Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2013, № 2 (2)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 2

Часть 2

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ

ТУЛА 2013

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 2. Часть 2. — Тула: Изд-во
ТулГУ, 2013. — 320 с.

В
выпуске
опубликованы
оригинальные
статьи
по
актуальным
проблемам механики, посвященные 90-летию со дня рождения Леонида
Александровича Толоконникова — выдающегося ученого-механика, доктора
физико-математических наук, профессора, Заслуженного деятеля науки
и
техники
РСФСР,
почетного
доктора
Тульского
государственного
университета, создателя Тульской школы механики.

Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов,
студентов
и
аспирантов,
специализирующихся
в
области
естественных наук.

Редакционный совет

М.В. Грязев — председатель, В.Д. Кухарь — зам. председателя,
А.А.
Маликов
—
отв.
секретарь,
В.В.
Прейс
—
главный
редактор,
В.А. Алфёров, И.А. Батанина, О.И. Борискин, Л.А. Васин, В.И. Иванов,
В.С. Карпов, Н.М. Качурин, Р.А. Ковалев, А.К. Талалаев, А.Н. Чуков

Редакционная коллегия

В.И.
Иванов
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров,
С.В.
Анциферов,
И.М. Буркин, Н.М. Добровольский, Д.М. Левин, А.А. Маркин — зам.
отв. редактора, Е.Н. Музафаров, Л.А. Толоконников, А.В. Иванов —
отв. секретарь

Подписной индекс 27845

по Объединенному каталогу «Пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в перечень
ведущих научных журналов и изданий,
выпускаемых в Российской Федерации,
в которых должны быть опубликованы
научные результаты диссертаций на
соискание ученой степени доктора наук

c⃝ Авторы научных статей, 2013
c⃝ Издательство ТулГУ, 2013

Леонид Александрович Толоконников

(1923–1998)

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 4–9

Механика

УДК 539.3

Леонид Александрович Толоконников
— ученый и учитель

В. Д. Кухарь, А. А. Маркин, Н. М. Матченко

Аннотация. Приведен обзор основных результатов профессора
Л.А.Толоконникова и его учеников в области механики.
Ключевые
слова:
упругость,
пластичность,
вязкоупругость,
анизотропия,
термомеханика,
динамика,
флаттер,
трещина,
дифракция.

Седьмого
июня
2013
года
исполнилось
90
лет
со
дня
рождения
выдающегося ученого-механика — Леонида Александровича Толоконникова.

Леонид
Александрович
получил
фундаментальное
образование
на
механико-математическом
факультете
Московского
государственного
университета им. М.В. Ломоносова. Его учителями были знаменитые
профессора и академики: А.Ю. Ишлинский, М.М. Филоненко-Бородич,
Л.С. Лейбензон, В.С. Ленский, А.П. Минаков. Основную роль в обучении
и становлении Леонида Александровича сыграл великий ученый-механик,
заведующий
кафедрой
теории
упругости
МГУ
А.А.
Ильюшин.
Под
его
руководством
Леонид
Александрович
в
1948
году
защищает
кандидатскую диссертацию, посвященную учету сжимаемости в задачах
упругопластической
устойчивости
пластин.
Ильюшин
констатировал,
что диссертация Толоконникова ставит проблемные вопросы построения
нелинейной механики деформируемого тела.

Леонид Александрович воспринял высказывание своего учителя как
руководство к действию. После защиты диссертации он вместе с женой
Марией Васильевной и сыном Олегом переезжает в Ростов-на-Дону, где
работает в государственном университете доцентом кафедры теоретической
механики. Здесь талант Леонида Александровича раскрывается в полной
мере. Этому способствует благоприятная творческая атмосфера, дружба
и научные дискуссии с будущими академиками, ставшими впоследствии
всемирно известными учеными: Иосифом Израилевичем Воровичем и
Николаем Николаевичем Моисеевым. За почти десятилетний период работы
в Ростове Толоконниковым были получены фундаментальные результаты в
нелинейной теории упругости и теории устойчивости упругопластических
процессов.
Рассмотрены
конечные
плоские
деформации
несжимаемого

Леонид Александрович Толоконников — ученый и учитель
5

материала. Для описания напряженного и деформированного состояний
были
введены
естественные
инварианты.
Задача
плоского
конечного
деформирования несжимаемого материала сведена к отысканию функции
напряжений и представлена в виде, удобном для построения решения
итерационными методами. Дана оригинальная вариационная постановка
и
получены
решения
ряда
задач
устойчивости
состояния
равновесия
деформируемых тел без ограничений на свойства материала.

Работы Леонида Александровича по нелинейной теории упругости
опубликованы в ведущих журналах Академии наук СССР и легли в основу
докторской диссертации, блестяще защищенной на Ученом совете МГУ в
1959 году. Защита произошла после переезда семьи Толоконниковых в 1957
году в Тулу, поближе к Серпухову, где жили мать и родные братья Леонида
Александровича.

Толоконников
начинает
работать
в
Тульском
горном
институте
и
поступает
в
докторантуру
МГУ
на
родную
кафедру
теории
упругости. Полный новых идей и творческих замыслов молодой доктор
физико-математических наук начинает создание Тульской школы механики.

Семинары по механике, организованные Леонидом Александровичем,
стали полюсом притяжения студентов и молодых преподавателей, не
равнодушных к науке. Существенно расширился и круг научных интересов
Толоконникова,
прежде
всего
благодаря
тесному
сотрудничеству
с
оборонными предприятиями Тулы и других регионов СССР. Научная
и педагогическая работа Леонида Александровича отмечена орденами
Ленина и «Знак Почета», многими медалями. За активное участие в
создании оборонной техники он награжден орденом Трудового Красного
Знамени. Признанием выдающегося вклада Л.А. Толоконникова в науку
было проведение в Тульском политехническом институте выездной сессии
отделения механики и процессов управления АН СССР в 1973 году.
Поздравить
Леонида
Александровича
с
пятидесятилетием
съехались
ведущие ученые Советского Союза. Среди них были академики Л.И. Седов,
А.Ю. Ишлинский, Ю.Н. Работнов, члены-корреспонденты А.А. Ильюшин,
В.В. Болотин, Е.И. Шемякин.

Л.А. Толоконников в разные периоды с 1958 по 1998 годы возглавлял
кафедры строительной механики и строительных конструкций, расчета и
проектирования аппаратов, математического моделирования состояний и
процессов, руководил строительным и машиностроительным факультетами.
Он сыграл определяющую роль в создании механико-математического
факультета и в открытии университетской специальности «Механика»,
докторского диссертационного совета по механике деформируемого твердого
тела.

Деканом
машиностроительного
факультета
Леонид
Александрович
был
более
20
лет.
Многие
его
ученики
являются
выпускниками
машиностроительного факультета. Приведем далеко неполный перечень

В. Д. Кухарь, А. А. Маркин, Н. М. Матченко

научных направлений, которые были основаны Леонидом Александровичем
и продолжают развиваться его учениками.

Под руководством С.П. Яковлева, первого из учеников Толоконникова
защитившего докторскую диссертацию, который, к сожалению, недавно
ушел из жизни, развиты теоретические и экспериментальные основы
прогрессивных
технологий
процессов
обработки
металлов
давлением.
Профессор С.П. Яковлев — крупный специалист в области теории процессов
обработки
металлов
давлением
и
технологии
кузнечно-штамповочного
производства. Основным направлением научной деятельности С.П. Яковлева
являлась разработка методов анализа и расчетов процессов пластического
деформирования
при
различных
температурно-скоростных
режимах
обработки
на
основе
создания
обобщенных
математических
моделей
пластического
деформирования,
в
которых
учитываются
реальные
механические
свойства
материала
(неоднородности,
анизотропии
механических свойств, упрочнения, вязких свойств материала).

В настоящее время исследования в этом направлении ведутся под
руководством В.Д. Кухаря и С.С. Яковлева.

В.Д. Кухарем развита теория процессов штамповки анизотропных и
неоднородных полых цилиндрических заготовок импульсным магнитным
полем,
разработаны
основы
технологического
обеспечения
магнитоимпульсной
штамповки.
Установлено,
что
анизотропия
механических
свойств материала существенно влияет на деформационные параметры
процессов магнито-импульсной штамповки.

С.С.
Яковлевым
развиты
однои
многопараметрические
модели
анизотропного упрочнения, сформулирован энергетический деформационный
критерий деформируемости ортотропного анизотропно упрочняющегося
материала.
Учтено
влияние
среднего
напряжения
и
параметра
вида
напряженного состояния на процессы обработки давлением.

Г.С. Тарасьевым было дано обобщение результатов Л.А. Толоконникова
по нелинейной упругости на сжимаемые материалы, поставлены и решены
задачи
о
наложении
конечных
деформаций
в
результате
изменения
связанности деформированного тела.

Н.М.
Матченко,
развивая
идеи
Л.А.
Толоконникова,
построил
конституционные соотношения линейно и нелинейно упругих различно
сопротивляющихся сред. Исследуя фундаментальные проблемы теории
пластичности,
Николай
Михайлович
дал
постановку
плоской
и
пространственной задач чистого сдвига как задач теории предельного
состояния, разработал математический аппарат аффинного моделирования
анизотропных идеально пластичных сред, ввел понятие квазинесжимаемых
анизотропных сред.

Г.В. Бригадировым были получены экспериментальные и теоретические
результаты
по
ударному
взаимодействию
оболочечных
конструкций
с
преградами.

Леонид Александрович Толоконников — ученый и учитель
7

Э.С.
Макаров
изучал
влияние
физических
полей
и
химических
воздействий на механические свойства и движение деформируемых тел.

В.Г. Громов предложил оригинальную постановку и решение задач
бифуркации, неустойчивости и катастрофического поведения вязкоупругих
тел в процессах конечного деформирования.

А.А. Маркин, В.В. Глаголев, М.Ю. Соколова ведут научную работу
по направлению «Термомеханика процессов конечного деформирования
и разделения твердых тел». Данное направление зародилось благодаря
тому, что Леонидом Александровичем было предложено не ограничиваться
нелинейной
теорией
упругости,
а
приступить
к
изучению
процессов
конечного
упругопластического
деформирования.
Основополагающее
значение для решения этой задачи имели эксперименты по исследованию
конечных
необратимых
деформаций
на
фоне
высокого
давления,
проведенные
сыном
Леонида
Александровича
О.Л.
Толоконниковым
при активном участии В.Ф. Астапова. Ими была создана уникальная
установка
по
сложному
нагружению
цилиндрических
образцов
при
высоком давлении. К сожалению, эти талантливые ученые рано ушли
из жизни. В настоящее время по данному направлению получен ряд
новых результатов: даны постановки задач конечного деформирования
при силовых и тепловых внешних воздействиях, сформулированы условия
единственности
и
устойчивости
их
решений,
на
основе
обобщения
постулата изотропии Ильюшина предложены термомеханические модели
анизотропных материалов, получила развитие теория разделения тел на
основе концепции физического разреза.

Под руководством профессора В.Л. Баранова развивается научное
направление
«Динамика
удара,
проникновения
и
пробития».
Решен
широкий класс задач, моделирующих динамические процессы проникания
удлиненных и компактных инденторов в различные преграды.

Ю.П. Смирновым предложен новый способ анализа движения систем
с сухим трением в формах, охватывающих всевозможные варианты схем
опирания с автоматическим выбором реализуемой схемы.

В.А. Гордоном, профессором Орловского государственного технического
университета, развивается научное направление, связанное с исследованием
динамического поведения неоднородных элементов конструкций.

В.Б.
Пеньков
основал
и
развивает
в
Липецком
государственном
техническом университете научное направление «Построение эффективных
методов решения классических задач математической теории упругости».

А.А. Трещев возглавляет научное направление «Механика деформируемого
твердого
тела,
обследование,
расчет
и
усиление
строительных
конструкций,
разработка
эффективных
композитных
строительных
материалов».
На
основе
построения
определяющих
соотношений,
учитывающих
изначальную
и
наведенную
чувствительность
к
виду
напряженного
состояния,
разработаны
теория
упругопластического
и
вязкого деформирования изотропных и анизотропных материалов, теория

В. Д. Кухарь, А. А. Маркин, Н. М. Матченко

идеальной пластичности и прочности для изотропных разносопротивляющихся однородных и неоднородных материалов. Предложенная теория
легла в основу конкретизации поведения пространственных железобетонных
конструкций
с
учетом
трещин,
поперечных
сдвигов
и
пластической
деформации арматуры. Также разработана теория деформирования и
прочности материалов и конструкций с учетом кинетики агрессивных
сред. Кроме того разработана концепция подбора состава и управления
свойствами наномодифицированных композитных строительных материалов
с
учетом
поверхностных
эффектов,
порожденных
использованием
специфических свойств нанокремнезема.

И.К.
Архиповым
проводятся
теоретические
и
экспериментальные
исследования в области построения моделей структурно-неоднородных сред,
обладающих текстурой.

И.М. Лавит предложил оригинальные математические модели роста
трещин в упругопластической среде. Им же поставлены и решены задачи
флаттера крыла различной геометрии в сверхзвуковом потоке газа.

Львом
Алексеевичем
Толоконниковым
возглавляется
научное
направление «Дифракция звуковых волн на деформируемых телах». В
рамках данного направления опубликованы монографии и статьи в ведущих
академических журналах.

Под руководством В.И. Желткова с участием А.И. Андреева ведутся
теоретические и экспериментальные исследования динамического поведения
упругих и вязкоупругих конструкций, в том числе применительно к задачам
биомеханики.

В.С. Шоркин, профессор Орловского государственного технического
университета, исследует поверхностные эффекты на основе неклассических
моделей взаимодействия частиц на микро и мезоуровнях.

Приведенный
перечень
работ,
проводимых
школой
Толоконникова,
показывает, сколь могучим является древо науки механики, посаженное в
Туле Леонидом Александровичем. Надеемся, что оно и дальше будет расти
и давать плоды, в виде новых докторов и кандидатов наук.

Кухарь Владимир Денисович (Science@tsu.tula.ru), д.т.н., профессор,
проректор, зав. кафедрой, кафедра теоретической механики, Тульский
государственный университет.

Маркин
Алексей
Александрович
(markin@tsu.tula.ru),
д.ф.-м.н.,
профессор,
зав.
кафедрой,
кафедра
математического
моделирования,
Тульский государственный университет.

Матченко Николай Михайлович (ekc_05@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор,
кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.

Леонид Александрович Толоконников — ученый и учитель
9

Leonid Alexandrovich Tolokonnikov — a scientist and a teacher

V. D. Kukhar’, A. A. Markin, N. M. Matchenko

Abstract. A review of main results of professor L.A.Tolokonnikov and his
disciples in mechanics is brough.
Keywords: elasticity, plasticity, viscoelasticity, anisotropy, thermomechanics,
dynamics, flutter, crack, difraction.

Kukhar’ Vladimir (Science@tsu.tula.ru), doctor of technical sciences, professor, vice-rector, head of department, department of theoretical mechanics, Tula
State University.

Markin Alexey (markin@tsu.tula.ru), doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of department, department of mathematical modeling,
Tula State University.

Matchenko Nikolay (ekc_05@mail.ru), doctor of physical and mathematical
sciences, professor, department of mechanics plastic forming, Tula State University.

Поступила 15.04.2013

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 10–16

Механика

УДК 539.376

Тензорно нелинейные определяющие
соотношения изотропной теории ползучести
с тензорной мерой повреждённости ∗

К. А. Агахи, Д. В. Георгиевский

Аннотация. Даётся обзор известных вариантов определяющих
соотношений
теории
ползучести
изотропного
тела
с
учётом
повреждённости
материала
в
процессе
деформирования.
Обсуждается
кинетический
смысл
скалярной
функции
и
тензорной
меры
повреждённости.
Предлагается
обобщение
на
трёхмерный случай определяющих соотношений теории ползучести
с повреждённостью, куда входят две материальные нелинейные
тензор-функции двух тензорных аргументов.
Ключевые слова: ползучесть, повреждённость, тензорная мера,
нелинейная тензорная функция.

1. Определяющие соотношения теории ползучести
с учётом повреждённости

Определяющие соотношения одномерной теории ползучести изотропного
тела с учётом повреждённости материала в процессе деформирования
обычно записываются в виде системы обыкновенных дифференциальных
уравнений

˙p = f(σ, ω),
˙ω = α(σ, ω);
t > 0,
0 ⩽ ω < 1,
σ = const,
(1)

где
˙p — скорость деформации ползучести p(t) = ε(t) − εe; ε(t) и εe —
полная и мгновенная упругая деформации; σ — приложенное в форме
ступеньки Хевисайда напряжение; ω — скалярная функция повреждённости
(ω = 0 в абсолютно неповреждённом состоянии); f и α — скалярные
материальные
функции,
которые
подлежат
нахождению
из
набора
одномерных установочных экспериментов. Эти функции таковы, что

lim
ω→1−0 f(σ, ω) = ∞,
lim
ω→1−0 α(σ, ω) = ∞
(2)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 12-01-00020, № 1108-01015).