Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2012, № 1 (1)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки 

Выпуск 1

Часть 1

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ
ТУЛА 2012

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 1. — Тула: Изд-во ТулГУ,
2012. — 300 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, информатики, физики, химии, биологии.

Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов,
студентов
и
аспирантов,
специализирующихся
в
области
естественных наук.

Редакционный совет

М.В. Грязев — председатель, В.Д. Кухарь — зам. председателя,
А.А.
Маликов
—
отв.
секретарь,
В.В.
Прейс
—
главный
редактор,
В.А. Алфёров, И.А. Батанина, О.И. Борискин, В.И. Иванов, В.С. Карпов,
Н.М. Качурин, Р.А. Ковалев, А.К. Талалаев, Е.А. Федорова, А.Н. Чуков.

Редакционная коллегия

В.И.
Иванов
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров,
И.М.
Буркин,
Н.М.
Добровольский,
Д.М.
Левин,
А.А.
Маркин,
Е.Н.
Музафаров,
Л.А. Толоконников, Н.Н. Фотиева, А.В. Иванов — отв. секретарь.

Подписной индекс 27845

по Объединенному каталогу «Пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в перечень
ведущих научных журналов и изданий,
выпускаемых в Российской Федерации,
в которых должны быть опубликованы
научные результаты диссертаций на
соискание ученой степени доктора наук

c⃝ Авторы научных статей, 2012
c⃝ Издательство ТулГУ, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Буркин И. М.,
Соболева Д. В.
О
структуре
глобального
аттрактора
многосвязных систем автоматического регулирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Кук Во Тхи Операторы обобщенного сдвига в пространствах Lp на торе с весом
Якоби и их применение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

МЕХАНИКА

Айрих В. А. Исследование процесса упругопластического деформирования
концевой области трещины нормального отрыва в состоянии плоской
деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

Глаголев Л. В.
Вариант
нахождения
напряженного
состояния
упругой
плоскости, ослабленной физическим разрезом, с парой сил . . . . . . . . . . . . . . . .
58

Кудряшов А. В.
Влияние
модуля
деформационного
упрочнения
на
распределение
конечных
деформаций
в
круговой
упругопластической
оболочке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65

Толоконников Л. А. Определение акустического поля, рассеянного упругим
сфероидом с несколькими сферическими полостями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73

Христич Д. В. Аналитическое определение симметрии свойств квазикристаллов
81

Энгельман О. Е.
Процесс
деформирования
и
разрушения
упругой
полуплоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

ИНФОРМАТИКА

Двоенко С. Д.,
Шанг Д. В. Алгоритмы
подбора
параметров
древовидного
марковского
случайного
поля
в
задаче
распознавания
растровых
текстурных изображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

Козлов Д. В.
Передаточная
функция
кручения
упругого
элемента
с
распределенными параметрами одномассовой системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Мельников П. А., Копылов А. В. Алгоритм поиска квазиоптимальной разметки
для обработки изображений с построчным комбинированием переменных . 119

Недошивин С. В.,
Панфилов Г. В.,
Судаков П. В.
Разложение
специальных
цилиндрических
функций
по
степеням
переменных
аргументов
при
интегральном преобразовании Лапласа–Карсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Середин О. С.
Линейные
методы
распознавания
образов
на
множествах
объектов произвольной природы, представленных попарными сравнениями.
Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Мотренко А. П., Стрижов В. В. Многоклассовая логистическая регрессия
для прогноза вероятности наступления инфаркта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Содержание

ФИЗИКА

Володин Г. Т. Математическое моделирование взрывостойкости и гарантированного
разрушения балочных конструкций взрывной нагрузкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Володин Г. Т. Моделирование гарантированного разрушения пластин взрывом
неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ . . . . . . . . . . . . 173

Данг Н. Т., Козленко Д. П., Кичанов С. Е., Савенко Б. Н., Дубровинский Л. С.,
Lathe C. Индуцированный давлением структурный фазовый переход в
манганите La0.75Ca0.25MnO3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Чан Т. А., Козленко Д. П., Кичанов С. Е., Лукин Е. В., Ирак З., Дубровинский Л. С.,
Савенко Б. Н. Влияние высокого давления на кристаллическую структуру
и спектры рамановского рассеяния света манганита Pr0.8Na0.2MnO3 . . . . . . . 194

Чуканов А. Н.,
Никитин А. Н.,
Васин Р. Н.,
Жачко М. В.
Исследование
повреждаемости углеродистой стали методом акустической эмиссии. . . . . . . 203

Чуканов А. Н., Яковенко А. А. Роль водорода в деградации и деструкции
малоуглеродистых сталей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Чуканов А. Н.,
Яковенко А. А.
Дислокационная
динамика
в
изучении
стадийности развития деградации и разрушения малоуглеродистых сталей
при деформировании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

ХИМИЯ

Белякова М. Б., Дьячкова Л. Я., Костюк Н. В., Лещенко Д. В., Миняев М. В.
Влияние концентрации солей в бескислородной добавке на количественные
характеристики «эффекта быстрого потребления кислорода» . . . . . . . . . . . . . . 229

Кузнецова Т. А.,
Понаморева О. Н.,
Решетников А. С.,
Горячева А. А.,
Фунтикова Т. В.
Биоэлектрокаталитическое
окисление
формальдегида
метилобактериями Methylobacterium dichloromethanicum DM4 в присутствии
медиатора электронного транспорта – ферроцена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Матвейко Н. П., Алферов С. В. Загрязнение окружающей среды тяжелыми
металлами и фтором при использовании зубных паст . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Нгуен В. Т.,
Алферов В. А.,
Алферов С. В.,
Скорынина А. В.
Кинетика
восстановления
2,6-дихлорфенолиндофенола
в
присутствии
этанола
в
биотопливном элементе на основе клеток Gluconobacter oxydans и их
мембранной фракции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Рыбин А. А., Медведев Г. И., Макрушин Н. А. Электроосаждение сплава оловоиндий из сульфатного электролита в присутствии органических веществ . . 265

БИОЛОГИЯ

Евсеева А. А. Сравнительная оценка устойчивости и α-разнообразия городских
лесных фитоценозов Калуги и Обнинска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Мынбаева Б. Н., Панин М. С., Есимов Б. К. Установление токсичности почв
Алматы через изменение состава микрофауны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 295

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 5–16

Математика

УДК 517.925

О структуре глобального аттрактора
многосвязных систем автоматического
регулирования

И. М. Буркин, Д. В. Соболева

Аннотация. Доказано, что глобальный аттрактор многосвязной
системы
автоматического
регулирования
может
содержать
произвольное
число
орбитально
устойчивых
циклов.
Приведен
пример трехмерной системы с двумя нелинейными блоками, в
глобальном аттракторе которой имеется не менее трех циклов, по
крайней мере два из которых орбитально устойчивы.
Ключевые слова: многомерные системы, устойчивость, решение
матричных неравенств, циклы.

Введение

Задача исследования структуры притягивающих множеств многомерных
динамических систем является одной из традиционно трудных задач
качественной теории дифференциальных уравнений. Исторически эта задача
восходит к известной шестнадцатой проблеме Гильберта о нахождении
максимального числа и взаимного расположения предельных циклов систем
второго порядка с полиномиальными правыми частями. Благодаря усилиям
нескольких поколений математиков во второй половине ХХ века в решении
этой проблемы был достигнут существенный прогресс [1]. Новые аспекты
этой проблемы наиболее рельефно проявились после работ С.Смейла [2],
показавшего, что глобальный аттрактор динамической системы порядка
выше второго, имеющей даже весьма простую структуру (например,
кусочно-линейной),
может
содержать
бесконечное
число
неустойчивых
циклов или странный аттрактор.

Ситуация, когда многомерная динамическая система с единственным
состоянием
равновесия
является
диссипативной
и
имеет
несколько
орбитально
устойчивых
циклов,
каждый
из
которых
обладает
своей
областью притяжения, является, в определенном смысле, промежуточной
между
порядком
и
хаосом.
Выбор
начальных
условий
в
областях
притяжения различных циклов выводит систему на различные устойчивые

И. М. Буркин, Д. В. Соболева

периодические режимы. В этом случае говорят, что в системе наблюдается
«эффект буферности» [4].

Разработка техники обнаружения эффекта буферности для многомерных
динамических систем стимулировалась появлением обобщенного принципа
Пуанкаре-Бендиксона, принадлежащего Р.Смиту [3]. В работе [4] был
предложен общий подход к оценке структуры глобального аттрактора
(числа циклов и областей притяжения орбитально устойчивых циклов)
многомерных динамических систем с единственным состоянием равновесия.
В работах [5, 6] на основе этого подхода были развиты методы оценки
числа циклов многомерных моделей систем автоматического регулирования
с одним нелинейным блоком, позволяющие, благодаря использованию
специфики рассматриваемых систем, существенно упростить процедуру
проверки условий общих теорем из [4].

Попытки обобщить полученные результаты на случай математических
моделей
многомерных
систем
автоматического
регулирования
с
несколькими нелинейными блоками (многосвязных систем) до последнего
времени
казались
бесперспективными,
поскольку
они
наталкиваются
на
существенные
вычислительные
трудности,
связанные
с
проверкой
выполнения частотных критериев и решения матричных уравнений Лурье
в многомерном случае. Весьма нетривиальной представлялась и задача
получения
эффективно
проверяемых
условий
наличия
единственного
состояния равновесия у многосвязных систем.

Результат, представленный в настоящей работе, получен на основе
синтеза аналитических и численных методов, использующих возможности
символьных
процессоров
современных
математических
пакетов.
Он
отражает современную тенденцию синтеза аналитических и численных
методов с привлечением мощной компьютерной техники при решении
сложных математических проблем.

1. Математическая модель многосвязной системы
автоматического регулирования. Основные предположения

Широкий класс систем автоматического регулирования с m входами и
m нелинейными блоками может быть описан системой дифференциальных
уравнений вида

dx
dt = Ax + Bξ,
ξ = ϕ(σ),
σ = C∗x.
(1)

Здесь
A,
B,
C
—
вещественные
постоянные
матрицы
порядков,
соответственно n × n, n × m и n × m, где m ⩽ n, x ∈ Rn. Знак (*) означает
транспонирование, а ниже в комплексном случае — эрмитово сопряжение.
Везде в данной работе предполагается, что каждый нелинейный блок
системы регулирования имеет один скалярный вход и один выход, то есть
ξj = ϕj(σj), j = 1, 2, . . . , m, где ϕj(σj) — непрерывные функции.

О структуре глобального аттрактора многосвязных систем
7

Комплекснозначная m × m-матрица W(p) = C∗(A − pIn)−1B, где p
— комплексная переменная, называется передаточной матрицей системы
(1). На протяжении всей работы мы будем предполагать, что пара (A, B)
полностью управляема, а пара (A, C) полностью наблюдаема. В этом
случае говорят, что система (1) управляема и наблюдаема. Согласно
теореме 1.2.4 [7], управляемость и наблюдаемость системы (1) эквивалентна
невырожденности ее передаточной матрицы W(p) [7].

Типичные ограничения, накладываемые на поведение функций ϕj(σj)
при
изучении
систем
автоматического
регулирования
—
«секторные
ограничения», то есть требования выполнения при всех σj ̸= 0 условий
αj ⩽ ϕj(σj)/σj ⩽ βj, ϕj(0) = 0, j = 1, 2, . . . , m, где αj, βj — некоторые числа.
Если все эти числа конечные, то без ограничения общности можно считать,
что αj = 0, βj > 0. Везде в дальнейшем будем предполагать выполненными
условия

0 ⩽
ϕj(σ2
j ) − ϕj(σ1
j )

σ2
j − σ1
j
⩽ µj
для всех
σj ∈ (−∞, ∞), σ1
j ̸= σ2
j ,

ϕj(0) = 0,
j = 1, 2, . . . , m.
(2)

Предположения (2), очевидно, означают, что система (1) имеет решение
(точку покоя) x = 0. Если x0 — какая-либо точка покоя системы (1), то для
нее справедливо соотношение C∗x0 + C∗A−1Bϕ(C∗x0) = 0, которое можно
записать в виде

σ0 + W(0)ϕ(σ0) = 0,
где
σ0 = col(σ0
1, . . . σ0
m),

ϕ(σ0) = col(ϕ1(σ0
1), . . . , ϕm(σ0
m)).
(3)

Все формулируемые далее критерии существования циклов у системы
(1) используют предположение о том, что x = 0 — единственная точка
покоя системы. Для этого необходимо и достаточно, чтобы система (3) имела
только тривиальное решение σ0 = 0. Положим W(0) = (wij)m×m.

Лемма 1. Пусть в какой-либо строке с номером j матрицы W(0)
равны нулю все элементы, кроме элемента wjj, расположенного на главной
диагонали. Пусть выполнено неравенство wjj > −µ−1
j . Тогда σj = 0.

Лемма 2. Пусть в строках с номерами i и j матрицы W(0) равны нулю
все элементы wkl, для которых по крайней мере один из индексов k или l
отличен от i или j. Если выполнены условия

wii > −µ−1
i ,
wjj > −µ−1
j ,
wijwji ⩽ 0,
(4)

тогда система (3) имеет только тривиальное решение.

Мы
приведем
доказательство
леммы
2.
Лемма
1
доказывается
аналогично.

И. М. Буркин, Д. В. Соболева

Доказательство. Пусть, для определенности, i = 1, j = 2. Тогда
первые два уравнения системы (3) имеют вид

σ1 + w11ϕ1(σ1) + w12ϕ2(σ2) = 0,
σ2 + w21ϕ1(σ1) + w22ϕ2(σ2) = 0.
(5)

При w > −µ−1 прямая σ + wξ = 0 не пересекает сектор 0 < ξ/σ < µ на
плоскости (σ, ξ). Из условий (2) вытекают соотношения 0 ⩽ ϕk(σk)/σk ⩽ µk,
k = 1, 2. Поэтому, предполагая, что система (5) имеет решение σ1 ̸= 0,
σ2 = 0 и, используя условие w11 > −µ−1
1 , сразу приходим к противоречию
с первым уравнением системы. Аналогично, предполагая что σ1 = 0, из
второго уравнения системы и условия w22 > −µ−1
2
выводим, что σ2 = 0.
Предполагая теперь, что система (5) имеет решение σ1 ̸= 0, σ2 ̸= 0, получаем

σ1

ϕ1(σ1) + w11

σ2

ϕ2(σ2) + w22

= w12w21.

В силу (4), оба сомножителя в левой части последнего равенства строго
положительны, а его правая часть неположительна. Это противоречие и
доказывает лемму.

Будем говорить, что матрица W(0) «допускает редуцирование по
варианту 1», если все элементы i-ой строки этой матрицы, кроме элемента wii
равны нулю. Будем говорить, что матрица W(0) «допускает редуцирование
по варианту 2», если все элементы в каких-либо строках i и j этой матрицы,
кроме элементов wii, wjj, wij и wji равны нулю. Редуцированием матрицы
по варианту 1 будем называть матрицу, в которой все элементы в строке
и столбце с номером i заменены нулями. Редуцированием матрицы по
варианту 2 будем называть матрицу, в которой все элементы в столбцах с
номерами i и j заменены нулями.

Лемма
3.
Пусть
матрица
W(0)
допускает
последовательные
редуцирования по вариантам 1 или 2 до тех пор, пока она не станет
нулевой m × m-матрицей. Если при редуцировании по варианту 1 всякий
раз выполнено условие wii > −µ−1
i , а при редуцировании по варианту 2
выполняются условия (4), то система (3) имеет только тривиальное
решение σ0
1 = σ0
2 = . . . = σ0
m = 0 (система (1) имеет единственное
состояние равновесия x = 0).

Справедливость утверждения леммы 3 вытекает из лемм 1 и 2.
Сформулируем теперь два предположения, которые будут использоваться
в дальнейшем.

Предположение 1. Существует такое число λ > 0, что при всех ω ∈
∈ (−∞, ∞) справедливо частотное неравенство

det Re[Im + MW(iω − λ)] ̸= 0,
M = diag(µ1, µ2, . . . , µm)
(6)

и при этом для некоторой матрицы M = diag(µ1, µ2, . . . , µm), где 0 ⩽ µi ⩽
⩽ µi, (i = 1, 2, . . . , m), матрица A + B MC∗ имеет ровно два собственных

О структуре глобального аттрактора многосвязных систем
9

значения с положительными вещественными частями и не имеет их в
полосе −λ ⩽ Re p ⩽ 0.

Предположение 2. Для некоторой матрицы M = diag(µ1, µ2, . . . , µm),
где µi ∈ [0, µi), матрица A + B MC∗ гурвицева.

Отметим,
что
проверить
выполнение
условий
предположения
2
достаточно
просто,
тогда
как
проверка
выполнения
условий
предположения 1 «вручную» в случае m ⩾ 2 является очень трудоемким и
становится реально осуществимой лишь при использовании возможностей,
предоставляемых символьными процессами современных математических
пакетов.

Основная теорема

В данном разделе мы сформулируем и приведем схему доказательства
утверждения об одной из возможных структур глобального аттрактора
многосвязной
системы
автоматического
регулирования
(1),
имеющей
единственное состояние равновесия.

Теорема. Пусть для системы (1) выполнены предположения 1 и 2,
а также условия леммы 3. Тогда нелинейности ϕj(σj), j = 1, 2, . . . , m в
системе (1) всегда могут быть выбраны так, что они удовлетворяют
соотношениям (2), система является диссипативной по Левинсону и
имеет любое наперед заданное число орбитально устойчивых циклов.

Доказательство теоремы проведем в несколько этапов, которые оформим
в виде отдельных лемм.

Лемма 4. Пусть выполнено предположение 1 и нелинейности ϕj(σj)
удовлетворяют
соотношениям
(2).
Тогда
существует
квадратичная
форма V (x) = x∗Hx с матрицей H, имеющей ровно 2 отрицательных
и n − 2 положительных собственных значения, такая, что для любой
пары решений x1(t), x2(t) системы (1) и некоторого ε > 0 справедливо
неравенство

d
dt V [x1(t) − x2(t)] + 2λV [x1(t) − x2(t)] ⩽ −ε|x1(t) − x2(t)|2.
(7)

Доказательство. Положим
y(t) = x1(t) − x2(t).
Очевидно,
y(t)
является решением системы

dy
dt = Ay + Bψ(t, σ),
σ = C∗y,
(8)

где, как это следует из (2), для функции ψ(t, σ) и любых решений x1(t), x2(t)
справедливы неравенства

0 ⩽ ψj(t, σj)σj ⩽ µjσ2
j ,
j = 1, 2, . . . , m.
(9)

И. М. Буркин, Д. В. Соболева

Введем в рассмотрение функцию V (y) = y∗Hy, где H = H∗ — n × nматрица, которая будет определена ниже. Матрицу H попытаемся подобрать
так, чтобы для любого решения y(t) системы (8) выполнялось условие

d
dt V [y(t)] + 2λV [y(t)] ⩽ −ε|y(t)|2
(10)

с некоторым ε > 0. Для выполнения соотношения (10) достаточно, чтобы для
любых y ∈ Rn и любых ψ ∈ Rm, удовлетворяющих соотношениям (9), было
справедливо неравенство

2y∗H[(A + λIn)y + Bψ] +

m
j=1
ψj(µjσj − ψj) ⩽ −ε(|y|2 + |ψ|2).
(11)

По частотной теореме 1.2.7 [7] для существования матрицы H = H∗,
удовлетворяющей неравенству (11), необходимо и достаточно, чтобы при
всех ω ∈ (−∞, ∞) выполнялось условие Re[Im + MW(iω − λ)] < 0. Последнее
неравенство эквивалентно условию (6).

Полагая в (15) ψ = Mσ, приходим к матричному неравенству

H[A + B MC∗ + λIn] + [A + B MC∗ + λIn]∗H ⩽ −εIn.

Из этого неравенства, предположения 1 и леммы 1.2.4 [7] вытекает, что
матрица H неособая и имеет ровно 2 отрицательных и n − 2 положительных
собственных значения.

Отметим,
что
матрица
H,
являющаяся
решением
матричного
неравенства (11), может быть найдена, например, с помощью численного
интегрирования
соответствующего
дифференциального
уравнения
Лурье-Риккати.
Именно
к
такому
приему
нахождения
решения
матричного
неравенства
(11)
в
основном
прибегают
специалисты
в
области конструирования оптимальных регуляторов, где часто возникает
необходимость решения подобных неравенств. Однако для решаемой в
данной работе проблемы такой подход неудобен, поскольку он требует либо
слишком больших затрат машинного времени, либо не дает приемлемой
точности в нахождении матрицы H. Кроме того, матричное неравенство (11)
имеет неединственное решение, тогда как метод численного интегрирования
позволяет найти какое-либо одно из них. В данной работе для нахождения
решения неравенства (11) использован алгоритм, описанный в книге [8,
с.75–77], позволяющий найти все решения неравенства. Для реализации
этого алгоритма составлена программа в математическом пакете Maple 13.

Полагая в неравенстве (7) x2(t) = 0, убеждаемся, что множество Ω = {x :
x ∗ Hx ⩽ 0} положительно инвариантно для траекторий системы (1), а его
граница ∂Ω = {x : x ∗ Hx = 0} бесконтактна для траекторий системы (1).

О структуре глобального аттрактора многосвязных систем
11

Запишем систему (1) в виде ˙x = (A + B MC∗)x + B(ϕ(σ) − Mσ). После
этого линейным неособым преобразованием x = Qy приведем ее к виду

˙y1 = −D1y1 + g1(y),
˙y2 = D2y2 + g2(y).
ϕ1(σ) = ϕ(σ) − Mσ,
y =
y1
y2

,
Fy = col(0, y2).

Здесь D1 и D2 — антигурвицевы матрицы размерностей (n − 2) × (n − 2) и
2 × 2 соответственно, причем матрица D2 + D∗
2 положительно определена,
g2(y) = FQ−1Bϕ1(σ), σ = c∗By.

Положим N = Q∗HQ. Можно показать [9, с. 133], что y∗Ny < 0 при
y1 = 0, y2 ̸= 0. Пусть θ — наименьшее собственное значение положительно
определенной матрицы D2 + D∗
2, C∗ = col(c∗
1, c∗
2, . . . , c∗
m), α > 0 — некоторое
число. Положим

νi = max
T1 |c∗
i Qy|,
где
T1 = {y : y∗Ny ⩽ 0, |y2| ⩽ 2θ−1∥FQ−1B∥α}.
(12)

Лемма
5.
Пусть
|ϕi(σi) − µiσi| < αi
при
σi ∈ [−νi, νi].
Тогда
поверхность
∂T1 = {x : x∗Hx ⩽ 0, |FQ−1x| = 2θ−1∥FQ−1B∥α},
где

α = max αi, бесконтактна для траекторий системы (1) и пересекается
наружу (то есть по направлению «от точки покоя x = 0») всеми
траекториями этой системы, которые ее встречают.

Лемма 5 может быть доказана по той же схеме, как и аналогичное
утверждение в [4, лемма 1].

Запишем теперь систему (1) в виде ˙x = (A + B MC∗)x + B(ϕ(σ) − Mσ).
Положим βi =
max
σi∈[−νi,νi] |ϕi(σi) − µiσi|, β = max βi, i = 1, 2, . . . , m. Найдем

матрицу P = P ∗ > 0 из уравнения Ляпунова

P(A + B MC∗) + (A + B MC∗)∗P = −I
(13)

и положим δ = 4q∥PB∥2β2, где q — наибольшее собственное значение
матрицы P. Определим числа τi = max

T 2
|c∗
i x|, где T2 = {x : x∗Hx < 0, x∗Px <

< δ}.

Лемма 6. Если при σi ∈ [−τi, τi] справедливы соотношения

|ϕi(σi) − µiσi| ⩽ βi,
(14)

то
поверхность
∂T2 = {x : x∗Hx ⩽ 0, x∗Px = δ}
бесконтактна
для
траекторий системы (1) и пересекается вовнутрь всеми траекториями
этой системы, которые ее встречают.

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию S(x) = x∗Px − γ и
покажем, что для производной этой функции в силу системы (1) выполнено
условие ˙S(x) < 0 при S(x) = 0 и γ ⩾ 4q∥PB∥2β2. В самом деле, из уравнения
(13) следует, что
˙S = −|x|2 + 2x∗PB(ϕ(σ) − Mσ).
(15)

И. М. Буркин, Д. В. Соболева

По определению q справедливо неравенство x∗Px ⩽ q|x|2. Поэтому при
S(x) = 0 выполнено соотношение |x| ⩾
γ q−1. Отсюда и из (15) выводим:
˙S < −|x|2 + 2|x|∥PB∥α1 = −|x|(|x| − 2∥PB∥β) ⩽ 0 при
γ q−1 ⩾ 2∥PB∥β.

Из определения чисел τi и множества T2 следует, что T 2 ⊂ {x : |c∗
i x| ⩽
⩽ τi, i = 1, . . . , m}. По доказанному выше,
˙S[x(t)] < 0 при x∗(t)Px(t) =
= 4q∥PB∥2β2. Вспомним, что множество Ω = {x : x∗Hx ⩽ 0} положительно
инвариантно для траекторий системы (1). Поэтому траектории решений x(t),
для которых x(0) ∈ T 2, остаются в множестве T2 при всех t > 0, то есть
граница ∂T2 этого множества пересекается вовнутрь всеми траекториями
системы (1), которые ее встречают.

Рассмотрим область D ⊂ Rn, ограниченную поверхностями ∂T1, ∂T2,
∂Ω. Эта область ограничена, положительно инвариантна для траекторий
системы (1), ее граница бесконтактна для траекторий этой системы.
Поскольку в области D нет состояний равновесия системы (1) и к тому же
для любых двух решений системы (1) выполнено условие (7), то из теоремы
Р.Смита [3] следует, что в области D содержится по крайней мере один
орбитально устойчивый цикл системы (1).

Найдем теперь α1
i =
max
σi∈[−τi,τi] |ϕi(σi) − µiσi|, положим α1 = max α1
i

и
потребуем,
чтобы
неравенства
|ϕi(σi) − µiσi| ⩽ α1
i
выполнялись
на
промежутке
σi ∈ [−ν1
i , ν1
i ],
где
ν1
i
= max
T 1
1
|c∗
i Qy|,
где
T 1
1 = {y :

y∗Ny ⩽ 0, |y2| ⩽ 2θ−1∥FQ−1B∥α1}. Тогда, согласно лемме 5, поверхность
∂T 1
1 = {x : x∗Hx ⩽ 0, |FQ−1x| = 2θ−1∥FQ−1B∥α1} будет бесконтактной
для траекторий системы (1) и пересекаться наружу всеми траекториями,
которые ее встречают. Рассмотрим область G, ограниченную поверхностями
∂T 1
1 , ∂T2, ∂Ω. Это ограниченная область, которая, как нетрудно убедиться,
содержит по крайней мере одно ограниченное на [0, ∞) решение x(t) системы
(1). По тереме Р.Смита [3] в ω-предельном множестве положительной
полутраектории
этого
решения
содержится
по
крайней
мере
один
цикл, который, очевидно, отличен от орбитально устойчивого цикла,
содержащегося в множестве D.

Пользуясь рассуждениями, приведенными при доказательстве леммы 6,
продолжим нелинейности ϕi(σi) вне отрезка [−ν1
i , ν1
i ] так, чтобы внутри
множества Ω «появилась» еще одна поверхность ∂T 1
2 , пересекающаяся
вовнутрь всеми траекториями системы (1), которые ее встречают ∗. Это даст
возможность утверждать наличие области D ⊂ Rn, обладающей такими же
свойствами, что и рассмотренная выше область D и не пересекающейся с
областями D и G. В области D содержится по крайней мере один орбитально
устойчивый цикл.

∗ Подчеркнем, что при продолжении нелинейностей все время следует соблюдать
требование выполнения условий (2).