Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2011, № 2

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 2

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ

ТУЛА 2011

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 2. — Тула: Изд-во ТулГУ,
2011. — 384 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, информатики, физики, химии, биологии.

Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов,
студентов
и
аспирантов,
специализирующихся
в
области
естественных наук.

Редакционный совет

М.В. Грязев — председатель, В.Д. Кухарь — зам. председателя,
А.А.
Маликов
—
отв.
секретарь,
В.В.
Прейс
—
главный
редактор,
В.А. Алфёров, И.А. Батанина, О.И. Борискин, В.И. Иванов, В.С. Карпов,
Н.М. Качурин, Р.А. Ковалев, А.К. Талалаев, Е.А. Федорова, А.Н. Чуков.

Редакционная коллегия

В.И.
Иванов
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров,
И.М.
Буркин,
Н.М.
Добровольский,
Д.М.
Левин,
А.А.
Маркин,
Е.Н.
Музафаров,
Л.А. Толоконников, Н.Н. Фотиева, А.В. Иванов — отв. секретарь.

Подписной индекс 27845

по Объединенному каталогу «Пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в перечень
ведущих научных журналов и изданий,
выпускаемых в Российской Федерации,
в которых должны быть опубликованы
научные результаты диссертаций на
соискание ученой степени доктора наук

c⃝ Авторы научных статей, 2011
c⃝ Издательство ТулГУ, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Вахитова Е. В., Вахитова С. Р. О выборе приближения числа элементов
в конечной последовательности значений неприводимого полинома от
простого аргумента. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Добровольский Н. Н.,
Киселева О. В.,
Симонов А. С.
Граничные
функции

класса E2
2
1, π2

6
для сеток Смоляка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

Иванов А. В. Задача Логана для целых функций многих переменных и
константы Джексона в весовых пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

Иванов В. И., Лю Юнпин Оценка снизу констант Джексона в пространствах
Lp, 1 ⩽ p < 2 с периодическим весом Якоби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59

Иванов В. И.,
Юнпин
Лю ,
Смирнов О. И.
О
некоторых
классах
целых
функций экспоненциального типа в пространствах Lp(Rd) со степенным
весом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

Иванов В. И.,
Чертова Д. В.
Об
оценке
снизу
констант
Джексона
в
пространствах Lp, 1 ⩽ p < 2 на прямой со степенным весом . . . . . . . . . . . . . . . .
81

Чертова Д. В. Оценка сверху констант Джексона в пространствах Lp, 1 ⩽ p < 2
на прямой со степенным весом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

МЕХАНИКА

Аверина В. В., Желтков В. И. Дифракция звука на цилиндре с коаксиальным
включением в вязкой среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Быля О. И., Васин Р. А. Деформирование сплавов в режиме сверхпластичности
и близких к нему режимах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Глаголев В. В., Глаголев Л. В., Девятова М. В., Маркин А. А. Модель развития
тонкой пластической зоны в окрестности трещины при произвольном
нагружении ее берегов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Козлов В. В. Задача о комбинированном сдвиге нелинейно-упругого полого
цилиндра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Комолова Е. Д. Нелинейный изгиб полосы с учетом осевого сжатия. . . . . . . . . . . 152
Комолова Е. Д., Маркин А. А. Начальная стадия равновесного деформирования
упругого стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде
со сферической полостью, расположенной произвольным образом . . . . . . . . . 169

Толоконников Л. А., Лобанов А. В. Дифракция плоской звуковой волны на
неоднородном упругом сфероиде. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Фурсаев С. А. Задача о вязкопластическом и сверхпластическом деформировании
сферической мембраны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Содержание

ИНФОРМАТИКА

Дубровин С. С. Моделирование системы поддержки принятия решений при
операциях на фондовом рынке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Никитин Д. А. Рекурсивные цифровые фильтры с импульсной характеристикой,
описываемой полиномиальной функцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Усольцева О. А. Анализ сейсмической записи при грозовых явлениях на
сейсмической группе MHVAR (Михнево, Московская область) . . . . . . . . . . . . . 222

ФИЗИКА

Вахрушев А. В., Северюхин А. В., Северюхина О. Ю. Моделирование процесса
формирования гетероструктур кремния и хрома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Вахрушев А. A., Федотов А. Ю., Шушков A. A., Шушков A. B. Моделирование
формирования наночастиц металлов, исследование структурных, физикомеханических свойств наночастиц и нанокомпозитов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Вахрушев А. B., Шестаков И. А., Федотов A. Ю., Шушков A. А. Программный
комплекс по расчету статики и динамики комбинированного нанодвигателя
на основе кинезина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Данг Н. Т., Козленко Д. П., Кичанов С. Е., Савенко Б. Н. Влияние высокого
давления
на
кристаллическую
и
магнитную
структуру
манганитов
Pr1−xSrxMnO3 (x = 0.3, 0.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Северюхин А. В., Северюхина О. Ю. Моделирование роста нановискеров на
активированной подложке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

ХИМИЯ

Арляпов В. А., Вельмякин Д. П., Чепурнова М. А., Бабкина Е. Е., Алферов В. А.
Устойчивость во времени ассоциации дрожжевых микроорганизмов Pichia
angusta, Arxula adeninovorans и Debaryamyces hansenii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Атрощенко Ю. М., Зайцева Д. С., Тормозов В. А., Хлытин Н. В., Шахкельдян И. В.,
Якунина И. Е. Синтез гетероциклических производных [2-арилокси(тио)пиразин-3-ил] пиперидин-3(4)-карбоновых кислот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Гаврилова Е. Л.,
Губайдуллин А. Т.,
Сайфутдинова М. Н.,
Шаталова Н. И.
Молекулярный
комплекс
на
базе
каликс[4]резорцина,
несущего
п-толильный радикал по нижнему «ободу» молекулы,
и фосеназида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

БИОЛОГИЯ

Гарифзянов А. Р.,
Иванищев В. В.,
Музафаров Е. Н.
Оценка
устойчивости
Betula pendula Roth. при произрастании на техногенно загрязненных
территориях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Григорьев Ю. И., Ершов А. В. Правовые основы охраны здоровья населения и
окружающей его среды на региональном уровне (на примере Калужской
области) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Ешинимаев Б. Ц., Лапин А. А., Бесчастный А. П., Троценко Ю. А. Генетическая
модификация синтеза полигидроксибутирата у Methylobacterium extorquens 334

Содержание
5

Новенко Е. Ю., Носова М. Б., Красноруцкая К. В. Особенности поверхностных
спорово-пыльцевых спектров южной тайги восточно-европейской равнины 345

Снегин Э. А. Анализ динамики генетической структуры популяций жукаоленя (Lucanuscervus L.) на основе аллозимной изменчивости и RAPDмаркеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

Ширшикова Г. Н.,
Хуснутдинова А. Н.,
Цыганков А. А.,
Бутанаев А. М.
Термостабильная Ni-Fe гидрогеназа HydSL из Thiocapsa roseopersicina:
некоторые подходы к изучению продукции фермента в гетерологичной
системе Escherichia coli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 379

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 6–10

Математика

УДК 511

О выборе приближения числа элементов
в конечной последовательности значений
неприводимого полинома от простого
аргумента

Е. В. Вахитова, С. Р. Вахитова

Аннотация. В
работе
получена
теорема
об
одном
выборе
приближения
числа
элементов
в
конечной
последовательности
специального вида.
Ключевые
слова:
приближение,
число,
последовательность,
полином.

Введение. При решении теоретико-числовых задач методом решета
возникает необходимость в выборе приближения числа элементов в конечной
последовательности специального вида. В настоящей работе осуществлен
выбор
приближения
числа
элементов
в
конечной
последовательности
значений неприводимого полинома от простого аргумента. Пусть F(n) —
неприводимый полином степени g с целыми коэффициентами (g, n ∈ N,
F(n) ̸= ±n). Обозначим через ρ(d) число различных по модулю d решений
сравнения F(n) ≡ 0(mod d), где d ∈ N. Предположим, что ρ(p) < p для всех
простых чисел p, причем ρ(p) < p − 1, если p ̸ |F(0). Рассмотрим конечную
последовательность A значений неприводимого полинома F(n) для n = p,
то есть F(p) при p ⩽ x (x ∈ R, x > 1):

A = {F(p)|p − простое число, p ⩽ x}.
(1)

Пусть
число
d
свободно
от
квадратов,
X ∈ R,
X > 1,
ω(d)
—
мультипликативная функция, такая, что
ω(d)

d X является приближением
числа элементов в последовательности A, делящихся на число d.

Обозначим через Ad последовательность

Ad = {F(p) ∈ A|F(p) ≡ 0(mod d)}

и через |Ad| — число элементов в Ad, тогда ω(d)

d X — приближение числа |Ad|,
|Ad| = |{F(p) ∈ A|F(p) ≡ 0(mod d)}|, а так как d свободно от квадратов, то

О выборе приближения числа элементов неприводимого полинома
7

µ(d) ̸= 0, где µ(n) — функция Мёбиуса, которая определяется следующим
равенством:

µ(n) =

1,
n = 1,

(−1)s,
n = p1, p2, . . . , ps,

0,
p2|n

(здесь p1, p2, . . . , ps — попарно различные простые числа).

Поставим задачу: осуществить выбор приближения числа элементов в
конечной последовательности Ad значений неприводимого полинома F(p) от
простого аргумента p.

При этом будем применять сведения по теории сравнений из [1] и [2].
Имеет место следующая теорема.

Теорема
1. Пусть последовательность A определена равенством
(1),
ω(d)
—
мультипликативная
функция,
такая,
что
ω(d)

d X
есть
приближение числа элементов в конечной последовательности A значений
неприводимого полинома от простого аргумента, делящихся на свободное
от квадратов натуральное число d, X ∈ R, X > 1. Тогда имеет место
следующее равенство:
X = li x.

Доказательство. Для числа |Ad| получим следующее равенство:

|Ad| =
p⩽x
F (p)≡0( mod d)

1 =
1⩽m⩽d
F (m)≡0( mod d)

p⩽x
p≡m( mod d)

1.

Теперь рассмотрим отдельно суммы для (m, d) = 1 и (m, d) > 1:

|Ad| =
1⩽m⩽d
F (m)≡0( mod d)
(m,d)=1

p⩽x
p≡m( mod d)

1 +
1⩽m⩽d
F (m)≡0( mod d)
(m,d)>1

p⩽x
p≡m( mod d)

1.

Обозначим через π(x; d, m) внутреннюю сумму при (m, d) = 1:

π(x; m, d) =
p⩽x
p≡m( mod d)

1
при
(m, d) = 1.

Учитывая, что ρ(d) есть число различных по модулю d решений
сравнения F(n) ≡ 0(mod d), получим для |Ad| следующее равенство:

|Ad| =
1⩽m⩽d
F (m)≡0( mod d)
(m,d)=1

π(x; m, d) + θρ(d),

где 0 ⩽ θ ⩽1.

Обозначим через ρ1(d) число решений сравнения F(m) ≡ 0(mod d) для
(m, d) = 1.

Е. В. Вахитова, С. Р. Вахитова

Сравним функции ρ1 и ρ. Имеем

ρ1(d) =
p|d
ρ1(p),
µ(d) ̸= 0,

а ρ1(d) — число решений сравнения F(m) ≡ 0(mod d) при p ̸ |m.

Но тогда, если m=0 не является решением указанного сравнения, то
ρ1(d) = ρ(d), если m = 0 является решением, то в ρ1(d) оно не учитывается,
поэтому ρ1(d) = ρ(d) − 1. Так как m = 0 является решением тогда и только
тогда, когда p|F(0), то

ρ1(p) =
ρ(p),
p ̸ |F(0),

ρ(p) − 1,
p|F(0).

Кроме того, известно, что ρ(p) ⩽ g, если ρ(p) < p (см. [1], гл. 15, §1,
теорема 148, с. 128), поэтому

ρ1(p) ⩽ ρ(d) ⩽ gν(d),
µ(d) ̸= 0,

если ρ(p) < p для всех p|d, где ν(n) — число различных простых делителей
натурального числа n.

Таким образом, учитывая, что интегральный логарифм определяется
равенством

li x =

x
2

du
ln u ,

получим для числа |Ad|:

|Ad| =
1⩽m⩽d
F (m)≡0( mod d)
(m,d)=1

li x

φ(d) + π(x; d, m) − li x

φ(d)

+ θρ(d) =

=

1⩽m⩽d
F (m)≡0( mod d)
(m,d)=1

li x
φ(d) +
1⩽m⩽d
F (m)≡0( mod d)
(m,d)=1

π(x; d, m) − li x

φ(d)

+ θρ(d),

где ϕ(n) — функция Эйлера (которая определяется как число натуральных
чисел, не превосходящих натурального числа n, и взаимно простых с n).

Обозначим через R(x, d) выражение

R(x, d) =
1⩽m⩽d
F (m)≡0( mod d)
(m,d)=1

π(x; d, m) − li x

φ(d)

+ θρ(d).

О выборе приближения числа элементов неприводимого полинома
9

Тогда, учитывая, что ρ1(p) есть число решений сравнения F(m) ≡ 0(mod d)
для (m, d) = 1, получим равенство

|Ad| = li x

φ(d) ρ1(d) + R(x, d).

Для |R(x, d)| можно получить неравенство. Пусть

E(x, d) = max
2⩽d⩽x max
1⩽m⩽d
(m,d)=1

π(x; d, m) − li x

φ(d)

.

Тогда

|R(x, d)| ⩽ ρ(d)(E(x, d) + 1).

Так как ρ(d) ⩽ gν(d), если µ(d) ̸=0, то

|R(x, d)| ⩽ gν(d)(E(x, d) + 1).

Поэтому можно выбрать

X = li x,
ω(d) = ρ1(d)

φ(d) d,

так что функция ω(d) — мультипликативная и

ω(d)

d
X = li x

φ(d) ρ1(d).

Теорема 1 доказана.

Список литературы

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. 384 с.
2. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981. 176 с.

Вахитова
Екатерина
Васильевна
(algebraist@yandex.ru),
к.ф.-м.н.,
профессор, кафедра цифровых технологий, Воронежский государственный
университет.

Вахитова Светлана Рифовна (algebraist@yandex.ru), ассистент, кафедра
математического анализа, Воронежский государственный университет.

Е. В. Вахитова, С. Р. Вахитова

On choice of approximate numbers element in final sequence
meaning simple polynomial of simple argument

E. V. Vakhitova, S. R. Vakhitova

Abstract. In this paper we obtain theorem on one choice of approximation
number element in final sequence special variety.
Keywords: approximation, number, sequences, polynomial.

Vakhitova Ekaterina (algebraist@yandex.ru), candidate of physical and mathematical sciences, professor, department of digital technologies, Voronezh State
University.

Vakhitova Svetlana (algebraist@yandex.ru), assistant, department of mathematical analysis, Voronezh State University.

Поступила 12.06.2011

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 11–28

Математика

УДК 511.9

Граничные функции класса E2
2
1, π2

6
для сеток Смоляка ∗

Н. Н. Добровольский, О. В. Киселева, А. С. Симонов

Аннотация. В работе найдены граничные функции класса
E2
2
1, π2

6
для
сеток
Смоляка
и
в
явном
виде
вычислена
норма
линейного
функционала
погрешности
приближенного
интегрирования по квадратурным формулам с двумерными сетками
Смоляка.
Ключевые
слова:
сетка
Смоляка,
квадратурная
формула,
граничная функция, погрешность интегрирования.

Введение

Рассмотрим простейшую 2-мерную декартову сетку на квадрате [0, 1)2

M(ν1, ν2) =
k1

2ν1 , k2

2ν2

0 ⩽ k1 ⩽ 2ν1 − 1, 0 ⩽ k2 ⩽ 2ν2 − 1
(1)

из
2ν1+ν2
точек,
которая
также
называется
обобщенной
равномерной
сеткой. Очевидно, что обобщенная равномерная сетка M(ν1, ν2) является
декартовым произведением соответствующих одномерных равномерных
сеток:
M(ν1, ν2) = M(ν1) × M(ν2).

Сетка Смоляка Sm(q) = Sm(q, 2) с целочисленным параметром q ⩾
⩾ 3 определяется как объединение всех обобщенных равномерных сеток
M(ν1, ν2) с q − 1 ⩽ ν1 + ν2 ⩽ q. Таким образом,

Sm(q, 2) =
k1

2ν1 , k2

2ν2

0 ⩽ k1 ⩽ 2ν1 − 1, 0 ⩽ k2 ⩽ 2ν2 − 1,
ν1, ν2 ⩾ 1,
q − 1 ⩽ ν1+ ν2 ⩽ q

.
(2)

Можно заметить, что минимальной равномерной сеткой, содержащей
сетку Смоляка как подсетку, является M(q − 1, q − 1): Sm(q) ⊂ M(q − 1, q −
− 1).

Двумерные сетки Смоляка Sm(q) являются частным случаем s–мерных
сеток Sm(q, s), которые использовались Е. С. Смоляком в работе [1] для

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00571-а).

Н. Н. Добровольский, О. В. Киселева, А. С. Симонов

построения квадратурных и интерполяционных формул с весами и на них
были получены результаты на различных классах функций, сравнимые с
наилучшими из известных.

В работе будут рассматриваться классы A2, E2
2 периодических функций:

A2 – класс периодических функций f(x1, x2) с периодом 1 по каждой
переменной и абсолютно сходящимся рядом Фурье:

f(x1, x2) =

+∞
m1,m2=−∞
C(m1, m2)e2πi(m1x1+m2x2),

+∞
m1,m2=−∞
|C(m1, m2)| < ∞.

На пространстве A2 рассмотрим норму

||f(x1, x2)||A2 =

+∞
m1,m2=−∞
|C(m1, m2)|,

относительно которой A2 сепарабельное банахово пространство, изоморфное
пространству l2,1 комплекснозначных функций на фундаментальной решётке
Z2 со сходящимся рядом из модулей значений.

В пространстве периодических функций A2 выделяется класс E2
2 более
гладких функций, определяемый следующими условиями на коэффициенты
Фурье.

Пусть f(x1, x2) ∈ A2. Функция f(x1, x2) ∈ E2
2 тогда и только тогда, когда
для ее коэффициентов Фурье

C(m1, m2) =
1

0

1

0
f(x1, x2)e−2πi(m1x1+m2x2)dx1dx2

выполнено условие

sup
⃗m∈Z2 |C(m1, m2)|(m1m2)2 < ∞,

где для любого вещественного m полагается m = max{1, |m|}.

На классе E2
2 рассмотрим две эквивалентные нормы:

||f(⃗x)||E2
2 = sup
⃗m∈Z2 |C(m1, m2)|(m1m2)2,
(3)

||f(⃗x)||E2
2,C1 = sup
⃗m∈Z2 |C(m1, m2)|(C1m1C1m2)2.
(4)

Класс функций E2
2 c нормой (3) будем обозначать E2
2, а с нормой (4) —
E2
2(·, C1).

Пространства E2
2 и E2
2(·, C1) — несепарабельные банаховы пространства,
изоморфные
пространству
l2,∞
—
ограниченных
комплекснозначных
функций на фундаментальной решётке Z2, которое в силу счётности
Z2
изоморфно пространству l∞
— ограниченных последовательностей

Граничные функции класса E2
2
1, π2

6
для сеток Смоляка
13

комплексных
чисел.
Действительно,
этот
изоморфизм
нормированных
пространств E2
2 и l2,∞ задается равенствами для коэффициентов Фурье:

C(⃗m) =
c(⃗m)

(m1m2)2 , ⃗m ∈ Z2,
||c(⃗m)||∞ = sup
⃗m∈Z2 |c(m1, m2)| < ∞.

Шар радиуса C > 0 в пространстве E2
2 с нормой (3) обозначают через
E2
2(C), а с нормой (4) — E2
2(C, C1). Класс функций Eα
s ввел Н. М. Коробов.
О свойствах этого класса подробно можно узнать в [4] и [6] (также см. [7]).

Квадратурные формулы с двумерными сетками Сомоляка выглядят
достаточно просто (см. [3], стр. 122).

Теорема 1. Пусть f(x1, x2) ∈ E2
2, q ⩾ 3, тогда для погрешности
квадратурной формулы

1
0

1
0
f(x1, x2)dx1dx2 = 1

2q

q−1
ν=1

2ν−1
k1=0

2q−ν−1
k2=0
f
k1

2ν ,
k2
2q−ν

−

−
1

2q−1

q−2
ν=1

2ν−1
k1=0

2q−1−ν−1
k2=0
f
k1

2ν ,
k2

2q−1−ν

− RN(1)(q)[f]
(5)

справедлива оценка
RN(1)(q)[f]
E2
2
⩽ 4π4q

9 · 4q = O
ln3 N(1)(q)

(N(1)(q))2

,

где N(1)(q) = 3q − 4

2
2q — количество точек сетки Смоляка с учетом их
кратности.

Если квадратурную формулу (5) записать без повторения узлов, то
получается более сложное выражение (см. [3], стр. 123).

Теорема 2. Пусть f(x1, x2) ∈ E2
2(C), q ⩾ 3, тогда для погрешности
квадратурной формулы

1
0

1
0
f(x1, x2)dx1dx2 = 1

2q

q−1
ν=1
σ(ν, q − ν) + σ(q − 1, 0) + σ(0, q − 1) −

−(q−3)σ(0, 0)−

q−3
ν=1
(q−2−ν)(σ(ν, 0)+σ(0, ν))−

q−3
ν,µ=1,
ν+µ⩽q−2

(q−1−ν−µ)σ(ν, µ)

−

−RN(q)[f],
(6)