Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2010, № 1

Министерство науки и образования РФ

Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»

ISSN 2071-6176

ИЗВЕСТИЯ

ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА

Естественные науки

Выпуск 1

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТулГУ
ТУЛА 2010

УДК 50
ISSN 2071-6176

Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 1. — Тула: Изд-во ТулГУ,
2010. — 312 с.

В выпуске опубликованы оригинальные статьи по актуальным проблемам
математики, механики, информатики, физики и химии.
Материалы предназначены для научных работников, преподавателей
вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в области естественных наук.

Редакционный совет
М.В.
Грязев
—
председатель,
В.Д.
Кухарь
—
зам.
председателя,
В.В. Прейс — главный редактор, В.А. Алфёров, И.А. Батанина, О.И. Борискин, В.И. Иванов, В.С. Карпов, Р.А. Ковалев, Е.А. Федорова, А.А.
Хадарцев, А.Н. Чуков.

Редакционная коллегия
В.И. Иванов — отв. редактор, В.А. Алфёров, И.М. Буркин, Н.М. Добровольский, Д.М. Левин, А.А. Маркин, Е.Н. Музафаров, Л.А. Толоконников,
Н.Н. Фотиева, Ю.Д. Рудомазина — отв. секретарь.

Подписной индекс 27845
по Объединенному каталогу «пресса России»

«Известия ТулГУ» входят в перечень
ведущих научных журналов и изданий,
выпускаемых в Российской Федерации,
в которых должны быть опубликованы
научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук
c⃝ Авторы научных статей, 2010
c⃝ Издательство ТулГУ, 2010

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА

Безверхний Н.В. Нормальные формы для элементов бесконечного порядка в
группах с условием C(3)−T(6) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых
пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Махмудов Н.М. Сходимость разностных аппроксимаций по функционалу в задаче оптимального управления для уравнения Шредингера с чисто мнимым
коэффициентом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Чеботарева Э.В. Решение задачи N для одного сингулярного B-эллиптического уравнения методом потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54

МЕХАНИКА

Бондарь В. С., Бурчаков С. В., Даншин В. В. Математическое моделирование
процессов пластичности и разрушения материалов при нестационарных и
несимметричных циклических нагружениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Грязев М. В., Мирсалимов М. В. Напряженно-деформированное состояние полосы переменной толщины, ослабленной трещиной с концевыми пластическими зонами при неравномерном нагреве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Кийко И. А., Наджафов М. А. Флаттер конической оболочки. . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Кудряшов А. В. Деформирование линейно упрочняющейся оболочки при условии обобщенной полной пластичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Охлопков Н. Л., Соколов С. А. Бифуркация цилиндрической оболочки при
сложном нагружении в момент потери устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Скачков М.Н. Сжимаемая сыпучая среда в вертикальном вращающемся барабане. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Толоконников Л. А., Филатова Ю. М. Дифракция плоской звуковой волны на
упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью . . . . . . . 114
Христич Д. В., Соколова М. Ю. Решение краевых задач нелинейной термоупругости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

ИНФОРМАТИКА

Роженцов В.В. Моделирование зависимости порогового межимпульсного интервала от длительности импульса при восприятии парных световых импульсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Содержание

ФИЗИКА

Щукин А.С. Исследование структуры разрушений стекол при воздействии наносекундными лазерными импульсами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Чуканов А.Н., Яковенко А.А. Развитие деградации и начальные стадии повреждаемости малоуглеродистой стали при деформировании. . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

ХИМИЯ

Ахметов Л.И., Быков А.Г., Вайнштейн М.Б., Есикова Т.З., Филонов А.Е.,
Крылова Л.Н., Мортазави С. Токсичность никеля для тионовых бактерий 167
Захарченко Н.С., Чепурнова М.А., Карнова Л.С., Захарченко А.В., Пиголева С.В., Пунтус И.Ф., Кочетков В.В. Влияние ассоциативных микроорганизмов на устойчивость томатов к фитопатогенам in vitro и in vivo. . . . . . . . 175
Петриков К.В., Власова Е.П., Ветрова А.А., Овчинникова А.А., Понаморёва О.Н., Алфёров В.А., Пунтус И.Ф., Филонов А.Е. Получение сухой формы биопрепарата для очистки от нефтяных загрязнений и изучение его
свойств при долговременном хранении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Румянцева Е.Л., Белецкая В.А., Корниенко И.Д. Исследование коллоиднохимических закономерностей выщелачивания высокоосновного сталеплавильного шлака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

БИОЛОГИЯ

Волкова Е.М., Головченко А.В., Самощенкова Н.В., Музафаров Е.Н. Микробиологическая характеристика торфов Тульской области . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Доронина Н.В., Федоров Д.Н., Шихсаидов М.В., Понаморева О.Н. Стимуляция роста и морфогенеза растений in vitro ассоциативными аэробными метилотрофными бактериями Methylobacterium extorquens D10, образующими
цитокинины, ауксины и витамин B12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

Белякова Е.В., Головин К.А., Пушкарев А.Е. Разработка метода расчета параметров процесса гидроструйной цементации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Борщевич А.М., Ковалев Р.А., Бухтияров А.А., Сарычева И.В. Ограничение
нагрузки на очистной забой по газовому фактору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Зайцев Ю.В. Теоретическое обоснование технологических факторов, влияющих на эффективность работы карьера при переходе от БВР к выемке
известняков комбайном. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Качурин Н.М., Ковалев Р.А., Коновалов О.В., Качурин А.Н. Математические
модели аэрогазодинамики тоннелей при их строительстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Качурин Н.М., Борщевич А.М., Бухтияров А.А. Выделения метана с поверхности обнажения разрабатываемого угольного пласта при интенсивной выемке угля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Масленников С.А., Говоруцкая С.А. Эффективные параметры возведения комбинированной крепи вертикальных стволов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Содержание
5

Мерзляков В.Г., Бафталовский В.Г., Байдинов В.Н. К вопросу формирования
плоских струй для систем пылевзрывозащитного орошения горных машин 273
Наумов В.А., Наумова О.Б. О направленном формировании месторождений
на примере техногенных россыпей золота. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Погудин Ю.М., Зуев В.А., Янко И.В., Сарычев В.И. Стендовые испытания узла соединения составного анкера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Сафронов В.П., Сафронов В.В., Макаров А.В. Установление зависимостей геометрических и прочностных параметров природных блоков от мощности
вмещающего слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Соболев А.А. Учет фильтрационной анизотропии при строительстве на лёссовых макропористых грунтах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Порядок представления и правила оформления рукописей статей . . . . . . . . . . . . . 307

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 6–25

Математика

УДК 519.40

Нормальные формы для элементов
бесконечного порядка в группах с условием
C(3)−T (6)

Н.В. Безверхний

Аннотация. Целью статьи является построение нормальных
форм для представителей элементов бесконечного порядка в группах с условиями C(3)−T(6). Разработанная техника может быть
использована для решения проблем сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу и степенной сопряжённости в рассматриваемом
классе групп.
Ключевые слова: карта, диаграмма над группой, условия малого
сокращения, дэновская область.

Введение

В статье доказывается существование алгоритма, преобразующего представители элементов бесконечного порядка C(3)−T(6)-группы к неприводимому в определённом ниже смысле виду. Кроме того, для этих представителей строятся нормальные формы, любые степени которых обладают свойством неприводимости. Возможность построения таких нормальных
форм для элементов бесконечного порядка позволяет решить проблему сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу в указанном классе групп.
Решение последней задачи выходит за рамки данной статьи.
Будем считать, что копредставление G = (X; R) обладает следующими
свойствами: |X| < ∞, |R| < ∞, X содержит инверсии всех своих элементов,
множество R определяющих соотношений симметризовано: содержит инверсии и все циклические перестановки своих элементов.

Определение 1. Непустое общее начало двух различных определяющих
соотношений называется куском. Группа G с копредставлением (X; R) удовлетворяет условию C(p), если ни одно из слов множества R не представимо
в виде произведения менее, чем p кусков.

Обозначим через F = F(X) свободную группу с базисом X. Графическое
равенство слов u, v будем обозначать u ≡ v.
Группа G с копредставлением G = (X; R) удовлетворяет условию T(q),
если для любого набора слов r1, . . . , rt из R, 2 < t < q, таких, что последова

Нормальные формы для элементов бесконечного порядка
7

тельные элементы r1, r2, . . . , ri, ri+1, . . . rt, r1, не являются взаимно обратными в F(X), по крайней мере одно из произведений r1r2, . . . , rtr1 приведено в
F(X).
В статьях [1–3] доказано следующее характеристическое свойство элементов конечного порядка в группах с условиями C(6), C(4)−T(4), C(3)−T(6).
Слово w в алфавите X тогда и только тогда представляет в группе G
одного из названных классов элемент конечного порядка, когда w ≡ vs, и в
множестве R существует определяющее соотношение вида r ≡ ut, причём
слова u, v сопряжены в группе G.
Таким образом, представляется возможным начинать построение нормальной формы для элемента с представителем w с проверки конечности
порядка этого элемента. Заметим, что в контексте решаемой проблемы сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу рассмотрение элементов
конечного порядка в качестве порождающих элементов этой подгруппы не
представляет интереса.
В работах [1, 2] дано описание элементов бесконечного порядка в группах с условиями C(6), C(4) − T(4). А именно, приводится конструктивное
доказательство существования алгоритма, строящего для данного представителя w элемента g бесконечного порядка приведённое в определённом ниже
смысле слово w0, сопряжённое с w, любая степень которого тоже является
приведённым словом. Слово w0 мы называем нормальной формой элемента
с представителем w.
Интересно, что данный алгоритм вычисляет и сопрягающий элемент z:
w = z−1w0z.
Возможность построения приведённой формы для представителя любого
элемента бесконечного порядка и её свойства позволяют решить проблему
вхождения в циклическую подгруппу, проблему сопряжённого вхождения в
циклическую подгруппу в рассматриваемых классах групп.
Для решения названных проблем в классе групп с условиями C(3)−T(6)
в работе даётся описание элементов бесконечного порядка в данном классе
групп.
Данный класс отличается от двух названных слабостью условия C(3)
и спецификой условия T(q) (здесь q = 6). И тем не менее, работа в этом
классе сильно упрощается по сравнению с двумя названными, благодаря
следующему элементарно доказываемому в статье [4] утверждению.

Свойство копредставлений с условием T (q) при q > 4.
Если
группа G обладает копредставлением (X; R) с условием T(q) при q > 4, то
длина любого куска равна единице.
Предположим, что r1 ≡ abr′
1, r2 ≡ abr′
2 — различные определяющие соотношения, где a, b, r′
1, r′
2 — непустые слова в алфавите X.
Рассмотрим слова из R, обратные к r1, r2, и их циклические перестановки:
u1 ≡ br′
1a, u2 ≡ a−1(r′
2)−1b−1, u3 ≡ br′
1a, u4 ≡ a−1(r′
2)−1b−1. Последователь

Н.В. Безверхний

ность u1, u2, u3, u4, u1 противоречит условию T(6). Значит, общее начало ab
двух различных определяющих соотношений из R имеет единичную длину.
Понятия области, карты, диаграммы, кольцевой диаграммы, граничного
цикла области D (∂D) и граничного цикла связной односвязной диаграммы
M (∂M), граничной метки ϕ(p) пути p будем считать известными [5]. Кроме
того, считаем, что граничная метка области читается по часовой стрелке, граничная метка связной односвязной диаграммы — против, внешняя
граница кольцевой диаграммы ориентирована против часовой стрелки, а
внутренняя — по часовой стрелке.
Подпуть ∂D ∩ ∂M = p в граничных циклах области D и диаграммы
M, либо в граничных циклах двух областей называется последовательной
частью границы как области D, так и карты M, или двух областей, соответственно [5].
Граничной вершиной в карте M называется любая вершина, принадлежащая граничному циклу карты M. Вершины, не являющиеся граничными,
называются внутренними. Внутренним ребром в диаграмме будем считать
общую часть граничных циклов двух областей, гомеоморфную отрезку и
являющуюся последовательной частью границы обеих областей. Область
D называется граничной в карте M, если в её граничном цикле ∂D есть
граничные вершины карты M, то есть ∂D ∩ ∂M ̸= ∅. Граничные ребра диаграммы M взаимно однозначно сопоставим множеству букв в слове ϕ(∂M).

Определение 2. Пара областей (D1, D2) с общим ребром e в диаграмме
M называется сократимой, если поддиаграмма D1 ∪ D2 является связной
односвязной, причём её граничная метка равна единице в свободной группе
F(X). Если в диаграмме M нет сократимых пар областей, то диаграмма M
называется приведённой.

Очевидно, что в приведённой диаграмме метка внутреннего ребра всегда
является куском.
Скажем несколько слов о геометрической интерпретации условий малого
сокращения C(3) и T(6).
Рассмотрим произвольную группу G = (X; R) с копредставлением, удовлетворяющим условиям C(3)−T(6). Пусть M — приведённая диаграмма
над группой G с данным копредставлением. Тогда условие C(3) означает,
что если область D ⊂ M не имеет рёбер на границе ∂M диаграммы M, то
степень области D : d(D) (число рёбер в её граничном цикле ∂D) не может
быть меньше 3. Число внутренних рёбер области D обозначим через i(D).
Условие T(6) означает, что степень d(v) (число инцидентных ей рёбер)
любой внутренней вершины v диаграммы M не может быть меньше 6.
Циклические перестановки слова w обозначаются w∗. Символами |w|, ∥w∥
обозначают соответственно длину слова w и минимальное число кусков, на
которое разбивается слово w. Поскольку в рассматриваемом классе групп
все куски имеют единичную длину, то для любого слова w в алфавите X
|w| = ∥w∥.

Нормальные формы для элементов бесконечного порядка
9

1. Основные результаты. Понятия R, R-сокращений

Определение 3. Рассмотрим диаграмму M. Область D ⊂ M называется
дэновской, если
1) ∂D ∩ ∂M — последовательная часть границы ∂M (то есть ∂D ∩ ∂M =
= p — подпуть в граничных циклах области D и диаграммы M [5]);
2) i(D) ∈ {0, 1}.

Понятие дэновской области аналогично определяется и для карты M.

Определение 4. Будем говорить, что в слове w есть R-сокращение, если
существует элемент r ∈ R такой, что
1) r ≡ r1r2;
2) w ≡ w1w2w3;
3) r1 ≡ w2;
4) слово r2 либо пусто, либо является куском;

5) слова w1r−1
2 , r−1
2 w3 несократимы в свободной группе;

6) в случае замены слова w равным ему в группе G словом w1r−1
2 w3 будем
говорить, что в w выполнено R-сокращение.

R-сокращение в слове w, являющемся степенью некоторого слова v : w =
= vs, называется длинным, если |w2| ⩾ |v| для w2 из пункта 2 определения
4. Если же |w2| < |v|, то R-сокращение называется коротким.
Если в любой циклической перестановке слова w нет R-сокращений, то
слово w называется циклически R-несократимым.

Определение 5. Полосой в диаграмме M называется поддиаграмма

Π =
ki=1
Di со свойствами:

1) ∂Di ∩ ∂M = p — последовательная часть границы ∂M;
2) ∂Π ∩ ∂M — последовательная часть границы ∂M;
3) при k = 3 i(D1) = i(D2) = i(D3) = 2, причём соседние области имеют
общее ребро, а все три области полосы имеют общую вершину;
при k > 3, k = 2l + 1 i(D1) = i(D2) = i(D2l) = i(D2l+1) = 2, i(D3) =
= i(D5) = . . . = i(D2l−3) = i(D2l−1) = 3, i(D4) = i(D6) = i(D2l−4) = =
= i(D2l−2) = 2;
4) ∂Di ∩ ∂Di+1 — ребро (i = 1, . . . , k − 1).

Понятие полосы аналогично определяется и для карты M.
Любая полоса в диаграмме M с циклически несократимой в свободной группе, циклически R-несократимой граничной меткой ϕ(∂M) является
приведенной диаграммой. Действительно, предположив, что две соседние
области в полосе образуют сократимую пару, приходим в выводу о свободной

Н.В. Безверхний

сократимости слова ϕ(∂M), либо к выводу о том, что в слове ϕ(∂M) есть
R-сокращение. Достаточно рассмотреть два случая: 1) сократимые области
D1, D2 имеют внутренние степени i(D1) = 2, i(D2) = 2; 2) i(D1) = 2, i(D2) = 3.
В первом случае из сократимости пары (D1, D2) следует свободная сократимость слова ϕ(∂M). Во втором случае рассмотрим три соседние области в
полосе: D1, D2, D3. Ясно, что i(D3) = i(D1) = 2, i(D2) = 3. Из сократимости
пары D1, D2 и из того, что кусок в T(6)-группе имеет длину 1 следует, что в
слове ϕ(∂M) есть R-сокращение: метка ребра ∂D2 ∩ ∂D3 является подсловом
в метке пути ∂D1 ∩ ∂M, и область D3 можно наклеить по указанному ребру
на границу ∂M, в результате чего будет получена область, реализующая
R-сокращение в граничной метке диаграммы M.
Понятие R-сокращения можно определять в рассматриваемом классе
групп аналогично тому, как это сделано для R-сокращения (см. также [1, 2] —
R-сокращение для групп с условием C(6) и C(4)−T(4)). Но из-за громоздкости такого определения в группах, удовлетворяющих условиям C(3)−T(6),
будем пользоваться другим, эквивалентным определением.

Определение 6. Пусть Π — полоса в диаграмме M. Граничным словом
области Di ⊂ Π называется метка пути ∂Di ∩ ∂M, прочитанная в соответствии с ориентацией области Di. Граничным словом полосы Π называется
метка пути ∂Π ∩ ∂M, прочитанная в направлении, противоположном ориентации границы ∂M. Аналогично определяется граничное слово дэновской
области.

Понятиям R, R-сокращений дадим определения, использующие только
язык диаграмм, и лишённые громоздких соотношений между определяющими словами. Эти определения и будем в дальнейшем использовать.

Определение 7. Будем говорить, что в слове v есть R-сокращение,
если существует связная односвязная диаграмма M над копредставлением
G = (X; R), в которой существует дэновская область, граничное слово которой является подсловом в v. В слове v есть R-сокращение, если существует
связная односвязная диаграмма M над копредставлением G = (X; R), в которой существует полоса Π, граничное слово которой является подсловом в v.

Следствие. Для любого циклически несократимого в F(X) слова w,
не равного единице в группе G, существует циклически R, R-несократимое
слово w0, сопряжённое c w в G.

Действительно, из определения 7 следует, что в результате R, R-сокращения длина слова строго уменьшается.
Поэтому, записав произвольное слово w на окружности C и выполняя
в его циклических перестановках R, R-сокращения, получим либо пустое
слово, что невозможно, поскольку w ̸= 1 в G, либо непустое слово w0, в
циклических перестановках которого нет R, R-сокращений.
Заметим, что о единственности R, R-несократимого представителя речь
не идёт.

Нормальные формы для элементов бесконечного порядка
11

Понятия дэновской области, полосы были введены В.Н. Безверхним в
работе [7] на языке групповых диаграмм. Независимо аналогичные понятия
использовались в работе [4] при исследовании кусочно евклидовых комплексов. Работая с диаграммами, мы будем придерживаться терминологии
Р. Линдона, П. Шуппа и В.Н. Безверхнего.
В данной работе доказаны две основные теоремы. В первой из них
утверждается, что существовует алгоритм, строящий из любого циклически
R, R-несократимого слова w сопряжённое его степени слово, любая степень
которого R-несократима.
Во второй доказано существование алгоритма, строящего из циклически
R, R-несократимого слова w, любая степень которого R-несократима, сопряжённое ему в группе G слово w0, любая степень которого R, R-несократима.
При этом из доказательства обеих теорем следует, что очевидной является возможность построения сопрягающего слова z: w = zw0z−1.
Представитель w0 слова w, обладающий свойством R, R-несократимости
всех своих степеней, называется нормальной формой слова w. Отметим, что
мы не утверждаем единственности нормальной формы.

Теорема 1. Пусть слово w представляет в группе G = (X; R), удовлетворяющей условиям C(3)−T(6) элемент бесконечного порядка, причём
само слово w циклически несократимо в свободной группе и циклически
R, R-несократимо, m = maxr∈R|r|. Тогда
1) если для некоторого n′ ∈ N слово wn′ R-сократимо, то существует
n ∈ N, n ⩽ m, для которого слово wn R-сократимо;

2) если число m′ удовлетворяет неравенствам 1 < m′ ⩽ m, и для некоторой циклической перестановки w∗ слово (w∗)m′ R-сократимо, причём
ни при каком m′′ < m′ в слове (w∗)m′′ нет R-сокращений, то в результате выполнения этого сокращения получается слово w0 = (w∗)m′

(равенство в группе G), любая степень которого R-несократима.

Теорема 2. Если слово w представляет в группе G = (X; R), удовлетворяющей условиям C(3)−T(6), элемент бесконечного порядка, причём
само слово w циклически R-несократимо, а все его степени wn R-несократимы, то
— если слово w2 R-несократимо, то любая степень wn R-несократима;

— если же в слове w2 есть R-сокращение, то либо
1) все степени слова w1 = w2 (равенство в группе G), полученного из w2

в результате этого R-сокращения, R, R-несократимы;
либо

2) существует конечный алгоритм, строящий последовательность сопряжённых в группе G слов w, w1, . . . , wt, в которой t < |w|, и слово
wt R, R-несократимо вместе со своими степенями.

Н.В. Безверхний

2. Доказательство теоремы 1

Пусть в слове wn есть R-сокращение, определённое соотношением r ≡
≡ r1r2, где r1 — подслово в wn. Если |r1| > m|w|, то |r| > m|w| ⩾ m, что
противоречит максимальности m. Значит, |r1| ⩽ m|w|, и тем самым доказана
первая часть теоремы 1.
Далее будем считать, что R-сокращение имеет место в степени m′ слова w, не превышающей m. Только в пункте 3 закрепим для максимальной
длины определяющего соотношения обозначение m.

2.1. Предположим, что |r2| = 0. Тогда r1 является подсловом в слове
wm′.
Если |w| = 1, то r ≡ r1 ≡ ws, и тогда w представляет в G элемент конечного порядка, что противоречит условию теоремы 1.
Далее считаем, что |w| > 1.
Предположим, что |r| ⩾ 2|w|.
Рассмотрим два соотношения: r′ ≡ www1 и r′′ ≡ ww1w, являющиеся циклическими перестановками друг друга. Если эти соотношения различны, то
w — кусок, что противоречит условию |w| > 1.
Если же r′ ≡ r′′, то существует слово u : w ≡ uq, ww1 ≡ up, и тогда r′ ≡
≡ uq+p = 1 в группе G. А тогда wq+p = 1 в группе G, и w представляет
элемент конечного порядка, что противоречит условию теоремы 1.
Пусть теперь |w| < |r| < 2|w|.
Пусть r ≡ r′r′′, где |r′| = |w|. Если |r′′| = 1, то в циклической перестановке
w∗ слова w, содержащей подслово r′, есть R-сокращение, что противоречит
условию теоремы.
Пусть |r′′| > 1. Поскольку r′r′′ — подслово в (w∗)2, r′ ≡ r′′r′′′, и тогда
соотношения r′′r′′′r′′ и r′′r′′r′′′ могут либо совпадать, либо не совпадать. В
первом случае, как и выше, приходим к выводу о конечности порядка w.
Во втором делаем вывод: r′′ — кусок, и, значит, |r′′| = 1, что приводит к
R-сократимости слова w и противоречию с условием теоремы 1.
Итак, случай |r2| = 0 невозможен.

2.2. Пусть |r2| > 0. Пусть существует натуральное число m′ < m такое, что для любой циклической перестановки w∗ слова w и для любого
m′′ < m′ слова (w∗)m′′ являются R-приведёнными. Предположим, что при
этом в слове wm′ есть R-сокращение и D — область с граничной меткой
ϕ(∂D) ≡ WU, соответствующая этому сокращению: W — подслово в wm′,
∥U∥ = 1, |W| > |w|(m′ − 1).
Чтобы доказать R-несократимость произвольной степени n слова, полученного из wm′ выполнением рассматриваемого R-сокращения, рассмотрим
кольцевую диаграмму M, полученную наклеиванием n экземпляров области D на внутреннюю сторону окружности с меткой wnm′, записанной по
часовой стрелке.

Нормальные формы для элементов бесконечного порядка
13

Граничные метки диаграммы M имеют вид: (∂M) = σ ∪ τ, ϕ(σ) ≡ w−nm′,
ϕ(τ) ≡ (wlU−1wr)n, где wl, wr — подслова в слове w : wm′ ≡ wlWwr.
Надо доказать, что на внутреннюю границу τ кольцевой диаграммы M
нельзя наклеить дэновскую область.
Обозначим копии области D, из которых построена диаграмма M, через
D1, . . . , Dn. Пусть σ ∩ ∂Di = [Ai, Bi] — пути с началами Ai и концами Bi :
ϕ([Ai, Bi]) ≡ W, i = 1, . . . n. Ориентация этих путей противоположна ориентации внешнего граничного цикла σ диаграммы M.
Наклеим на граничный цикл σ копии D1, . . . Dn области D так, чтобы они получались сдвигом вдоль σ областей D1, . . . Dn в направлении от
вершин Ai к вершинам Bi на путь с меткой w∗. Поскольку |W| > |w|, а
|ϕ([Bi, Ai+1])| < |w|, i = 1, . . . , n − 1, |ϕ([Bn, A1])| < |w| (иначе слово (w∗)m′−1

R-сократимо, что невозможно), то в полученной диаграмме M1 вершины
A1, B1, A2, B2, A3, B3, . . . An−1, Bn−1, An, Bn являются внутренними вершинами путей ∂Di ∩ σ, i = 1, . . . , n.
Поэтому, предположив, что в слове ϕ(τ) есть R-сокращение, то есть на
внутренний граничный цикл τ диаграммы M1 можно наклеить дэновскую
область D0, приходим к противоречию либо с условием C(3), либо с условием
T(6), либо со свободной несократимостью определяющих соотношений и
слова wnm′, либо с циклической R-несократимостью слова w.
Заметим, что циклическая R-несократимость слова w используется при
рассмотрении случая, когда область D0 пересекается с участком границы τ
по тому же подпути, что и с участком σ, то есть ∂D0 ∩ τ = ∂D0 ∩ σ = ∂D0 ∩
∩ [B1, A2].
Теорема 1 доказана.

3. Кольцевые сокращения

В этом пункте будет определён ещё один тип сокращений — кольцевые
сокращения, — позволяющий строить для R, R-несократимых слов w приведённые формы w0, степени которых R, R-несократимы.

Определение 8. R-сокращение в слове wm называется длинным, если
граничное слово полосы, определяющей это сокращение, не короче слова
w. Соответственно, эта полоса называется длинной. Длиной длинного R-сокращения и длиной соответствующей ему полосы Π будем называть число
k ∈ N, для которого выполнены условия: длина граничного слова полосы Π
не меньше, чем k|w| и строго меньше (k + 1)|w|.

Будем считать слово w циклически несократимым в свободной группе,
циклически R, R-несократимым, и кроме того, все его степени wn R-несократимыми. Также будем предполагать, что слово w представляет элемент
бесконечного порядка в группе G.

Определение 9. Циклическим сдвигом длинной полосы Π, длина которой равна (m − 1), назовём кольцевую диаграмму Cm(w)(Π), построенную