Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2019, № 2

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
 
Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Тульский государственный университет» 
 

 
 
 
16+ 
ISSN 2071-6168 
 
 
 
 
 
 
 
ИЗВЕСТИЯ  
ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 
 
 
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ 
 
 
Выпуск 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Тула 
Издательство ТулГУ 
2019 

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ:                                                                                                     ISSN 2071-6168 

Председатель  
Грязев М.В., д-р техн. наук, ректор Тульского государственного университета. 
Заместитель председателя  
Воротилин М.С., д-р техн. наук, проректор по научной работе. 
Ответственный секретарь  
Фомичева О.А., канд. техн. наук, начальник Управления научно-исследовательских работ. 
Главный редактор 
Прейс В.В., д-р техн. наук, заведующий кафедрой. 

Члены редакционного совета: 
Батанина И.А., д-р полит. наук,  –                                    
отв. редактор серии «Гуманитарные науки»; 
Берестнев М.А., канд. юрид. наук, –                                   
отв. редактор серии «Экономические и юридические 
науки». Часть 2. «Юридические науки»; 
Борискин О.И., д-р техн. наук, –                                               
отв. редактор серии «Технические науки»; 
Егоров В.Н., канд. пед. наук, –  
отв. редактор серии «Физическая культура. Спорт»;

Заславская О.В., д-р пед. наук, –                                       
отв. редактор серии «Педагогика»; 
Качурин Н.М., д-р техн. наук, –                                             
отв. редактор серии «Науки о Земле»; 
Понаморева О.Н., д-р хим. наук, –                                   
отв. редактор серии «Естественные науки»; 
Сабинина А.Л., д-р экон. наук, –                                       
отв. редактор серии «Экономические и юридические 
науки». Часть 1. «Экономические науки».  
 
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ: 

Ответственный редактор 
Борискин О.И., д-р техн. наук (ТулГУ, г. Тула). 
Заместитель ответственного редактора 
Ларин С.Н., д-р техн. наук (ТулГУ, г. Тула). 
Ответственный секретарь 
Яковлев Б.С., канд. техн. наук (ТулГУ, г. Тула). 

Члены редакционной коллегии: 
Александров А.Ю., д-р техн. наук (Ковровская
государственная технологическая академия  
им. В.А. Дегтярева, г. Ковров); 
Баласанян Б.С., д-р техн. наук (Государственный 
инженерный университет Армении, г. Ереван,  
Армения); 
Васин С.А., д-р техн. наук (ТулГУ, г. Тула); 
Дмитриев А.М., д-р техн. наук (Московский  
государственный технический университет  
«СТАНКИН», г. Москва); 
Запомель Я., д-р техн. наук (Технический  
университет Остравы, г. Острава, Чехия); 
Колтунович Т.Н., д-р техн. наук (Люблинский 
технологический университет, г. Люблин, Польша); 
Кристаль М.Г., д-р техн. наук (Волгоградский 
государственный технический университет,  
г. Волгоград); 
 

Ларкин Е.В., д-р техн. наук (ТулГУ, г. Тула); 
Мельников В.Е., д-р техн. наук (Национальный 
исследовательский университет «МАИ», г. Москва); 
Мещеряков В.Н., д-р техн. наук (Липецкий  
государственный технический университет,  
г. Липецк); 
Мозжечков В.А., д-р техн. наук  
(АО «Тулаэлектропривод», г. Тула); 
Распопов В.Я., д-р техн. наук (ТулГУ, г. Тула); 
Савин Л.А., д-р техн. наук (Орловский государственный 
технический университет, г. Орел); 
Степанов В.М., д-р техн. наук (ТулГУ, г. Тула); 
Сычугов А.А., канд. техн. наук (ТулГУ, г. Тула); 
Трегубов В.И., д-р техн. наук (АО «НПО «СПЛАВ»,  
г. Тула); 
Яцун С.Ф., д-р техн. наук (Юго-Западный  
государственный университет, г. Курск). 

 
Сборник зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий  
и массовых коммуникаций (Роскомнадзор). ПИ № ФС77-61104 от 19 марта 2015 г; 
Подписной индекс сборника 27851 по Объединённому каталогу «Пресса России»; 
Сборник включен в «Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук, на соискание учёной степени доктора наук», 
утвержденный ВАК Минобрнауки РФ, по следующим научным специальностям: 
05.02.02 Машиноведение системы приводов и детали машин;
05.02.07 Технология и оборудование механической и физико-технической обработки;
05.02.08 Технология машиностроения; 
05.02.09 Технологии и машины обработки давлением;
05.02.13 Машины, агрегаты и процессы (по отраслям);
05.02.23 Стандартизация и управление качеством продукции;
05.09.03 Электротехнические комплексы и системы;
05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям);
05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям); 
05.13.11 Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей.
 
© Авторы научных статей, 2019 
© Издательство ТулГУ, 2019 

Системный анализ, управление и обработка информации 
 

 
3

 
 
 
 
 
 
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА 
ИНФОРМАЦИИ 
 
 
 
УДК 519.837 
 
ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БЛУЖДАНИЙ  
ПО ПОЛУМАРКОВСКОМУ ПРОЦЕССУ 
 
Е.В. Ларкин  
 
Исследуется проблема практического расчета временных характеристик 
блужданий по полумарковским процессам. Показано, что практический расчет сводится к решению двух типов задач: определение временного интервала блуждания от 
одного состояния до другого и определение временного интервала возврата в состояние. Получены зависимости для решения указанных задач с использованием операций 
формирования характеристической матрицы, возведения характеристической матрицы в степень, выделения элемента матрицы и определения плотности распределения по характеристической функции. Показано, что зависимости сложны для алгоритмизации. Получены формулы для прямого расчета математических ожиданий и 
дисперсий с использованием введенной операции свертки числовых характеристик полумарковских матриц. Показано, что и в этом случае расчет числовых характеристик 
сложен в реализации. Предложены алгоритм и система математических выражений 
для последовательного упрощения полумарковского процесса, позволяющего сократить вычислительную сложность анализа.  
Ключевые слова: полумарковский процесс, числовые характеристики, характеристическая функция, свертка, рекурсивная процедура. 
 
1. Введение. Полумарковские процессы [1, 2, 3, 4] являются основным математическим аппаратом, с помощью которого могут быть рассчитаны временные характеристики выполнения мобильными робототехническими комплексами целевых задач [5, 6, 7]. Вместе с тем, последовательность операций, выполняемых мобильными роботами при достижении цели, может быть обставлена проверкой множества условий, проверка которых приводит к усложнению циклограмм управления мобильными роботами и их элементами [8, 9], а следовательно, к усложнению задачи расчета временных характеристик. В самом общем случае структура полумарковского процесса, описывающего циклограмму,  представляет собой полный ориентированный граф с петлями, задача определения временных ха

Известия ТулГУ. Технические науки. 2019. Вып. 2 
 

 
4

рактеристик блуждания по которому является далеко нетривиальной задачей. Вместе с тем, для оценки ряда параметров управления достаточно 
рассчитать основные числовые характеристики плотности распределения 
времени блуждания, такие, как математическое ожидание и дисперсия. 
Методики расчета, пригодные для алгоритмизации в настоящее время распространены недостаточно широко, что обусловило актуальность и релевантность настоящей работы. 
2. Полумарковская матрица и ее производные 
Полумарковский процесс [1, 2, 3, 4] определяется полумарковской 
матрицей  
( )
( )
[
]
t
h
t
n
m,
=
h
,                                                (1)  

где 
( )
( )t
f
p
t
h
n
m
n
m
n
m
,
,
,
⋅
=
 - взвешенная плотность распределения  полу
марковской матрицы; 
N
n
m
≤
≤
,
1
; 
n
m
p ,  - элемент стохастической матри
цы; 
( )t
f
n
m,
 - элемент матрицы плотностей распределения; 

[
]
n
m
p ,
=
p
;                                                    (2) 
( )
( )
[
]
t
f
t
n
m,
=
f
.                                                 (3) 
Будем считать, что состояния полумарковского процесса разделяются на поглощающие и непоглощающие, полупоглощающие состояния 
отсутствуют. 
Для непоглощающих состояний справедливы следующие свойства: 

1
1
,
=

=

N

n
n
m
p
; 
( ) ( )( )
[
]
( )
( )
( )
Σ
≤
Σ
≤
Σ
∞
<
≤
Σ
Σ
N
n
t
f
n
m
1,
arg
0
,
                 (4) 

Для поглощающих состояний справедливы следующие свойства: 

0
1
,
=

=

N

n
n
m
p
; 
( ) ( )( )
(
)
[
] ( )
,
1
,
lim
,
,
,
N
n
T
t
t
f
n
m
T
n
m
n
m
≤
≤
Σ
−
δ
=
∞
→
Σ
Σ
         (5) 

где (
)
n
m
T
t
,
−
δ
 - δ-функция Дирака. 
Основной задачей определения параметров блуждания по полумарковской цепи является задача определения взвешенной плотности распределения времени блуждания из состояния m  в состояние n . Эта задача 
может быть решена только для случая, если m  - непоглощающее состояние. Единственным ограничением на траектории при определении времени 
блуждания является то, что в ни в состояние m, ни в состояние n процесс 
не должен попадать дважды. Для того, чтобы удовлетворить этому ограничению состояние m должно получить статус стартового, а состояние n - 
статус поглощающего. Для этого из полумарковской матрицы ( )t
h
 должны 
быть удалены ссылки на состояние m во всех строках, матрицы, а из строки, определяющей состояние n должны быть удалены все ссылки на все 
состояния матрицы ( )t
h
, т.е. должны быть обнулены m-й столбец и n -я 
строка. Обозначим указанное преобразование следующим образом 

Системный анализ, управление и обработка информации 
 

 
5

( )
( )t
t
h
h
′
→
                                                     (6)  
Для того чтобы получить требуемую плотность распределения, 
необходимо стохастически просуммировать плотности распределения, которые поучаются при блужданиях по всем возможным траекториям  

( )
( )
[
]
{
}
n
c

k

k
m
r
n
m
t
L
L
t
h
I
h
I
⋅







′
⋅
=
′

∞

=

−

1

1
,
,                           (7) 

где 
m
r I
 - вектор-строка, m -й элемент которого равен единице, а осталь
ные элементы равны нулю; 
n
cI  - вектор-столбец, n -й элемент которого 

равен единице, а остальные элементы равны нулю; [ ]
...
L
 и 
[ ]
...
1
−
L
 - соответственно, прямое и обратное преобразование Лапласа, вводимое для того, что бы заменить операцию матричной свертки на операцию перемножения характеристических матриц, формируемых из ( )t
h′
. 
Полумарковский процесс 
( )t
h
 описывается матрицей (1) самого 
общего вида, поэтому в матрице 
( )t
h′
, сформированной в результате выполнения операции (6) могут быть другие поглощающие состояния, кроме  
искусственно созданного состояния n. Из этого следует, что не все траектории блуждания по комплексному полумарковскому процессу, которые 
начинаются в состоянии m, оканчиваются в состоянии n. Это, в свою очередь, означает, что группа событий достижения состояния n из m не является полной, а следовательно, в общем случае 
( )t
h
n
m,
′
 имеет характер 
взвешенной, а не чистой плотности распределения. Вероятность и чистая 
плотность распределения времени достижения n из m определяется как  

( )

∞
′
=
′
0
,
,
dt
t
h
p
n
m
n
m
;                                             (8) 

( )
( )

n
m

n
m
n
m
p

t
h
t
f
,

,
,
′

′
=
′
.                                                (9) 

Другой характеристикой блуждания по полумарковскому процессу 
(1), требующей несколько иного подхода, чем вышеизложенный подход, 
является время и вероятность возвращения процесса в состояние m . m -е 
состояние разделяется на два: 
( )
b
m
 и 
( )
å
m
. Состоянию 
( )
b
m
 придается 
статус стартового, а состоянию ( )
å
m
 - статус поглощающего. С учетом того, что при блужданиях процесс не должен попадать ни в состояние 
( )
b
m
, 
ни в состояние 
( )
å
m
 дважды, матрица (1) должен быть преобразована следующим образом: 
в матрицу должны быть добавлены одна строка и один столбец, и 
таким образом она увеличивается в размере с 
N
N ×
 до [
] [
]1
1
+
×
+
N
N
; 
за состоянием m следует закрепить статус стартового, а за состоянием 
1
+
N
 - статус поглощающего, т.е.  

Известия ТулГУ. Технические науки. 2019. Вып. 2 
 

 
6

(
)
b
m
m
,
Σ
=
;  
1
+
N
= (
)
å
m
,
Σ
;                             (10) 
столбец матрицы ( )t
h
 с номером m должен быть перенесен столбец 
с номером 
1
+
N
, а сам столбец с номером m должен быть заполнен нулями; 
добавленная строка с номером 
1
+
N
 должна быть заполнена нулями. 
Таким образом, выполняется преобразование  
( )
( )t
t
h
h
′′
→
                                              (11) 
Временной интервал возврата полумарковского процесса в состояние ( )
Σ
m
 определяется по зависимости, аналогичной (7) 

( )
( )
[
]
{
}
1
1

1
,
+
∞

=

−
⋅







′′
⋅
=
′′

N
c

k

k
m
r
m
m
t
L
L
t
h
I
h
I
,                      (12) 

где 
m
r I
 - вектор-строка, m -й элемент которого равен единице, а осталь
ные элементы равны нулю; 
n
cI  - вектор-столбец, (
1
+
N
)-й элемент которого равен единице, а остальные равны нулю. 
Не все траектории блуждания по комплексному полумарковскому 
процессу, которые начинаются в состоянии m , оканчиваются в состоянии 
1
+
N
, поэтому 

( )

∞
′′
=
′′
0
,
,
dt
t
h
p
m
m
m
m
;                                        (13) 

( )
( )

m
m

m
m
m
m
p

t
h
t
f
,

,
,
′′

′′
=
′′
.                                          (14) 

Из (9) и (14) могут быть получены числовые характеристики соответствующих плотностей распределения, а именно, математические ожидания и дисперсии: 

( )

∞
′
⋅
=
′
0
,
,
dt
t
f
t
T
n
m
n
m
; 
(
)
( )

∞
′
⋅
′
−
=
′
0
,
2
,
,
dt
t
f
T
t
D
n
m
n
m
n
m
;               (15) 

                
( )

∞ Σ ′′
⋅
=
′′
0
,
,
dt
t
f
t
T
m
m
m
m
; 
(
)
( )

∞
′′
⋅
′′
−
=
′′
0
,
2
,
,
dt
t
f
T
t
D
m
m
m
m
m
m
,              (16) 

где 
n
m
T ,′
, 
n
m
D ,
′
 - математическое ожидание и дисперсия плотности распре
деления времени блуждания из состояния m в состояние  n;  
m
m
T ,′′
, 
m
m
D ,′′
 - 
математическое ожидание и дисперсия плотности распределения времени 
возврата в состояние m  
Полученные зависимости слабо поддаются алгоритмизации, поскольку предусматривают сначала аналитические преобразования математических выражений, а потом - собственно расчет основных числовых характеристик плотностей распределения. Поэтому для решения задач ана

Системный анализ, управление и обработка информации 
 

 
7

лиза временных и вероятностных характеристик систем блуждания по полумарковским процессам целесообразно получение математических выражений, которые позволяют напрямую рассчитывать основные числовые 
характеристики соответствующих плотностей распределения с использованием стохастической матрицы (2):  
матрицы математических ожиданий [10, 11] 

( )
(
)
n
m
n
m
T
dt
t
tf
,
0
,
=











= 
∞
T
                                    (17) 

и матрицы дисперсий  [10, 11] 

(
)
( )
(
)
n
m
n
m
n
m
D
dt
t
f
T
t
,
0
,
2
,
=











−
= 
∞
D
 .                          (18) 

3. Прямой расчет числовых характеристик 
Вычленим из (7) и (12) операцию свертки двух полумарковских 
матриц  
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
[
]
{
}
[
]

(
)
( )
[
]
( )
[
]
{
} ,

*

1
,
,
1
,
,

1









⋅
⋅
⋅
=

=
⋅
=
=


=

−

β
α
−
β
α
αβ
N

l
n
l
l
m
n
l
l
m
t
g
L
t
f
L
L
q
p

t
L
t
L
L
t
t
t
h
h
h
h
h
                   (19) 

где 
( )
( )
[
]
t
f
p
t
l
m
l
m
,
,
=
α
h
, 
( )
( )
[
]
t
g
q
t
l
m
l
m
,
,
=
β
h
. 
Из (19) могут быть получены операции свертки числовых характеристик полумарковских матриц  

( )
( )
[
]

∞
β
α
β
α
αβ
⋅
=
=
0
*
*
dt
t
t
t
h
h
T
T
T
                                (20) 

( )
( )
[
]
αβ
αβ
∞
β
α
β
α
αβ
⊗
−
⋅
=
=

T
T
h
h
D
D
D
0

2
*
*
dt
t
t
t
                  (21) 

С использованием операций (20) и (21) из (7) и (12) могут быть получены выражения для прямого расчета следующих числовых характеристик: 
вероятности достижения состояния n из состояния m и вероятности 
возврата в состояние m при блужданиях - 

(
)
n
c

k

k
m
r
n
m
p
I
p
I
⋅







′
⋅
=
′

∞

=1
,
; 
(
)
1
1
,
+
∞

=

Σ
⋅







′′
⋅
=
′′

N
c

k

k
m
r
m
m
p
I
p
I
;         (22) 

взвешенное математическое ожидание времени достижения n из m 
и возврата в m  -. 

( ) ( )
( )
n
c

k

k
m
r
n
m
T
I
T
I
⋅







′
⋅
=
′

∞

=
Σ
Σ
1

*
,
~
~
, 
( )
1
1

*
,
~
~
+
∞

=
⋅







′′
⋅
=
′′

N
c

k

k
m
r
m
m
T
I
T
I
;       (23) 

взвешенная дисперсия времени достижения n из m и возврата в m  - 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2019. Вып. 2 
 

 
8

( )
n
c

k

k
m
r
n
m
D
I
D
I
⋅







′
⋅
=
′

∞

=1

*
,
~
~
;  
(
)
( ) 1
1

*
,
~
~
+
Σ
∞

=
⋅







′′
⋅
=
′′

n
c

k

k
m
r
m
m
D
I
D
I
;   (24) 

чистое математическое ожидание времени достижения n из m и возврата в m  - 

n
m

n
m
n
m
p

T
T
,

,
,

~

′

′
=
′
Σ
, 

m
m

m
m
m
m
p

T
T
,

,
,

~

′′

′′
=
′′
;                                (25) 

чистая дисперсия времени достижения n из m и возврата в m  - 

n
m

n
m
n
m
p

D
D
,

,
,

~

′

′
=
′
Σ
; 

m
m

m
m
m
m
p

D
D
,

,
,

~

′′

′′
=
′′
Σ
                               (26) 

где  

p
T
T
′
⊗
′
=
′~
; 
p
T
T
′′
⊗
′′
=
′′~
; 
p
D
D
′
⊗
′
=
′
~
; 
p
D
D
′′
⊗
′′
=
′′
~
;             (27) 

( )
( )
T
T
T
~
*
~
~
1
*
*
′
′
=
′
−
k
k
; ( )
( )
T
T
T
~
*
~
~
1
*
*
′
′′
=
′′
−
k
k
;                      (28) 

( )
( )
D
D
D
~
*
~
~
1
*
*
′
′
=
′
−
k
k
; (
)
(
)
D
D
D
~
*
~
~
*
*
′′
′′
=
′′
k
k
.                      (29) 

Полученные в п. 3 формулы для прямого расчета вероятностных и 
временных параметров блуждания по комплексному полумарковскому 
процессу позволяют существенно упростить анализ циклограмм управления мобильными роботами, но все-таки достаточно сложны для их реализации на ЭВМ. Кроме того, в эти выражения входят возведение числовых 
матриц в степень, причем показатель степени теоретически может возрастать до бесконечности, и поэтому всегда существует проблема назначения 
k для остановки процедуры  расчета. Существенно упростить процедуру 
расчета можно, если применить метод последовательных упрощений. 
4. Метод последовательных упрощений 
Для реализации рекурсивной процедуры введем три элементарных 
операции упрощения, показанные на рис. 1, а именно [12], 
a) объединение последовательно расположенных состояний; 
b). объединение параллельных переключений; 
с) ликвидация циклов. 
Пересчет математических ожиданий, дисперсий и вероятностей 
производится по следующим зависимостям.  
Для случая а)  

∏
−

=
+
=
1
1
,
,
~
n

m
k
k
k
n
m
p
p
;  
( )
( )
[
]







=
∏
−

=
+
−
1
1
,
1
,
~
n

m
k
k
k
n
m
t
h
L
L
t
h
; 


−

=
+
=
1
1
,
,
~
n

m
k
k
k
n
m
T
T
; 

−

=
+
=
1
1
,
,
~
n

m
k
k
k
n
m
D
D
.                           (30) 

Системный анализ, управление и обработка информации 
 

 
9

Для случая b)  


=
=
K

k
k
n
m
n
m
p
p
1
,
,
,
~
;  
( )
( )

=
=
K

k
k
n
m
n
m
t
h
t
h
1
,
,
,
~
; 

n
m

K

k
k
n
m
k
n
m

n
m
p

T
p
T
,

1
,
,
,
,

,
~
~

=
⋅
=
, 
(
)

2
,
,

1

2
,
,
,
,
,
,

,
~
~
~
n
m
n
m

K

k
k
n
m
k
n
m
k
n
m

n
m
T
p

T
D
p
D
−
+
⋅
=

=
. (31) 

Для случая c) 

m
m

n
m
n
m
p

p
p
,

,
,
1
~
+
=
; 
( )
( )
[
]
{
}








⋅
⋅
=

∞

=

−

1

1
,
~

k

c
k
c
r
n
m
t
L
L
t
h
I
h
I
; 

m
m

m
m
m
m
n
m
n
m
p

p
T
T
T
,

,
,
,
,
1
~
−

⋅
+
=
;  

(
)2
,

,
2
,

,

,
,
,
,
1
1
~

m
m

m
m
m
m

m
m

m
m
m
m
n
m
n
m
p

p
T

p

p
D
D
D
−

⋅
+
−

⋅
+
=
,                      (32) 

где 
( )
( )





=
0
0
,
,
t
h
t
h
n
m
m
m
c
h
; 




= 1
0
I
ñ
. 

 
 

m 
n 
k 
...
...



m 
n 

a 

 
 

m 
n 
...1 

K 

m 
n 

b

 
 

m 
n 

m 
n 

c 

 
 
Рис. 1. Операции упрощения 
 
Метод последовательных упрощений полумарковского процесса 
предполагает последовательную ликвидацию состояний, начиная с N-го, и 
кончая заданным, например, (S - 1)-м.  
Пусть в результате предыдущих преобразований были ликвидированы состояния с N-го по S-е, т.е. полумарковский процесс (1) был упрощен до процесса, включающего S состояний, описываемого матрицей  

Известия ТулГУ. Технические науки. 2019. Вып. 2 
 

 
10

( )t
Sh
 размером 
S
S ×
. Первой процедурой упрощения является ликвидация петли на состоянии S. Для этого могут быть использованы зависимости (32), принимающие вид 

S
S
S
n
S
S

n
S
S
p

p
p
,

,
,
1
~
+
=
; 
( )
( )
[
]
{
}








⋅
⋅
=

∞

=

−

1

1
,
~

k
c
k
c
S
r
n
S
t
L
L
t
h
I
h
I
;  

S
S
S
S
S
j
S
S
S
S

n
S
S
n
S
S
p

p
T
T
T
,

,
,
,
,
1

~

−

⋅
+
=
+
; 

(
)

,
1
1

~
2
,

,
2
,

,

,
,
,
,

S
S
S

S
S
S
S
S
S

j
S
j
S
j
S
S
S
S
S
S
S

n
S
S
n
S
S

p

p
T

p

p
D
D
D
−

⋅
+
−

⋅
+
=
+
+
+
                 (33) 

где 
( )
( )








=
0
0
,
,
t
h
t
h
n
S
S
S
S
S
c
Sh
. 

Следующей операцией рекурсивного цикла является расщепление 

состояния S на(
)2
1
−
S
 (рис. 2). 

Состояние S (обведено штрихпунктирной линией) сначала разбива
ется на множество состояний (
)
(
)
(
)
{
}
1
,
...,
,
,
...,
,
1,
−
S
S
n
S
S
 (каждое обведено 

штриховой линей), а затем состояния 
n
S, , 1 ≤ n ≤ S - 1 разбиваются на 

множества (
)
(
)
(
)
{
}
1
,
,
...,
,
,
,
...,
,
1,
,
−
S
n
S
n
n
S
n
S
. Для того, чтобы обеспечить 

эквивалентность преобразований, вероятности, взвешенные плотности 
распределения, математические ожидания и дтисперсии должны быть пересчитаны в соответствии с зависимостями (30): 

m
S
j
S
S
n
S
m
n
p
p
p
,
,
,
~
ˆ
+
⋅
=
, 
( )
( )
[
]
( )
[
]
[
]
t
h
L
t
h
L
L
t
h
m
S
S
S
n
S
m
n
,
,
1
,
~
ˆ
⋅
=
−
; 

( )
m
S
S
S
n
S
m
n
T
T
t
T
,
,
,
~
ˆ
+
=
; 
( )
m
S
S
S
n
S
m
n
D
D
t
D
,
,
,
~
ˆ
+
=
 1 ≤ m ≤ S - 1.        (34) 

Далее по зависимостям (31) должны быть пересчитаны вероятности, 

взвешенные плотности распределения и их числовые характеристики для 
полумарковского процесса с S  - 1 состояниями: 

m
n
m
n
S
m
n
S
p
p
p
,
,
,
1
ˆ
+
=
−
; 
( )
( )t
h
t
h
h
m
n
m
n
S
m
n
S
,
,
,
1
ˆ
+
=
−
; 

m
n
m
n
S
m
n
m
n
m
n
S
m
n
S

m
n
S
p
p

T
p
T
p
T
,
,

,
,
,
,
,
1
ˆ

ˆ
ˆ

+

⋅
+
⋅
=
−
. 

(
)
(
)
2
,
1

,
,

2
,
,
,
2
,
,
,
,
1
ˆ

ˆ
ˆ
ˆ
m
n
S

m
n
m
n
S
m
n
m
n
m
n
m
n
S
m
n
S
m
n
S

m
n
S
T
p
p

T
D
p
T
D
p
D
−
−
−
+

+
+
+
⋅
=
       (35)