Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2011, № 3

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 3

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ

ТУЛА 2011

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 3. — Тула: Изд-во ТулГУ,
2011. — 292 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, физики, химии, биологии, наук о земле.

Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов,
студентов
и
аспирантов,
специализирующихся
в
области
естественных наук.

Редакционный совет

М.В. Грязев — председатель, В.Д. Кухарь — зам. председателя,
А.А.
Маликов
—
отв.
секретарь,
В.В.
Прейс
—
главный
редактор,
В.А. Алфёров, И.А. Батанина, О.И. Борискин, В.И. Иванов, В.С. Карпов,
Н.М. Качурин, Р.А. Ковалев, А.К. Талалаев, Е.А. Федорова, А.Н. Чуков.

Редакционная коллегия

В.И.
Иванов
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров,
И.М.
Буркин,
Н.М.
Добровольский,
Д.М.
Левин,
А.А.
Маркин,
Е.Н.
Музафаров,
Л.А. Толоконников, Н.Н. Фотиева, А.В. Иванов — отв. секретарь.

Подписной индекс 27845

по Объединенному каталогу «Пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в перечень
ведущих научных журналов и изданий,
выпускаемых в Российской Федерации,
в которых должны быть опубликованы
научные результаты диссертаций на
соискание ученой степени доктора наук

c⃝ Авторы научных статей, 2011
c⃝ Издательство ТулГУ, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Буркин И. М., Соболева Д. В. О многомерных системах с неединственным
циклом и методе гармонического баланса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Герцог А. С. Численное вычисление четырехкратных интегралов по методу
Фролова с использованием алгебраических сеток биквадратичного поля
Дирихле Q(
√

2 +
√

3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

Ибрагимова Н. А., Мухлисов Ф. Г. Исследование краевых задач для одной Bэллиптической системы уравнений методом потенциалов. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31

Романов Г. Н. Об отделимости операторной топологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42

МЕХАНИКА

Бондарь В. С.,
Даншин В. В.,
Семенов П. В.
Прикладной
вариант
теории
упругопластических процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

Желтков В. И., Андреев А. И., Сухоруков Д. А. Идентификация наследственных
соотношений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

Иванов В. И.,
Скобельцын С. А.
Моделирование
задачи
идентификации
положения полости в упругом препятствии по рассеянному звуковому полю
74

Кийко И. А., Показеев В. В., Кийко С. И. Подобие и моделирование процесса
колебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

Козлов В. В.
Анализ
определяющих
соотношений
изотропных
упругих
несжимаемых материалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

Кудряшов А. В. Кинематические гипотезы в моделях процессов конечного
деформирования идеально-пластических оболочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Овчаренко Ю. Н. Атомно-дислокационная механика разрушения применительно
к V-вырезам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Толоконников Л. А.,
Лобанов А. В. О
рассеянии
плоской
звуковой
волны
неоднородным упругим сфероидом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Толоконников Л. А., Лобанов А. В. Дифракция плоской звуковой волны на
неоднородном упругом эллиптическом цилиндре с полостью . . . . . . . . . . . . . . . 126

ФИЗИКА

Вахрушев А. В.,
Вахрушева Л. Л.,
Шушков А. А.
Численный
анализ
изменения модуля упругости кристаллических наночастиц металлов под
действием разных типов нагрузки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Внуков И. Е.,
Ладыгин В. П.,
Пиядин С. М.,
Резников С. Г.,
Терехин А. А.,
Хренов А. Н. Годоскоп сцинтилляционных счетчиков для экспериментов
по исследованию структуры легких ядер на Нуклотроне-М . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Содержание

Грачев О. Е.
Моделирование
процесса
электрохимической
обработки
с
применением импульсного нетвердотельного катода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Золотов А. Е., Шибков А. А. Мезоскопические механизмы зарождения полос
деформации Савара-Массона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Михлик Д. В., Шибков А. А. Полосы деформации и разрушение алюминиймагниевого сплава АМг6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

ХИМИЯ

Алферов С. В., Каманина О. А., Минайчева П. Р., Доронина Н. В., Понаморева О. Н.
Мощностные характеристики макета биотопливного элемента на основе
метилотрофных бактерий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Бабкина Е. Е., Арляпов В. А., Беленьких А. В., Алферов В. А. Медиаторный
биосенсор
на
основе
дрожжевых
клеток
Debaryomyces
hansenii
для
определения БПК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Пиголева С. В.,
Захарченко Н. С.,
Ермошин А. А.,
Чепурнова М. А.,
Бурьянов Я. И. Положительное влияние колонизации сахарной свеклы
метилотрофными
бактериями
на
систему
антиоксидантной
защиты
растений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Сабиров Р. Г., Назимок В. Ф., Никишина М. Б., Атрощенко Ю. М. Жидкофазное
каталитическое окисление м- и n-цимолов до изо- и терефталевой кислот . 220

БИОЛОГИЯ

Бороздина И. Б. Сравнительное изучение питательных сред для культивирования
эпифитой микрофлоры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Ермошин А. А., Малёва М. Г., Алексеева В. В., Чукина Н. В., Рукавцова Е. Б.,
Бурьянов Я. И.
Роль
модифицированной
экспрессии
гена
hmg1
в
устойчивости трансгенных растений табака к действию ионов меди. . . . . . . . 237

Фазлиева Э. Р., Киселева И. С. Биохимические реакции растений Tussilago
farfara L. из природных местообитаний с разным уровнем техногенного
загрязнения на избыток меди в среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

Демичева Ю. Л., Пузырева В. М., Пученков Н. В. Математическое моделирование
процесса очистки отработанных масел растворами гуминовых кислот . . . . . 257

Качурин Н. М., Афанасьев И. А. Определение вероятности геодинамического
риска для подземного сооружения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Качурин Н. М., Афанасьев О. А. Оценка эффективности методов линеаризации
нелинейного уравнения фильтрации идеального газа при выделении газовой
смеси из выработанного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Ковалев Р. А., Шейнкман Л. Э., Дергунов Д. В. Повышение эффективности
очистки сточных вод угольных предприятий, содержащих фенольные
соединения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 287

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 5–21

Математика

УДК 517.925

О многомерных системах с неединственным
циклом и методе гармонического баланса

И. М. Буркин, Д. В. Соболева

Аннотация.
Предложен
новый
подход
к
оценке
числа
периодических
решений
многомерных
динамических
систем.
Указан
эффективный
метод
поиска
периодических
решений
многомерных систем автоматического регулирования. Показано, что
для многомерных регулируемых систем с неединственным циклом
классический метод гармонического баланса может давать неверные
результаты.
Ключевые
слова:
многомерные
системы,
циклы,
метод
гармонического баланса.

1. Постановка задачи. Основная теорема

Предметом изучения в данной работе является автономная система вида

˙x = f (x) ,
x ∈ Rn,
(1)

имеющая единственное состояние равновесия x = 0. Относительно функции
f (x) будем предполагать, что везде в Rn она удовлетворяет локальному
условию Липшица. Это предположение, как хорошо известно, обеспечивает
существование
и
непрерывную
зависимость
решений
системы
(1)
от
начальных данных в любой компактной области D ∈ Rn.

Нас будет интересовать задача оценки числа циклов системы (1).
Этой задаче, исторически восходящей к известной шестнадцатой проблеме
Гильберта, посвящено огромное число работ. Библиография этих работ
содержится, например, в [1-3] — более двух тысяч ссылок. Все упомянутые
работы посвящены вопросам оценки числа циклов систем второго порядка
с полиномиальными нелинейностями.

Проблемы оценки числа циклов многомерных систем рассматриваются
в
сравнительно
небольшом
числе
работ
(см.,
например,
[4-6]).
При
этом во всех этих работах существенно используется предположение о
том, что для системы (1) выполнены условия обобщенного принципа
Пуанкаре-Бендиксона, предложенного Р.А. Смитом в работе [7]. Выполнение
этих условий означает, в частности, что существует взаимно-однозначное
соответствие между траекториями из ω-предельного множества любой

И. М. Буркин, Д. В. Соболева

ограниченной полутраектории системы (1) и траекториями некоторой
двумерной
системы.
Именно
это
обстоятельство
позволяет
перенести
на
многомерный
случай
многие
методы
исследования
двумерных
систем, а также характерные для них результаты, касающиеся вопросов
существования и устойчивости циклов.

Особенность данной работы состоит в том, что для системы (1) не
предполагаются выполненными условия обобщенного принципа ПуанкареБендиксона. Используемый здесь подход к оценке числа циклов позволяет
исследовать системы, к которым не применимы результаты работ [4-6].

Для начала введем некоторые понятия и обозначения, которые будут
использованы ниже. Пусть ∂G — поверхность в Rn, гомеоморфная либо
эллипсоиду, либо эллиптическому цилиндру с (r − 1) основанием (r ⩾ 2).
Через G будем обозначать открытое множество в Rn с границей ∂G, а
через G — его замыкание. В каждой точке x ∈ ∂G может быть определен
вектор единичной нормали к поверхности n (x) так, что n (x) — непрерывная
функция x. Будем говорить, что поверхность бесконтактна для траекторий
системы (1), если для любого x ∈ ∂G выполнено fT (x) n (x) ̸= 0. Аналогично
определяется бесконтактная для траекторий системы (1) гиперплоскость
x : hT x = 0
, где h ∈ Rn — постоянный вектор. Будем говорить, что
бесконтактная поверхность ∂G пересекается вовнутрь теми траекториями
системы (1), которые ее встречают, если из условия x(t0) = (z(t0), σ(t0)) ∈ ∂G
следует, что x (t) ∈ G при t > t0, и наружу, если из условия x (t0) ∈ ∂G
следует, что x (t) ∈ Rn\G при t > t0. Будем говорить, что гиперплоскость Π
обладает свойством возвращаемости, если для любого решения x (t) системы
(1) из условия x (0) = x0 ∈ Π следует существование такого τ (x0) > 0, что
x [τ (x0)] ∈ Π.

Пусть H = HT – n × n-матрица, имеющая 2 отрицательных и n − 2
положительных собственных значения. Положим Σ (x) = xT Hx. Множество
K = {x : Σ (x) ⩽ 0} называют двумерным конусом в Rn. Пусть V (x) —
дифференцируемая функция, V (0) = 0. Будем предполагать, что множество
K = {x : V (x) ⩽ 0} гомеоморфно двумерному конусу. Множество ∂K =
= {x : V (x) = 0} будем называть границей множества K.

Теорема 1 (Основная теорема). Пусть выполнены следующие условия:
Существует такое число λ > 0, что для производной ˙V (x) функции
V (x) в силу системы (1) при всех x ∈ Rn справедливо соотношение

˙V (x) + 2λV (x) ⩽ 0.
(2)

Существуют бесконтактные для траекторий системы (1) поверхности
∂G1, ∂G2, ∂G3,
гомеоморфные
либо
эллипсоиду,
либо
эллиптическому
цилиндру с 1-основанием такие, что 0 ∈ Gi, и поверхности ∂G1 ∩ K и
∂G3 ∩ K пересекаются вовнутрь (наружу) теми траекториями системы
(1), которые их встречают, а поверхность ∂G2 ∩ K — наружу (вовнутрь).

О системах с неединственным циклом и методе гармонического баланса
7

Множества K ∩ G1, K ∩ G2, K ∩ G3 непусты, ограничены и

K ∩ G1 ⊂ K ∩ G2 ⊂ K ∩ G3.

Существует
(n − 1)-мерная
гиперплоскость
Π =
x : hT x = 0
,
обладающая
свойством
возвращаемости
для
всех
ограниченных
на

[0; ∞) траекторий системы (1) и такая, что «множество контакта»
x : hT x = 0, hT f (x) = 0
⊂ Rn\K.

Тогда система (1) имеет не менее двух циклов.

Доказательство. Для определенности предположим, что поверхности
∂G1 ∩ K и ∂G3 ∩ K пересекаются вовнутрь, а поверхность ∂G2 ∩ K —
наружу. Из соотношения (2) следует [9], что множество K положительно
инвариантно для траекторий системы (1).

Рассмотрим в Rn область Ω1, ограниченную поверхностями ∂K, ∂G2,
∂G3. В силу предположений 2) и 3) теоремы эта область непуста, ограничена
и положительно инвариантна для траекторий системы (1). Пусть D1 =
= Ω1 ∩ Π. В силу условия 4) теоремы Π ∩ ∂K ̸= ∅. Поэтому множество D1
ограничено, замкнуто и гомеоморфно (n − 1)-мерному шару. Рассмотрим
отображение U = U (x), которое ставит каждой точке x ∈ Π точку x′ ∈ Π
такую, что x [τ (x0)] = x′. В силу инвариантности ограниченного множества
Ω1 для любого x ∈ D1 такая точка x′ существует и, более того, x′ ∈ D1. В силу
условия 4) теоремы гиперплоскость Π бесконтактна для траекторий системы
(1). Поэтому отображение U непрерывно на D1. Так как отображение U (x)
переводит замкнутое, ограниченное, гомеоморфное выпуклому множество
D1 в себя, то в силу известной теоремы Брауэра оно имеет по крайней мере
одну неподвижную точку x. Поэтому в множестве Ω1 содержится по крайней
мере один цикл системы (1).

Пусть Ω2 — множество, ограниченное поверхностями ∂G1, ∂G2 и ∂K, а
Ω3 — множество, ограниченное поверхностями ∂G1, и ∂K. Обозначим D2 =
= Π ∩ Ω2, D3 = Π ∩ Ω3.

В силу положительной инвариантности множества Ω1 ∪ Ω2 ∪ Ω3 любая
траектория с начальным условиями x (0) = x0 ∈ D2 «возвращается» в
множество D1 ∪ D2 ∪ D3. Обозначим через UD2 образ D2 при отображении
U. В силу предположений 2) теоремы (UD2\D2) ∩ D1 ̸= ∅, (UD2\D2) ∩ D3 ̸=
̸= ∅ и UD2 ⊂ D1 ∪ D2 ∪ D3.

Очевидно, что множество D2 гомеоморфно (n − 1)-мерному кубу. Пусть

T — гомеоморфизм y = Tx (x ∈ Π,y ∈ Rn−1), переводящий множество D2 в
куб Z ⊂ Rn−1 с центром в точке y = θ. Обозначим через Γ2 грань куба Z,
являющуюся образом ∂G2 ∩ Π ∩ K, а через Γ1 — грань куба Z, являющуюся
образом одной из частей границы множества D2, принадлежащей ∂K ∩ Π.
Введем (n − 1)-мерном пространстве Y прямоугольную ортонормированную
систему координат y1, y2, . . . yn−1 с началом в точке θ. В качестве оси θy1
выберем прямую, параллельную нормали к грани Γ1, в качестве θy2 –
прямую, параллельную нормали к грани Γ2, остальные координатные оси

И. М. Буркин, Д. В. Соболева

зададим произвольно в ортогональном дополнении к плоскости, заданной
прямыми θy1 и θy2. Наконец, обозначим через U1 отображение, определенное
на TΠ и переводящее куб TD2 в множество TUD2.

Пусть S (y) — отображение, определенное на TΠ следующим образом:

S(y) = y − U1(y). Если это отображение вырождено на границе ∂TD2 куба
TD2, то есть существует y0 ∈ ∂TD2 такое, что S (y0) = 0, то U1(y0) = y0
и отображение U1 имеет неподвижную точку на TD2. Предположим, что
отображение S не вырождено на TD2. Определим линейное отображение
S1 (y) = y′, y′ = Ay на TΠ так: y′
1 = 1

2 y1, y′
2 = − 1

2 y2, y′
i = yi для i = 3, 4, . . .
. . . n − 1. Очевидно, что это отображение не вырождено на ∂TD2. Нетрудно
убедиться, что для любого y ∈ ∂TD2 векторы S (y) и S1 (y) направлены
непротивоположно, то есть
S(y)
|S(y)| ̸=
S1(y)
|S1(y)| . Из последнего соотношения и
теоремы 5.6 [8] следует, что вращение векторных полей S и S1 на ∂TD2
одинаково. По теореме 5.8 [8] вращение векторного поля S1 на ∂TD2 равно
(−1). Так как вращение векторного поля S на ∂TD2 отлично от нуля, то по
теореме 5.15 [8] поле U1 имеет по крайней мере одну неподвижную точку
y0 на TD2: U1 (y0) = y0. Поскольку U1 = TUT −1, то TUT −1 (y0) = y0 или
U (x0) = x0, где x0 = T −1y0 ∈ D2.

Итак, отображение U имеет неподвижную точку в D2, которая и будет
начальным условием цикла, не имеющего общих точек с множеством Ω1.

Теорема 1 доказана.
Замечание. Условие 1) доказанной теоремы может быть заменено
любым другим условием, гарантирующим положительную инвариантность
множества K для траекторий системы (1). Утверждение теоремы остается
справедливым также и в том случае, когда множество K в ее формулировке
заменено на множество K(γ) = {x : V (x) ⩽ −γ} c некоторым достаточно
малым γ > 0.

2. Системы автоматического регулирования

Широкий класс моделей систем автоматического регулирования может
быть представлен в виде

˙z = Az + bϕ(σ),
˙σ = cT z + βϕ(σ),
(3)

где A — (n − 1) × (n − 1)-матрица, b и c — (n − 1)-векторы, связанные
соотношением
cT b ⩽ 0,
(4)

ϕ(σ) — непрерывная функция, β < 0.

Пусть w(p) = cT (A − pIn−1)−1b = m(p)[n(p)]−1, где n(p) = det(pIn−1 − A),
а In−1 единичная матрица — дробно-рациональная функция комплексного
аргумента p. Дробь m(p)[n(p)]−1 предполагается несократимой.

О системах с неединственным циклом и методе гармонического баланса
9

Теорема 2. Пусть существует такое число λ > 0, что выполнены
условия

I. При всех ω ⩾ 0 справедливы неравенства

Re w(iω − λ) < 0, lim
ω→∞ ω2 Re w(iω − λ) < 0.
(5)

II. Многочлен n(p − λ) имеет один положительный корень и n − 2 корня
с отрицательными вещественными частями.

III. Для некоторого µ1 ∈ (0, −λβ−1) многочлен [m(p) − βn(p)]µ1 + pn(p)
имеет два корня с положительными вещественными частями.

IV. Для некоторого µ2 ∈ (µ1, −λβ−1) многочлен [m(p) − βn(p)]µ2 +
+
+pn(p) гурвицев.

Тогда
можно
подобрать
такую
непрерывную
функцию
ϕ(σ),
удовлетворяющую условиям

ϕ(0) = 0, ϕ(σ)σ > 0
при
σ ̸= 0,
(6)

что система (3) будет иметь единственную точку покоя и любое наперед
заданное число циклов.

Доказательство теоремы 2 предварим некоторыми вспомогательными
построениями и утверждениями.

Из условия IV теоремы следует, что система (3) может быть приведена к
виду ˙x = Px + qϕ1(σ), σ = rT x, где P − n × n — гурвицева матрица, ϕ1(σ) =
= ϕ(σ) − µ2σ, rT P −1q = µ−1
2 . При этом из предположения (6) следует, что
график функции ϕ1(σ) пересекается с «характеристической прямой» σ +
+ µ−1
2 ϕ = 0 только в точке σ = 0, ϕ = 0. Поэтому, согласно лемме 2.1 [9] имеет
место возвращаемость всех положительных ограниченных полутраекторий
системы (3) на плоскость σ = 0. Последнее утверждение означает, что если
(z(t), σ(t)) — ограниченное на [0, ∞) решение системы (3), то либо σ(t) → 0
при t → +∞, либо σ(t) бесконечное число раз меняет знак.

Пусть H = HT — не знакоопределенная (n − 1) × (n − 1)-матрица, ρ > 0
— число. Положим

V (x) = V (z, σ) = zT Hz −

σ
0
ϕ(s)ds,
(7)

M1 = {(z, σ) : V (z, σ) ⩽ 0},
M2 = {(z, σ) : |z|2 + σ2 ⩾ ρ}.

Лемма 1. Пусть
1) существуют такие числа λ > 0 и δ1 > 0, что на решениях (z(t), σ(t))
системы (3) справедливо неравенство

˙V [z(t), σ(t)] + 2λV [z(t), σ(t)] ⩽ −δ1[|z(t)|2 + σ2(t)],
(8)

2) существует множество M3 ⊂ M2 положительно инвариантное для
траекторий системы (3).

И. М. Буркин, Д. В. Соболева

Тогда существует такое число γ > 0, что множество M3 ∩ {(z, σ) :
V (z, σ) ⩽ −γ}
также
положительно
инвариантно
для
траекторий
системы (3).

Доказательство. Из соотношения (8) следует [10], что множество
M1 положительно инвариантно для траекторий системы (3) . Поэтому
положительно инвариантным будет и множество M3 ∩ M1. Если (z(0), σ(0)) ∈
∈ M3 ∩ M1, то при всех t ⩾ 0 выполнено условие |z(t)|2 + σ2(t) ⩾ ρ. Выберем
γ ∈ (0, δ1ρ(2λ)−1). Тогда из (8) и предположения V [z(t0), σ(t0)] = −γ следует,
что
˙V [z(t0), σ(t0)] ⩽ 2λγ − δ1ρ < 0. Последнее соотношение и доказывает
справедливость утверждения леммы 1.

Положим в (3) ϕ(σ) = µ2σ, где µ2 определено условием IV теоремы.
Обозначим через A n × n-матрицу линейной системы, полученной из (3)
после такой замены. По условию теоремы эта матрица гурвицева. Обозначим
b = col (b, β), x = col (z, σ). Найдем n × n-матрицу Q = QT > 0 из уравнения
Ляпунова
Q A + AT Q = −In
(9)

и положим κ = 4s|Qb|2, где s — наибольшее собственное значение матрицы
Q. Пусть ν1 = max
T
|σ|, где T = {x : xT Qx ⩽ κ}. Нетрудно показать (см.,

например, [5]), что ν1 =
κcT Q−1c, где c = col (0, . . . , 1).

Лемма 2. Если в системе (3) |ϕ(σ) − µ2σ| < α при |σ| ⩽ ν1α, то
поверхность ∂G1 = {x : xT Qx = κα2} бесконтактна для траекторий
системы (3) и пересекается вовнутрь всеми траекториями этой системы,
которые ее встречают.

Доказательство. Запишем систему (3) в виде

˙x = Ax + bϕ1(σ),
ϕ1(σ) = ϕ(σ) − µ2σ.
(10)

Введем в рассмотрение функцию W(x) = xT Qx − γ1и покажем, что для
производной этой функции в силу системы (10) выполнено условие ˙W(x) < 0
при W(x) = 0 и γ1 > κα2. В самом деле, из уравнения (9) следует, что

˙W = −|x|2 + 2xT Qbϕ1(σ).
(11)

По определению числа s справедливо неравенство xT Qx ⩽ s|x|2. Поэтому
при W(x) = 0 выполнено соотношение |x| ⩾
γ1s−1. Отсюда и из (11)
выводим ˙W < −|x|2 + 2|x||Qb|α = −|x|(|x| − 2|Qb|α) ⩽ 0 при γ1 ⩾ κα2.

Для завершения доказательства леммы остается только заметить, что из
определения числа ν1 следует, что max
T1 |σ| ⩽ ν1α, где T1 = {x : xT Qx ⩽ κα2}.

О системах с неединственным циклом и методе гармонического баланса
11

Попытаемся подобрать симметрическую (n − 1) × (n − 1)-матрицу H и
функцию ϕ(σ) так, чтобы для функции (7) и некоторого δ > 0 на решениях
системы (3) выполнялось неравенство

˙V [z(t), σ(t)] + 2λV [z(t), σ(t)] ⩽ −δ|z(t)|2.
(12)

Неравенство (12) запишем в виде

2zT (t)H[Aλz(t) + bϕ(σ(t))] − ϕ(σ(t))cT z(t) − βϕ2(σ(t))−

−2λ

σ(t)
0
ϕ(σ(τ))dσ(τ) ⩽ −δ|z(t)|2,
(13)

где Aλ = A + λIn−1. Функцию ϕ(σ), удовлетворяющую условиям (6), выберем
так, чтобы она была дифференцируемой везде на (−∞, ∞) за исключением,
может быть, конечного числа точек, в которых ее производная терпит
разрывы первого рода. При этом во всех точках непрерывности ϕ′(σ)
выполняется условие
ϕ′(σ) < −λβ−1.
(14)

Тогда неравенство (13) будет справедливым, если при всех z ∈ Rn−1, ξ ∈ R
и некотором δ > 0 выполняется соотношение

2zT H[Aλz + bξ] − ξcT z ⩽ −δ|z|2.
(15)

По частотной теореме 2.7 [9] для существования матрицы H = HT и числа
δ, удовлетворяющих неравенству (15), необходимо и достаточно выполнения
соотношений (5). Заметим, что из (15) вытекает равенство

2Hb − c = 0.
(16)

Полагая в (15) ξ = 0, получаем

2zT HAλz ⩽ −δ zT z.
(17)

Поскольку, согласно условию II теоремы 2, матрица Aλ имеет ровно
одно положительное собственное значение и n − 2 собственных значений
с отрицательными вещественными частями, то по теореме 2.2 [9] из (17)
следует, что матрица H неособая и имеет ровно одно отрицательное и
n − 2 положительных собственных значений. Из (16) и (4) следует, что
cT H−1c = 2cT b ⩽ 0. Из свойств спектра матрицы H и последнего неравенства
по теореме 2.10 [9] заключаем, что

{z : zT Hz < 0} ∩ {z : cT z = 0} = ∅.
(18)

Теперь мы можем непосредственно перейти к построению функции ϕ(σ),
обладающей описанными выше свойствами, такой, чтобы система (3) имела
заданное число циклов.

Пусть ϕ(0) = 0, ϕ′(0) = µ1, где µ1 определено условием III теоремы.
Обозначим через A матрицу линейной системы, полученной из (3) заменой
ϕ(σ) на µ1σ. Эта матрица имеет ровно два собственных значения с

И. М. Буркин, Д. В. Соболева

положительными вещественными частями. Пусть V1(z, σ) = zT Hz − 0.5µ1σ2.
Используя соотношения (13) и (15) для производной этой функции в силу
полученной линейной системы имеем

˙V1 + 2λV1 ⩽ −δ|z|2 − µ1(λ + βµ1)σ2.
(19)

Поскольку у матрицы H = diag [H, −0.5µ1] два отрицательных и n − 2
положительных собственных значения, то из неравенства (19) вытекает, что
матрица A + λIn имеет ровно два собственных значения с положительными
вещественными частями. Поэтому матрица A не имеет собственных значений
в полосе −λ ⩽ Re p ⩽ 0. Из неравенства (19) и теоремы 2.4 [9] следует
существование квадратичной формы U(z, σ) такой, что для ее производной
˙U(z, σ) в силу линейной системы с матрицей A выполнено неравенство

˙U(z, σ) + V1(z, σ) ⩾ δ0(|z|2 + σ2)
(20)

с некоторым δ0 > 0. Очевидно, V1(z, σ) = V (z, σ) −
σ0
(µ1σ − ϕ(σ))dσ, где

функция V (z, σ) определена соотношением (7). Поэтому неравенство (20)
можно переписать так:

˙U(z, σ) + V (z, σ) ⩾ δ0(|z|2 + σ2) +

σ
0
(µ1σ − ϕ(σ))dσ.
(21)

Обозначим через
˙U(1)(z, σ) производную U(z, σ) в силу системы (3).
Легко видеть, что при малых |z|2 + σ2 выполняется соотношение ˙U(1)(z, σ) =
= ˙U(z, σ) +
+o(|z|2 + σ2). Кроме того, в силу условия ϕ′(0) = µ1, очевидно,

что
σ0
(µ1σ − ϕ(σ))dσ = o(|z|2 + σ2). Поэтому из неравенства (21) вытекает

что
˙U(1)(z, σ) ⩾ −V (z, σ) + δ0(|z|2 + σ2) + o(|z|2 + σ2).
(22)

Пусть числа ρ1 > 0, δ2 > 0 таковы, что δ0(|z|2 + σ2) + o(|z|2 + σ2) ⩾

⩾ δ2(|z|2 + σ2) при |z|2 + σ2 ⩽ ρ1. Из (22) получаем, что

U(1)(z, σ) ⩾ δ2(|z|2 + σ2)
при
V (z, σ) ⩽ 0, |z|2 + σ2 ⩽ ρ1.
(23)

Определим теперь число ν1 так же, как это было сделано выше
в лемме 2, зададимся произвольным числом α > 0 и рассмотрим на
отрезке [−ν1α, ν1α] произвольную кусочно дифференцируемую функцию
ϕ(σ), удовлетворяющую условиям (6) и (14) (в точках непрерывности ее
производной), а также соотношениям ϕ′(0) = µ1, |ϕ(σ) − µ2σ| < α.

Прежде всего, заметим, что для выбранной таким образом функции

ϕ(σ) для всех решений (z(t), σ(t)) системы (3), для которых |σ(t)| ⩽ ν1α
при t ∈ [0, ∞) выполнено неравенство более сильное, чем (12), а именно