Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2012, № 3

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 3

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ

ТУЛА 2012

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 3. — Тула: Изд-во ТулГУ,
2012. — 260 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, информатики, физики, химии, биологии.

Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов,
студентов
и
аспирантов,
специализирующихся
в
области
естественных наук.

Редакционный совет

М.В. Грязев — председатель, В.Д. Кухарь — зам. председателя,
А.А.
Маликов
—
отв.
секретарь,
В.В.
Прейс
—
главный
редактор,
В.А. Алфёров, И.А. Батанина, О.И. Борискин, Л.А. Васин, В.И. Иванов,
В.С. Карпов, Н.М. Качурин, Р.А. Ковалев, А.К. Талалаев, А.Н. Чуков.

Редакционная коллегия

В.И.
Иванов
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров,
И.М.
Буркин,
Н.М. Добровольский, Д.М. Левин, А.А. Маркин — зам. отв. редактора,
Е.Н. Музафаров, Л.А. Толоконников, Н.Н. Фотиева, А.В. Иванов —
отв. секретарь.

Подписной индекс 27845

по Объединенному каталогу «Пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в перечень
ведущих научных журналов и изданий,
выпускаемых в Российской Федерации,
в которых должны быть опубликованы
научные результаты диссертаций на
соискание ученой степени доктора наук

c⃝ Авторы научных статей, 2012
c⃝ Издательство ТулГУ, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Безверхний В. Н.,
Добрынина И. В.
О
свободных
подгруппах
в
группах
Кокстера экстрабольшого типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Иванов В. И. Точные L2-неравенства Джексона — Черных — Юдина в теории
приближений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

Мавлявиев Р. М., Гарипов И. Б., Нураниева С. М., Хусаинова Э. Д. Рекуррентная
формула
для
нормальных
производных
фундаментальных
решений
эллиптического уравнения высшего порядка с младшими членами. . . . . . . . .
29

Субботин Ю. Н. Аппроксимация кривизны гладких классов плоских кривых
элементами конечномерных подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

Шабозов М. Ш.,
Холмамадова Ш. А.
О
поперечниках
некоторых
классов
аналитических в круге функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

Шабозов М. Ш., Темурбекова С. Д. Значения поперечников классов функций
из L2[0, 2π] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона
60

МЕХАНИКА

Иванов В. И., Скобельцын С. А. О модели рассеяния звука цилиндрическим
телом с полостями на основе метода конечных элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

Кунашов Н. Д. Модель упругого деформирования трещины в концепции слоя
взаимодействия при продольном сдвиге. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84

Маркин А. А., Лыу Туан Ань Движение тонкого жёсткопластического тела по
поверхности с осевой симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

Соколова М. Ю.,
Астапов Ю. В.
Термомеханическая
модель
нелинейного
анизотропного материала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Христич Д. В. Критерий экспериментальной идентификации изотропного и
кубического материалов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

ИНФОРМАТИКА

Адуенко А. А.,
Кузьмин А. А.,
Стрижов В. В.
Выбор
признаков
и
оптимизация метрики при кластеризации коллекции документов . . . . . . . . . . 119

Медведникова М. М., Стрижов В. В., Кузнецов М. П. Алгоритм многоклассовой
монотонной Парето-классификации с выбором признаков . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Свистунов С.С. Применение GPU для вычисления коэффициентов затенения
в задаче моделирования интерактивного освещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Федосеев А. А. Решение целочисленной модели Марковица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Содержание

ХИМИЯ

Блохин И. В., Агеев А. В., Атрощенко Ю. М., Хлытин Н. В., Тормозов В. А.
Синтез 2-метокси-3-R-пиразинов в ионной жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Гарифзянов А. Р., Жуков Н. Н. Влияние
натрий-хлоридного
засоления
на
содержание
компонентов
аскорбат-глутатионового
цикла
в
органах
тритикале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Рыбин А. А.,
Медведев Г. И.,
Макрушин Н. А.
Микрораспределение
при
электроосаждении сплава олово-индий из сульфатных электролитов с
органическими добавками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Юдина Н. Ю.,
Арляпов В. А.,
Зайцева А. С.,
Решетилов А. Н.
Влияние
времени культивирования, состава исследуемых проб и условий анализа на
окислительную активность дрожжей Debaryomyces hansenii. . . . . . . . . . . . . . . . 186

БИОЛОГИЯ

Бурова Ю. А.,
Ибрагимова С. А.,
Ревин В. В.
Действие
культуральной
жидкости бактерии Pseudomonas aureofaciens на развитие семян пшеницы
и фитопатогенных грибов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Ольчев А. В., Волкова Е. М., Каратаева Т. А., Новенко Е. Ю. Нетто СО2-обмен
и
испарение
сфагнового
болота
в
зоне
широколиственных
лесов
Европейской части России . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Семенищенков Ю. А. Сообщества союза Aceri campestris–Quercion roboris Bulokhov et Solomeshch 2003 в бассейне реки Ворсклы (Белгородская область) 221

ЭКОЛОГИЯ

Переломов Л. В., Переломова И. В., Лёвкин Н. Д., Мухина Н. Е., Корзини А.,
Андреони В. Адсорбция и окисление соединений мышьяка минералами
железа и в био-минеральных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

Крамаренко В. В.
О
структурной
прочности
слабых
грунтов
и
новых
нормативных документах по определению характеристик их механических
свойств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 255

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 5–18

Математика

УДК 519.4

О свободных подгруппах в группах
Кокстера экстрабольшого типа

В. Н. Безверхний, И. В. Добрынина

Аннотация.
Доказывается,
что
в
группах
Кокстера
экстрабольшого типа всякая конечно порожденная подгруппа без
кручения, пересечение которой с любой подгруппой, сопряженной
Gij, есть единичная подгруппа, является свободной.
Ключевые
слова:
группа
Кокстера
экстрабольшого
типа,
свободная подгруппа, подгруппа без кручения, конечно порожденная
подгруппа.

Группа G, заданная системой образующих ai, i ∈ J, |J| < ∞ и системой
определяющих соотношений a2
i = 1 для всех i ∈ J, (aiaj)mij = 1, i ̸= j, i, j ∈ J,
mij — элемент матрицы Кокстера (mij), i, j ∈ J, соответствующей данной
группе [1], причем mij ⩾ 3 для i ̸= j, называется группой Кокстера большого
типа. В случае mij > 3 имеем группу Кокстера экстрабольшого типа.

Проблемы
равенства
и
сопряженности
слов
в
группах
Кокстера
экстрабольшого и большого типа решены в работах [1] и [2]. Для групп
Кокстера экстрабольшого типа, соответствующих матрице Кокстера (mij),
i, j ∈ J, с mij ⩾ 3k + 1 доказано [3], что всякая k-порожденная подгруппа
без кручения является свободной в G.

В [4] доказывается, что в группах Кокстера экстрабольшого типа конечно
порожденные подгруппы без кручения являются свободными. При этом
предполагается, что все mij ̸= +∞. Рассмотрим случай, когда существуют
mij = +∞, i ̸= j.

Пусть Fi = ⟨ai; a2
i ⟩, F =
ni=1
∗Fi — свободное произведение циклических

групп порядка 2. Отождествим каждый образующий ai группы F с его
обратным a−1
i . Слово w = ai1. . . ain группы F называется приведенным,
если индексы рядом стоящих букв aij и aij+1 в записи w различны; длина
w равна n. Пусть mij < ∞ и rij = (aiaj)mij, тогда в F существуют в
точности две различные перестановки rij: rij = (aiaj)mij и rji = (ajai)mij
(i ̸= j). Обозначим через Fij группу Fij = Fi ∗ Fj, через Gij группу Кокстера
экстрабольшого типа Gij = ⟨ai, aj; a2
i , a2
j, rij, rji⟩.

В. Н. Безверхний, И. В. Добрынина

Обозначим через Rij множество всех нетривиальных слов, циклически
приведенных в свободном произвдении Fij и равных 1 в группе Gij, Rij =
= {rl
ij, rm
ji}, l, m ∈ N [2]. Элемент r ∈ Rij будем называть соотношением типа

(i, j).

В дальнейшем под R будем понимать R =
i,j∈J
Rij — симметризованное

подмножество
свободного
произведения
F.
Тогда
группа
Кокстера
может быть задана представлением G = ⟨ai; a2
i , R, i = 1, n⟩ . Пусть w —
нетривиальное циклически приведенное в F слово, равное единице в группе
G Кокстера экстрабольшого типа, то есть w ∈ ⟨R⟩F , где ⟨R⟩F — нормальное
замыкание симметризованного множества R в свободном произведении F.

Подвергнем R-диаграмму M следующему преобразованию. Если две
области D1, D2 являются одновременно Rij-диаграммами и пересекаются
по ребру с меткой ϕ(∂D1
∂D2), то, стирая это ребро, объединим D1, D2 в
одну область D. При этом, возможно, что метка границы полученой области
равна единице в свободном произведении F. Тогда, удалив эту область,
склеиваем её границу. Таким образом, через конечное число шагов мы
получим приведенную связную односвязную R-диаграмму M, инвариантную
относительного рассмотренного преобразования с граничной меткой, равной
w, причем если две области D′, D′′ из M пересекаются по ребру, то длина
метки этого ребра равна единице. Каждая приведенная связная односвязная
R-диаграмма M
группы Кокстера экстрабольшого типа удовлетворяет
условию C(8).

Обозначим через ∂M граничный цикл M. Область D ⊂ M назовем
граничной, если ∂M ∂D ̸= ∅. Символом |w| будем обозначать длину слова
w.

Будем говорить, что ∂D ∂M есть правильная часть M, если ∂D ∂M
есть объединение последовательности l1, l2, . . . , ln замкнутых ребер, где l1, . . .
. . . ln встречаются в данном порядке в некотором граничном цикле для D и
в некотором граничном цикле для M.

Граничную область D
R-диаграммы M
назовем простой,
если

∂D ∂M есть правильная часть. Простая область D диаграммы M, ∂M =
= γ ∪ δ называется деновской, если |∂D γ| > |∂D \ ∂D ∂M|.

Связная
односвязная
диаграмма
M
называется
диском,
если
ее
граничный цикл ∂M — простая замкнутая кривая.

Определение
1. Пусть M1
— приведенная связная, односвязная
поддиаграмма R-диаграммы M группы Кокстера экстрабольшого типа
с границей ∂M1 = e1γe2δ, где e1 — ребро AB, γ — путь BC, e2 — ребро
CD, δ — путь DA. Тогда последовательность областей D1, D2, . . . , Dn из M1
(e1 ∈ D1, e2 ∈ Dn), n ⩾ 2, образует полосу в M, если:

1) ∀i, 1 ⩽ i ⩽ n ∂Di
γ, ∂Di
δ — правильная часть M1;

2) ∀i, 1 ⩽ i < n границы областей Di и Di+1 пересекаются по ребру;

О свободных подгруппах в группах Кокстера экстрабольшого типа
7

3) |∂D1 ∩ γ| = |∂D1 ∩ δ| + 2, |∂Dn ∩ γ| = |∂Dn ∩ δ| + 2 и |∂Dj ∩ γ| = |∂Dj ∩
∩ δ|, 2 ⩽ j < n.

Удаление
деновской
области
диаграммы
M,
то
есть
удаление
ее
граничного пути, называется деновским сокращением диаграммы M или
R-сокращением. Будем говорить, что M является R-приведенной, если она
не содержит деновских областей.

Пусть Π — полоса диаграммы M. Замену диаграммы M на диаграмму

M1, полученную из M удалением полосы Π назовем специальным Rсокращением или R-сокращением. Если M не содержит полос, то назовем
M специально R-приведенной или R-приведенной. Слово w ∈ G назовем Rприведенным, если w является граничной меткой приведенной диаграммы,
не содержащей деновских областей. Назовем w циклически R-приведенным,
если все его циклические перестановки являются R-приведенными словами.

Циклически R-приведенное слово w группы G Кокстера экстрабольшого
типа
назовем
R-приведенным,
если
w
является
граничной
меткой
приведенной диаграммы, не содержащей полос. Если w′ получено из w R
или R-приведением, то |w′| < |w|.

Теорема 1 [5]. Существует алгоритм, позволяющий для любого
циклически приведенного слова w группы Кокстера экстрабольшого типа
выяснить, является ли w R, R-приведенным.

Область D с граничным циклом ∂D = eγe−1δ, расположенная по обе
стороны относительно ребра e, в которой склеенные ребра e и e−1 пересекают
граничный цикл D, называется (s − i)-областью.

Лемма 1 [5]. Если M приведенная связная односвязная R-диаграмма
над группой Кокстера экстрабольшого типа, то она не содержит (s − i)областей.

Лемма 2 [6]. Пусть M — приведенная связная односвязная R-диаграмма
над группой Кокстера экстрабольшого типа; σ — граничный цикл M, слово
ϕ(σ) R и R-несократимо. Тогда M является однослойной.

Лемма 3 [7]. Слово w группы Кокстера экстрабольшого типа G имеет
конечный порядок тогда и только тогда, когда оно сопряжено c некоторым
словом w′ ∈ Gij =< ai, aj; (aiaj)maiaj = 1, a2
i = a2
j = 1 >.

Лемма 4 [8]. Пусть слово w ∈ G имеет бесконечный порядок. Тогда
существует слово, сопряженное w или w2 в группе G, любая степень
которого циклически R и R-несократима.

Теорема 2. Конечно порожденная подгруппа без кручения группы
Кокстера
G
экстрабольшого
типа,
пересечение
которой
с
любой
подгруппой,
сопряженной
Gij,
есть
единичная
подгруппа,
является
свободной.

Доказательство. Пусть H — конечно порожденная подгруппа без
кручения группы Кокстера G экстрабольшого типа, удовлетворяющая
условию теоремы. Перейдем к графу Γ следующим образом: вершинам
некоторого ребра e графа Γ поставим в соответствие группы Gij и Gik,

В. Н. Безверхний, И. В. Добрынина

j ̸= k, а ребру — циклическую подгруппу ⟨ai|a2
i ⟩. Подгруппы Gij, Gik, j ̸= k,
назовем смежными.

Рассмотрим несократимый элемент g ∈ G в образующих G. Выделим с
начала и конца g максимальные куски (подслова) из подгрупп Gij. Затем
выполним в них R-сокращения. Далее выделяем следующие максимальные
куски, двигаясь к центру. Если рядом стоят куски из смежных подгрупп Gij,
Gik и предшествующий кусок из Gij заканчивается на ai, то ai присоединяем
к куску из Gik. В этих кусках также выполняем R-сокращения и так далее.
Получим, что всякий элемент g ∈ G может быть представлен в виде:

g = l1g. . . lkgKgrkg. . . r1g,
(1)

где lig, rig, i = 1, k, пересечение которой с любой подгруппой, сопряженной
Gij, есть единичная подгруппа, будем называть соответственно левыми
и правыми множителями слова g, Kg — кусок из Gij слова, который
будем называть ядром слова g, если g имеет нечетную длину в кусках, и
Kg = 1, если g имеет четную длину в кусках. Выполним другие возможные
R, R-сокращения. Для этого между последовательными кусками из смежных
подгрупп вставим квадраты образующих (между смежными кусками из Gij
и Gik, k ̸= j, вставим a2
i ) и выполним R-сокращения только тогда, когда
это уменьшает длину некоторых кусков и не увеличивает длины остальных.
Представление (1) будем называть приведенной формой слова g, куски
l1g, . . . , lkg, Kg, rkg, . . . , r1g также будем называть слогами или множителями
g. Заметим, что длина каждого множителя не превосходит половины длины
соответствующего определяющего слова. В дальнейшем под длиной слова g
будем понимать число L(g) = 2k + 1, если Kg ̸= 1, и число L(g) = 2k, если
Kg = 1.

В слове (1) длины 2k + 1 начальный отрезок l1g. . . lkgKg (Kgrkg. . . r1g)
назовем большим начальным (большим конечным) отрезком, отрезок l1g. . .
. . . lkg (rkg. . . r1g) — левой (правой) половиной.

Будем далее не различать слоги p, t, если 1) p, t−1 являются взаимно
обратными; 2) pt−1 = R = 1, где R — определяющее слово; 3) u = u1p, v = v1t,
где u1, v1 — подслова u, v, а t = aip и образующий ai можно присоединить
к последнему куску, принадлежащему Gij, подслова u1 (и выполнить в этом
куске возможное R-сокращение). Действительно, u = u1p = u1a2
i p = u1ait.
Далее слоги p, t−1, где p, t из 1)–3) будем называть взаимно обратными.

Также не будем различать подслова u1, v1 слов u, v в виде (1),
если они имеют одинаковые слоги. Будем выполнять объединение не
взаимно обратных первого и последнего слогов слов u, v (соответственно)
в произведении слов uv, если они принадлежат одной подгруппе Gij,
и
выполнять
возможное
R-сокращение
в
объединенном
слоге.
Такое
объединение будем также обозначать (uv).

Так как H — конечно порожденная подгруппа без кручения, пересечение
которой с любой подгруппой, сопряженной Gij, есть единичная подгруппа,

О свободных подгруппах в группах Кокстера экстрабольшого типа
9

то левая и правая половины слова (1) длины 2k + 1 не являются взаимно
обратными.

Аналогично, для слова (1) длины 2k определяются левая и правая
половины. В слове (1) длины 2k начальный отрезок l1g. . . lkgrkg (lkgrkg. . . r1g)
назовем большим начальным (большим конечным) отрезком.

Пусть W = {wi}, i = 1, n, — конечное множество слов группы G, каждое
из которых приведено к виду (1). Будем говорить, что у слова wϵ
j = l1. . .
. . . lkKrk. . . r1, где ϵ = ±1, начальный отрезок l1. . . li изолирован в W, если он
не является начальным отрезком ни у какого слова wη
i , где η = ±1, wi ∈ W \
{wj}. Будем говорить, что у слова wϵ
j = l1. . . lkKrk. . . r1, где ϵ = ±1, конечный
отрезок ri. . . r1 изолирован в W, если он не является конечным отрезком ни
у какого слова wη
i , где η = ±1, wi ∈ W \ {wj}.

Рассмотрим
конечное
множество
образующих
W = {wi},
i = 1, n,
подгруппы
H
без
кручения
вида
(1).
C
помощью
элементарных
нильсеновских преобразований [9] сведем данное множество к множеству
слов минимальной длины в кусках (множителях), начиная с самого
короткого. Большой начальный и большой конечный отрезки wi, i = 1, n,
изолированы в W. Далее для слов четной длины всюду изолируем левую
половину. Для слов нечетной длины с помощью элементарных нильсеновских
преобразований изолируем всюду левую половину, если это не ведет к
увеличению длины образующих (будем говорить, что левая половина
изолирована почти всюду), то есть если w1 = l1. . . lmKw1rm. . . r1, то l1. . . lm
встречается

либо в w2 = l1. . . lmKw2r′
m. . . r′
1, где Kw1, K−1
w2
не сокращаются и не
объединяются,

либо в w2 = l′
1. . . l′
mKw2lm. . . l1, где Kw1, Kw2 не сокращаются и не
объединяются,

либо в w2 = l1. . . lm−1l′
m. . . l′
kKw2r′
k. . . r′
1, где l−1
m , l′
m не сокращаются и не
объединяются,

либо в u2 = l′
1. . . l′
kKw2r′
k. . . r′
mlm−1. . . l1, где lm, r′
m не сокращаются и не
объединяются,

либо в u2 = l1. . . lm−1l′
m. . . l′
kr′
k. . . r′
1, где l−1
m , l′
m не сокращаются и не
объединяются,

либо в u2 = l′
1. . . l′
kr′
k. . . r′
mlm−1. . . l1, где lm, r′
m не сокращаются и не
объединяются.

Выполним в словах полученного множества возможные R, R-сокращения
с помощью вставок квадратов образующих как описано выше. Заметим,
выполнение R, R-сокращений с помощью вставок квадратов образующих не
меняет слогов в соответствии с ранее сказанным.

Множество образующих W = {wi}, i = 1, n, подгруппы H
назовем
специальным [10], если выполнены свойства:

1.
Большой
начальный
и
большой
конечный
отрезки
wi, i = 1, n,
изолированы в W.

В. Н. Безверхний, И. В. Добрынина

2. Для слов нечетной длины левая половина изолирована в W.
3. Для слов нечетной длины левая половина изолирована почти всюду в
W.

В дальнейшем под W = {wi}, i = 1, n, будем подразумевать специальное
множество образующих подгруппы H.

Будем рассматривать слова u1u2. . . um, где ui ̸= 1, i = 1, m, ui ∈ W ∪
∪ W −1, i = 1, m; ui ̸= u−1
i+1, i = 1, m − 1 .

Определение 2. Слово u1u2. . . um будем называть простым, если
L(u1u2. . . um) = max{L(u1), L(u2), . . . , L(um)}.

Лемма
5. Пусть u1u2. . . um — слово из подгруппы, порожденной
специальным множеством слов W = {wi}, i = 1, n. Тогда L(u1u2. . . um) ⩾
⩾ L(ui), i = 1, m.

Доказательство. Рассмотрим
сначала
простое
слово
u1u2. . . um.
Покажем, что оно удовлетворяет следующей системе соотношений:

L(u1u2. . . ui) = max{L(u1. . . ui−1), L(ui)}, i = 2, m.
Предположим, что это не так. Тогда разбиваем слово u1u2. . . um на
подслова v1, v2, . . . , vk следующим образом:

w1 = u1u2, если L(u1u2) = max{L(u1), L(u2)};
w2 = w1u3, если L(w1u3) = max{L(w1), L(u3)};
. . . . . .
wk1−1 = wk1−2uk1, если L(wk1−2uk1) = max{L(wk1−2), L(uk1)}.
Если L(wk1−1uk1+1) > max{L(wk1−1), L(uk1+1)}, то обозначим wk1−1 =
= u1u2. . . uk1 через v1. Начиная с uk1+1, последовательно строим wk1, . . . ,
wk2−1 и, если L(wk2−1uk2+1) > max{L(wk2−1), L(uk2+1)}, то слово wk2−1 =
= uk1+1uk1+2. . . uk2 обозначим через v2 и так далее. Через конечное число
шагов получим разбиение слова u1u2. . . um на подслова v1, v2, . . . , vk: u1u2. . .
. . . um = v1v2. . . vk и так как L(v1v2. . . vk) > L(vi), i = 1, k, то L(u1u2
. . . um) > L(uj), j = 1, m.

Последнее соотношение противоречит тому, что слово u1u2. . . um простое,
поэтому u1u2. . . um = v1. Теперь рассмотрим произвольное слово u1u2. . . um
и разобьем его на простые слова аналогично тому, как это сделано выше.
Таким образом, получим u1u2. . . um = v1v2. . . vt, где каждое vi, i = 1, t, —
простое слово. Поэтому L(u1u2. . . um) = L(v1v2. . . vt) > L(vi) ⩾ L(uj), i =
= 1, t, j = 1, m.

Следствие 1. Если в слове u1u2. . . um выполнить сокращение в группе
G, то оно не затронет, по крайней мере, левую половину слова u1.

Лемма 6. Подгруппа, порожденная специальным множеством слов

W = {wi}, i = 1, n, является свободной.

Доказательство. Покажем, что элемент вида g = u1u2. . . ut где ui ̸=
̸= 1, i = 1, t, ui ∈ W ∪ W −1, i = 1, t; ui ̸= u−1
i+1, i = 1, t − 1 не равен единице в
группе G. Более того, покажем, что после сокращений в слове g = u1u2. . . ut
остается одно из следующих слов:

О свободных подгруппах в группах Кокстера экстрабольшого типа
11

1) Wl−1
m . . . l−1
1 , где W — некоторое слово, l1. . . lm — изолированная левая
половина образующего wi = u−1
t
четной длины;

2) Wbl−1
m . . . l−1
1 , где W — некоторое слово, l1. . . lm — левая половина
образующего wi = u−1
t
нечетной длины, b — слог из той же подгруппы Gjk,
что и ядро образующего wi;

3) WKutrm. . . r1, где W — некоторое слово, Kutrm. . . r1 — изолированный
большой конечный отрезок образующего wi = ut нечетной длины;

4) Wbrm. . . r1, где W — некоторое слово, rm. . . r1 — правая половина
образующего wi = ut четной длины, b — слог из той же подгруппы Gjk, что
и последний слог lm левой половины образующего wi.

Доказательство проведем индукцией по t.
Докажем утверждение для t = 2, g = u1u2. Рассмотрим все возможные
случаи для u1, u2. Далее будем рассматривать результат максимально
возможных сокращений и объединений в слове u1u2. Объединение не
взаимно обратных слогов p, l ∈ Gij будем обозначать (pl).

1. Пусть L(u1) = L(u2).
1.1. L(u1) = 2m.
1.1.1. u1 = l1. . . lmrm. . . r1, u2 = l′
1. . . l′
mr′
m. . . r′
1.

Тогда g = l1. . . lm(rml′
m)r′
m. . . r′
1 = Wbr′
m. . . r′.

1.1.2. u1 = l1. . . lmrm. . . r1, u2 = r′−1
1
. . . r′−1
m l′−1
m . . . l′−1
1
.

Тогда g = l1. . . lml′−1
m . . . l′−1
1
= Wl′−1
m . . . l′−1
1
.

1.1.3. u1 = r−1
1 . . . r−1
m l−1
m . . . l−1
1 , u2 = l′
1. . . l′
mr′
m. . . r′
1.

Тогда g = r−1
1 . . . r−1
m (l−1
m l′
m)r′
m. . . r′
1 = Wbr′
m. . . r′
1.

1.1.4. u1 = r−1
1 . . . r−1
m l−1
m . . . l−1
1 , u2 = r′−1
1
. . . r′−1
m l′−1
m . . . l′−1
1
.

Тогда g = r−1
1 . . . r−1
m (l−1
m r′−1
m )l′−1
m . . . l′−1
1
= Wl′−1
m . . . l′−1
1
.

1.2. L(u1) = 2m + 1.
1.2.1. u1 = l1. . . lmKu1rm. . . r1, u2 = l′
1. . . l′
mKu2r′
m. . . r′
1. Тогда g = l1. . .
. . . lmKu1Ku2r′
m. . . r′
1 = WKu2r′
m. . . r′.

1.2.2. u1 = l1. . . lmKu1rm. . . r1, u2 = r′−1
1
. . . r′−1
m K−1
u2 l′−1
m . . . l′−1
1
. Тогда g =
= l1. . . lm(Ku1K−1
u2 )l′−1
m . . . l′−1
1
= Wbl′−1
m . . . l′−1
1
.

1.2.3. u1 = r−1
1 . . . r−1
m K−1
u1 l−1
m . . . l−1
1 , u2 = l′
1. . . l′
mKu2r′
m. . . r′
1. Тогда g =
= r−1
1 . . . r−1
m K−1
u1 Ku2r′
m. . . r′
1 = WKu2r′
m. . . r′
1.

1.2.4. u1 = r−1
1 . . . r−1
m K−1
u1 l−1
m . . . l−1
1 , u2 = r′−1
1
. . . r′−1
m K−1
u2 l′−1
m . . . l′−1
1
.

Тогда g = r−1
1 . . . r−1
m K−1
u1 K−1
u2 l′−1
m . . . l′−1
1
= Wl′−1
m . . . l′−1
1
.

2. Пусть L(u1) < L(u2).
2.1. L(u1) = 2m, L(u2) = 2k.
2.1.1. u1 = l1. . . lmrm. . . r1, u2 = l′
1. . . l′
kr′
k. . . r′
1.

Тогда g = l1. . . lml′
m+1. . . l′
kr′
k. . . r′
1 = Wbr′
k. . . r′.

2.1.2. u1 = l1. . . lmrm. . . r1, u2 = r′−1
1
. . . r′−1
k
l′−1
k
. . . l′−1
1
.

Тогда g = l1. . . lmr′−1
m+1. . . r′−1
k
l′−1
k
. . . l′−1
1
= Wl′−1
k
. . . l′−1
1
.

2.1.3. u1 = r−1
1 . . . r−1
m l−1
m . . . l−1
1 , u2 = l′
1. . . l′
kr′
k. . . r′
1.

В. Н. Безверхний, И. В. Добрынина

Тогда g = r−1
1 . . . r−1
m (l−1
m l′
m). . . l′
kr′
k. . . r′
1 = Wbr′
k. . . r′.

2.1.4. u1 = r−1
1 . . . r−1
m l−1
m . . . l−1
1 , u2 = r′−1
1
. . . r′−1
k
l′−1
k
. . . l′−1
1
.

Тогда g = r−1
1 . . . r−1
m (l−1
m r′−1
m ). . . r′−1
k
l′−1
k
. . . l′−1
1
= Wl′−1
k
. . . l′−1
1
.

2.2. L(u1) = 2m, L(u2) = 2k + 1.
2.2.1. u1 = l1. . . lmrm. . . r1, u2 = l′
1. . . l′
kKu2r′
k. . . r′
1.

Тогда g = l1. . . lml′
m+1. . . l′
kKu2r′
k. . . r′
1 = WKu2r′
k. . . r′
1.

2.2.2. u1 = l1. . . lmrm. . . r1, u2 = r′−1
1
. . . r′−1
k
K−1
u2 l′−1
k
. . . l′−1
1
.

Тогда g = l1. . . lmr′−1
m+1. . . r′−1
k
K−1
u2 l′−1
k
. . . l′−1
1
= Wbl′−1
k
. . . l′−1
1
.

2.2.3.u1 = r−1
1 . . . r−1
m l−1
m . . . l−1
1 , u2 = l′
1. . . l′
kKu2r′
k. . . r′
1.

Тогда g = r−1
1 . . . r−1
m (l−1
m l′
m). . . l′
kKu2r′
k. . . r′
1 = WKu2r′
k. . . r′
1.

2.2.4. u1 = r−1
1 . . . r−1
m l−1
m . . . l−1
1 , u2 = r′−1
1
. . . r′−1
k
K−1
u2 l′−1
k
. . . l′−1
1
.

Тогда g = r−1
1 . . . r−1
m (l−1
m r′−1
m ). . . r′−1
k
K−1
u2 l′−1
k
. . . l′−1
1
= Wbl′−1
k
. . . l′−1
1
.

В случае L(u1) = 2m + 1, L(u2) = 2k получаем результаты, аналогичные
п. 2.1. В случае L(u1) = 2m + 1, L(u2) = 2k + 1 получаем результаты,
аналогичные п. 2.2.

3. Пусть L(u1) > L(u2).
3.1. L(u1) = 2m, L(u2) = 2k.
3.1.1. u1 = l1. . . lmrm. . . r1, u2 = l′
1. . . l′
kr′
k. . . r′
1.

Тогда g = l1. . . lmrm. . . (rkl′
k)r′
k. . . r′
1 = Wbr′
k. . . r′
1.

3.1.2. u1 = l1. . . lmrm. . . r1, u2 = r′−1
1
. . . r′−1
k
l′−1
k
. . . l′−1
1
.

Тогда g = l1. . . lmrm. . . rk+1l′−1
k
. . . l′−1
1
= Wl′−1
k
. . . l′−1
1
.

3.1.3. u1 = r−1
1 . . . r−1
m l−1
m . . . l−1
1 , u2 = l′
1. . . l′
kr′
k. . . r′
1.

Тогда g = r−1
1 . . . r−1
m l−1
m . . . (l−1
k l′
k)r′
k. . . r′
1 = Wbr′
k. . . r′
1.

3.1.4. u1 = r−1
1 . . . r−1
m l−1
m . . . l−1
1 , u2 = r′−1
1
. . . r′−1
k
l′−1
k
. . . l′−1
1
.

Тогда g = r−1
1 . . . r−1
m l−1
m . . . l−1
k+1l′−1
k
. . . l′−1
1
= Wl′−1
k
. . . l′−1
1
.

3.2. L(u1) = 2m, L(u2) = 2k + 1.
3.2.1. u1 = l1. . . lmrm. . . r1, u2 = l′
1. . . l′
kKu2r′
k. . . r′
1.

Тогда g = l1. . . lmrm. . . rk+1Ku2r′
k. . . r′
1 = WKu2r′
k. . . r′
1.

3.2.2. u1 = l1. . . lmrm. . . r1, u2 = r′−1
1
. . . r′−1
k
K−1
u2 l′−1
k
. . . l′−1
1
.

Тогда g = l1. . . lmrm. . . (rk+1K−1
u2 )l′−1
k
. . . l′−1
1
= Wbl′−1
k
. . . l′−1
1
.

3.2.3.u1 = r−1
1 . . . r−1
m l−1
m . . . l−1
1 , u2 = l′
1. . . l′
kKu2r′
k. . . r′
1.

Тогда g = r−1
1 . . . r−1
m l−1
m . . . l−1
k+1Ku2r′
k. . . r′
1 = WKu2r′
k. . . r′
1.

3.2.4. u1 = r−1
1 . . . r−1
m l−1
m . . . l−1
1 , u2 = r′−1
1
. . . r′−1
k
K−1
u2 l′−1
k
. . . l′−1
1
.

Тогда g = r−1
1 . . . r−1
m l−1
m . . . (l−1
k+1K−1
u2 )l′−1
k
. . . l′−1
1
= Wbl′−1
k
. . . l′−1
1
.

В случае L(u1) = 2m + 1, L(u2) = 2k получаем слова, аналогичные п. 3.1.
В случае L(u1) = 2m + 1, L(u2) = 2k + 1 — слова, аналогичные п. 3.2.

Пусть утверждение верно для любого слова g = u1u2. . . ut−1. Докажем
его для g = u1u2. . . ut.

1. u1u2. . . ut−1 = Wl−1
m . . . l−1
1 , где W
— некоторое слово, l1. . . lm —
изолированная левая половина образующего wi = u−1
t−1 четной длины.