Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2012, № 2

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 2

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ

ТУЛА 2012

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 2. — Тула: Изд-во ТулГУ,
2012. — 310 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, информатики, физики, химии, биологии.

Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов,
студентов
и
аспирантов,
специализирующихся
в
области
естественных наук.

Редакционный совет

М.В. Грязев — председатель, В.Д. Кухарь — зам. председателя,
А.А.
Маликов
—
отв.
секретарь,
В.В.
Прейс
—
главный
редактор,
В.А. Алфёров, И.А. Батанина, О.И. Борискин, В.И. Иванов, В.С. Карпов,
Н.М. Качурин, Р.А. Ковалев, А.К. Талалаев, Е.А. Федорова, А.Н. Чуков.

Редакционная коллегия

В.И.
Иванов
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров,
И.М.
Буркин,
Н.М.
Добровольский,
Д.М.
Левин,
А.А.
Маркин,
Е.Н.
Музафаров,
Л.А. Толоконников, Н.Н. Фотиева, А.В. Иванов — отв. секретарь.

Подписной индекс 27845

по Объединенному каталогу «Пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в перечень
ведущих научных журналов и изданий,
выпускаемых в Российской Федерации,
в которых должны быть опубликованы
научные результаты диссертаций на
соискание ученой степени доктора наук

c⃝ Авторы научных статей, 2012
c⃝ Издательство ТулГУ, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Безверхний Н. В. Трансляционные числа и проблема корня в группах с
условием C(3) − T(6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Безверхний В. Н., Добрынина И. В. Алгоритм сопряженности слов в группах
Кокстера большого типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

Вепринцев Р. А.
Об
одной
нелинейной
рекуррентной
последовательности
третьего порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20

Зайцева Н. В. Смешанная задача для одного B-гиперболического уравнения с
интегральным условием первого рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

Ибрагимова Н. А.
Решение
краевых
задач
для
B-полигармонического
уравнения методом потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

Компанцева Е. И. Кольца на смешанных абелевых группах ранга без кручения
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64

Нигмедзянова А. М. Интегральное представление решения одного многомерного
вырождающегося эллиптического уравнения второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

Ребров Е. Д.,
Селиванов С. В.
О
приближенном
решении
интегрального
уравнения Фредгольма II рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

Фам Тхи Тху Тхюи Кольца, в которых любой идеал является абсолютным .
93

Ха Тхи Минь Хуэ O связи многомерных и одномерных констант Джексона в
пространствах L2 со степенными весами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Юсупов Г. А. Точные неравенства типа Джексона-Стечкина и поперечники
функциональных классов в L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

МЕХАНИКА

Кунашов Н. Д.
Модель
упругопластического
деформирования
трещины
нормального отрыва в концепции слоя взаимодействия при плоском
напряженном состоянии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Темис Ю. М.,
Азметов Х. Х.,
Тимофеев Д. С.
Моделирование
влияния
дефектов диффузионной сварки на малоцикловую усталость неоднородных
материалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Толоконников Л. А.
О
рассеянии
плоской
звуковой
волны
упругим
эллиптическим цилиндром с несколькими полостями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Чернецов Д. А. Процесс нелинейного деформирования стержневых систем без
ограничения степени деформации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Содержание

ФИЗИКА

Васин Р. Н.,
Иванкина Т. И.,
Круглов А. А.,
Локаичек Т.,
Никитин А. Н.,
Фан Лоан
Тхи
Нгок
Некоторые
экспериментальные
результаты
о
прохождении
квазипродольных
упругих
волн
в
поликристаллическом
пористом графите . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Левин Д. М., Чуканов А. Н., Яковенко А. А. Применение метода механической
спектроскопии для изучения субструктурной деградации и начальных
этапов разрушения сталей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

ХИМИЯ

Арляпов В. А.,
Чепурнова М. А.
Устойчивость
во
времени
ассоциаций
микроорганизмов как потенциальных биораспознающих элементов для
БПК-сенсоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Вент Д. П.,
Савельянов В. П.,
Лопатин А. Г.,
Сафин М. А.
Влияние
перемешивания на динамику реактора полимеризации стирола . . . . . . . . . . . . 212

Зайцев М. Г.,
Владимиров В. И.,
Журикова Е. М.,
Ильницкий М. Ю.
Выделение
фермента
алкогольоксидазы
из
клеток
метилотрофных
дрожжей родов Pichia, Hansenula, Candida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Каманин С. С.,
Арляпов В. А.
Разработка
модифицированных
печатных
электродов на основе глюкозоксидазы для анализа глюкозы . . . . . . . . . . . . . . . 226

Рыбин А. А., Медведев Г. И., Макрушин Н. А. Исследование кинетики процесса
электроосаждения сплава олово-индий из сульфатного электролита с
органическими добавками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

БИОЛОГИЯ

Абрамова Э. А., Иванищев В. В. Исследование морфогенеза проростков при
прорастании семян вики в присутствии ионов никеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Волкова Е. М., Горелова С. В., Музафаров Е. Н. Биомониторинг антропогенного
загрязнения Тульской области на основе анализа накопления тяжелых
металлов в торфяных залежах болот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Гармаш Т. П. Из опыта лесомелиоративных работ в Полтавской губернии
(конец ХIХ — нач. ХХ ст.): деятельность лесовода В. М. Борткевича . . . . . . 264

Дмитриев В. В., Русакова Т. Г., Рогачевский В. В., Звонарев А. Н., Ахметов Л. И.,
Колесникова С. А.,
Музафаров Е. Н. Экзополимеры
микроорганизмов
в
утилизации гидрофобных субстратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Жуков Н. Н.,
Гарифзянов А. Р.,
Иванищев В. В.
Динамика
активности
антиоксидантных
ферментов
в
органах
×Triticosecale
на
фоне
NaCl-засоления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Шастик Е. С.,
Зорин Н. А.,
Цыганков А. А.
Интегральная
система
для
получения
электрического
тока
гидрогеназным
электродом,
расположенным в биореакторе с микробным консорциумом . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 305

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 5–12

Математика

УДК 519.40

Трансляционные числа и проблема корня
в группах с условием C(3) − T (6)

Н. В. Безверхний

Аннотация. Доказано, что группы с условием C(3) − T(6)
являются строго трансляционно дискретными, что в этом классе
групп разрешима проблема корня, то есть для любого элемента
g ∈ G можно выяснить, существуют ли n ∈ N, n ̸= 1, h ∈ G, для
которых hn = g.
Ключевые слова: трансляционное число, карта, диаграмма над
группой, условия малого сокращения, дэновская область.

В статье доказывается, что группы с условиями малого сокращения

C(3) − T(6) являются сторого трансляционно дискретными, что в этом
классе групп разрешима проблема корня, то есть для любого элемента g
такой группы можно установить, существуют ли натуральное число n > 1
и элемент h той же группы, для которых в данной группе верно равенство
hn = g. При этом существует алгоритм, вычисляющий все такие пары (h, n).

Тем самым усиливается аналогичный результат, полученный в [1], для
групп с условиями малого сокращения C(3) − T(6) − P, где смысл условия
P заключается в следующем. Будем говорить, что слово u в порождающих
X группы G = (X, R) с симметризованным множеством R определяющих
соотношений (то есть содержащим все циклические перестановки и инверсии
своих элементов) является куском, если u является общим началом двух
различных слов из R. При этом условие P означает, что все куски имеют
единичную длину, то есть являются элементами множества X, и ни одно
соотношение r из R не является степенью: не существует k > 1, для которого
r ≡ sk для непустого слова s, где последнее равенство означает графическое
совпадение слов.

Поясним теперь смысл условий C(3) и T(6). Группа G удовлетворяет
условию
C(3),
если
она
обладает
копредставлением
G = (X, R)
с
симметризованным
множеством
R,
в
котором
любое
определяющее
соотношение не представимо в виде произведения менее, чем трёх кусков.
Здесь под произведением кусков следует понимать операцию умножения в
свободной группе F(X).

Н. В. Безверхний

Соответственно группа G удовлетворяет условию T(6), если для любого
натурального t ∈ (2; 6) и любого набора слов r1, . . . , rt из R таких, что в
последовательности r1, r2, . . . , ri, ri+1, . . . , rt, r1 соседние слова не являются
взаимно обратными в F(X), по крайней мере одно из произведений r1r2, . . .
. . . , rtr1 приведено в F(X).

Геометрически условие C(3) означает, что в приведенной диаграмме

M [2] (не содержащей зеркальных пар областей) над группой G = (X, R)
любая внутренняя область содержит в граничном цикле не менее трёх рёбер.
Условие T(6) означает, что в диаграмме M любая внутренняя вершина имеет
степень не менее шести.

Теперь необходимо отметить следующее свойство всех копредставлений,
удовлетворяющих условиям T(q) при q > 4. Доказательство этого свойства
можно найти в статье [3], или рассмотреть в качестве простого упражнения.

Итак, если группа G = (X, R) удовлетворяет условию T(q), q > 4, то
длина любого куска равна 1.

Отсюда следует, что результат [1] И.Каповича усиливается тем, что
доказываемые утверждения о трансляционной дискретности C(3) − T(6)групп (Теорема 1), разрешимости в них проблемы корня (Теорема 2)
оказываются верны не только для групп без кручения, но и для групп,
содержащих элементы конечного порядка.

Действительно, как доказано в статье [4], C(3) − T(6)-группа G = (X, R)
содержит элементы конечного порядка тогда и только тогда, когда в
множестве R есть соотношение кручения, то есть вида r ≡ sk, а именно
таких соотношений не должно быть в R в соответствии с условием P,
фигурирующим в [1].

Определение
1.
Пусть
G
—
группа,
порожденная
конечным
множеством X. Тогда каждый элемент g ∈ G может быть представлен как
произведение g = x1x2. . . xn, где xi ∈ X, i ∈ 1, . . . n. Минимальное n с таким
свойством назовем X-длиной элемента g и обозначим lX(g).

Тогда для любого g ∈ G определим трансляционное число элемента g
относительно X как предел

τX(g) = lim
n→∞
lX(gn)

n
.

Доказано, что этот предел всегда существует [5].

Лемма 1 [5]. Пусть G = (X; R) — конечно порожденная группа. Тогда
(a) τX(g) = τX(hgh−1);
(b) если g — элемент конечного порядка, то τX(g) = 0;
(c) τX(gn) = nτX(g) для любого n ∈ N и любого g;
(d)
для
любого
другого
конечного
порождающего
множества
Y
существуют
положительные
константы
C1, C2
такие,
что

C1τY (g) ⩽ τX(g) ⩽ C2τY (g) для любого g ∈ G.

Трансляционные числа и проблема корня в группах с условием C(3) − T(6)
7

Определение 2. Группа называется трансляционно сепарабельной,
если любой элемент с трансляционным числом 0 имеет конечный порядок.

Определение 3. Группа называется трансляционно дискретной, если
она трансляционно сепарабельна, и 0 является изолированной точкой
множества τX(g) ⊆ R.

Определение 4. Группа G строго трансляционно дискретна, если она
трансляционно сепарабельна и для любого вещественного числа r количество
классов сопряженности α таких, что τX(α) ⩽ r, конечно.

Свойства, перечисленные в трёх последних определениях, зависят от
группы, но не от выбора системы порождающих.

Сформулируем в виде теорем основные результаты статьи.
Теорема 1. Пусть G = (X; R) — группа с условием C(3) − T(6). Тогда
G строго трансляционно дискретна.

Теорема 2. Пусть G = (X; R) — группа с условием C(3) − T(6).
Тогда в ней разрешима проблема корня, то есть существует алгоритм,
выясняющий для любого слова v, представляющего элемент группы G,
существуют ли целое n ̸= 1, и слово w, для которых верно равенство v = wn.

1. Сокращения в C(3) − T (6)-группах

Все результаты данной работы получены методом групповых диаграмм.
Будем использовать следующие обозначения для границы области D и
диаграммы M, соответственно: ∂D и ∂M.

Определение 5. Рассмотрим диаграмму M. Область D ⊂ M называется
дэновской, если

1) ∂D ∩ ∂M — последовательная часть границы ∂M (то есть ∂D ∩ ∂M = p
— подпуть в граничных циклах области D и диаграммы M [2]);

2)
число
внутренних
рёбер
области
D,
обозначаемое
через
i(D),
удовлетворяет условию i(D) ∈ {0, 1}.

Понятие дэновской области аналогично определяется и для карты M.

Определение 6. Будем говорить, что в слове w есть R-сокращение, если
существует элемент r ∈ R такой, что

1) r ≡ r1r2,
2) w ≡ w1w2w3,
3) r1 ≡ w2,
4) слово r2 либо пусто, либо является куском,
5) слова w1r−1
2 , r−1
2 w3 несократимы в свободной группе;

6) в случае замены слова w равным ему в группе G словом w1r−1
2 w3 будем
говорить, что в w выполнено R-сокращение.

Если в любой циклической перестановке слова w нет R-сокращений, то
слово w называется циклически R-несократимым.

Н. В. Безверхний

Определение 7. Полосой в диаграмме M называется поддиаграмма

Π =
ki=1
Di со свойствами:

1) ∂Di ∩ ∂M = p — последовательная часть границы ∂M;
2) ∂Π ∩ ∂M — последовательная часть границы ∂M;
3) при k = 3 i(D1) = i(D2) = i(D3) = 2, причём соседние области имеют
общее ребро, а все три области полосы имеют общую вершину;

при k > 3, k = 2l + 1 i(D1) = i(D2) = i(D2l) = i(D2l+1) = 2, i(D3) = i(D5) =
= . . . = i(D2l−3) = i(D2l−1) = 3, i(D4) = i(D6) = i(D2l−4) = i(D2l−2) = 2;

4) ∂Di ∩ ∂Di+1 — ребро (i = 1, . . . , k − 1).

Замечание. Легко проверить, что любая полоса в диаграмме M с
циклически несократимой в свободной группе, циклически R-несократимой
граничной меткой φ(∂M) является приведенной диаграммой.

Понятие R-сокращения можно определять в рассматриваемом классе
групп аналогично тому, как это сделано для R-сокращения.

Но из-за громоздкости такого определения в группах, удовлетворяющих
условию T(6), будем пользоваться другим, эквивалентным определением.

Определение 8. Пусть Π — полоса в диаграмме M. Граничным
словом области Di ⊂ Π называется метка пути ∂Di ∩ ∂M, прочитанная
в соответствии с ориентацией области Di. Граничным словом полосы
Π
называется
метка
пути
∂Π ∩ ∂M,
прочитанная
в
направлении,
противоположном
ориентации
границы
∂M.
Аналогично
определяется
граничное слово дэновской области.

Понятиям
R-,
R-сокращений
дадим
определения,
использующие
только язык диаграмм, и лишенные громоздких соотношений между
определяющими
словами.
Эти
определения
и
будем
в
дальнейшем
использовать.

Определение 9. Будем говорить, что в слове v есть R-сокращение, если
существует связная односвязная диаграмма M над копредставлением G =
= (X; R), в которой существует дэновская область, граничное слово которой
является подсловом в v. В слове v есть R-сокращение, если существует
связная односвязная диаграмма M над копредставлением G = (X; R), в
которой существует полоса Π, граничное слово которой является подсловом
в v.

Следствие из определений. Для любого циклически несократимого
в F(X) слова w, не равного единице в группе G, существует циклически
R, R-несократимое слово w0, сопряженное c w в G.

Действительно,
в
результате
R, R-сокращения
длина
слова
строго
уменьшается. Поэтому, записав произвольное слово w на окружности C и
выполняя в его циклических перестановках R, R-сокращения, получим либо
пустое слово, что невозможно, поскольку w ̸= 1 в G, либо непустое слово
w0, в циклических перестановках которого нет R, R-сокращений.

Трансляционные числа и проблема корня в группах с условием C(3) − T(6)
9

Заметим, что о единственности R-, R-несократимого представителя речь
не идёт.

В [6] доказаны две основные теоремы. В первой из них утверждается, что
существует алгоритм, строящий из любого циклически R, R-несократимого
слова
w
сопряженное
его
степени
слово,
любая
степень
которого

R-несократима.

Во второй доказано существование алгоритма, строящего из циклически

R, R-несократимого
слова
w,
любая
степень
которого
R-несократима,
сопряженное
ему
в
группе
G
слово
w0,
любая
степень
которого
R, R-несократима.

При этом из доказательства обеих теорем следует, что очевидной
является возможность построения сопрягающего слова z : w = zw0z−1.

Представитель w0 слова w, обладающий свойством R-, R-несократимости
всех своих степеней, называется нормальной формой слова w. Отметим, что
мы не утверждаем единственность нормальной формы.

Теорема 3 [6]. Пусть слово w представляет в группе G = (X; R),
удовлетворяющей условиям C(3) − T(6), элемент бесконечного порядка,
причём само слово w циклически несократимо в свободной группе и
циклически R, R-несократимо. Пусть

m = maxr∈R|r|.

1. Если для некоторого n′ ∈ N слово wn′ R-сократимо, то существует
n ∈ N, n ⩽ m, для которого слово wn R-сократимо.

2. Если число m′ удовлетворяет неравенствам 1 < m′ ⩽ m, и для
некоторой циклической перестановки w∗ слово (w∗)m′ R-сократимо, причём
ни при каком m′′ < m′ в слове (w∗)m′′ нет R-сокращений, то в результате
выполнения этого сокращения получается слово w0 = (w∗)m′ (равенство в
группе G), любая степень которого R-несократима.

Теорема 4 [6]. Если слово w представляет в группе G = (X; R),
удовлетворяющей условиям C(3) − T(6), элемент бесконечного порядка,
причём само слово w циклически R-несократимо, а все его степени wn

R-несократимы, то:

если слово w2 R-несократимо, то любая степень wn R-несократима;
если же в слове w2 есть R-сокращение, то либо
1) все степени слова w1 = w2 (равенство в группе G), полученного из w2

в результате этого R-сокращения, R, R-несократимы;

либо
2) существует конечный алгоритм, строящий последовательность
сопряженных в группе G слов w, w1, . . . , wt, в которой t < |w|, и слово wt
R, R-несократимо вместе со своими степенями.

Фактически
в
этих
теоремах
доказано
существование
алгоритма,
строящего
по
любому
циклически
несократимому
в
F(X)
слову
w,
представляющему элемент бесконечного порядка группы G = (X; R) с

Н. В. Безверхний

условием C(3) − T(6), слово w0 ∼ wm′, m′ ⩽ m = maxr∈R|r|, любая степень
которого R, R-несократима.

2. Доказательство теорем

Начнём со свойств трансляционных чисел с C(3) − T(6)-группе G =
= (X, R). Будем предполагать, что слово g = x1. . . xl представляет элемент
бесконечного порядка в группе G. Пусть v0 — нормальная форма элемента g,
то есть такое слово, для которого в соотвествии с теоремами 2, 3 существует
натуральное m′ ⩽ m = maxr∈R|r|, и gm′ ∼ v0 : gm′ = z−1v0z, где |g| = l —
число букв в слове g.

Пусть n = m′k + r, 0 ⩽ r < m′. Рассмотрим две последовательности:

xn = lX(gn)

n
, yk = lX(gm′k)

m′k
.

Очевидно,
что
{yk}
является
подпоследовательностью
в
{xn}.
Из
существования
τX(g)
(см.
лемму
1)
следует
равенство
пределов
последовательности и её подпоследовательности:

lim
n→∞ xn = lim
k→∞ yk.

По определению
τX(g) = lim
n→∞ xn,

τX(g) = lim
k→∞ yk = lim
k→∞
lX(gm′k)

m′k
= lim
k→∞
lX(z−1vk
0z−1)

m′k
= 1

m′ lim
k→∞
lX(z−1vk
0z)

k
=

= 1

m′ lim
k→∞
lX((z−1v0z)k)

k
= 1

m′ τX(z−1v0z) = 1

m′ τX(v0).

Итак, доказано следующее равенство:

τX(g) = 1

m′ τX(v0),

которое можно доказать, используя общие свойства трансляционных чисел.
По свойству (a) леммы 1 из сопряженности элементов v0, gm′ следует
равенство τx(v0) = τX(gm′), откуда по свойству (c) той же леммы τX(gm′) =
= m′τX(g).

Лемма 2 [7]. Пусть M — приведенная, связная, односвязная диаграмма
над группой G = (X, R) с условиями C(3) − T(6), ∂M = σ ∪ τ, ϕ(σ) ≡ u,
ϕ(τ) ≡ v, где u, v — R, R-несократимые слова. Тогда существуют числа
C1, C2 > 0, не зависящие от u, v, такие, что C1|v| ⩽ |u| ⩽ C2|v|.

Ниже через vn будем обозначать слово, удовлетворяющее двум условиям:
1) lX(vn
0 ) = |vn|, 2) vn = vn
0 в группе G.

Трансляционные числа и проблема корня в группах с условием C(3) − T(6)
11

Из
равенства
2)
следует
существование
связной
односвязной
диаграммы
Mn
с
границей
∂Mn = σ ∪ τ
и
граничными
метками

ϕ(σ) = vn
0 , ϕ(τ) = vn. По определению нормальной формы слово vn
0 является
R, R-несократимым.
Слово
vn
тоже
R, R-несократимо,
поскольку
при
выполнении R, R-сокращений длина слова строго уменьшается, а vn — самый
короткий представитель элемента vn
0 . Значит, к диаграмме M применима
лемма 2. По лемме 2 C1|vn
0 | ⩽ |vn| ⩽ C2|vn
0 |. Очевидно, |vn
0 | = n|v0|.

Поделим последнее неравенство на n и перейдём к пределу при n → ∞ :

C1|v0| ⩽ τX(v0) ⩽ C2|v0|.

Эти неравенства означают, что для любого числа r > 0 существует
лишь конечное число нормальных форм v0, трансляционные числа которых
меньше r. Из связи
τX(g) = 1

m′ τX(v0)

следует такой же вывод и для τX(g). При этом число 0 оказывается
изолированной точкой множества {τX(g)|g ∈ G}.

Действительно, верно следующее утверждение.
Лемма 3. Пусть g — элемент группы G с условиями C(3) − T(6), и

τX(g) = 0. Тогда g имеет конечный порядок в группе G.

Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда для элемента g
бесконечного порядка существует нормальная форма v0 и

0 = τX(g) = 1

m′ τX(v0) ⩾ C1|v0|

m′
,

что невозможно, поскольку константа C1 из леммы 2 строго положительна,
как и длина слова v0. Этим завершается доказательство теоремы 1.

Для
доказательства
теоремы
2
достаточно
рассмотреть,
как
и
выше,
связную
односвязную
диаграмму
M
с
граничными
метками

ϕ(σ) = v, ϕ(τ) = wn. Здесь слово v дано, а слово w и показатель n могут и
не существовать. Таким образом, мы предполагаем, что из v извлекается
корень степени n. Для применения неравенств из леммы 2 надо добиться
несократимости граничных меток диаграммы M. Снова воспользуемся
нормальными формами.

Пусть w0 — нормальная форма для w : wm′ = z−1w0z. Тогда

wnm′ = vm′, (z−1w0z)n = vm′, wn
0 = zvmz−1.

Выполнив все R, R-сокращения в слове zvmz−1, получим равное ему
в группе G несократимое слово v0. По определению нормальной формы
слово wn
0 тоже несократимо. Значит, для этой пары слов применима лемма
2 (существование диаграммы M следует из леммы Ван Кампена). Из
леммы 2 делаем вывод об ограниченности длины слова wn
0 : |wn
0 | ⩽ C2|v0|, а
значит, конечным перебором с помощью известного алгоритма, решающего

Н. В. Безверхний

проблему равенства слов в рассматриваемом классе групп, можно выяснить,
существуют ли w0 и n с указанными свойствами. Теорема 2 доказана.

Список литературы

1. Kapovich I. Small cancellation groups and translation numbers // Amer. Math. Soc.
1997. V. 349, № 5. P. 1851–1875.

2. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.
3. Gersten S., Short H. Small cancellation theory and automatic groups // Invent.
math. 1990. V.102. P.305–334.

4. Bogley W.A., Pride S.J. Aspherical relative presentations // Proc. of Edinburg
Math. Soc. 1992. V.35. P.1–39.

5. Gersten S., Short H. Rational subgroups of biautomatic groups // Ann. Math. 1991.
V.134. P.125–158.

6. Безверхний Н.В. Нормальные формы для элементов бесконечного порядка в
группах с условиями C(3) − T(6) // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010.
Вып.1. С.6–25.

7. Безверхний Н.В. Проблема сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу
в группах с условием C(3) − T(6) // Дискретная математика (Принято к
печати).

Безверхний Николай Владимирович (nbezv@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент,
кафедра математического моделирования, Московский государственный
университет им. Н.Э. Баумана.

Normal forms of elements of infinite order in a group with
C(3) − T (6)-condition

N. V. Bezverkhnii

Abstract. In this paper we prove that C(3) − T(6) small cancellation groups
are strongly translation discrete and that in these groups for any g and any n
there is an algorithm deciding whether or not the equation xn = g has a solution.
Keywords: translation number, map, group diagram, small cancellation condition, dehn region.

Bezverkhnii Nikolai (nbezv@mail.ru), candidate of physical and mathematical
sciences, assistant professor, department of mathematical modelling, Bauman
Moscow State Technical University.

Поступила 17.05.2012