Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2017, № 9. Часть 1

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Тульский государственный университет» 
 

 
 
 
16+ 
ISSN 2071-6168 
 
 
 
 
 
 
 
ИЗВЕСТИЯ  
ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 
 
 
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ 
 
 
Выпуск 9 
 
Часть 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Тула 
Издательство ТулГУ 
2017 

УДК 621.86/87                                                                             ISSN 2071-6168 
 
 
Известия Тульского государственного университета. Технические науки.  
Вып. 9: в 2 ч. Ч. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2017. 550 с.
 
Рассматриваются научно-технические проблемы информатики, вычислительной техники и обработки информации, машиностроения и машиноведения, военно-специальных наук, электротехники. 
Материалы предназначены для научных работников, преподавателей вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в проблематике 
технических наук. 
 
Редакционный совет 
 
М.В. ГРЯЗЕВ – председатель, В.Д. КУХАРЬ – зам. председателя, 
В.В. ПРЕЙС – главный редактор, А.А. МАЛИКОВ – отв. секретарь, 
И.А. БАТАНИНА, О.И. БОРИСКИН, М.А. БЕРЕСТНЕВ, В.Н. ЕГОРОВ, 
О.Н. ПОНАМОРЕВА, Н.М. КАЧУРИН, В.М. ПЕТРОВИЧЕВ.   

 
 
 
Редакционная коллегия 
 
О.И. Борискин (отв. редактор), С.Н. Ларин (зам. отв. редактора), 
Б.С. 
Яковлев 
(отв. 
секретарь), 
И.Л. 
Волчкевич, 
Р.А. 
Ковалев,  
М.Г. Кристаль, А.Д. Маляренко (Республика Беларусь), А.А. Сычугов,  
Б.С. Баласанян (Республика Армения), А.Н. Чуков. 
 
 
 
 
 
 
Подписной индекс 27851 
по Объединённому каталогу «Пресса России» 
 
Сборник 
зарегистрирован 
в 
Федеральной    
службе по надзору в сфере связи, информационных 
технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор). 
ПИ № ФС77-61104 от 19 марта 2015 г. 
«Известия Тульского государственного университета» входят в Перечень ведущих научных журналов 
и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в 
которых должны быть опубликованы научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора 
наук. 
 
 
 
   © Авторы научных статей, 2017 
 
   © Издательство ТулГУ, 2017 

Информатика, вычислительная техника и обработка информации 
 

 
3

 
 
 
 
 
 
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА  
И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ 
 
 
 
 
 
УДК 004.274 
 
О ПРИБЛИЖЕНИИ ПОТОКА СОБЫТИЙ К ПУАССОНОВСКОМУ  
В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ РОБОТАМИ 
 
Е.В. Ларкин, А.В. Богомолов, Д.В. Горбачев, М.А. Антонов  
 
Проводится исследование потоков событий в робототехнических системах. 
Поскольку при пуассоновском характере потока математическое моделирование систем существенно упрощается, сформулирована цель получения простого критерия для 
определения степени приближения потока событий к пуассоновскому. Исследованы 
критерий Пирсона, регрессионный, корреляционный и параметрический критерии. 
Снова получен критерий, основанный на расчете функции ожидания. Рассмотрена 
система с «соревнованиями» и показано, что поток событий генерируемых системой, 
стремится к пуассоновскому при бесконечном увеличении количества «соревнующихся» субъектов. 
Ключевые слова: поток событий, пуассоновский поток, полумарковский  процесс, критерий Пирсона, корреляция, регрессия, функция ожидания, равномерный закон. 
 
Цифровые системы управления роботами можно характеризовать, 
как системы, состояние которых характеризуются потоком событий. Так, 
например такими событиями может быть поступление заявок на обслуживания [1, 2], завершение интерпретации программы [3, 4], поток транзакций при дистанционном управлении [5, 6] и т.п.. Указанные события протекают в реальном времени, и интервал между событиями, для наблюдающего за системой субъекта, является случайной величиной. Одной из разновидностей потока является стационарный пуассоновский поток, который 
обладает следующими свойствами: стационарностью, отсутствием последействия, ординарностью [7]. 
Использование абстракции «Пуассоновский поток» позволяет существенно упростить выкладки в ряде приложений, в частности в теории 
массового обслуживания, поэтому при исследовании подобных систем 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2017. Вып. 9. Ч. 1 
 

 
4

возникает вопрос о степени приближения плотности распределения времени между событиями ( )t
g
 к плотности распределения интервалов в простейшем потоке, которая определяется экспоненциальным законом распределения. 
Интервалы времени между событиями в пуассоновском потоке характеризуются экспоненциальным законом распределения [7] 

( )



−
=
T
t
T
t
f
exp
1
,                                                  (1) 

где T  - математическое ожидание экспоненциального закона;  
Регрессионный критерий основан на оценке интеграла квадрата 
разности между анализируемым 
( )t
g
 и экспоненциальным (1) законами 
[8]: 

( )
( )
[
]
∫
∞

−
=
ε

0

2dt
t
f
t
g
r
.                                             (2) 

Очевидно, что если ( )
( )t
f
t
g
→
, то 
0
→
εr
. 
Пусть ( )
(
)
T
t
t
g
−
δ
=
, где (
)
T
t −
δ
 - смещенная δ-функция Дирака, 
для которой  

(
) {
;
when
;
when
0
T
t
T
t
T
t
=
∞

≠
=
−
δ
 
(
)
∫
∞

=
−
δ

0

1
dt
T
t
.                         (3) 

Тогда  

(
)
( )
[
]
3
2
1

0

2
r
r
r
r
dt
t
f
T
t
ε
+
ε
+
ε
=
−
−
δ
=
ε
∫
∞

,                         (4) 

где 

(
)
∞
=




=
−
δ
=
ε
∫
∫
+

−
→

∞
a
T

a
T
a
r
dt
a
dt
T
t
2

0
0

2
1
2
1
lim
; 

(
)
eT
dt
T
t
T
T
t
f
g
r
2
exp
1
2

0

2
−
=



−
⋅
−
δ
−
=
ε
∫
∞

; 

T
dt
T
t

T
r
2
1
2
exp
1

0
2
3
=



−
=
ε
∫
∞

. 

Итак, критерий изменяется от 0 (поток без последействия) до ∞ (поток с жестко детерминированной связью между событиями). 
В том случае, если временные интервалы между событиями определяются экспериментально, и плотность распределения ( )t
g
 представляет 
собой статистический ряд вида 

( )




<
≤
<
≤
<
≤
=
−
−
J
J
J
i
k
i
n
t
t
t
n
t
t
t
n
t
t
t
t
g
1
1
1
1
0
...
...
,                (5) 

Информатика, вычислительная техника и обработка информации 
 

 
5

где 
in  - количество результатов измерения, лежащих в интервале 

i
i
t
t
t
<
≤
−1
, то для оценки близости плотности (3) и гистограммы (6) может 
быть использован критерий Пирсона [9], который в данном случае принимает вид 

∑
∑

∑

=

=

−

=

−

⋅


















−
−







−










⋅


















−
−







−
−

=
χ
J

j
K

k
k
j
j

J

i
i
j
j
j

n
T

t

T

t
T

n
T

t

T

t
Tn

1

1

1

2

1

1

2

exp
exp

exp
exp
.                     (6) 

Критерий (7) достаточно громоздок и применим в ограниченном 
количестве случаев. 
1. Корреляционный критерий 
Корреляционный критерий имеет вид [10] 

( )
∫
∞




−
⋅
=
ε

0

exp
1
dt
T
t
T
t
g
c
.                                       (7) 

Определим 
значение 
второго 
критерия 
для 
случаев 

( )



−
=
T
t
T
t
g
exp
1
 и ( )
(
)
T
t
t
g
−
δ
=
. 

В первом случае критерий достигает максимума: 

T
dt
T
t
T
T
t
T
c
2
1
exp
1
exp
1

0

1
=



−
⋅



−
=
ε
∫
∞

. 

Во втором случае критерий достигает минимума: 

(
)
eT
dt
T
t
T
t
c
1
exp

0

2
=



−
−
δ
=
ε
∫
∞

. 

Однако, если критерий - это индикатор отсутствия последействия, 
он должен быть безразмерным и укладываться в интервал 
1
~
0
≤
ε
≤
c
. Нуль 
должен достигаться в первом случае (отсутствие последействия), единица 
должна достигаться во втором случае (детерминированная связь между событиями). Это происходит, если значение 
c
ε , рассчитанное как корреляция по зависимости (8), будет пересчитано по формуле 

(
)

2

2
1
~
−

ε
−
=
ε
e

T
e
ñ
c
.                                                  (8) 

Критерий cε~  изменяется в интервале  
1
~
0
≤
ε
≤
c
. 
2. Параметрические критерии 
Простейший вариант параметрического критерия основан на следующем свойстве экспоненциальной плотности распределения [11]: 

D
T =
,                                                      (9) 
где D  - дисперсия, определяемая по зависимости  

Известия ТулГУ. Технические науки. 2017. Вып. 9. Ч. 1 
 

 
6

(
)
∫
∞



−
−
=

0

2
exp
T
t
T
T
t
D
. 

Очевидно, что подобными свойствами обладают многие плотности 
распределения, например, взвешенная пара вырожденных законов, 

( )
(
)
(
)
2
1
5,0
5,0
τ
−
δ
+
τ
−
δ
=
t
t
t
g
, если 
0
1 =
τ
, 
0
2 >
τ
. Это затрудняет практическое использование зависимости (9). 
Для установления более сложного критерия рассмотрим процесс 
генерации событий, как «соревнование», в котором участвуют два субъекта: внешний наблюдатель и генератор. Если в момент старта одновременно 
запускаются случайные процессы, характеризующие ременные интервалы 
между стартом и наблюдением и между двумя событиями, то «соревнование» может быть описано с помощью 2-параллельного полумарковского 
процесса [12, 13] 

( )
[
]
t
A h
M
,
=
,                                                (10) 

где 
{
}
,
,
,
,
2
1
2
1
g
g
w
w
a
a
a
a
A =
 - множество состояний; 
1
w
a
, 
1
g
a
 - стартовые 

состояния; 
2
w
a
, 
2
g
a
 - поглощающие состояния; 
( )t
h
 - полумарковская 

матрица;  

( )

( )

( ) 
























=

0
0
0
0
0
0

t
g

t
w

t
0

0
h
; 




=
0
0
0
0
0
.                          (11) 

Рассмотрим ситуацию, когда первый субъект выигрывает «соревнование» в момент времени τ и ожидает, когда второй субъект достигнет финиша. Для определения времени ожидания по полумарковскому процессу 
(10) (рис. 1, a) может быть построен ординарный полумарковский процесс 
(рис. 1, б) вида 

( )
[
]
t
h
M
′
Α′
=
′
,
,                                                (12) 

где 
Β
∪
Α
=
Α′
 - множество состояний; 
{
}
3
2
1
,
,
α
α
α
=
Α
 - подмножество 
состояний, моделирующее начало и окончания блужданий по полумарковскому процессу; 
1
α  - стартовое состояние; α2 - поглощающее состояние, 
моделирующее выигрыш второго субъекта; α3 - поглощающее состояние, 
моделирующее окончание ожидания первым субъектом финиширования 
второго, 
проигравшего 
субъекта; 
{
}
...
,
...,
,
1
i
β
β
=
Β
 
- 
бесконечное  
множество состояний, задающих временные интервалы для различных ситуаций 
завершения 
дистанции 
вторым, 
проигравшим, 
субъектом; 

( )
( )
{
}
t
h
t
n
m,′
=
′h
 - полумарковская матрица, задающая временные интервалы 
процесса. 

Информатика, вычислительная техника и обработка информации 
 

 
7

α1 

β1 
βi 
α2 
... 

δ(t - τ)⋅w(τ)
⋅ [1 - G(τ)]dτ

...

α3 

Β

aw1 
ag1 

ag2 
aw2 

w(t)
g(t)

a 
б 

[1 - W(t)]g(t)

η(τ)⋅g(t + τ) 
1 - G(τ) 

 
 
Рис. 1. К расчету времени ожидания 
 
Элементы 
( )t
h
n
m,′
 определяются следующим образом: 

( )t
h 2,1′
 определяется как взвешенная плотность распределения времени финиширования второго субъекта, если он является «победителем» 
«соревнования», 

( )
( )
( )
[
]
t
W
t
g
t
h
−
=
′
1
12
,                                       (13) 

где 
( )
( )
∫
θ
θ
=
t
d
w
t
W

0

 - функция распределения; θ - вспомогательная пере
менная; 

( )t
h
i
+
′ 2,1
, 
...
,2
,1
=
i
, определяются как взвешенные плотности распределения времени финиширования первого субъекта в точности во время τ, если он является «победителем» «соревнования» и ожидает второго 
субъекта;  

( )
(
)
( )
( )
[
] τ
τ
−
τ
⋅
τ
−
δ
=
′
+
d
G
w
t
t
h
i
1
2,1
,                              (14)  

где (
)τ
−
δ t
 - вырожденный закон распределения, определяющий время τ, 

финиширования второго субъекта; 
( )
( )
∫
θ
θ
=
t
d
g
t
G

0

; 
( )
( )
[
] τ
τ
−
τ
d
G
w
1
 - веро
ятность финиширования первого субъекта в точности во время τ, если он 
является «победителем» «соревнования»; 

( )
(
)

( )
τ
−

τ
+
⋅
η

G
t
g
t
1
, 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2017. Вып. 9. Ч. 1 
 

 
8

где η(t) - единичная функция Хевисайда - плотность распределения времени пребывания полумарковского процесса (12) в состоянии Β, которая получается путем отсечения от смещенной плотности (
)τ
+
t
g
 значений с отрицательным аргументом.  
Таким образом, вероятность попадания процесса в подмножество Β 

равна 
( )
[
] ( )
∫
∞

β
α
τ
τ
τ
−
=

0

1
0
d
w
G
p
=
( ) ( )
∫
∞

0

dt
t
g
t
W
. Взвешенная плотность рас
пределения времени ожидания первым субъектом финиширования второго 

субъекта равна 
( )
( )
( ) (
)
∫
∞

→
τ
τ
+
τ
η
=

0

d
t
g
w
t
t
h
g
w
. Чистая плотность распреде
ления определяется следующим образом: 

( )
( )
( ) (
)

( )
( )
∫

∫

∞

∞

→

τ
τ
+
τ
η

=

0

0

t
dG
t
W

d
t
g
w
t

t
f
g
w
.                                  (15) 

Следует отметить, что операция (15) не является коммутативной, 
т.е. в общем случае 

( )
( )
( ) (
)

( )
( )

( )t
f

t
dW
t
G

d
t
w
g
t

t
f
g
w
w
g
→
∞

∞

→
≠

τ
τ
+
τ
η

=

∫

∫

0

0
 

 Рассмотрим поведение 
( )t
f
g
w→
 для двух видов функции ( )t
g
: ко
гда указанная функция описывает поток событий без последействия, т.е. 

( )



−
=
T
t
T
t
g
exp
1
, и когда поток событий является строго детерминиро
ванным, т.е. ( )
(
)
T
t
t
g
−
δ
=
. 
Выражение (15) для первого случая принимает вид: 

( )
( )
( )

( )




−
=










−
−
−

τ




τ
+
−
τ
η

=

∫

∫

∞

=

∞

→
T
t
T
t
dW
T
t

d
T
t
T
w
t

t
f

t

g
w
exp
1

exp
1
1

exp
1

0

0
.              (16) 

Таким образом, плотность 
( )t
f
g
w→
 отражает свойство отсутствия 

последействия в строго марковских процессах с непрерывным временем, 
которое может быть сформулировано следующим образом. Если плотность 
распределения времени между любыми двумя событиями в системе рас

Информатика, вычислительная техника и обработка информации 
 

 
9

пределена по экспоненциальному закону, то для внешнего наблюдателя 
время, оставшееся до наступления очередного события, будет также распределено по экспоненциальному закону, независимо от момента начала 
наблюдения.  
Выражение (15) для второго случая принимает вид 

(
)

(
)
w

w
g
w
T
W
t
T
w
t
t
f
−
η
=
→
)
(
)
(
.                                     (17) 

Пусть 
( )t
w
 имеет область определения 
( )
max
min
arg
w
w
T
t
w
T
≤
≤
 и 
математическое ожидание 
max
min
w
w
w
T
T
T
≤
≤
. В зависимости от местоположения 
)
(t
w
 и 
)
(t
g
 на оси времени, возможны следующие ситуации: 
a)
min
w
T
T <
. В этой ситуации выражение (5) не имеет смысла. 
б) 
max
min
w
w
T
T
T
≤
≤
. В этой ситуации плотность распределения 
выражается зависимостью (17), область определения 
)
(t
f
g
w→
 определяет
ся как  
( )
[
]
min
arg
0
w
g
w
T
T
t
f
−
≤
≤
→
, и 
( )
T
dt
t
tf
g
w
≤
∫
∞

→

0

. 

в) 
max
w
T
T >
. В этой ситуации 
)
(
)
(
t
T
w
t
f
g
w
−
=
→
, 
max
w
T
T −
≤

≤
( )
[
]
min
max
arg
w
g
w
w
T
T
t
f
T
T
−
≤
≤
−
→
, и  
( )
T
dt
t
tf
g
w
≤
∫
∞

→

0

. 

Таким образом, математическое ожидание функции 
)
(t
f
g
w→
 для 

пуассоновского потока событий остается неизменным, а для детерминированного потока событий уменьшается, и это уменьшение определяется видом функции  ( )τ
w
. Это обстоятельство  позволяет определить вид простого критерия, основанного на использовании математического ожидания 
плотности распределения ожидания.  
Пусть плотность распределения времени наблюдения определяется 
вырожденным законом распределения с математическим ожиданием, равным T, т.е. 
( )
(
)
T
t
t
w
−
δ
=
 (соответствует детерминированному потоку событий). Для этого случая плотность распределения времени ожидания δфункцией Дирака события, когда завершится событие ( )t
g
, определяется 
по зависимости 

( )
( )
(
)

( )
∫
∞
→
δ

+
⋅
η
=

T

g
dt
t
g

T
t
g
t
t
f
.                                        (18) 

Математическое ожидание (18) имеет вид 

(
)

( )

∫
∫

∞

∞
→
δ
+
=
0
dt

dt
t
g

T
t
g
t
T

T

g
.                                         (19) 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2017. Вып. 9. Ч. 1 
 

 
10

Критерий, основанный на определении времени ожидания, имеет вид 

 

2









−
=
ε
→
δ
T

T
T
g
w
,                                             (20) 

где T - математическое ожидание анализируемой плотности распределения 
времени между соседними событиями; 
g
T →
δ
 - математическое ожидание 

плотности распределения 
( )t
f
g
→
δ
, рассчитываемое по зависимости (18).  

Для экспоненциального закона  

0
2
2
=




−
=








−
=
ε
→
δ
T
T
T
T

T
T
g
w
.                                (21)  

Это означает отсутствие последействия. Для строго детерминированной связи между событиями, выражаемой δ-функцией Дирака 

( )
(
)
T
t
t
g
−
δ
=
,   

( )
( )t
t
f
g
δ
=
→
δ
, и 
1
0 2
=




−
=
ε
T
T
w
.                               (22) 

Это означает детерминированную связь между событиями, или «абсолютное последействие». 
Исследуем поведение критерия 
w
ε
функции. Для этого определим 
математическое ожидание функции ( )t
g
 в виде (рис. 2) 

( )
( )
(
)
(
)

,
2
2
1
1
0
0
0
0
T
T
p
T
p
T
p

dt
T
t
g
T
T
dt
T
t
tg
dt
t
tg
dt
t
tg

g
g
g
g
g

T

=
+
+
=

=
+
+
+
+
=

→
δ

∞
∞
∞
∫
∫
∫
∫
                    (23) 

где 
( )
∫
=
T

g
dt
t
g
p

0

1
; 
( )
∫
∞

=

T

g
dt
t
g
p2
. 

 
 

0                0.5               1               1.5              2 time

prob
time

1 

0,5

f(t)

g(t)

t 
t - T 

T

p2ffδ→f(t)

p2gfδ→g(t)

 
 
Рис. 2. К расчету математического ожидания