Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2017, № 7

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Тульский государственный университет» 
 

 
 
 
16+ 
ISSN 2071-6168 
 
 
 
 
 
 
 
ИЗВЕСТИЯ  
ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 
 
 
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ 
 
 
Выпуск 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Тула 
Издательство ТулГУ 
2017 

УДК 621.86/87                                                                             ISSN 2071-6168 
 
 
Известия Тульского государственного университета. Технические науки.  
Вып. 7. Тула: Изд-во ТулГУ, 2017. 379 с.
 
Рассматриваются научно-технические проблемы общего машиностроения, авиационной и ракетно-космической техники, управления качеством, стандартизации и сертификации, информатики, вычислительной 
техники и обработки информации, военно-специальных наук, электротехники, машиностроения и машиноведения. 
Материалы предназначены для научных работников, преподавателей вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в проблематике 
технических наук. 
 
Редакционный совет 
 
М.В. ГРЯЗЕВ – председатель, В.Д. КУХАРЬ – зам. председателя, 
В.В. ПРЕЙС – главный редактор, А.А. МАЛИКОВ – отв. секретарь, 
И.А. БАТАНИНА, О.И. БОРИСКИН, М.А. БЕРЕСТНЕВ, В.Н. ЕГОРОВ, 
О.Н. ПОНАМОРЕВА, Н.М. КАЧУРИН, В.М. ПЕТРОВИЧЕВ 

 
 
Редакционная коллегия 
 
О.И. Борискин (отв. редактор), С.Н. Ларин (зам. отв. редактора), 
Б.С. 
Яковлев 
(отв. 
секретарь), 
И.Л. 
Волчкевич, 
Р.А. 
Ковалев,  
М.Г. Кристаль, А.Д. Маляренко (Республика Беларусь), А.А. Сычугов,  
Б.С. Баласанян (Республика Армения), А.Н. Чуков 
 
 
 
 
Подписной индекс 27851 
по Объединённому каталогу «Пресса России» 
 
Сборник 
зарегистрирован 
в 
Федеральной    
службе по надзору в сфере связи, информационных 
технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор). 
ПИ № ФС77-61104 от 19 марта 2015 г. 
«Известия Тульского государственного университета» входят в Перечень ведущих научных журналов 
и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в 
которых должны быть опубликованы научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора 
наук. 
 
© Авторы научных статей, 2017 
© Издательство ТулГУ, 2017 

Общее машиностроение 
 

 
3

 
 
 
 
 
 
ОБЩЕЕ МАШИНОСТРОЕНИЕ 
 
 
 
 
УДК 539.374 
 
УПРАВЛЕНИЕ «ПЛАВАЮЩИМИ» ФАКТОРАМИ  
ПРИ СТАТИСТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССОВ, 
ПРЕДСТАВЛЕННЫХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ СИСТЕМАМИ 
 
Г.В. Панфилов, А.В. Черняев, В.А. Сухонин 
 
Разработаны рекомендации по выбору, установлению диапазона варьирования 
и уровней в различных вариантах статистического моделирования процессов, представленных детерминированными моделями, что позволяет получить компактные, 
удобные для практического использования статистически обоснованные уравнения 
регрессии, связывающие искомые результирующие величины (выходные параметры) с 
варьируемыми факторами. При этом в большинстве случаев удается повысить точность результата по отношению к исходной детерминированной системе уравнений. 
Ключевые слова: детерминированная и вероятностная системы уравнений, 
статистическое моделирование, планируемый многофакторный эксперимент. 
 
При исследовании многих технологических операций изготовления 
деталей, в том числе способами обработки металлов давлением, решение 
осуществляется теоретическими численными методами. При этом анализировать приходится детерминированную исходную математическую модель, представленную системой функциональных алгебраических и дифференциальных уравнений. Если данная модель является многопараметрической, т.е. содержит большое количество переменных, то результаты расчетов могут быть представлены лишь в виде малозначимых частных графиков при фиксированных значениях других переменных. Для полноценного использования потребителю необходима соответствующая разработанная компьютерная программа. 
Указанную проблему можно решить статистическим моделированием полученной детерминированной системы на основе активного многофакторного [1, 2] или корреляционно-регрессионного [3] анализа. В результате получают удобные для практического использования статистиче

Известия ТулГУ. Технические науки. 2017. Вып. 7 
 

 
4

ские обоснованные уравнения регрессии, связывающие каждый искомый 
результирующий параметр с комплексом действующих на него переменных (варьируемых факторов). 
Сущность такого статистического моделирования заключается в 
следующем. В большинстве случаев в уравнениях исходной детерминированной модели есть набор констант, которые в реальном исследуемом 
процессе колеблются в небольших, но предсказуемых различными причинами диапазонах. Эту особенность целесообразно использовать, чтобы, 
обобщенно говоря, перевести эту детерминированную модель в вероятностную. С этой целью из комплекса указанных констант выбирают наиболее 
предсказуемые и изученные и объединяют их в группу, которую, используя терминологию модели «черного ящика», будем называть «плавающими» контрольными факторами. 
Следующий цикл моделирования заключается в составлении таблицы факторного пространства, в которой оговариваются все вопросы, связанные с выбором, натуральном и кодированном обозначениях, диапазонах 
и уровнях варьирования основных факторов. Далее устанавливают и описывают выходные параметры (искомые результирующие зависимые переменные, функции отклика), аппроксимирующий полином и в заключение 
составляют матрицу планирования предстоящего модельного многофакторного эксперимента. 
Затем практически аналогично составляют таблицу факторного 
пространства «плавающих» контрольных факторов. 
Управление «плавающими» контрольными факторами. Учет 
«плавающих» контрольных факторов при статистическом моделировании 
позволяет не только перевести исходную детерминированную модель в вероятностную, но и уточнить ее по отношению к исследуемой технологической операции. При этом весьма важную роль играет не только выбор указанных факторов, но и обоснованное назначение диапазона их варьирования, верхней и нижней границы диапазона по отношению к соответствующей константе в детерминированной модели, а также установление теоретического закона распределения частных значений соответствующего 
«плавающего» контрольного фактора, по которому будут определяться их 
частные значения для параллельных опытов с помощью генератора случайных чисел (метод Монте-Карло).  
Для получения результатов параллельных опытов в каждой строке 
матрицы планирования модельного эксперимента составляют вспомогательную таблицу (рис. 1), в которой для каждой строки указанной матрицы 
с помощью генератора случайных чисел в установленном диапазоне  
и по принятому закону распределения моделируют соответствующий набор частных значений «плавающих» факторов, количество которых соответствует числу задаваемых в модельном эксперименте параллельных 
опытов. 

Общее машиностроение 
 

 
5

Поскольку сама любая выборка является случайной, то для уменьшения влияния элемента случайности в каждой строке матрицы планирования полученный набор «плавающих» контрольных факторов следует перезадавать, т. е. генерировать вновь. 
При этом в каждой строке матрицы планирования результаты параллельных опытов получают, производя расчеты по детерминированной 
модели, подставляя в нее неизменную комбинацию основных варьируемых 
факторов, но различные комбинации (вместо констант) «плавающих» контрольных факторов (на рис. 1 их 5). 
Таким образом, перевод исходной детерминированной модели в вероятностную осуществляется без искусственной искажающей корректировки таких показателей результирующей выборки, как показатели рассеивания. Последующая обработка результатов модельного эксперимента 
осуществляется полностью по методике натурного многофакторного планируемого эксперимента. 
 

 
 
Рис. 1. Пример вспомогательной таблицы модельного эксперимента, 
в которой приведены наборы частных значений трех «плавающих» 
контрольных факторов для пяти параллельных опытов в каждой 
строке матрицы планирования 
 
Отдельно следует отметить, что статистическое моделирование 
процессов, представленных детерминированными исходными математическими системами, не претендует на какой-либо учет влияния на результирующие уравнения регрессии действия случайных факторов. Такой учет 
может быть получен только проведением натурного эксперимента или 
специального статистического моделирования, если исследуемый процесс 
достаточно хорошо экспериментально изучен. 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2017. Вып. 7 
 

 
6

Если в результате какой-то коэффициент регрессии оказался незначимым, то, как и в натурном эксперименте, это означает, что при установленных интервалах варьирования основных и «плавающих» контрольных 
факторов соответствующий основной фактор практически не влияет  
на результирующий выходной параметр. Если же модель оказалась неадекватной, то это положительный результат, показывающий, что действительно произошло уточнение детерминированной модели, поскольку результаты моделирования сопоставляются с данными, полученными только 
по ней. 
Для более эффективного повышения качества детерминированной 
модели следует придерживаться изложенных далее положений и правил, 
которые сведены в виде набора тезисов. 
1. Одними из важных моментов управления «плавающими» контрольными факторами являются установление диапазона их варьирования 
и расположение верхней и нижней его границ (верхнего и нижнего уровней варьирования) относительно номинального значения соответствующей 
константы в детерминированной модели. Очевидно, что при этом учитывают соответствующие физический, механический, логический, экспериментально накопленный и другие аспекты имеющейся информации, однако следует иметь в виду и следующее. 
Наиболее неудачным является вариант, когда от номинала константы в обе стороны (увеличения и уменьшения численного значения) для установления диапазона симметрично откладывают некоторый неизменный 
интервал варьирования. Если при этом для генерирования частных значений «плавающих» факторов (рис. 1) использовать нормальный закон распределения, то повышения качества детерминированной модели не будет, 
поскольку среднее значение этих выборок все равно будет стремиться к 
номиналу константы, а получаемые незначительные расхождения обусловлены лишь случайностью и ограниченностью самих выборок (рис. 1). 
Если возникающая корректировка уравнений регрессии вызвана тем, что 
какие-то факторы оказались незначимыми, то это обусловлено лишь переводом детерминированной модели в вероятностную и появившейся возможностью провести проверку статистических гипотез (проверку полученных коэффициентов регрессии на значимость). Поэтому, если есть выбор, такие константы в модели не следует принимать в качестве «плавающих» контрольных факторов. 
2. Если при варианте, описанном в п. 1, возникает ситуация, когда 
не применим нормальный закон распределения, а более логичен закон с 
ярко выраженной правосторонней или левосторонней асимметрией [4], что 
сдвигает моду (значение исследуемого признака, которому соответствует 
наибольшая частота частных значений в выборке), а следовательно, и 
среднее выборки к верхней или нижней границе диапазона варьирования, 
то можно воспользоваться другими соответствующими законами распре

Общее машиностроение 
 

 
7

деления. В частности, при правосторонней применимы законы Релея, Максвелла, логнормальный, достаточно теоретических законов изучено и для 
распределений с левосторонней асимметрией [5].  
Однако с практической точки зрения без потери точности расчетов 
целесообразно соответствующим образом предварительно обоснованно 
скорректировать положение диапазона варьирования «плавающего» фактора относительно численного значения константы и применить хорошо 
изученный и имеющийся в прикладных компьютерных программах нормальный закон распределения. 
3. Ряд исследователей производят перевод детерминированной системы в вероятностную без учета «плавающих» контрольных факторов, а 
искусственным, необоснованным разбросом результирующих значений 
выходного параметра в основной матрице, рассчитанных по этой модели, 
симметрично в большую и меньшую стороны на 5, 10 или 15 %, принимая 
эти значения за результаты модельных параллельных опытов. Данная процедура не изменит значение построчных средних, а следовательно, и расчетные значения коэффициентов регрессии. Однако от численных значений построчных дисперсий зависит дисперсия воспроизводимости (выходного параметра) и, как итог, проверка статистических гипотез – значимости коэффициентов регрессии и адекватности модели. Они соответствуют 
уже искусственно созданным выборкам и не отражают особенности исследуемого процесса. Необоснованное исключение якобы незначимых факторов приведет уже к корректировке оставшихся варьируемых факторов. Вопрос об актуальности полученной в этом случае модели тоже не актуален, 
поскольку результаты расчетов по детерминированной модели по точности 
сопоставляются с результатами необоснованно сформированной модельной выборки. 
4. В ряде случаев возникает необходимость установить вероятностную модель, при которой выбранные «плавающие» контрольные факторы 
могут колебаться по всей ширине обоснованных симметричных относительно своих констант в детерминированной модели интервалов. В этом 
случае для установления построчных выборок этих факторов не рекомендуется использовать равновероятное распределение, поскольку оно обладает весьма большим аспектом случайности, и для каждой строки придется 
провести не одну тысячу модельных параллельных опытов. Здесь целесообразно при ограниченном числе расчетов просто равномерно распределить частные значения «плавающих» факторов по всему диапазону. В частности, для 5 параллельных опытов это будет составлять набор из верхней и нижней границ, середины и значений 1 4 и 3 4 диапазонов варьирования. 
Данная вероятностная модель не получит уточнения за счет непосредственного расчета коэффициентов регрессии (они первоначально будут такими же, как в детерминированной модели), однако проверка стати

Известия ТулГУ

стических гипотез будет
чениях коэффициентов регрессии
явлены незначимые. 

Пример анализа изотермической

фабрикатах с наклонным
аппаратов решаются задачи
но высокой надежностью
имеют отбортовки в зоне
менты трубопроводов и т
требуемую жесткость.  
 

 
Исследование операции

терминированной модели осуществлялось
программном комплексе

 

Рис. 3. Модель сборки

в среде программного

1 – пуансон; 2 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2017. Вып. 7

8

гипотез будет весьма корректной и, как и ранее, поправки

коэффициентов регрессии могут наступить, если из них

анализа изотермической отбортовки отверстий
наклонным фланцем. При проектировании

решаются задачи создания конструкций с минимальной

надежностью. Многие детали изделий авиационной

отбортовки в зоне отверстий (горловины баков, переходники
трубопроводов и т.д.), что уменьшает вес деталей и обеспечивает

 
Рис. 2. Детали с фланцем 

Исследование операции изотермической отбортовки с помощью

терминированной модели осуществлялось методом конечных

комплексе Qform 2D/3D (рис. 3, 4) [6].

Модель сборки полуфабриката и инструмента

среде программного комплекса Qform 2D/3D

пуансон; 2 – прижим; 3 – заготовка; 4 –  матрица

и ранее, поправки в зна
наступить если из них будут вы
отбортовки отверстий в полу
проектировании летательных 

с минимальной массой, 

изделий авиационной техники 

баков переходники, эле
й и обеспечивает 

отбортовки с помощью де
методом конечных элементов в 

инструмента

D: 

матрица

В результате данного

частных графических зависимостей
варьируемых переменных
мер представления которых

Далее осуществляется

в вероятностную на базе математического
торного планируемого эксперимента
двух сплавов – алюминиевого
димая технологическая сила
варьируемым факторам приведен
(табл. 1). 

                                      а           

Рис. 4. Схем

а – до деформации

Рис. 5. Графические зависимости

от относительного

 где h и k
h  – текущее

а – сплав AМг6; б – сплав

инструмента

µ =
µ =
µ =
µ =

Общее машиностроение 
 

9

зультате данного моделирования может быть получен

графических зависимостей при фиксированных зна

переменных, входящих в детерминированную модель

представления которых показан на рис. 5.  

осуществляется перевод данной детерминированной

вероятностную на базе математического аппарата активного

планируемого эксперимента. В качестве выходного параметра

алюминиевого АМг6 и титанового ВТ6 – принята

технологическая сила. Перечень прочей информации по

факторам приведен в таблице факторного простран

                                 б 

Схема процесса отбортовки отверстия
до деформации; б – после деформации

Графические зависимости необходимой технологической

относительного перемещения инструмента h
h h

текущее и конечное перемещение инструмента

сплав ВТ6 (
0,1 мм/с
V ====
 – скорость перемещения

инструмента; 
1,7
o
K
====
– коэффициент отбортовки

0,1
µ =
µ =
µ =
µ =
 – коэффициент трения) 

может быть получен набор 

фиксированных значениях ряда 

детерминированную модель, при
детерминированной модели 

аппарата активного многофак
выходного параметра для 

принята необхо
информации по основным 
факторного пространства 

 

отверстия:

технологической силы

/
k
h
h h
====
, 

перемещение инструмента: 

скорость перемещения 

отбортовки; 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2017. Вып. 7 
 

 
10

,

Таблица 1 
Факторное пространство основных варьируемых факторов 
 

Основные факторы 
Уровни варьирования  
факторов 

№
Наименование 
фактора 

Натуральное 
обозначение 
фактора 

Кодированное 
обозначение 
фактора 

min
ix
 

-1 

0
ix
 

0 

max
ix
 

+1 

1 
Угол наклона 
фланца 
αααα
1
x  
5 
12,5 
20 

2 
Скорость  
перемещения 
пуансона 

V
2
x  
0,1 
5,05 
10 

3 
Коэффициент 
отбортовки 
0
K
3
x  
1,6 
1,8 
2 

4 
Коэффициент 
трения на  
пуансоне 

П
µµµµ
4
x  
0,1 
0,25 
0,4 

 
Проведен полный факторный эксперимент для 4 факторов, варьируемых на 2 уровнях. В качестве аппроксимирующего полинома принималась линейная модель со всеми эффектами взаимодействий. Численные 
значения выходного параметра в каждой точке плана вычислялись по 
результатам трех параллельных опытов. Т.к. при анализе детерминированной модели не представляется возможным получение в параллельных опытах различающихся значений выходного параметра, при выполнении статистического моделирования с целью получения построчных дисперсий и 
возможности проведения проверки статистических гипотез первоначально 
был использован искусственный разброс выходного параметра на ±5, ±10  
и ±15 %. Соответствующие значения выходного параметра получены моделированием в программном комплексе Qform. Обработка результатов и 
проверка статистических гипотез полностью соответствовали методике 
обработки результатов натурного многофакторного эксперимента [7]. Результирующие статистически обоснованные уравнения регрессии для трех 
рассмотренных вариантов формирования построчных дисперсий в кодированных переменных имеют вид:  
сплав ВТ6 

±5 %  - 1
1
2
3
4
1
2
2
4
28,8
1,16
4,18
1,51
2,98
0,84
0,53
;
Y
X
X
X
X
X X
X X
=
−
+
+
+
−
+
=
−
+
+
+
−
+
=
−
+
+
+
−
+
=
−
+
+
+
−
+
  (1) 
±10 %  -  1
1
2
3
4
28,8
1,16
4,18
1,51
2,98
;
Y
X
X
X
X
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
                   (2) 
±15% - 1
1
2
3
4
28,8
1,16
4,18
1,51
2,98
.
Y
X
X
X
X
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
                    (3)