Теория игр

Учебно-методическое пособие

М. А. Федорова

Теория игр

| И  ДЕЛО |

Москва | 20178

УДК 330.4 
ББК 65в634
       Ф 33

Федорова, М. А.
Ф 33 
  Теория игр: учебно-методическое пособие  / М. А. Федорова. — М. : 
Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018.  — 122 с.

ISBN 978-5-7749-1320-6

Пособие содержит краткое изложение элементов теории игр, систематизированное 
в соответствии с учебной программой. По каждой теме приводится теоретический материал, рассматриваются решения типовых примеров и предлагаются задания для самостоятельной работы студентов.
Учебно-методическое пособие разработано в соответствии с ФГОС ВПО и предназначено для студентов, обучающихся по направлениям «Экономика», «Международные отношения».

УДК 330.4 
ББК 65в634  

ISBN 978-5-7749-1320-6

© ФГБОУ ВО «Российская академия народного хозяйства и государственной службы 
при Президенте Российской Федерации», 2018

Оглавление

Введение  .........................................................................................................7

Глава 1. Антагонистические матричные игры  ...............................9
1.1. Матричные игровые задачи. Составление модели игры  .................9

Задания для самостоятельного решения  ....................................13

1.2. Сокращение размерности игровой задачи  ..................................... 23

Задания для самостоятельного решения  ....................................25

1.3. Решение игровых задач в «чистых» стратегиях  ............................. 26

Задания для самостоятельного решения  ....................................29

1.4. Смешанные стратегии  ..................................................................... 30

1.5. Методы решения матричных игр 2 × 2  ........................................... 31

Задания для самостоятельного решения  ....................................36

1.6. Решение матричных игр 2 × n .......................................................... 39

Задания для самостоятельного решения  ....................................43

1.7. Решение матричных игр m × 2  ......................................................... 44

Задания для самостоятельного решения  ....................................47

1.8. Решение игр размерности n × n методом Крамера  ........................ 48

Задания для самостоятельного решения  ....................................52

1.9. Решение матричных игр m × n методами линейного 
программирования  .......................................................................... 53

Задания для самостоятельного решения  ....................................57

1.10. Итерационный метод решения игровых задач 
  размерности m × n  .......................................................................... 58

Задания для самостоятельного решения  ....................................64

Глава 2. Статистические игры  .............................................................66
2.1. Игры «с природой»  ........................................................................... 66

2.2. Критерии принятия решений в играх «с природой»  ..................... 70

Задания для самостоятельного решения  ....................................78

Глава 3. Неантагонистические бескоалиционные игры  ...........91
3.1. Биматричные игровые задачи  ........................................................ 91

3.2. Отношения доминирования в биматричных играх  ...................... 94

Задания для самостоятельного решения  .................................. 101

3.3. Способы решения биматричных игр 2 × 2  .................................... 102

Задания для самостоятельного решения  .................................. 106

Глава 4. Позиционные игры  ............................................................... 107
4.1. Структура позиционной игры  ....................................................... 107

4.2. Нормализация позиционной игры  ............................................... 108

Литература  ................................................................................................ 121

Теория игр представляет собой теоретические основы математических моделей принятия оптимальных решений в конфликтных 
ситуациях рыночных отношений, носящих характер конкурентной борьбы, в которой одна противоборствующая сторона выигрывает за счет другой.
В последние годы значение теории игр и интерес к ней существенно возросли во многих областях экономических и социальных 
наук. В настоящее время эта теория является, с одной стороны, достаточно абстрактным математическим направлением, с другой — 
довольно эффективным инструментом анализа и исследования 
экономических, политических, правовых, военных, технических 
и других проблемных ситуаций, связанных с необходимостью принятия стратегических решений.
Практическое применение теории игр довольно трудоемкое: 
нужно разработать и формализовать игровую модель, для чего 
очень часто необходимо выявить и учесть множество параметров.
Данное учебное пособие состоит из четырех глав.
Глава 1 посвящена методам принятия решений в антагонистических конфликтах. В этой главе вводятся основные понятия теории матричных игр, рассматриваются вопросы составления модели игры, уменьшения размерности задачи путем применения отношений доминирования, излагаются способы определения 
равновесных ситуаций в «чистых» стратегиях, приводятся аналитические, итерационные и графические методы определения оптимальных смешанных стратегий в зависимости от размерности 
задачи.
В главе 2 рассматриваются методы принятия решений в играх 
с «природой», являющихся разновидностью антагонистических игр.

Введение

Теория игр

В главе 3 приводятся методы поиска оптимальных решений 
в неантагонистических конфликтных ситуациях.
Глава 4 посвящена позиционным играм. В ней описывается 
структура позиционной игры, рассматриваются примеры нормализации позиционных игр с неполной и полной информацией.
Каждая глава содержит теоретический материал, разобранные 
задачи и задачи для самостоятельного решения.

Глава 1. Антагонистические 
матричные игры

1.1. Матричные игровые задачи. 
Составление модели игры

Теория игр —  это математическая теория конфликтных ситуаций.
Игра —  математическая модель ситуации, характеризуемая 
следующими признаками:
1) наличие нескольких (два и более) участников;
2) неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких (два и более) вариантов 
действий;
3) различие (несовпадение) интересов участников;
4) взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения 
всех участников;
5) наличие правил поведения, известных всем участникам.

В игре могут сталкиваться интересы двух и более сторон. Целью 
каждого участника игры является получение возможного большего выигрыша.
Классификация игр осуществляется по ряду направлений.

• 
По количеству игроков: парные игры и игры п игроков.
• 
По количеству стратегий: конечные и бесконечные. Если 
каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий, то игра называется конечной. Если хотя бы один 
из игроков имеет бесконечное число возможных стратегий, 
то такая игра называется бесконечной.
• 
По характеру взаимоотношений: бескоалиционные, коалиционные, кооперативные.

Теория игр

• 
По характеру выигрышей: игры с нулевой суммой (или антагонистические) и игры с ненулевой суммой (неантагонистические). В играх с нулевой суммой сумма выигрышей игроков 
в каждой партии равна нулю, цели игроков в ней прямо противоположны: выигрыш одного игрока происходит только 
за счет проигрыша другого. В играх с ненулевой суммой критерии для игроков различны, сумма выигрышей нулю не равна.
• 
По количеству ходов: одношаговые и многошаговые. В одношаговых играх каждый игрок делает только один ход, а далее 
идет распределение выигрышей. Многошаговые игры делятся на позиционные, стохастические, дифференциальные. 
В позиционных играх может быть несколько игроков, каждый 
из которых может последовательно во времени делать несколько ходов. Выигрыши определяются в зависимости 
от исходов игры. Если в игре производятся ходы, приводящие к выбору определенных позиций, причем имеется 
определенная вероятность возврата на предшествующую 
позицию, такая игра называется стохастической. Если 
в многошаговой игре допускается делать ходы непрерывно 
и действия игроков описываются дифференциальными 
уравнениями, такая игра называется дифференциальной.
• 
В зависимости от состояния информации: игры с полной 
и неполной информацией. Если на каждом шаге игры каждому игроку известно, какие выборы сделаны игроками ранее, то это игра с полной информацией. Если игроку не все 
известно о предыдущих выборах, то речь идет об игре с неполной информацией.
• 
По виду функций выигрыша: матричные, биматричные, непрерывные. Матричная игра —  это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой выигрыши первого игрока 
равны проигрышам второго и наоборот; задается в виде одной матрицы. Биматричная игра —  это конечная игра двух 
игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого 
игрока сосредоточены в матрице игры данного игрока; данный вид игр задается двумя матрицами. Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока 
является непрерывной в зависимости от стратегий.

В экономике нередко приходится сталкиваться с ситуацией, когда 
один из участников безразличен к результату игры. Такие игры