Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2011, № 1

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 1

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ

ТУЛА 2011

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 1. — Тула: Изд-во ТулГУ,
2011. — 316 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, информатики, физики, химии, биологии и наукам о
земле.

Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов,
студентов
и
аспирантов,
специализирующихся
в
области
естественных наук.

Редакционный совет

М.В.
Грязев
—
председатель,
В.Д.
Кухарь
—
зам.
председателя,
В.В.
Прейс
—
главный
редактор,
В.А.
Алфёров,
И.А.
Батанина,
О.И. Борискин, В.И. Иванов, В.С. Карпов, Р.А. Ковалев, Е.А. Федорова,
А.А. Хадарцев, А.Н. Чуков.

Редакционная коллегия

В.И.
Иванов
—
отв.
редактор,
В.А.
Алфёров,
И.М.
Буркин,
Н.М.
Добровольский,
Д.М.
Левин,
А.А.
Маркин,
Е.Н.
Музафаров,
Л.А. Толоконников, Н.Н. Фотиева, А.В. Иванов — отв. секретарь.

Подписной индекс 27845

по Объединенному каталогу «пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в перечень
ведущих научных журналов и изданий,
выпускаемых в Российской Федерации,
в которых должны быть опубликованы
научные результаты диссертаций на
соискание ученой степени доктора наук
c⃝ Авторы научных статей, 2011
c⃝ Издательство ТулГУ, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Галяутдинова Л.Ф.,
Мухлисов Ф.Г. Интегральное
представление
решения
одного вырождающегося B-эллиптического уравнения с отрицательным
параметром. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Васильев С.Н., Малыгин Я.В., Мироненко А.В. Восстановление траектории
движения летательного аппарата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Осташев С. В.
Теоремы
Джексона
в
пространстве
L2(R)
на
прямой
с
гиперболическим весом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Панфилов Г.В., Недошивин С.В., Хвостов Е.Ю. Применение интегрального
преобразования
Лапласа-Карсона
для
решения
краевых
задач
математической физики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

Платонова О.Ю. Решение проблемы обобщенной сопряженности в группах
Артина с древесной структурой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61

Потапова И.С. Об одном случае полной управляемости линейной системы
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. . . . . . . . . . .
73

Сафина Р.М. Видоизмененная задача Дирихле с осевой симметрией для
уравнения смешанного типа с оператором Бесселя с характеристическим
вырождением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

МЕХАНИКА

Борисов А.В. Распределение деформаций и напряжений в системе, состоящей
из произвольного количества толстостенных сфер, под действием внешней
нагрузки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

Бытев В.О.,
Гербер Е.А.
Численный
эксперимент
по
определению
температуры
внутри
вращающегося
по
инерции
жидкого
кольца
со
свободными границами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Левин В.А., Кукушкин А.В. Моделирование образования и развития зон
предразрушения при контакте секторов полого цилиндра с цилиндрической
оболочкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Мазин В.А., Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г. Напряжения вокруг кругового
отверстия в двухслойной упругой полуплоскости при поперечном сжатии . 119

Тутышкин Н.Д.,
Ха
Хонг
Куанг
Моделирование
деформационной
поврежденности материалов при осесимметричной осадке . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Тюханов В. В. Метод решения задач динамики пластинок сложной формы . . . 138
Ха
Хонг
Куанг
Моделирование
процесса
вытяжки
с
утонением
цилиндрических осесимметричных деталей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Шопин С.А. Уравнения движения горизонтальных крутильных весов при
малых маятниковых качаниях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Содержание

ИНФОРМАТИКА

Ленников Р.В.
Информационно
энтропийные
модели
инновационных
процессов в экономических системах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Мелькумова Е.М.
Многокритериальная
оптимизация
на
основе
меры
зависимости целевых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Свистунов С.С.
Интерактивный
рендеринг
при
помощи
сферических
дизайнов (SDPRT) для низкочастотного окружающего освещения и BRDF
Фонга. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Чертов А.В. Сравнительный анализ эффективности методов прогнозирования
на примере рынка недвижимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

ХИМИЯ

Алферов В.А.,
Филатова Н.М.,
Асулян Л.Д.,
Блохин И.В.,
Горячева А.А.
Получение стабильного рецепторного элемента биосенсора, иммобилизацией
бактериальных клеток Gluconobacter oxydans в пленку из поливинилового
спирта, модифицированного N-винилпирролидоном. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Атрощенко Ю.М.,
Медведева А.Ю.,
Шахкельдян И.В.,
Шумский А.Н.,
Якунина И.Е. Синтез и модификация 6-амино-3,4-дигидрохинолин-2-она. . 220

Зацаринная Д.В.,
Волкова Е.М. Экологические
особенности
растительных
сообществ сплавинных карстовых болот Тульской области . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Понаморева О.Н., Лагунова Н.Л., Евтеева В.А., Пунтус И.Ф. Выбор способа
иммобилизации бактерий – нефтедеструкторов для разработки биосенсоров
на основе кислородного электрода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

БИОЛОГИЯ

Крамаренко В.В. Модули осадки верховых торфов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Позняк С.С.
Фоновое
содержание
тяжелых
металлов
в
почвах
и
растительности Центральной зоны Республики Беларусь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Смирнова Э.Д., Протасов А.В., Шухтин Н.Ю., Титаров Д.Л., Навид М.Н.
Аллогерниопластика
с
использованием
безфиксационного
импланта

Parietene
TM Progrip
TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Хорун Л.В. Потенциал
природной
флоры
Тульской
области
в
мировых
адвентивных флорах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

ЭКОЛОГИЯ

Матвейко Н.П., Алферов С.В. Загрязнение окружающей среды тяжелыми
металлами и фосфатами при использовании синтетических моющих средств 281

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

Деев П.В.
Математическое
моделирование
взаимодействия
обделок
параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения с массивом
грунта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Содержание
5

Соловьева О.А. Методическое и программное обеспечение расчета обделки
некругового тоннеля на действие вертикальной нагрузки, распределенной
по части внутреннего контура. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 311

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 6–24

Математика

УДК 517.946

Интегральное представление решения
одного вырождающегося B-эллиптического
уравнения с отрицательным параметром

Л.Ф. Галяутдинова, Ф.Г. Мухлисов

Аннотация.
Строится
фундаментальное
решение
для
вырождающегося B-эллиптического уравнения с отрицательным
параметром.
Дается
интегральное
представление
решения
уравнения.
Ключевые слова: оператор Бесселя, функция Макдональда,
фундаментальное решение.

1. Фундаментальное решение

Пусть D+ — конечная область в первой четверти E+
2
координатной
плоскости Oxy, ограниченная кривой Γ+ с концами в точках A(1, 0) и B(0, 1)
и отрезками Γ1 = [OA] и Γ0 = [OB] осей координат соответственно Ox и Oy,
D+
e = E+
2 \D
+, D+
10 = D+ ∪ Γ1 ∪ Γ0.
Рассмотрим вырождающееся В-эллиптическое уравнение с параметром
вида:

TB(u) = ymBxu + ∂2u

∂y2 − λ2ymu = 0,
(1)

где Bx =
∂2
∂x2 + k

x
∂
∂x — оператор Бесселя, m > 0, k > 0, λ — заданные
действительные числа.
Множество четных по x бесконечно дифференцируемых функций с
компактным носителем в E+
2 обозначим через D+
B. Функции из множества

D+
B будем называть основными.

Определение 1. Функция ε (x, y; x0, y0) называется фундаментальным
решением уравнения (1) с особенностью в точке M0 (x0, y0) ∈ E+
2 , если
она является решением уравнения (1) во всех точках E+
2 \M0 (x0, y0) и
удовлетворяет для любой основной функции ϕ(x, y) ∈ D+
B
такой, что

Интегральное представление решения вырождающегося эллиптического уравнения
7

ϕ(x0, y0) ̸= 0, равенству
E+
2

ε(x, y; x0, y0)TB(ϕ)xkdxdy = −ϕ(x0, y0),
(2)

или в терминах обобщенных функций уравнению TB (ε (x, y; x0, y0)) = −
−δ(x0 − x, y0 − y), где δ(x0 − x, y0 − y) — известная δ-функция Дирака.

Теорема
1.
Если
m > 0
и
k > 0,
то
уравнение
(1)
имеет
фундаментальное
решение
с
особенностью
в
точке
M0 (x0, y0),
удовлетворяющее следующим асимптотическим равенствам:

ε (x, y; x0, y0) = O (ln ρMM0) ,
ρMM0 → 0;

ε (x, y; x0, y0) = O
e−ρMM0,
ρMM0 → ∞,

где ρ2
MM0 = (x − x0)2 +
4

(m+2)2
y(m+2)/2 − y(m+2)/2
0
2
.

Доказательство. Пусть
α = m/(m + 2).
С
помощью
замены
переменных по формулам

ξ = x, η = (1 − α)y1/(1−α)
(3)

уравнение (1) приводится к В-эллиптическому уравнению с параметром

Bξu + ∂2u

∂η2 + α

η
∂u
∂η − λ2u = 0.
(4)

Ясно, что 0 < α < 1 при m > 0. Пусть r = (ξ2 + η2)1/2. Ищем решение
уравнения (4) в виде
u (ξ, η) = υ (r) .
(5)

Подставляя функцию (5) в уравнение (4), получаем

υ′′ + (k + α + 1) /r · υ′ − λ2υ = 0.
(6)

Умножая это уравнение на r2, имеем

r2υ′′ + (k + α + 1) rυ′ − λ2r2υ = 0.
(7)

С помощью замены переменных по формулам

υ = (t/λ)−(k+α)/2 W,
r = t/λ
(8)

уравнение (7) приводится к уравнению Бесселя от чисто мнимого аргумента

t2W ′′ + tW ′ −
t2 + ν2W = 0,
(9)

Л.Ф. Галяутдинова, Ф.Г. Мухлисов

где ν = (k + α) /2. Известно [1, с. 798], что частными решениями этого
уравнения являются функции Бесселя от чисто мнимого аргумента Iν (t),
I−ν (t), и функция Макдональда

Kν (t) = π

2
(Iν (t) − I−ν (t))

sin νπ
.
(10)

Возвращаясь в (10) к переменной r, с учетом формул (8), получим частное
решение уравнения (6)
υ (r) = γr−νKν (λr) ,
(11)

где γ — нормирующая постоянная.
Известно
[1,
с.
798],
что
при
r → ∞
имеет
место
следующая
асимптотическая формула

υ (r) = O
e−r.
(12)

Из разложения функций Iν (x) и I−ν (x) в степенной ряд следует, что
решение (11) может быть представлено в виде

υ (r) =
γπ

2ν+1Γ (1 − ν) r−2ν + ψ (r) ,
(13)

где ψ (r) — регулярная функция в E+
2 .
Функция (13) является решением уравнения (4) и имеет в начале
координат степенную особенность вида r−2ν.
Для получения решения уравнения (4) с особенностью в точке (0, η0) ∈
∈ E
+
2 применим к функции (13) оператор обобщенного сдвига T η0
η :

g (ξ, η; 0, η0) =
γπCα

2ν+1Γ (1 − ν)

π
0

ξ2 + η2 + η2
0 − 2ηη0 cos ϕ
−ν ×

× sinα−1 ϕdϕ + ψ∗ (ξ, η; η0) ,
(14)

где
ψ∗ (ξ, η; η0)
—
регулярная
функция
в
точке
P0 (0, η0),
C−1
α
=

=
π0
sinα−1 ϕdϕ = √πΓ
α

2
/Γ
α+1

2
.

Докажем, что интеграл в (14) имеет степенную особенность в точке

P0 (0, η0). Для этого интеграл запишем в виде

J =

π
0

r2
PP0 + 4ηη0 sin2 (ϕ/2)
−ν sinα−1 ϕdϕ + ψ∗ (ξ, η; η0).
(15)

Ясно, что разность Φ (ξ, η; η0) между интегралом (15) и интегралом

π
0
ϕα−1 r2
PP0 + ηη0ϕ2−ν dϕ
(16)

Интегральное представление решения вырождающегося эллиптического уравнения
9

является регулярной функцией от ξ, η даже в точке P0 (0, η0) (т.е. для rPP0 =
= 0). Так что интеграл J можно представить в виде

J =

π
0

r2
PP0 + ηη0ϕ2−ν ϕα−1dϕ + Φ (ξ, η; η0) .

Производя
в
этом
интеграле
замену
переменной
по
формуле

ϕ = rPP0 (ηη0)−1/2 τ, получаем

J = r−k
PP0 (ηη0)−α/2

π√ηη0
rP P0
0

1 + τ 2−ν τ α−1dτ + Φ (ξ, η; η0).
(17)

При малых значениях rPP0 этот интеграл также можно записать в виде

J = r−k
PP0 (ηη0)−α/2

π√ηη0
rP P0
1

1 + τ 2−ν τ α−1dτ + Φ1 (ξ, η; η0).
(18)

Разлагая подынтегральную функцию в (18) в степенной ряд, получим

τ α−1 1 + τ 2−ν = τ −(k+1)
1 + 1

τ 2

−(k+α)/2
=

=τ −(k+1)
1− k+α

2
τ −2+

k+α

2
k+α

2 +1
2!
τ −4−

k+α

2
k+α

2 +1
k+α

2 +2
3!
τ −6+. . .
=

=τ −(k+1)− k+α

2
τ −(k+3)+

k+α

2
k+α

2 +1
2!
τ −(k+5)−

−

k+α

2
k+α

2 +1
k+α

2 +2
3!
τ −(k+7)+. . .

Ясно, что этот ряд сходится равномерно в промежутке [1; ∞). Поэтому
его можно интегрировать в этом промежутке почленно. В результате имеем

J = (ηη0)−α/2

k
r−k
PP0 + Φ2 (ξ, η; η0) ,
(19)

где rPP0 =
ξ2 + (η − η0)21/2 — расстояние между точками P (ξ, η) и

P0 (0, η0), Φ2 (ξ, η; η0) — регулярная в точке P0 (0, η0) функция. Отсюда и из
(16) следует, что решение g (ξ, η; 0, η0) уравнения (4) в E+
2 с особенностью в
точках координатной оси ξ = 0 может быть представлено в виде

g (ξ, η; 0, η0) = γ π (ηη0)−α/2 Cα

k2ν+1Γ (1 − ν) r−k
PP0 + Φ3 (ξ, η; η0) .
(20)

Л.Ф. Галяутдинова, Ф.Г. Мухлисов

Возвращаясь в (20) к переменным x и y, с учетом формул (3) и значений
ν = (k + α) /2, α = m/ (m + 2), имеем

ε (x, y; 0, y0) = γ π (yy0)−m/4 Cα

k2ν+1Γ (1 − ν) ρ−k + Φ4 (x, y; y0) ,
(21)

где ρ =
x2 +
4

(m+2)2
y(m+2)/2 − y(m+2)/2
0
21/2
.

Отсюда следует, что решение (21) уравнения (1) имеет в точках
координатной оси x = 0 степенную особенность вида ρ−k. Для получения
решения уравнения (1) с особенностью в произвольной точке (x0, y0) ∈ E+
2
применим к функции (21) оператор обобщенного сдвига T x0
x :

g (x, y; x0, y0) = γπ (yy0)−m/4 CαCk

k2ν+1Γ (1 − ν)

π
0

x2 + x2
0 − 2xx0 cos ϕ+

+
y(m+2)/2 − y(m+2)/2
0
2 −k/2
× sink−1 ϕdϕ + Φ∗
4 (x, y; x0, y0) ,
(22)

где Φ∗
4 (x, y; x0, y0) — регулярная в точке M0 (x0, y0) функция, С −1
k
=

=
π0
sink−1 ϕdϕ = √πΓ
k

2
/Γ
k+1

2
.

Докажем,
что
интеграл
в
(22)
в
точке
M0 (x0, y0) ∈ E+
2
имеет
логарифмическую особенность. Для этого этот интеграл, как раньше,
запишем в виде

J=

π
0

x2+x2
0−2xx0+2xx0 (1− cos ϕ) +
4

(m+2)2
y(m+2)/2−y(m+2)/2
0
2−k/2
×

× sink−1 ϕdϕ =

π
0

ρ2
MM0 + 4xx0 sin2 (ϕ/2)
−k/2 sink−1 ϕdϕ,
(23)

где ρ2
MM0 = (x − x0)2 +
4

(m+2)2
y(m+2)/2 − y(m+2)/2
0
2
.

Как раньше, разность ψ (x, y; x0, y0) между интегралом (23) и интегралом

π0
ϕk−1 ρ2
MM0 + xx0ϕ2−k/2 dϕ является регулярной функцией в E+
2 . Отсюда

следует, что интеграл J можно представить в виде

J =

π
0

ρ2
MM0 + xx0ϕ2−k/2 ϕk−1dϕ + Φ (x, y; x0, y0) .
(24)

Интегральное представление решения вырождающегося эллиптического уравнения 11

С
помощью
замены
переменной
по
формуле
ϕ = (xx0)−1/2 ρMM0τ
интеграл (24) приводится к виду

J = (xx0)−k/2

π√xx0
ρMM0
0

1 + τ 2−k/2 τ k−1dτ + Φ (x, y; x0, y0).

Также последний интеграл можно представить в виде

J = (xx0)−k/2

π√xx0
ρMM0
1

1 + τ 2−k/2 τ k−1dτ + ψ (x, y; x0, y0),
(25)

где ψ (x, y; x0, y0) — регулярная в E+
2 функция.
Разлагая подынтегральную функцию в (25) в степенной ряд, получим

τ k−1 1 + τ 2−k/2 = τ −1 1 + 1/τ 2−k/2 =

= τ −1
1 − k

2 τ −2 + k/2 (k/2 + 1)

2!
τ −4 − k/2 (k/2 + 1) (k/2 + 2)

3!
τ −6 + . . .
=

= τ −1 − k

2 τ −3 + k/2 (k/2 + 1)

2!
τ −5 − k/2 (k/2 + 1) (k/2 + 2)

3!
τ −7 + . . . .

Ясно, что этот ряд сходится равномерно в промежутке [1; ∞). Поэтому
его можно интегрировать в этом промежутке почленно. В результате имеем
J = (xx0)−k/2 ln
1

ρMM0

+ ψ2 (x, y; x0, y0) .
Отсюда и из (22) следует, что

ε (x, y; x0, y0) = γ π (xx0)−k/2 (yy0)−m/4 CαCk

k2ν+1Γ (1 − ν)
ln
1

ρMM0

+ R (x, y; x0, y0) ,

(26)
где R (x, x0; y, y0) — регулярная функция в E+
2 .
Из
формулы
(12)
следует,
что
при
ρMM0 → ∞
имеет
место
асимптотическая формула

ε (x, y; x0, y0) = O
e−ρMM0.
(27)

Докажем, что при определенном значении постоянной γ функция (26)
удовлетворяет равенству (2) и, следовательно, является фундаментальным
решением уравнения (1) с особенностью в точке M0 (x0, y0) ∈ E+
2 . Для
этого введем формулы Грина для оператора TB. Обозначим через Cn
B (D+)
множество четных по x, n раз непрерывно дифференцируемых функций
в D+, а через C1
0 (D+) (C1
0 (Γ+)) — множество функций, удовлетворяющих

Л.Ф. Галяутдинова, Ф.Г. Мухлисов

условию ∂u/∂y|y=0 = 0
∂ϕ/∂η|η=0 = 0
. Пусть u, υ ∈ C2
B (D+) ∩ C1
0 (D+).
Непосредственным вычислением можно доказать, что

υTB(u)xk +
ym ∂υ

∂x
∂u
∂x + ∂υ

∂y
∂u
∂y

xk =

= ∂

∂x

xkymυ ∂u

∂x

+ ∂

∂y

xkυ ∂u

∂y

− λ2xkymuυ.

Интегрируя обе части этого тождества по области D+ и пользуясь
формулой Остоградского, получаем
D+
υTB(u)xkdxdy +
D+

ym ∂υ

∂x
∂u
∂x + ∂υ

∂y
∂u
∂y

xkdxdy =

=
Γ+
υA[u]ξkdΓ − λ2
D+
ξkηmuυdξdη,
(28)

где A [ ] = ηm cos (n, ξ) ∂/∂ξ + cos (n, η) ∂/∂η — конормальная производная,
n — единичный вектор внешней нормали к границе Γ+.
Заменяя в формуле (28) местами u и υ, получим
D+
uTB(υ)xkdxdy +
D+

ym ∂u

∂x
∂υ
∂x + ∂u

∂y
∂υ
∂y

xkdxdy =

=
Γ+
uA[υ]ξkdΓ − λ2
D+
ξkηmuυdξdη.
(29)

Вычитая из (28) формулу (29), получаем
D+
[υTB(u) − uTB(υ)]xkdxdy =
Γ+
(υA[u] − uA[υ])ξkdΓ+.
(30)

Формулы (28) и (30) называются соответственно первой и второй
формулами Грина для оператора TB.
Пусть
M0 (x0, y0) ∈ E+
2
и
ϕ (x, y) ∈ D+
B
такая,
что
ϕ (x0, y0) ̸= 0.
Рассмотрим окружность CM0ε с центром в точке M0 и радиуса ε и
четверть круга K+
R ⊂ E+
2
с центром в начале координат и радиуса R.
Предполагается, что CM0ε ⊂ K+
R ⊂ Supp ϕ. Четверть круга K+
R ограничена
четвертью окружности C+
R и отрезками [0, R] и [R, 0] осей координат x = 0
и y = 0. Обозначим через G+
εR область, ограниченную окружностью CM0ε
и границей четверти круга K+
R. Применяя к функциям υ = ε (x, y; x0, y0) и

Интегральное представление решения вырождающегося эллиптического уравнения 13

u (x, y) = ϕ (x, y) вторую формулу Грина (30) в области G+
εR, с учетом того,
что TB (ε (x, y; x0, y0)) = 0 в G+
εR и ϕ (x, y) = 0 вне области G+
εR получим
G+
εК

ε (x, y; x0, y0) TB (ϕ) xkdxdy =

= −
CM0ε

(ηmε (ξ, η; x0, y0) A[ϕ] − ϕA[ε (ξ, η; x0, y0)])ξkdΓ =

=
CM0ε

ϕ (ξ, η) A [ε (ξ, η; x0, y0)] ξkdΓ −
CM0ε

ηmε (ξ, η; x0, y0) A [ϕ] ξkdΓ =

= I1ε − I2ε.
(31)

Нетрудно доказать, что при ε → 0 I2ε → 0. Вычислим предел при ε → 0
интеграла

I1ε =
CM0ε

ϕ (ξ, η) A [ε (ξ, η; x0, y0)] ξkdΓ.
(32)

Заменяя в (32) ε (ξ, η; x0, y0) на его значение из (26), получим

I1ε = γ πx−k/2
0
y−m/4
0
CαCk

k2ν+1Γ (1 − ν)

CM0ε

ϕ (ξ, η) A
ln
1

ρM0P

η−m/2ξk/2dCM0ε + J2ε.

(33)
Также нетрудно доказать, что

lim
ε→0 J2ε = 0.
(34)

Вычислим предел интеграла

J1ε = γ πx−k/2
0
y−m/4
0
CαCk

k2ν+1Γ (1 − ν)

CM0ε

ϕ (ξ, η) A
ln
1

ρM0P

η−m/2ξk/2dCM0ε

при ε → 0.
Вычисляя конормальную производную A [ln (1/ρM0P )] = −A [ln ρM0P ] и
пользуясь формулой Лагранжа

f (x) − f (x0) = f′ (x0 + θ (x − x0)) (x − x0) ,
0 < θ < 1,
(35)

приведем этот интеграл к виду

J1ε = −γ πx−k/2
0
y−m/4
0
CαCk

k2ν+1Γ (1 − ν) ε

CM0ε

ϕ (ξ, η) ×