структурные
характеристики сплавов системы Cu-Sn-Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Зель И. Ю., Иванкина Т. И., Левин Д. М., Локаичек Т., Хроуда Ф. Исследование
анизотропии упругих и магнитных свойств в моделях слоистых горных
пород . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

ХИМИЯ

Алферов С. В.,
Минайчева П. Р.,
Нгуен В. Т.,
Алферов В. А.
Оценка
конкуренции кислорода и медиатора электронного транспорта в условиях
работы микробного топливного элемента на основе бактерий Gluconobacter
oxydans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Атрощенко Ю. М., Блохин И. В., Иванова Е. В., Ковтун И. В. Экспериментальное и теоретическое исследование физико-химических свойств гидридных
σ-аддуктов на основе 2-гидрокси-3,5-динитропиридина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Бойкова О. И., Волкова Е. М. Химические и биологические свойства торфов
Тульской области. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Каманин С. С.,
Скворцова Л. С.,
Арляпов В. А.
Печатные
электроды,
модифицированные
глюкозооксидазой
и
γ-амилазой
для
определения
глюкозы и крахмала в бродильных средах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

БИОЛОГИЯ

Дорофеев Ю. В., Евсюнин А. А. Влияние рекреации на популяции жужелиц
(Coleoptera,
Carabidae)
широколиственных
лесов
Тульской
области:
численность и половая структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Захарченко Н. С., Локтюшов Е. В., Рукавцова Е. Б., Шевчук Т. В., Дьяченко О. В., Бурьянов Я. И. Получение трансгенных растений, экспрессирующих ген антимикробного пептида бомбинина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Торгонская М. Л.,
Лауринавичюс К. С.,
Зякун А. М.,
Троценко Ю. А.
Использование отношений распространенностей изотопов
35Cl и
37Cl в
дихлорметане для характеристики его микробного дехлорирования. . . . . . . . 297
Shkidchenko A. N., Akhmetov L. I. Autoselection of a stable consortium formed by
psychrophilic oil-degrading microorganisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

Богомолов А. Н., Ушаков А. Н., Богомолова О. А. О симметрии компонент
напряжения в однородном и изотропном основании абсолютно жесткого
штампа
при
конечном
значении
величины
коэффициента
трения
по
контакту «штамп-грунт» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Саммаль А. С.,
Грибанов В. Б.,
Капунова Н. А.
Оценка
напряженного
состояния массива пород в окрестности двух параллельных круговых
выработок, сооружаемых в общей зоне укрепления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Содержание
5

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Редколлегия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
The Editorial Board . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 339

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 6–26

Математика

УДК 517.5

Некоторые вопросы гармонического анализа
Данкля на сфере и шаре ∗

Р. А. Вепринцев

Аннотация. Излагаются некоторые вопросы гармонического
анализа Данкля на евклидовой сфере и евклидовом шаре. Строится
оператор
сплетения
из
весового
пространства
L1
на
шаре
в
пространство L1 на сфере с весом Данкля, позволяющий определить
свертку на сфере с весом Данкля.
Ключевые слова: система корней, группа отражений, функция
кратности на системе корней, оператор Данкля, лапласиан Данкля,
κ-сферическая гармоника, оператор сплетения Данкля, алгебра
Данкля.

Введение

В конце 80-х годов прошлого века американский математик Ч. Данкль
(C.F. Dunkl) определил дифференциально-разностные операторы, которые
теперь
принято
называть
операторами
Данкля.
В
последние
годы
теория операторов Данкля нашла широкие применения в математике и
математической физике. Эти операторы представляют полезный инструмент
при изучении специальных функций, связанных с системами корней.
Ч. Данкль ввел и изучил преобразование Фурье, связанное с операторами
Данкля,
называемое
преобразованием
Данкля.
Формула
обращения,
теоремы Планшереля и Пэли-Винера были установлены позднее в работах
М.Ф.Е. де Же (M.F.E. de Jeu). В определении этого преобразования
Ч. Данкль использует ядро Данкля, которое обобщает обычную экспоненту
и получается путем применения к экспоненте так называемого оператора
сплетения
Данкля.
Важные
свойства
оператора
сплетения
доказаны
М. Р¨еслер (M. R¨osler) и К. Трим`еш (K. Trim`eche).
Оператор сплетения позволяет построить теорию сферических гармоник,
связанных
с
группами
отражений,
аналогичную
классической
теории
сферических
гармоник.
Такой
гармонический
анализ,
называемый
гармоническим
анализом
Данкля,
находит
применения
в
теории
приближений, например, в работах Ю. Шу (Y. Xu).

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045).

Некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на сфере и шаре
7

Настоящая
работа
посвящена
изложению
некоторых
вопросов
гармонического анализа Данкля.

1. Предварительные обозначения и определения

Пусть N — множество всех натуральных чисел, N0 = N ∪ {0} — множество
всех неотрицательных целых чисел, Z = N0 ∪ (−N) — множество всех целых
чисел, R — множество всех действительных чисел, R+ — множество всех
неотрицательных действительных чисел, C — множество всех комплексных
чисел, Rd (d ∈ N) — d-мерное действительное евклидово пространство со

стандартным скалярным произведением ⟨u, v⟩ =
dj=1
ujvj, ∥u∥ =
⟨u, u⟩ —

норма (или длина) вектора u, e1, . . . , ed — стандартный ортонормированный
базис в Rd, dim X — размерность линейного пространства X. Символ
Похгаммера определяется для t ∈ R по формулам

(t)0 = 1,
(t)n = t(t + 1). . . (t + n − 1),
n ∈ N.

Введем следующие обозначения, связанные с некоторыми пространствами
комплекснозначных функций f : X → C, заданных на локально компактном
хаусдорфовом пространстве X:
∥f∥∞,X = sup
x∈X
|f(x)|;

C(X), Cb(X), C1(X), E(X) — пространства соответственно непрерывных,
непрерывных ограниченных, непрерывно дифференцируемых, бесконечно
дифференцируемых функций на X;
L∞(X, µ)
—
пространство
измеримых
по
Лебегу
существенно
ограниченных на X относительно меры µ функций f с нормой

∥f∥∞,X,µ = inf
M > 0 | |f| ⩽ M
µ − п.в. на X
.

Если µ есть борелевская мера на Rd, то ее пополнение (процесс
пополнения описан в [1, с. 51]) обозначим через µ. Мера µ является
единственным
продолжением
меры
µ
до
полной
меры
на
σ-алгебре
измеримых по Лебегу множеств в Rd.
Группу всех ортогональных преобразований пространства Rd называют
просто ортогональной группой и обозначают через O(Rd), или O(d).
Тождественное преобразование обозначим символом id.
Пусть u ∈ Rd \ {0}. Линейную оболочку, натянутую на вектор u,
обозначим через ⟨u⟩, т. е.

⟨u⟩ = {cu | c ∈ R}.

Ортогональная вектору u гиперплоскость ⟨u⟩⊥ есть множество

⟨u⟩⊥ = {v ∈ Rd | ⟨u, v⟩ = 0}.

Р. А. Вепринцев

Имеем разложение пространства Rd в ортогональную сумму своих ненулевых
подпространств ⟨u⟩ и ⟨u⟩⊥

Rd = ⟨u⟩ ⊕ ⟨u⟩⊥.

Поскольку ортогональная сумма ненулевых подпространств всегда является
прямой суммой, то произвольный вектор x ∈ Rd допускает единственное
представление в виде

x = u + v⊥,
u ∈ ⟨u⟩,
v⊥ ∈ ⟨u⟩⊥.
(1)

Отражением
вдоль
вектора
u
(или
отражением
относительно
гиперплоскости ⟨u⟩⊥, ортогональной u) называется линейный оператор su
на Rd, действующий на произвольный вектор x ∈ Rd (1) по правилу

su(x) = −u + v⊥.

Справедлива следующая простая формула [2, p. 3]:

su(x) = x − 2⟨x, u⟩

∥u∥2 u.

Отметим два свойства оператора su:
1◦. ⟨su(x), su(y)⟩ = ⟨x, y⟩ для всех x, y ∈ Rd;

2◦. s2
u = id.
Таким образом, su есть ортогональное преобразование Rd, т. е. su ∈ O(Rd),
и имеет порядок 2 в ортогональной группе O(Rd).
Конечные группы, порожденные отражениями (кратко конечные группы
отражений), представляют собой наиболее интересные конечные подгруппы
ортогональной группы.
В
работе
придерживаемся
стандартной
мультииндексной
системы
обозначений
[3,
p.
30,31].
Набор
α = (α1, . . . , αd) ∈ Nd
0
называется
мультииндексом. Для α ∈ Nd
0 и x = (x1, . . . , xd) моном от переменных
x1, . . . , xd есть произведение

xα = xα1
1 . . . xαd
d .

Число |α| = α1 + . . . + αd называется полной степенью монома xα. Полином
P от d переменных есть выражение вида

P(x) =
α∈Nd
0

cαxα,
cα ∈ C,

в котором все коэффициенты cα равны нулю, кроме, быть может, конечного
их числа. Полином P назовем нулевым, если все коэффициенты cα нулевые.
Степень полинома P
обозначается через deg P
и в случае ненулевого
полинома определяется по формуле deg P = max
α∈Ω |α|, где Ω = {α ∈ Nd
0 |

cα ̸= 0}. Ненулевой полином P называется однородным степени n ∈ N0, если

Некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на сфере и шаре
9

|α| = n для любого α ∈ Ω. По определению, степень нулевого полинома
может быть произвольным неотрицательным целым числом, и нулевой
полином есть однородный полином, степень которого также может быть
произвольным неотрицательным целым числом.
Пусть Πd — множество всех полиномов в Rd,

Πd
+ = {P ∈ Πd | P(x) ⩾ 0
∀x ∈ Rd}

— множество всех неотрицательных полиномов,

Πd
n = {P ∈ Πd | deg P ⩽ n}

— пространство всех полиномов степени не выше n, dim Πd
n =
n+d
n
,

Pd
n =
P ∈ Πd | P(x) =
cαxα, cα = 0 при |α| ̸= n
— пространство всех однородных полиномов степени n от d переменных,
dim Pd
n =
n+d−1
n
.
Линейный оператор L на Πd называется однородным степени k ∈ Z, если
L(Pd
n) ⊂ Pd
n+k при всех n ∈ N0 таких, что n + k ⩾ 0. Линейный оператор L
на Πd называется положительным, если L(Πd
+) ⊂ Πd
+.

2. Основы теории Данкля

Основу
теории
операторов
Данкля
составляют
системы
корней
и
связанные с ними конечные группы отражений. Дадим соответствующие
определения.
Системой корней называется конечный набор R ненулевых векторов в
Rd, удовлетворяющий двум условиям [2, p. 5]:
(R1) R ∩ ⟨u⟩ = {u, −u} для всех u ∈ R;
(R2) su(R) = {su(v) | v ∈ R} = R для всех u ∈ R.
Сами векторы, принадлежащие системе корней R, называются ее корнями.
Подгруппа W = W(R) ⊂ O(Rd), порожденная отражениями {su | u ∈ R},
называется группой отражений (или группой Коксетера), связанной с R.
Для любой системы корней R в Rd группа W = W(R) конечна, а набор
отражений, содержащихся в W, есть в точности {su | u ∈ R} [3, p. 141].
Транзитивное отношение < на Rd называется полным упорядочением,
если выполнены следующие аксиомы [2, 4]:
TO1) Для каждой пары u, v ∈ Rd определено одно из соотношений u < v,
u = v, v < u.
TO2) Если u < v, то для любого t ∈ Rd имеем u + t < v + t.
TO3) Если u < v и c — ненулевое действительное число, то cu < cv при c > 0
и cv < cu при c < 0.
Для заданного
упорядочения
будем
говорить,
что
вектор u ∈ Rd

положительный, если 0 < u. Очевидно, что сумма положительных векторов

Р. А. Вепринцев

вновь
является
положительным
вектором,
так
же
как
произведение
положительного действительного числа на положительный вектор.
С
каждым
базисом
ξ1, . . . , ξd
можно
связать
отношение
полного
упорядочения следующим образом. Считаем, что u = uiξi < v = viξi,
если для некоторого j выполнено неравенство uj < vj, а при номерах i < j
имеем равенства ui = vi. Заметим, что все ξi положительны при данном
упорядочении.
Возвращаясь
к
системе
корней
R,
назовем
ее
подмножество
R+
положительной системой, если оно состоит из всех тех корней, которые
положительны относительно некоторого полного упорядочения Rd. Ясно,
что положительные системы существуют. Более того, поскольку корни
объединяются в пары {u, −u}, то сама система R обязана быть дизъюнктным
объединением подмножеств R+ и −R+, последнее из которых называется
отрицательной системой.
Функция κ: R → R+ называется функцией кратности на R, если функция
κ инвариантна относительно группы W, что означает выполнение равенств
κ(u) = κ(wu) для любых w ∈ W и u ∈ R.
С каждой функцией кратности связывают два индекса (числа):

γκ =
u∈R+
κ(u),
λκ = γκ + d − 2

2
.
(2)

Эти индексы не изменятся, если в системе корней R выбрать другую
положительную систему, что вытекает из W-инвариантности функции
кратности.
Дифференциально-разностные операторы первого порядка (операторы
Данкля) в координатной форме при 1 ⩽ j ⩽ d или в свободной от координат
форме для ξ ∈ Rd определяются соответственно по формулам (для p ∈ Πd)
[3, Definition 4.4.2, p. 152]

Djp(x) = ∂p(x)

∂xj
+
u∈R+
κ(u)p(x) − p(su(x))

⟨x, u⟩
uj,

Dξp(x) = ⟨ξ, ∇p(x)⟩ +
u∈R+
κ(u)p(x) − p(su(x))

⟨x, u⟩
⟨ξ, u⟩,

где ∇p(x) — значение градиента полинома p в точке x.
Данное определение не зависит от специального выбора положительной
системы R+ вследствие W-инвариантности функции кратности κ. При κ ≡ 0
оператор Dj представляет собой частную производную по переменной xj,
а оператор Dξ — производную по вектору ξ. Операторы Данкля впервые
введены Ч. Данклем в [5, p. 169]. Очевидно, что Dj = Dej. Оператор
Данкля Dξ есть однородный оператор степени −1. Для любых векторов
ξ, ζ ∈ Rd справедливо равенство DξDζ = DζDξ [5, p. 171]. Операторы
Данкля могут быть продолжены на класс функций C1(Rd) по формулам из

Некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на сфере и шаре
11

определения, если считать, что p ∈ C1(Rd). При этом Dξp ∈ C(Rd). Набор
{Dj}d
j=1 порождает коммутативную алгебру дифференциально-разностных
операторов на Πd.
Лапласианом
Данкля,
или
κ-лапласианом,
называется
следующий
оператор:

∆κ =

d
j=1
D2
j.

Лапласиан Данкля введен Ч. Данклем в [6]. Он является однородным
оператором степени −2 [6, p. 36]. Для любого ортонормированного базиса
ξ1, . . . , ξd в Rd [5, p. 172]

∆κ =

d
j=1
D2
ξj.

При κ ≡ 0 имеем обычный лапласиан ∆.
Ч. Данкль доказал [7], что для каждой функции кратности κ существует
единственный линейный оператор Vκ на Πd такой, что

Vκ(Pd
n) ⊂ Pd
n,
Vκ1 = 1,
DjVκ = Vκ
∂
∂xj
,
1 ⩽ j ⩽ d.
(3)

Оператор
Vκ
называется
оператором
сплетения
Данкля.
Vκ
есть
положительный [8, Theorem 1.1, p. 447] и однородный оператор степени 0.
Если κ ≡ 0, то Vκ = id.
Оператор сплетения Vκ играет центральную роль в теории Данкля и
ее приложениях. В частности, он используется в записи ядра Данкля,
которое обобщает обычное экспоненциальное ядро e⟨·,·⟩. Явное выражение Vκ
известно в нескольких специальных случаях (подробнее см. [8, p. 446]).
Определим весовую функцию равенством

hκ(x) =
u∈R+
|⟨x, u⟩|2κ(u),
x ∈ Rd.
(4)

Она инвариантна относительно W, т. е. hκ(x) = hκ(wx) для любого
преобразования w ∈ W, а ее определение, как и в случае операторов Данкля,
не зависит от выбора R+ в R. Будем называть весовую функцию hκ,
инвариантную относительно группы отражений W, просто весом Данкля
в Rd. Весовая функция Данкля является однородной степени 2γκ (γκ
определено в (2)).
В дальнейшем используем индекс ”κ“ для напоминания того факта, что
все рассмотрения производятся для фиксированных системы корней R и
функции кратности κ на R.
Гармонический анализ в пространствах с весом Данкля осуществляется
с помощью операторов Данкля и преобразования Данкля. Его основы
заложены в конце прошлого века в работах [5–7, 9, 10] американского

Р. А. Вепринцев

математика Ч. Данкля, поэтому соответствующие гармонический анализ
и
теорию
называют
гармоническим
анализом
и
теорией
Данкля.
Теория Данкля находит широкое применение в теории функций, теории
вероятностей, математической физике. В последнее время гармонический
анализ Данкля используется при решении ряда задач теории приближений,
например, при доказательстве неравенств Джексона в пространстве L2(Rd)
с весом Данкля (4) [11–16].

3. Весовые пространства на сфере и шаре

Пусть Sd−1 = {x ∈ Rd | ∥x∥ = 1} — единичная евклидова сфера в Rd, ω —
лебегова мера на сфере Sd−1, ωd−1 =
Sd−1 dω — площадь сферы Sd−1, Bd =
= {x ∈ Rd | ∥x∥ ⩽ 1} — замкнутый единичный евклидов шар в Rd, B = B1 =
= [−1, 1].
Сужение веса Данкля hκ в Rd (4) на сферу Sd−1, умноженное на
нормировочную константу aκ, определяемую из равенства
Sd−1 aκhκ dω = 1,
обозначим через wκ:

wκ(x) = aκhκ(x),
x ∈ Sd−1,
(5)

и будем называть весом Данкля на сфере Sd−1, или просто весом Данкля.
С помощью вероятностной меры σκ на Sd−1, определяемой равенством
dσκ = wκdω, введем для 1 ⩽ p ⩽ ∞ весовые пространства комплекснозначных
измеримых по Лебегу функций на сфере Sd−1:

Lp,κ(Sd−1) =
f : Sd−1 → C | ∥f∥p,Sd−1,κ =
Sd−1 |f|p dσκ
1/p
< ∞
,

1 ⩽ p < ∞,

L∞,κ(Sd−1) = L∞(Sd−1, σκ),
p = ∞.

Пространство L2,κ(Sd−1) — комплексное гильбертово пространство со
скалярным произведением

(f, g)κ,Sd−1 =
Sd−1 f(x)g(x) dσκ(x).
(6)

Нетрудно видеть,
что вес Данкля wκ
на сфере Sd−1
по самому
определению для σκ-п.в. x ∈ Sd−1 не нуль. Отсюда произвольное свойство,
справедливое σκ-п.в. на сфере Sd−1, выполняется для ω-п.в. x ∈ Sd−1.
Обратное заключение очевидно. Поскольку другие меры на сфере, кроме ω
и σκ, нами не будут рассматриваться, то всякий раз указание на меру, когда
говорим о том, что некоторое свойство выполняется ω-п.в. или σκ-п.в. на
Sd−1, опускаем.
Пусть λ > 0,

cλ,d =
Bd(1 − ∥y∥2)λ−1 dy
−1
= Γ(λ + d/2)

πd/2Γ(λ)

Некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на сфере и шаре
13

— нормировочная константа [3, p. 38], mλ,d — вероятностная мера на шаре
Bd, определяемая равенством dmλ,d(y) = cλ,d(1 − ∥y∥2)λ−1dy, y ∈ Bd,

Lp,λ(Bd) =
f : Bd → C | ∥f∥p,Bd,λ =
Bd |f|p dmλ,d
1/p
< ∞
,
1 ⩽ p < ∞,

L∞,λ(Bd) = L∞(Bd, mλ,d),
p = ∞,
Lp,λ[−1, 1] = Lp,λ(B),
mλ = mλ,1,
1 ⩽ p ⩽ ∞
— пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций на шаре
Bd при 1 ⩽ p ⩽ ∞.
Пространство L2,λ[−1, 1] — комплексное гильбертово пространство со
скалярным произведением

(f, g)λ,[−1,1] =
1

−1
f(t)g(t) dmλ(t).
(7)

В гармоническом анализе Данкля используются функции вида g(⟨x, ·⟩),
x ∈ Sd−1, где g: [−1, 1] → C. Для них справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть x ∈ Sd−1, λ > 0, 1 ⩽ p ⩽ ∞.
Если g ∈ Lp,λ+(d−1)/2[−1, 1], то g(⟨x, ·⟩) ∈ Lp,λ(Bd) и

∥g(⟨x, ·⟩)∥p,Bd,λ = ∥g∥p,[−1,1],λ+(d−1)/2,
1 ⩽ p < ∞,
(8)

∥g(⟨x, ·⟩)∥∞,Bd,mλ,d = ∥g∥∞,[−1,1],mλ+(d−1)/2,
p = ∞.
(9)

Если g ∈ C[−1, 1], то g(⟨x, ·⟩) ∈ C(Bd) и ∥g(⟨x, ·⟩)∥∞,Bd = ∥g∥∞,[−1,1].

Доказательство. Заключительная часть утверждения очевидна в
силу непрерывности скалярного произведения ⟨·, ·⟩ в Rd.
Для произвольных x ∈ Sd−1, γ > −1 и функции f ∈ L1,γ+(d+1)/2[−1, 1]
справедливо следующее равенство [17, p. 412, (A.5.2)]:
Bd f(⟨x, y⟩)(1 − ∥y∥2)γ dy = bγ

1

−1
f(t)(1 − t2)γ+ d−1

2
dt,
(10)

где константа bγ определяется из формулы при f(t) ≡ 1. Из формулы (10)
непосредственно следует (8), если в качестве f взять |g|p и λ = γ + 1.
Соотношение (9) между нормами получается теперь из (8), если p устремить
к бесконечности.
Лемма доказана.

4. Элементы теории κ-сферических гармоник

Полином P ∈ Πd назовем κ-гармоническим, если ∆κP = 0. Из (3)
немедленно
получаем,
что
∆κVκ = Vκ∆.
Следовательно,
если
P
—
гармонический полином (∆P = 0), то VκP будет κ-гармоническим. Отметим,
что κ-гармоника — κ-гармонический однородный полином. Пространство