Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2013, № 1

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 1

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ

ТУЛА 2013

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 1. — Тула: Изд-во ТулГУ,
2013. — 284 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, информатики, физики, химии, биологии.

Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в области естественных наук.

Редакционный совет

М.В. Грязев — председатель, В.Д. Кухарь — зам. председателя,
А.А. Маликов — отв. секретарь, В.В. Прейс — главный редактор, В.А. Алфёров, И.А. Батанина, О.И. Борискин, Л.А. Васин, В.И. Иванов, В.С. Карпов,
Н.М. Качурин, Р.А. Ковалев, А.К. Талалаев, А.Н. Чуков.

Редакционная коллегия

В.И. Иванов — отв. редактор, В.А. Алфёров, С.В. Анциферов, И.М. Буркин, Н.М. Добровольский, Д.М. Левин, А.А. Маркин — зам. отв. редактора,
Е.Н. Музафаров, Л.А. Толоконников, А.В. Иванов — отв. секретарь.

Подписной индекс 27845

по Объединенному каталогу «Пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в перечень
ведущих научных журналов и изданий,
выпускаемых в Российской Федерации,
в которых должны быть опубликованы
научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук

c⃝ Авторы научных статей, 2013
c⃝ Издательство ТулГУ, 2013

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Гарипов И. Б., Мавлявиев Р. М. Краевая задача для одного параболического
уравнения с оператором Бесселя и интегральным условием первого рода. .
5
Мирпоччоев Ф. М. Приближение гладких плоских кривых и его применение
в задаче приближенного вычисления криволинейных интегралов первого
рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Нигмедзянова А. М. Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным параметром. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Шакирова Л. Ф.
Решение
задачи
Дирихле
для
вырождающегося
Вэллиптического уравнения 2-го рода с параметром методом потенциалов . .
43

МЕХАНИКА

Алгазин С. Д. Численное исследование свободных колебаний упругого тела
вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

Володин Г. Т., Чан Тхань Тунг Математическое моделирование гарантированного разрушения пластин взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

Володин Г. Т., Новиков А.С. Разрушение открытой цилиндрической оболочки
взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ. . .
75

Лавровский Э. К., Фоминых В. В. О формах равновесия океанских вихревых
образований и проблеме их устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85

Михайлова В. Л., Петров В. К., Сухомлинов Л. Г. Конечноэлементный анализ
предельного формоизменения тонкого алюминиевого листа при осесимметричном гидровыпучивании в матрицу с плоским дном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

Христич Д. В. Нелинейные упругие свойства анизотропных кристаллов и аксиальных квазикристаллов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Энгельман О. Е. Процессы сложного деформирования упругопластической
стержневой системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

ИНФОРМАТИКА

Алгазин С. Д. О табулировании с высокой точностью нулей функций Бесселя 132
Грязев М. В., Кузнецова О. А. Применение ЛП τ-последовательности при оптимизации динамического объекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Медведникова М. М., Стрижов В. В. Построение интегрального индикатора
качества научных публикаций методами ко-кластеризации. . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Содержание

Середин О. С., Моттль В. В., Татарчук А. И., Разин Н. А. Выпуклые селективные критерии метода релевантных векторов в пространстве парных
отношений объектов распознавания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Середин О. С. Потенциальная функция на множестве объектов распознавания
как инструмент их попарного сравнительного представления . . . . . . . . . . . . . . 177

ФИЗИКА

Баранов В. П., Сергеев Н. Н., Степанова В. Э., Пузикова М. В. Kинетика накопления микроповреждений в нагруженных конструкционных сталях повышенной и высокой прочности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Жигунов В. В., Лавит А. И. Математическое моделирование диффузии с учетом появления и исчезновения фаз. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

ХИМИЯ

Каманина О. А., Рогова Т. В., Соколова О. А. Гетерогенные биокатализаторы
на основе глюкозооксидазы, иммобилизованной в золь-гель матрицу, как
биораспознающие элементы биосенсоров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Кузнецова Т. А., Понаморева О. Н., Алферов В. А. Эффективность биоэлектрокаталитического окисления метанола клетками метилотрофных бактерий
в присутствии медиаторов электронного транспорта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Макрушин Н. А., Медведев Г. И., Дорогова Ю. Ю. Квантовохимическое исследование взаимодействия ионов с молекулами органических веществ и механизм разряда ионов никеля из сульфатного электролита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

БИОЛОГИЯ

Гарифзянов А. Р., Жуков Н. Н. АФК-индуцированные процессы в клетках
xTriticosecale в условиях натрий-хлоридного засоления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Shkidchenko A. N., Akhmetov L. I., Gafarov A. B. Degradation of asphaltenes by
individual oil-utilizing aerobic bacterial strains. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

Качурин Н. М., Поздеев А. А., Стась Г. В., Рыбак Л. Л. Взаимодействие кислорода с поверхностями обнажения горного массива на очистных участках
шахт и рудников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Качурин Н. М.,
Мохначук И. И.,Поздеев А. А.,
Стась Г. В. Математические
модели аэрогазодинамических процессов на очистных участках шахт и
рудников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 279

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 5–12

Математика

УДК 517.956.4

Краевая задача для одного параболического
уравнения с оператором Бесселя
и интегральным условием первого рода

И. Б. Гарипов, Р. М. Мавлявиев

Аннотация. Рассматривается краевая задача с интегральным
условием первого рода для параболического уравнения с оператором
Бесселя и доказывается её эквивалентность краевой задаче для этого
же уравнения с обычным локальным граничным условием. Доказывается единственность ее решения. Решение задачи получено в явном
виде.
Ключевые слова: параболическое уравнение, нелокальное интегральное условие, оператор Бесселя.

1. Постановка задачи

Пусть GT = {(x, t) : 0 < x < l, 0 < t ⩽ T} — прямоугольная область в
координатной плоскости Oxt.
В области GT рассмотрим параболическое уравнение с оператором Бесселя вида
LBu ≡ ut − Bxu = 0,
(1)

где Bx = x−k ∂

∂x (xk ∂

∂x ) =
∂2
∂x2 + k

x
∂
∂x — оператор Бесселя, 0 < k < 1.
З а д а ч а. Найти функцию u(x, t), удовлетворяющую условиям:

u(x, t) ∈ C1,0
x,t (GT ) ∩ C2,1
x,t (GT ),
(2)

LBu = 0,
(x, t) ∈ GT ,
(3)

u(x, 0) = φ(x),
0 ⩽ x ⩽ l,
(4)

u(0, t) = 0,
0 ⩽ t ⩽ T,
(5)

l
∫

0
u(x, t)xkdx = 0,
0 ⩽ t ⩽ T,
(6)

И. Б. Гарипов, Р. М. Мавлявиев

где функция φ(x) задана, и выполняется условие согласования

l
∫

0
φ(x)xkdx = 0.
(7)

Гиперболическое уравнение с оператором Бесселя

utt − Bxu = 0

с нелокальным интегральным условием (6) изучено в работах [1, 2].

Лемма 1. Если выполняется условие согласования (7), то задачи (2)–(6)
и (2)–(5),
ux(l, t) = 0,
0 ⩽ t ⩽ T,
(8)

эквивалентны.

Доказательство. Пусть u(x, t) — решение задачи (2)–(6). Тогда это
решение удовлетворяет условию (6). Дифференцируя это условие один раз
по t, получим
l
∫

0
ut(x, t)xkdx = 0.
(9)

Заменяя в равенстве (9) подынтегральную функцию ut(x, t) на её значение из (1), получим

l
∫

0
ut(x, t)xkdx =

1
∫

0
Bxu(x, t)xkdx =

l
∫

0
x−k ∂

∂x

(
xk ∂u

∂x

)
xkdx =

=

l
∫

0

∂
∂x

(
xk ∂u

∂x

)
dx =
(
xk ∂u

∂x

)l

0
= lkux(l, t).

Отсюда и из равенства (9) следует, что ux(l, t) = 0.
Пусть теперь u(x, t) — решение задачи (2)–(5), (8). Уравнение (3) запишем
в виде

ut = x−k ∂

∂x

(
xk ∂u

∂x

)
.
(10)

Умножив уравнение (10) на xk и интегрируя по x на отрезке [0; l], получим

l
∫

0
ut xkdx =

l
∫

0

∂
∂x

(
xk ∂u

∂x

)
dx =
(
xk ∂u

∂x

) l

0
= lkux(l, t).

Краевая задача для одного параболического уравнения с оператором Бесселя
7

Отсюда и из условия (8) следует, что

l
∫

0
ut(x, t)xkdx = 0.
(11)

Интегрируя равенство (11) по t, получим

l
∫

0
u(x, t)xkdx = c.

Полагая здесь t = 0, с учетом условия согласования (7) получим c = 0 и,
следовательно, выполняется условие (6). Эквивалентность задач доказана.

2. Единственность решения

Теорема 1. Задача (2)–(6) не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть существуют два решения u1(x, t) и u2(x, t) задачи (2)–(7). Тогда их разность v(x, t) = u1(x, t) − u2(x, t) будет являться
решением следующей краевой задачи:

v(x, t) ∈ C1,0
x,t (GT ) ∩ C2,1
x,t (GT ),
(12)

LBv = 0,
(x, t) ∈ GT ,
(13)

v(x, 0) = 0,
0 ⩽ x ⩽ l,
(14)

v(0, t) = 0,
0 ⩽ t ⩽ T,
(15)

l
∫

0
v(x, t)xkdx = 0,
0 ⩽ t ⩽ T.
(16)

Уравнение (13) запишем в виде

vt = x−k ∂

∂x

(
xk ∂v

∂x

)
.

Умножая данное уравнение на 2xkv и учитывая, что 2vvt = ∂

∂t (v2), получим
xk ∂

∂τ
(
v2(x, τ)
)
= 2v(x, τ) ∂

∂x

(
xk ∂

∂x (v(x, τ))
)
.

Из равенства функций следует равенство определенных интегралов

l
∫

0

t
∫

0
xk ∂

∂τ
(
v2(x, τ)
)
dτdx = 2

l
∫

0

t
∫

0
v(x, τ) ∂

∂x

(
xk ∂

∂x (v(x, τ))
)
dτdx.

И. Б. Гарипов, Р. М. Мавлявиев

В правой части поменяем порядок интегрирования:

l
∫

0

t
∫

0
xk ∂

∂τ
(
v2(x, τ)
)
dτdx = 2

t
∫

0





l
∫

0
v(x, τ) ∂

∂x

(
xk ∂

∂x (v(x, τ))
)
dx



 dτ.

(17)
Из начального условия (14) следует, что

l
∫

0

t
∫

0
xk ∂

∂τ
(
v2(x, τ)
)
dτdx =

l
∫

0
xkv2(x, t)dx.

Внутренний интеграл в правой части (17) возьмем по частям:

l
∫

0
v(x, τ) ∂

∂x

(
xk ∂

∂x (v(x, τ))
)
dx =

= v(x, τ)xk ∂

∂x (v(x, τ))

l

0
−

l
∫

0
xk
( ∂

∂x (v(x, τ))
)2
dx.

Из краевых условий (15), (16) и на основании леммы 1 получим

v(x, τ)xk ∂

∂x (v(x, τ))

l

0
= 0.

Таким образом, уравнение (17) принимает вид

l
∫

0
xkv2(x, t)dx + 2

t
∫

0

l
∫

0
xk
( ∂

∂x (v(x, τ))
)2
dxdτ = 0.

Каждое слагаемое последнего равенства неотрицательно. Следовательно,
они равны нулю. Так как функция v(x, t) непрерывна, то из равенства

l
∫

0
xkv2(x, t)dx = 0

следует, что
v(x, t) ≡ 0.

Отсюда получим, что u1(x, t) ≡ u2(x, t).

3. Существование решения

Для доказательства существования решения задачи (2)–(6) достаточно
доказать существование решения задачи (2)–(5), (8).

Краевая задача для одного параболического уравнения с оператором Бесселя
9

Согласно методу Фурье, частные решения уравнения (3) ищем в виде

u(x, t) = X(x)T(t),
(18)

где X(x) и T(t) — пока неопределенные функции. Подставляя функцию (18)
в уравнение (3), получим
T ′ + λ2T = 0,
(19)

X′′ + k

x X′ + λ2X = 0.
(20)

Чтобы частное решение (18), отличное от тождественного нуля, удовлетворяло граничным условиям (5) и (8), необходимо потребовать выполнение
условий
X(0) = 0,
X′(l) = 0.
(21)

Известно [3], что уравнение (20) с помощью замены переменных по формулам

X =
( z

λ

) 1−k

2
Z,
x = z

λ ,
(22)

приводится к уравнению Бесселя

z2Z′′ + zZ′ +
(
z2 − (k − 1)2

4

)
Z = 0,
(23)

общим решением которого является функция

Z = C1J k−1

2
(z) + C2J 1−k

2
(z) ,
(24)

где J k−1

2
(z), J 1−k

2
(z) — бесселевы функции первого рода порядка k−1

2
и 1−k

2
соответственно. Возвращаясь к старым переменным в функции (24), с учетом
формул (22) получим

X = C1x− k−1

2 J k−1

2
(λx) + C2x− k−1

2 J 1−k

2
(λx) ,
(25)

где C1, C2, λ — произвольные постоянные. Их найдем из требования, чтобы
общее решение (25) удовлетворяло условиям (21). С этой целью подставим
функцию (25) в условия (21). Получаем

X′ = −C1λ x− k−1

2 J k+1

2
(λx) + C2λ x− k−1

2 J− k+1

2
(λx) .

Если воспользоваться представлением функций Бесселя в виде ряда,
то видно, что для 0 < k < 1 при x → 0 функция X1(x) = x− k−1

2 J k−1

2
(λx)

остается ограниченной, тогда как значение функции X2(x) = x− k−1

2 J 1−k

2
(λx)
в точке x = 0 равно нулю. Поэтому положим C1 = 0. Тогда из второго
граничного условия (21) получим

J− k+1

2
(λ l) = 0.
(26)

И. Б. Гарипов, Р. М. Мавлявиев

Известно [4], что уравнение (26) имеет счетное множество вещественных
корней. Обозначим через µn, n = 1, 2, 3, . . . , корни уравнения J− k+1

2
(µ) = 0.
Тогда собственным значениям λn = µn

l , n = 1, 2, 3, . . . , будут соответствовать
собственные функции

Xn = x− k−1

2 J 1−k

2

( µn

l x
)
,
n = 1, 2, 3, . . .
(27)

Лемма 2. Функции (27) ортогональны с весом xk и образуют полную
систему.

Доказательство. Ортогональность с весом очевидна [5]:

l
∫

0
Xn(x)Xm(x)xkdx =

l
∫

0
x− k−1

2 J 1−k

2

( µn

l x
)
x− k−1

2 J 1−k

2

( µm

l x
)
xkdx =

=

l
∫

0
J 1−k

2

( µn

l x
)
J 1−k

2

( µm

l x
)
xdx =

=

{ 0,
n ̸= m;

l2
2
(
1 − (k−1)2

4µ2n

)
J2
k−1

2 (µn),
n = m.
(28)

Докажем полноту этой системы. Предположим, что существует функция

ν(x), отличная от тождественного нуля и ортогональная всем функциям (27):

l
∫

0
x− k−1

2 J 1−k

2

( µn

l x
)
ν(x)dx = 0.

Известно [3], что система
{
J 1−k

2
( µn

l x
)}
полна в L2(0, l) и, следовательно,

x− k−1

2 ν(x) = 0,

что выполнимо лишь для функции ν(x), равной нулю почти всюду на (0, l).
Это и доказывает полноту системы (27).
Пусть функция f(x) представима в виде ряда

f(x) =

∞
∑

n=1
anx− k−1

2 J 1−k

2

( µn

l x
)
.
(29)

Умножая обе части разложения (29) на x
k+1

2 J 1−k

2
( µn

l x
)
и интегрируя по
отрезку [0, l], с учетом формулы (28), получим

an =
2

l2
(
1 − (k−1)2

4µ2n

)
J2
1−k

2 (µn)

l
∫

0
f(x)x
k+1

2 J 1−k

2

( µn

l x
)
dx,
n = 1, 2, 3, . . .

Краевая задача для одного параболического уравнения с оператором Бесселя
11

Значениям параметра λ = λn = µn

l
соответствуют следующие решения
уравнения (19)
T = Ane−( µn

l )
2t,

где An - произвольные постоянные. Итак, все функции

un(x, t) = Xn(x)Tn(t) = Anx− k−1

2 J 1−k

2

( µn

l x
)
e−( µn

l )
2t,
(30)

удовлетворяют уравнению (3) и граничным условиям (5) и (8) при любых
постоянных An.
Составим ряд

u(x, t) =

∞
∑

n=1
Anx− k−1

2 J 1−k

2

( µn

l x
)
e−( µn

l )
2t.
(31)

Требуя выполнения начального условия (4), получим

u(x, 0) = φ(x) =

∞
∑

n=1
Anx− k−1

2 J 1−k

2

( µn

l x
)
.
(32)

Ряд (32) представляет собой разложение заданной функции φ(x) в ряд
по функциям Бесселя в интервале (0, l). Коэффициенты разложения (32)
определяются по формулам

An =
2

l2
(
1 − (k−1)2

4µ2n

)
J2
1−k

2 (µn)

l
∫

0
φ(x)x
k+1

2 J 1−k

2

( µn

l x
)
dx,
n = 1, 2, 3, . . .

(33)
Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Если функция φ(x) ∈ C2[0, l] и φ′(l) = 0, φ(0) = φ′(0) = 0,
то существует единственное решение задачи (2)–(6), и оно определяется
как сумма ряда (31), коэффициенты которого вычисляются по формулам
(33).

Список литературы

1. Бейлин С.А. Об одной нелокальной задаче с интегральным условием // Матем.
заметки ЯГУ. 2004. Т.11, №2. С.22—29.

2. Зайцева Н.В. Смешанная задача для одного B-гиперболического уравнения с
интегральным условием первого рода // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012.
Вып.2. С.39–50.

3. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. М.: И.Л., 1949. 799 с.
4. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.:
Наука, 1984. 384 с.

5. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.

И. Б. Гарипов, Р. М. Мавлявиев

Гарипов Ильнур Бурханович (ilnur_garipov@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент,
кафедра высшей математики и математического моделирования, Казанский
(Приволжский) федеральный университет.

Мавлявиев Ринат Мизхатович (mavly72@mail.ru), старший преподаватель, кафедра высшей математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский) федеральный университет.

Boundary problem for the parabolic equation with the Bessel
operator and integral condition of the first kind

I. B. Garipov, R. M. Mavlyaviev

Abstract. We consider a boundary problem with an integral condition of
the first kind for the parabolic equation with the Bessel operator and prove its
equivalence to the boundary problem for the same equation with the usual local
boundary condition. We obtain a solution of the problem in an explicit form and
prove the uniqueness of the solution.
Keywords: parabolic equation, nonlocal integral condition, Bessel operator.

Garipov
Ilnur
(ilnur_garipov@mail.ru),
candidate
of
physical
and
mathematical sciences, associated professor, department of higher mathematics
and mathematical modeling, Kazan (Volga region) Federal University.

Mavlyaviev Rinat (mavly72@mail.ru), senior teacher,department of higher
mathematics
and
mathematical
modeling,
Kazan
(Volga
region)
Federal
University.

Поступила 24.01.2013