Математический анализ и инструментальные методы решения задач. В 2 кн. Кн. 1

У Ч Е Б Н И К И  П Р Е З И Д Е Н Т С К О Й  А К А Д Е М И И

| И  ДЕЛО |
Москва | 2019

В.Г. Чирский, К.Ю. Шилин

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 
АНАЛИЗ
и инструментальные методы 
решения задач 

Книга 1

__________________ 
Рекомендовано Федеральным государственным 
бюджетным образовательным учреждением 
высшего образования «Российская академия 
народного хозяйства и государственной службы 
при Президенте Российской Федерации» 
в качестве учебника по дисциплине 
«Математический анализ» для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению подготовки 38.03.01 
Экономика

УДК 517

ББК 22.161

Ч-65

Рецензенты:

В.А. Артамонов, д-р физико-математических наук, профессор

М.В. Шамолин, д-р физико-математических наук, профессор

Чирский, В.Г., Шилин, К.Ю.

Ч-65
Математический анализ и инструментальные методы решения задач:
в 2 кн. Книга 1: учебник / В. Г. Чирский, К. Ю. Шилин. –– М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2019. –– 464 с. –– (Учебники Президентской академии).

ISBN 978-5-7749-1383-1 (общ.)

ISBN 978-5-7749-1384-8 (кн. 1)

В этой книге содержатся материалы курса «Математический анализ», читаемого в первом и втором семестрах на отделении экономики экономического факультета Института экономики, математики и информационных технологий РАНХиГС.
Как правило, каждая глава состоит из четырех параграфов. Первый из них
содержит основные определения, формулировки теорем и простые доказательства. Во втором параграфе приведены доказательства теорем и добавлены
сведения, полезные для более глубокого усвоения материала. Третий содержит решения типовых задач. В четвертом параграфе эти же задачи решены
с использованием математического пакета Wolfram Mathematica.
По мнению авторов, этот подход сближает теоретические курсы математики с курсом инструментальных методов и позволяет студентам с большим
пониманием использовать компьютерные программы.

УДК 517

ББК 22.161
ISBN 978-5-7749-1383-1 (общ.)

ISBN 978-5-7749-1384-8 (кн. 1)

© ФГБОУ ВО «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации», 2019

Оглавление

Введение
13

◁ Зачем учить математический анализ?
◁ Элементы математической логики.
Немного о теоремах и определениях
1. Множества и отображения
19
1.1. Множества и операции над ними. Отображения множеств. . . . . . . . . 19
◁ Понятие множества
◁ Подмножества
◁ Операции над множествами
◁ Декартово произведение множеств
◁ Бинарные отношения
◁ Отображения и их
свойства
1.2. Бинарные отношения конечных множеств. Классы эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
◁ Классы эквивалентности
1.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
◁ Операции со множествами
◁ Операции с целочисленными вычетами
2. Множество действительных чисел
31
2.1. Действительные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
◁ Измерение отрезков. Аксиома отделимости ◁ Верхняя и нижняя грани ◁ Стягивающиеся отрезки
◁ Предельные точки
◁ Счетные и несчетные множества
◁ Несчетные множества
2.2. Приближенные вычисления. Натуральные, целые, рациональные
числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
◁ Приближенные вычисления
◁ Натуральные числа
◁ Целые числа
◁ Рациональные числа
2.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
◁ Целые и действительные числа ◁ Двоичные и десятичные числа ◁ Абсолютное
значение и округление чисел
◁ Точность вычислений
3. Предел последовательности, предел функции
53
3.1. Предел последовательности. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
◁ Определение предела последовательности, предела функции ◁ Единственность
предела
◁ Бесконечно малые величины
◁ Арифметические свойства предела
◁ Односторонние пределы. Пределы при стремлении к бесконечности
3.2. Предел частного. Предел по базе. Бесконечно большие последовательности и функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
◁ Предел частного ◁ Понятие предела по базе ◁ Бесконечно большие последовательности, бесконечно большие функции
3.3. Примеры вычисления пределов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
◁ Вычисление пределов

Оглавление

4. Предельный переход в неравенствах,
первый замечательный предел
69
4.1. Предельный переход в неравенствах. Первый замечательный
предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2. Доказательство теоремы о первом замечательном пределе. . . . . . . . 73
4.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
◁ Первый замечательный предел
5. Предел монотонной и ограниченной последовательности,
функции, экспонента
81
5.1. Предел монотонной и ограниченной последовательности, функции, число 𝕖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
◁ Предел монотонной и ограниченной последовательности ◁ Предел монотонной
и ограниченной функции
◁ Число 𝕖
5.2. Доказательство теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
◁ Доказательство теоремы о существовании предела последовательности
◁ Доказательство теоремы о втором замечательном пределе
◁ Еще о числах 𝕖 и 𝜋
5.3. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
◁ Второй замечательный предел
6. Критерий Коши существования предела
последовательности, предела функции
89
6.1. Критерий Коши существования предела последовательности, предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
◁ Критерий Коши существования предела последовательности ◁ Критерий Коши
существования предела функции
6.2. Доказательства достаточности в теоремах критерия Коши. Полнота числовой прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
◁ Доказательство достаточности в теореме критерий Коши для последовательности
◁ Доказательство достаточности в теореме критерий Коши для функции
◁ Полнота числовой прямой
6.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.
Непрерывность функции
97
7.1.
Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
◁ Определение непрерывности ◁ Точки разрыва и их классификация ◁ Непрерывность многочленов
◁ Непрерывность рациональной функции
◁ Непрерывность монотонной функции
◁ Непрерывность показательной функции, логарифмической функции и степенной функции
◁ Непрерывность тригонометрических
функций
◁ Непрерывность обратных тригонометрических функций
7.2.
Теорема о пределе сложной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
7.3.
Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
7.4.
Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
◁ Кусочно-заданная функция ◁ Разрывы первого и второго рода ◁ Несуществующий предел
8. Вычисление некоторых типов пределов. Символы Ландау
109
8.1. Вычисление некоторых типов пределов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
8.2. Символы Ландау. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

Оглавление
7

8.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
8.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
◁ Вычисление некоторых типов пределов
◁ Решение задач
9. Свойства функций, непрерывных на отрезке
119
9.1. Промежуточные значения непрерывной на отрезке функции.
Ограниченность непрерывной на отрезке функции . . . . . . . . . . . . . . .119
◁ Промежуточные значения непрерывной на отрезке функции ◁ Ограниченность
непрерывной на отрезке функции. Теоремы Вейерштрасса
◁ Обратная функция
9.2. Равномерная непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
9.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
9.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
◁ Нахождение обратной функции
10. Производная и дифференциал
127
10.1. Производная и ее основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
◁ Дифференцируемость функции ◁ Производная ◁ Касательная к графику функции
10.2. Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
◁ Понятие дифференциала числовой функции
◁ Геометрический и механический смысл дифференциала
◁ Дифференциал суммы, разности, произведения
и частного функций
10.3. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134
10.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
◁ Вычисление производной
◁ Вычисление дифференциала
11. Вычисление производных
137
11.1. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
◁ Дифференцирование суммы, произведения и частного ◁ Производные основных элементарных функций
11.2. Производная произведения и частного, производная обратной
функции, производная сложной функции, инвариантность формы
первого дифференциала, эластичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
◁ Завершение доказательства теоремы о производной суммы, разности, произведения и частного
◁ Производная обратной функции
◁ Производные обратных тригонометрических функций
◁ Производная сложной функции
◁ Производная функции, заданной параметрически
◁ Инвариантность формы первого
дифференциала
◁ Эластичность и ее свойства
11.3. Примеры вычисления производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
11.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
◁ Вычисление производных сложных функций ◁ Уравнение касательной к функции в заданной точке ◁ Анимация уравнения касательной к функции в заданной
точке
12. Производные и дифференциалы высших порядков
153
12.1. Последовательные производные и дифференциалы . . . . . . . . . . . . . .153
◁ Последовательные производные
◁ Вычисление некоторых производных 𝑛-го
порядка ◁ Линейное свойство производных высших порядков ◁ Вторая производная функции, заданной параметрически ◁ Дифференциалы
высших порядков
12.2. Производная высшего порядка произведения двух функций. . . . . . .156
12.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
12.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
◁ Вычисление производных высших порядков

Оглавление

13. Основные теоремы дифференциального исчисления
159
13.1. Теоремы Ферма, Ролля, необходимое условие экстремума
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

◁ Теорема Ферма
◁ Теорема Ролля
13.2. Теоремы Лагранжа, Коши. Критерий постоянства функции
на интервале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

◁ Теорема Лагранжа. Критерий постоянства функции на интервале
◁ Теорема
Коши
13.3. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
13.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

◁ Поиск максимума (минимума) функции на отрезке ◁ Локальный максимум (минимум) в окрестностях точки
14. Формулы Тейлора
169
14.1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
и с остаточным членом в форме Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169

◁ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ◁ Формула Тейлора
с остаточным членом в форме Пеано
14.2. Формула Тейлора с другими остаточными членами . . . . . . . . . . . . . . .172
14.3. Решение задач. Разложения функций по формуле Тейлора . . . . . . . .173
14.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178

◁ Разложение функции по формуле Тейлора ◁ Демонстрация приближенных вычислений значения функции в окрестностях заданной точки
15. Приложения дифференциального исчисления
к исследованию функций
181
15.1. Монотонность функции и экстремумы функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

◁ Монотонность функции
◁ Достаточные условия экстремума функции
15.2. Выпуклость графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

◁ Выпуклость непрерывной функции ◁ Выпуклость дифференцируемой функции
◁ Выпуклость дважды дифференцируемой функции
◁ Точки перегиба
◁ Свойства выпуклых функций
15.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190
15.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192

◁ Поиск точек экстремума и перегиба функции
◁ График функции и ее производных первого и второго порядка
16. Правила Лопиталя
195
16.1. Правила Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195

◁ Неопределенность вида 0/0
◁ Неопределенность вида ∞/∞
◁ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (в ослабленных предположениях)
16.2. Доказательства теорем. Теорема Штольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
16.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
16.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204

◁ Вычисление пределов, неопределенности
17. Построение графиков функций
207
17.1. Построение графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207

◁ Схема построения графиков
◁ Преобразования графиков
◁ Графики основных элементарных функций
◁ Построение кривых, заданных параметрически
◁ Построение кривых, заданных уравнением в полярных координатах

Оглавление
9

17.2. Построение различных графиков в Wolfram Mathematica . . . . . . . . .224

◁ График функции вида 𝑦 = 𝑓(𝑥) ◁ График функции вида 𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦) = 𝑎 ◁ График
параметрической функции
◁ График в полярной системе координат
◁ Анимированная кардиоида
◁ Анимированная циклоида
18. Пространство ℝ𝑛, множества в нем. Отображения
и функции
229

18.1. Пространство ℝ𝑛, множества в нем. Отображения и функции . . . . . .229

◁ Пространство ℝ𝑛, метрическое пространство
◁ Внутренние, предельные, граничные точки множества в метрическом пространстве
◁ Открытые и замкнутые
множества в метрическом пространстве ◁ Компактные множества в метрическом
пространстве
18.2. Функции и отображения. Предел, непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . .233

◁ Функции и отображения
◁ Линии уровня, поверхности уровня
◁ Предел,
непрерывность функции и отображения
◁ Функции Кобба—Дугласа
18.3. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238

◁ Доказательства теорем 18.1, 18.2, 18.3 ◁ Доказательство теорем 18.4, 18.5, 18.6
◁ Доказательство теорем 18.9, 18.10 и 18.11
18.4. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245
18.5. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

◁ Скалярное произведение векторов
◁ Расстояние между точками
19. Дифференциальное
исчисление
функций
нескольких
переменных
249

19.1. Дифференцируемость функции многих переменных. . . . . . . . . . . . . .249

◁ Определение дифференцируемости функции многих переменных. Частные
производные ◁ Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких
переменных
◁ Дифференциал функции многих переменных
◁ Дифференциал отображения. Матрица Якоби
◁ Производная сложной функции
◁ Инвариантность формы первого дифференциала
◁ Свойства матрицы Якоби. Якобиан
◁ Геометрические приложения. Касательная плоскость
◁ Производная по направлению, градиент
19.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259
19.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263
19.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267

◁ Дифференцирование функций нескольких переменных
◁ Градиент функции
20. Производные
и
дифференциалы
высших
порядков.
Формулы
Тейлора.
Экстремумы
функций
нескольких
переменных
269

20.1. Производные и дифференциалы высших порядков. . . . . . . . . . . . . . .269

◁ Производные высших порядков
◁ Дифференциалы высших порядков
◁ Второй дифференциал функции. Матрица Гессе ◁ Формулы Тейлора ◁ Экстремумы
функций нескольких переменных
◁ Достаточные условия экстремума
20.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276

◁ Метод наименьших квадратов
20.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282
20.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283

Оглавление

21. Неявная функция
287
21.1. Формулировки теорем о неявной функции и системе неявных
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287
◁ Теорема о неявной функции, определенной уравнением 𝐹(𝑥, 𝑦) = 􏷟
◁ Теорема
о неявной функции, определенной уравнением 𝐹 􏿴𝑥􏷠, ..., 𝑥𝑛, 𝑦􏿷 = 􏷟
◁ Теорема
о системе неявных функций
21.2. Доказательство теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .290
◁ Доказательство теоремы 21.1
◁ Геометрическая иллюстрация к теореме 21.4
21.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294
21.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296
22. Условный экстремум
299
22.1. Определение условного экстремума, метод множителей
Лагранжа, достаточные условия условного экстремума. . . . . . . . . . . .299
◁ Определение условного экстремума
◁ Необходимые условия условного
экстремума ◁ Метод множителей Лагранжа ◁ Достаточные условия экстремума.
Окаймленный гессиан
22.2. Доказательство теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302
◁ Понятие независимости функций
22.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .306
22.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308
23. Определенный интеграл
309
23.1. Понятие площади плоской фигуры. Задача о вычислении площади
криволинейной трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309
◁ Площадь многоугольника
◁ Площадь плоской фигуры
◁ Разбиение отрезка. Интегральные суммы. Определение интеграла (по Риману)
◁ Необходимое
условие интегрируемости функции
◁ Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости
◁ Критерий интегрируемости функции ◁ Интегрируемость монотонной функции.
Интегрируемость непрерывной функции
23.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .315
23.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324
23.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325
24. Свойства определенного интеграла и его вычисление
327
24.1. Свойства определенного интеграла и его вычисление
(формулировки) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .327
◁ Свойства определенного интеграла
◁ Теоремы о среднем значении
◁ Определенный интеграл с переменным верхним пределом
◁ Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона–Лейбница)
◁ Замена переменной
и интегрирование по частям в определенном интеграле
24.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331
◁ Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона–Лейбница)
24.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339
24.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340
25. Неопределенный
интеграл,
таблица
неопределенных
интегралов и правила интегрирования
343
25.1. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .343
◁ Основные определения
◁ Таблица основных интегралов
◁ Правила
интегрирования
◁ Представления рациональных функций суммами простейших дробей
◁ Неопределенный интеграл от рациональной функции
◁ Ин