Математический анализ и инструментальные методы решения задач. В 2 кн. Кн. 2

У Ч Е Б Н И К И  П Р Е З И Д Е Н Т С К О Й  А К А Д Е М И И

| И  ДЕЛО |
Москва | 2019

В.Г. Чирский, К.Ю. Шилин

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 
АНАЛИЗ
и инструментальные методы 
решения задач 

Книга 2

__________________ 
Рекомендовано Федеральным государственным 
бюджетным образовательным учреждением 
высшего образования «Российская академия 
народного хозяйства и государственной службы 
при Президенте Российской Федерации» 
в качестве учебника по дисциплине 
«Математический анализ» для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению подготовки 38.03.01 
Экономика

УДК 517
ББК 22.161
Ч-65

Рецензенты:
В.А. Артамонов, д-р физико-математических наук, профессор
М.В. Шамолин, д-р физико-математических наук, профессор

Чирский, В.Г., Шилин, К.Ю.
Ч-65
Математический анализ и инструментальные методы решения задач:
в 2 кн. Книга 2: учебник / В. Г. Чирский, К. Ю. Шилин. –– М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2019. –– 272 с. –– (Учебники Президентской академии).

ISBN 978-5-7749-1383-1 (общ.)
ISBN 978-5-7749-1385-5 (кн. 2)

В этой книге содержатся материалы курсов «Дополнительные главы математического анализа» и «Математико-экономические методы», читаемых
на втором курсе отделения экономики экономического факультета Института экономики, математики и информационных технологий РАНХиГС. Кроме стандартных разделов математического анализа, в нем содержатся первоначальные сведения из вариационного исчисления, теории оптимального
управления и теории дискретной оптимизации.
Как и в первой части книги, каждая глава, как правило, состоит из четырех параграфов. Первый из них содержит основные определения, формулировки теорем и простые доказательства. Во втором параграфе приведены
доказательства теорем и добавлены сведения, полезные для более глубокого
усвоения материала. Третий содержит решения типовых задач. В четвертом
параграфе эти же задачи решены с использованием математического пакета
Wolfram Mathematica.
По мнению авторов, этот подход сближает теоретические курсы математики с курсом инструментальных методов и позволяет студентам с большим
пониманием использовать компьютерные программы.

УДК 517
ББК 22.161
ISBN 978-5-7749-1383-1 (общ.)
ISBN 978-5-7749-1385-5 (кн. 2)

© ФГБОУ ВО «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации», 2019

Оглавление

33. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Необходимый
признак сходимости. Ряды с неотрицательными членами.
Теоремы сравнения
11
33.1. Определения и формулировки теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
◁ Понятие числового ряда
◁ Сходящиеся и расходящиеся ряды
◁ Остатки
ряда
◁ Свойства суммы ряда
◁ Критерий Коши сходимости ряда
◁ Бесконечная геометрическая прогрессия
◁ Ряды с неотрицательными членами. Теоремы
сравнения
◁ Неотрицательные ряды и бесконечные 𝑞-ичные дроби
33.2. Доказательства теорем сравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33.3. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
34. Интегральный признак сходимости Маклорена—Коши
23
34.1. Интегральный признак Маклорена—Коши. Сходимость
ряда ∑∞
𝑛=􏷠 1/𝑛𝑝. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
◁ Ряды и несобственные интегралы
◁ Интегральный признак сходимости
Маклорена—Коши
34.2. Доказательство интегрального признака сходимости Маклорена—
Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
34.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
34.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
35. Признаки Даламбера, Коши, Раабе, Куммера и Гаусса
31
35.1. Признаки сходимости Коши и Даламбера неотрицательных рядов. . 31
35.2. Признаки сходимости Раабе, Куммера, Бертрана и Гаусса . . . . . . . . . 33
◁ Доказательство теоремы 35.3 ◁ Доказательство теоремы 35.6 ◁ Признак сходимости Раабе
◁ Признак Куммера
35.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
35.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
36. Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Лейбница, Абеля и Дирихле
45
36.1. Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость. Формулировки признаков Лейбница, Абеля и Дирихле . . . 45
◁ Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость
◁ Признак сходимости Лейбница
◁ Формулировки признаков Дирихле и Абеля
36.2. Суммирование по частям. Доказательства признаков Дирихле
и Абеля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
36.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
36.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Оглавление

37. Перестановки членов ряда. Теоремы Дирихле и Римана
57
37.1. Перестановки членов ряда. Теорема Дирихле и формулировка
теоремы Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
37.2. Доказательство теоремы Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
37.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
37.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
38. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная
сходимость и равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости
63
38.1. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная сходимость и равномерная сходимость. Формулировка критерия Коши равномерной сходимости ряда. Признак Вейерштрасса мажорантной сходимости. Формулировки признаков Абеля и Дирихле
равномерной сходимости ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

◁ Поточечная сходимость функциональной последовательности и ряда
◁ Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов
◁ Критерии Коши равномерной сходимости последовательности и ряда
◁ sup-критерий
равномерной сходимости
◁ Теорема Вейерштрасса о мажорантной сходимости
◁ Формулировки признаков Абеля и Дирихле равномерной сходимости ряда
38.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
38.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
39. Использование равномерной сходимости
71
39.1. Формулировки теорем о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций, почленном интегрировании и дифференцировании функциональных рядов . . . . . . . . . . . . 71

◁ Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций
◁ Равномерная сходимость и интегрирование
◁ Равномерная сходимость
и дифференцирование
39.2. Доказательства теорем. Теорема Дини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

◁ Доказательство теоремы 39.1 ◁ Признак Дини ◁ Доказательство теоремы 39.2
◁ Доказательство теоремы 39.3
39.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
40. Степенные ряды. Радиус сходимости, интервал сходимости
79
40.1. Радиус сходимости степенного ряда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
40.2. Формула для вычисления радиуса сходимости в общем случае . . . . 82
40.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
40.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
41. Непрерывность степенного ряда. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов
87
41.1. Свойства степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

◁ Непрерывность степенного ряда ◁ Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов
◁ Умножение и деление степенных рядов
41.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
41.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
41.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Оглавление
7

42. Ряд Тейлора
97

42.1. Ряд Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

◁ Ряд Тейлора ◁ Сходимость ряда Тейлора к его производящей функции ◁ Разложение основных элементарных функций в ряды Тейлора
42.2. Сходимость ряда Тейлора не к производящей функции. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

◁ Доказательство теоремы 42.4
42.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
42.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
43. Ряды Фурье
111

43.1. Ортонормированные системы функций. Тригонометрические ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

◁ Ортонормированные системы функций
◁ Тригонометрический ряд Фурье, его
коэффициенты
◁ Коэффициенты Фурье четных и нечетных функций
43.2. Теорема о сходимости ряда Фурье (без доказательства). Обобщенные ряды Фурье. Разложения по косинусам и по синусам . . . . . . . . .116

◁ Сходимость ряда Фурье в точке
◁ Обобщенные тригонометрические ряды
◁ Разложения только по косинусам или только по синусам
43.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
43.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
44. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная
сходимость.
Признаки
равномерной
сходимости
127

44.1. Несобственные
интегралы,
зависящие
от
параметра,
и
их
сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

◁ Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость
◁ Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра
◁ Признак Вейерштрасса мажорантной сходимости
◁ Несобственные интегралы по конечному промежутку, зависящие от параметра
44.2. Доказательства
теорем.
Формулировки
признаков
Абеля
и Дирихле равномерной сходимости интегралов, зависящих от
параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

◁ Доказательства теорем
◁ Признаки Абеля и Дирихле
44.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
44.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
45. Предельный переход под знаком несобственного интеграла. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего
от параметра
139

45.1. Предельный переход под знаком несобственного интеграла.
Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
45.2. Доказательства теорем. Теорема Дини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
45.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143
45.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

Оглавление

46. Дифференцирование по параметру несобственных интегралов, зависящих от параметра. Интегрирование несобственного интеграла по параметру
147

46.1. Дифференцирование и интегрирование несобственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
46.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
46.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152
47. Интегралы Эйлера
155

47.1. Гамма-функция и бета-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

◁ Гамма-функция
◁ Бета-функция
◁ Полезные формулы
47.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
47.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
47.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
48. Интеграл Эйлера—Пуассона. Нормальное распределение
случайной величины
165

48.1. Интеграл Эйлера—Пуассона. Нормальное распределение. Вычисление его моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

◁ Интеграл Эйлера—Пуассона
◁ Нормальное распределение случайной
величины
◁ Моменты нормального распределения
◁ Многомерное нормальное распределение
48.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
48.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170
48.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173
49. Функционал. Линейное нормированное пространство. Метрическое пространство. Сходимость в метрическом пространстве
175

49.1. Функционал. Линейное нормированное пространство. Метрическое пространство. Сходимость в метрическом пространстве . . . . . .175

◁ Простейшая задача вариационного исчисления
◁ Сходимость в метрическом
пространстве
◁ Равномерная сходимость и сходимость в среднем
49.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
49.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
50. Полные метрические пространства. Понятие о топологических пространствах
185

50.1. Полные метрические пространства и их примеры . . . . . . . . . . . . . . . .185

◁ Полные метрические пространства ◁ Примеры полных метрических пространств
50.2. Доказательства теорем. Пополнение метрического пространства.
Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

◁ Доказательства теорем
◁ Пополнение метрического пространства
◁ Топологические пространства
50.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

Оглавление
9

51. Непрерывность функционала. Вариация функционала. Необходимое условие экстремума функционала
193
51.1. Непрерывность функционала. Вариация функционала. Необходимое условие экстремума функционала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
◁ Непрерывность функционала
◁ Вариация функционала
◁ Экстремум
функционала
51.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
51.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196
52. Уравнение Эйлера
199
52.1. Уравнение Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
◁ Вычисление вариации функционала
◁ Экстремали
◁ Случаи интегрируемости уравнения Эйлера
◁ Уравнение Эйлера для математической модели задачи
Рамсея ◁ Задача с подвижной границей. Условия трансверсальности ◁ Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления
52.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205
52.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208
52.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210
53. Элементы теории оптимального управления
213
53.1. Функция Понтрягина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213
53.2. Стандартная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215
◁ Схема использования принципа максимума
53.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217
53.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220
54. Принцип максимума и вариационное исчисление
229
54.1. Принцип максимума и вариационное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . .229
◁ Сведение задачи вариационного исчисления к принципу максимума Понтрягина
◁ Достаточные условия оптимальности
54.2. Сопряженная функция как скрытая цена. Задача с неопределенным временем окончания. Задача с дисконтным множителем. . . . . .231
◁ Задача с переменным временем окончания
◁ Задача с дисконтным множителем
54.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234
54.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236
55. Дискретная оптимизация
249
55.1. Динамическое программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249
◁ Постановка задачи
◁ Свойства целевой функции
55.2. Вывод уравнения Беллмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252
55.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252
55.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256
56. Уравнение Эйлера и принцип максимума в задачах дискретной оптимизации
257
56.1. Уравнение Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257
56.2. Принцип максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258
56.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259
56.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263
Рекомендуемая литература
265
Предметный указатель
267