Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2017, № 1

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Тульский государственный университет» 
 

 
 
 
16+ 
ISSN 2071-6168 
 
 
 
 
 
 
 
ИЗВЕСТИЯ  
ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 
 
 
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ 
 
 
Выпуск 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Тула 
Издательство ТулГУ 
2017 

УДК 621.86/87                                                                             ISSN 2071-6168 
 
 
Известия Тульского государственного университета. Технические науки.  
Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2017. 318 с.
 
Рассматриваются научно-технические проблемы материаловедения 
и технологии конструкционных материалов, машиностроения и машиноведения, военно-специальных наук, информатики, вычислительной техники и обработки информации. 
Материалы предназначены для научных работников, преподавателей вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в проблематике 
технических наук. 
 
 
Редакционный совет 
 
М.В. ГРЯЗЕВ – председатель, В.Д. КУХАРЬ – зам. председателя, 
В.В. ПРЕЙС – главный редактор, А.А. МАЛИКОВ – отв. секретарь, 
И.А. БАТАНИНА, О.И. БОРИСКИН, М.А. БЕРЕСТНЕВ, В.Н. ЕГОРОВ, 
О.Н. ПОНАМОРЕВА, Н.М. КАЧУРИН, В.М. ПЕТРОВИЧЕВ 
 
 
 
Редакционная коллегия 
 
О.И. Борискин (отв. редактор), С.Н. Ларин (зам. отв. редактора), 
Б.С. 
Яковлев 
(отв. 
секретарь), 
И.Л. 
Волчкевич, 
Р.А. 
Ковалев,  
М.Г. Кристаль, А.Д. Маляренко (Республика Беларусь), А.А. Сычугов,  
Б.С. Баласанян (Республика Армения), А.Н. Чуков  
 
Подписной индекс 27851 
по Объединённому каталогу «Пресса России» 

Сборник 
зарегистрирован 
в 
Федеральной 
службе по надзору в сфере связи, информационных 
технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор).  
ПИ № ФС77-61104 от 19 марта 2015 г.  

 
«Известия ТулГУ» входят в Перечень ведущих 
научных 
журналов 
и 
изданий, 
выпускаемых 
в 
Российской Федерации, в которых должны быть 
опубликованы научные результаты диссертаций на 
соискание учёной степени доктора наук 
 
 
© Авторы научных статей, 2017 
© Издательство ТулГУ, 2017 

Материаловедение и технология конструкционных материалов 
 

 
3

 
 
 
 
 
 
МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ  
И ТЕХНОЛОГИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ 
 
 
 
 
УДК 658.5.012.1; 519.711.3; 669.18 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ 
ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРОДУГОВОЙ СТАЛЕПЛАВИЛЬНОЙ ПЕЧИ 
С ПОДАЧЕЙ МАТЕРИАЛОВ ЧЕРЕЗ ДОННЫЕ ФУРМЫ 
 
А.А. Арсеньева 
 
Описаны результаты математического анализа  процесса получения жидкого 
железа прямого восстановления, выполненного на базе уравнения термодинамического 
состояния веществ. Определены параметры оптимизации печи и установлена наиболее рациональная конструкция. 
Ключевые слова: физико-математическое моделирование, железо прямого 
восстановления, тепломассоперенос, оптимизация печи. 
 
Проблемы отечественной металлургии требуют решения задач, направленных на разработку эффективных технических решений, поиск оптимальных режимов управления существующими процессами, а также 
создание принципиально новых технологий и конструкций агрегатов. Одним из новых является процесс одновременного получения железа прямого 
восстановления и газификации угля в электродуговой сталеплавильной печи с загрузкой материала через донные фурмы (рис. 1). 
ДСП имеет корпус, в котором находятся металлическая и шлаковая 
ванны, три графитовых электрода, три донные фурмы для подачи оксида 
железа, три фурмы для подачи угольной пыли сквозь толщу металлической 
ванны и фурма для подачи кислорода. 
Так как экспериментальное исследование в металлургии исключительно дорого, то до начала выполнения работ по созданию предложенного агрегата необходимо выполнить теоретический анализ, целью которого является определение оптимального расположения его элементов, в 
первую очередь, электродов и фурм.  

Известия ТулГУ. Технические науки. 2017. Вып. 1 
 

 
4

Критериями оценки являются термодинамическое состояние материалов в печи и химический состав расплава. Для обеспечения максимальной энергетической эффективности необходимо минимизировать рабочую 
температуру агрегата. Так как эта температура ограничена температурой 
плавления, то задача сводится к определению расположения элементов, 
при котором распределение температуры будет равномерным. Эта задача 
решена методом компьютерного моделирования физико-химических явлений. 
Так как процесс протекает во времени и пространстве, то термодинамическое состояние непрерывно изменяется вследствие выделения теплоты электрической дугой и химическими реакциями. Химический состав 
также непостоянен вследствие протекающих реакций и подачи элементов 
во время плавки. Физико-математическое моделирование процесса заключается в решении системы дифференциальных уравнений энергии и массопереноса. 
 

 
Рис. 1. Устройство дуговой сталеплавильной печи  
энергометаллургического комплекса: 1 – корпус печи; 2 –электроды;  
3 – фурмы для подачи железной руды; 4 – фурмы для подачи угольного 
порошка; 5 – летка слива железа прямого восстановления;  
6 – летка слива шлака; 7 – кислородная фурма 

Материаловедение и технология конструкционных материалов 
 

 
5

При описании физических явлений использована ортогональная декартова система координат.  
Пространство моделирования условно разделено на области: E – 
область угольных электродов; D – область электрических дуг; R – область 
расплавленного шлака; M – область расплава металла; F – область футеровки печи; G – область газовой среды. Каждая из областей в зависимости 
от свойств веществ и процессов, происходящих в ней, описывается специальной системой уравнений. 
Движение расплава. Подача двуокиси железа и угольного порошка, выделения угарного газа при их химическом взаимодействии ведет 
к возникновению давления. Это давление вызывает перемещение расплава. 
Течение жидкости описывается уравнением Навье – Стокса, которое в декартовой системе координат имеет вид [1] 















∂

∂
+
∂

∂
+
∂

∂
η
+
∂
∂
−
=
∂
∂
ρ
2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

v
x
p
t
v
x
x
x
x
, 

            














∂

∂
+
∂

∂
+
∂

∂
η
+
∂
∂
−
=
∂

∂
ρ
2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

v

y
p
t

v
y
y
y
y
,                           (1) 












∂

∂
+
∂

∂
+
∂

∂
η
+
∂
∂
−
=
∂
∂
ρ
2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

v
z
p
t
v
z
z
z
z
, 

где vx, vy, vz – составляющие скорости течения в направлении соответствующих координат; ρ – плотность расплава; p – давление в данной 
точке пространства; η – динамическая вязкость. 
Распределение давления в расплаве определяется при решении 
уравнения неразрывности 

                                       
0
=








∂
∂
+
∂

∂
+
∂
∂
=
∂
∂
z
v
y

v

x
v
E
t
p
z
y
x
,                                 (2) 

где E – модуль упругости. 
Плотность расплава ρ, содержащего двуокись железа, угольный порошок и угарный газ, рассчитывается по концентрации С этих компонент в 
расплаве: 

                       

CO
C
FeO
Fe

CO
CO
C
C
FeO
FeO
Fe
Fe
C
C
C
C
C
C
C
C
+
+
+

ρ
+
ρ
+
ρ
+
ρ
=
ρ
,                    (3) 

где ρFe, ρFeO, ρC, ρСО – плотности расплава, двуокиси железа, углерода и 
угарного газа. 
Начальные условия для решения уравнения Навье – Стокса: t=0, 
vx=0, vy=0, vz=0, p=pj. 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2017. Вып. 1 
 

 
6

Граничные условия уравнения Навье – Стокса: 
на поверхностях F∩R∪F∩M соприкосновения расплава с футеровкой и с металлошихтой Х∩R∪Х∩M принято условие прилипания 
vx=0, vy=0, vz=0; 
На поверхности соприкосновения расплава с газовой средой 
G∩R∪G∩M и областью дуги D∩R∪D∩M принята свободная граница для 
движения расплава 

;0
;0
;0
=
=
∂

∂

=
∂
∂
z
y
x
v
z

v

z
v
 

подача материалов в области действия донных фурм учтена заданием на диаметрах dF, dC отверстий фурм скоростей движения расплава:  

ρ
π
=
G

d
v
FC
z
2
4
, 

где G – массовый поток подаваемого материала, кг/с; ρ – плотность материала. 
Распределение концентрации элементов в шлаковой и металлической ваннах. Концентрация элементов в расплаве изменяется при 
плавлении компонентов шихты и переходе ее элементов в расплав, химическом взаимодействии элементов в расплаве и перемещении продуктов 
взаимодействия потоком жидкости. Изменение концентрации C всех элементов расплава описывается уравнением переноса. Это изменение определяется минимальной концентрацией компонента в соответствии с химической реакцией С(t)=min(C1(t), C2(t). Для основной реакции восстановления железа  Fe2O3+3C=2Fe+3CO: 
а) изменение концентрации оксида железа 

+












∂
∂
∂
∂
+








∂
∂
∂
∂
+




∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
z
C
z
y
C
y
x
C
x
D
t
C
FeO
FeO
FeO
FeO
 

( );
t
R
z
C
v
y
C
v
x
C
v
FeO
FeO
z
FeO
y
FeO
x
+
∂

∂
+
∂

∂
+
∂

∂
+
                       (4) 

б) изменение концентрации углерода 

+












∂
∂
∂
∂
+








∂
∂
∂
∂
+




∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
z
C
z
y
C
y
x
C
x
D
t
C
C
C
C
C
 

( );
t
R
z
C
v
y
C
v
x
C
v
C
C
z
C
y
C
x
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
                              (5) 

в) изменение концентрации угарного газа 

+












∂
∂
∂
∂
+








∂
∂
∂
∂
+




∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
z
C
z
y
C
y
x
C
x
D
t
C
CO
CO
CO
CO
 

( ),
t
R
z
C
v
y
C
v
x
C
v
CO
CO
z
CO
y
CO
x
+
∂

∂
+
∂

∂
+
∂

∂
+
                           (6) 

Материаловедение и технология конструкционных материалов 
 

 
7

где D – коэффициент диффузии данного элемента в жидком железе; vx, vy, 
vz – скорости движения расплава, определяемые из решения уравнения Навье – Стокса; С(t) – изменение концентрации вещества вследствие течения 
химических реакций; R(t) – скорость изменения концентрации. 
Скорость изменения концентрации рассчитывается по формулам: 
а) скорость изменения концентрации оксида железа 

      
( )









<
−
=

>
⋅
=
;
3
3

;
3
0
min
FeO
C
C
FeO

FeO
C
FeO
C
C
при
C
C

C
C
при
A
t
R
                (7) 

б) скорость изменения концентрации углерода 

                   
( )









<

>
−
=
⋅
=
;
3
0

;
3
3
min
FeO
C

FeO
C
FeO
C
C
C
C
при

C
C
при
C
C
A
t
R
                  (8) 

в) скорость изменения концентрации угарного газа 

                 
( )









<
+
=

>
+
=
⋅
=
,
3

;
3
3
min
FeO
CO
c
CO

FeO
CO
FeO
CO
CO
C
C
при
C
C

C
C
при
C
C
A
t
R
                 (9) 

где – A скорость химической реакции, с-1. 
Граничные условия уравнения переноса: 
на поверхностях соприкосновения расплава со стенками печи и газовой средой 
(
)
S
G
R
∪
∩
 используется условие непроницаемости этих поверхностей для жидких компонент расплава 

(
)
S
G
R
z
y
x
z
C
y
C
x
C
∪
∩
∈
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
,
,
;0
;0
;0
; 

для газообразных компонент расплава на поверхности соприкосновения расплава с газовой средой 
(
)
S
G
R
∪
∩
 используется условие полного удаления газа из расплава 

G
R
z
y
x
C
∩
∈
=
,
,
;0
; 
на выходе донных фурм 
F
R ∩
заданы потоки двуокиси железа и углерода 

F
R
z
y
x
G

D
t
C
∩
∈
ρ
π

=
∂
∂
,
,
;
4
2
. 

Начальные условия: в момент начала цикла (после слива части металла и шлака, когда подача материалов в печь прекращается) принято, что 
в печи нет непрореагировавших двуокиси железа и углерода: 

.0
;0
=
=
C
t

Известия ТулГУ. Технические науки. 2017. Вып. 1 
 

 
8

Удельные мощности выделения и поглощения теплоты. Основным источником теплоты является электрическая дуга. Подача холодных 
материалов (двуокиси железа и угольного порошка) рассматривается как 
сток теплоты. Большое значение имеет теплота химических реакций, главной из которых является эндотермическая реакция восстановления железа 
углеродом из двуокиси железа. 
Электрическая дуга. Допустимо считать, что вся мощность дуги 
равномерно выделяется в круге, радиус которого больше радиуса электродов Re на длину дуги: 

                                              
2









+

=

gradU
U
R

I
U
q

e
e

e
e
e

π

,                                     (10) 

где Ue, Ie – ток и напряжение дуги; gradU – градиент потенциала в столбе 
дуги, равный 3 В/мм для дуги, горящей в парах металла. 
Допустимо считать, что удельная теплота взаимодействия  кислорода, подающегося через сопло, и железа, находящегося в расплаве, равномерно выделяется в круге 

                                 
2
О

О
Fe
О
Fe
О
R

M
H
q
π

⋅
=
+
+
,                                      (11) 

где HO+Fe – энтальпия реакции горения железа в струе подаваемого кислорода; MO – массовый поток кислорода, кг/с; RO – радиус кислородного сопла. 
Расход теплоты на нагревание поступающих материалов учитывается автоматически при решении уравнения теплопроводности скоростными слагаемыми теплопереноса и граничными условиями уравнения Навье – Стокса, которые задают скорость движения материала через донные 
фурмы. 
Реакция восстановления железа углеродом с выделением угарного 
газа идёт в объёме металлической M ванны. Интенсивность реакции определяется концентрациями двуокиси железа и углерода в рассматриваемой 
точке металлической ванны. 
Длительность химической реакции мала по сравнению с общим 
временем плавки. Поэтому интенсивность поглощения теплоты определяется концентрацией элементов в расплаве. Удельная мощность поглощения теплоты реакции 

        
,
,
min
3
2
3
2
3
2
3
2
С
О
Fe
С
С
О
Fe
О
Fe
С
О
Fe
Q
dt
dС
dt
dС
q
+
+






=
ρ
ρ
        (12) 

где ρFe2O3, ρC – распределение концентрации реагента, кг/м3; Q – энергия 
химической реакции, Дж/кг. 

Материаловедение и технология конструкционных материалов 
 

 
9

Удельная мощность выделения теплоты реакции окисления 

                
.
,
min
О
С
О
О
C
C
О
C
Q
dt
dС
dt
dС
q
+
+






ρ
ρ
=
                      (13) 

Теплота эндотермической реакции восстановления составляет  
3,07 МДж в расчете на 1 кг Fe2O3. 
Общая интенсивность источника теплоты 







−
+

−

−

=

+
+

+
.

,

,

3
2
расплава
объеме
в
q
q

железа
окисления
зона
q

дуги
зоне
в
q

q

C
О
Fe
О
C

Fe
O

е

i
 

Модель термодинамического состояния и теплопереноса. Во 
всех указанных областях печи протекает нестационарный термодинамический процесс, который описывается изменением энтальпии H(t) множества 
точек пространства во времени t. Нестационарное линейное уравнение теплопроводности в декартовой системе координат x, y, z имеет вид [1] 

−




∂
∂
λ
∂
∂
+








∂
∂
λ
∂
∂
+




∂
∂
λ
∂
∂
=
∂
∂
ρ
z
T
z
y
T
y
x
T
x
t
T
C
 

)
,
,
,
(
)
(
t
z
y
x
R
q
z
T
v
y
T
v
x
T
v
С
CO
i
z
y
x
⋅
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
ρ
,                    (14) 

где T – температура точек пространства; λ – коэффициент теплопроводности среды, зависящий от координат расположения точки в пространстве, типа вещества и температуры в этой точке; Cρ – удельная теплоемкость; vx, vy, vz – скорости движения вещества в направлении соответствующих координат; qi – удельные значения мощности выделения и поглощения теплоты в данной точке пространства 

              
.
FeО
О
С
Fe
O
e
i
q
q
q
q
q
−
+
∆

+
=
+
+
                               (15) 

Энтальпия и температура в этом уравнении связаны нелинейными 
функциями T(H), которые учитывают теплоёмкость и теплоты фазовых и 
агрегатных превращений вещества в каждой из выделенных зон пространства. Коэффициент теплопроводности зависит от температуры, и нужно 
учитывать его различие в разных зонах печи [2 – 5]. 
Начальными условиями принято, что все точки пространства в начальный момент времени имеют одинаковую температуру T0: 

(
)
0
,
,
;0
T
z
y
x
T
t
=
=
. 

Граничные условия учитывают теплообмен печи с внешней средой. 
На внешней поверхности футеровки F∩0 имеется теплоотдача, создающая 
в футеровке градиент температуры: 

(
),
0
T
T
b
gradT
F

F

−
λ
−
=
 

Известия ТулГУ

где b – коэффициент теплоотдачи
футеровки. 

Оптимизация конструкции

процесса плавления материалов
печить равномерное распределение
мерное распределение температуры
нормального протекания процесса
выделения теплоты на поверхности
ревых потоков, возникающих
кислорода. Этого можно достичь
ложения электрических дуг

Таким образом, 

ное расположение диаметров
б) оптимальное расположение

Определив среднеквадратичную

выявить диапазон значени

=
T
V
S

где ST – среднеквадратичная
расплавом; T0 – среднее значение

Оптимальное расположение

подачи материала определено

Распределение зависимости

тивных характеристик показано

Рис. 2. Зависимость дисперсии

центров фурм; б

а 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2017. Вып. 1

10

коэффициент теплоотдачи; λF – коэффициент теплопровод

Оптимизация конструкции печи. Для нормального

плавления материалов в металлургической печи требуется

равномерное распределение температуры по объему
распределение температуры в расплаве железа, необходимое

протекания процесса, обеспечивается при расположении

теплоты на поверхности расплава над зонами нисходящих

возникающих в расплаве при подаче руды и

Этого можно достичь путем нахождения оптимального

электрических дуг и фурм для подачи реагирующих веществ

параметрами оптимизации являются

расположение диаметров центров донных фурм для подачи

расположение диаметров центров электрических

Определив среднеквадратичную дисперсию температуры

диапазон значений оптимальных диаметров центров

∫∫∫
−
⋅
V
z
y
x
z
y
x
d
d
d
T
T
T
V

2
0
)
,
,
(
0
)
(
1
,        

среднеквадратичная дисперсия температуры; V –

среднее значение температуры,

∫∫∫
=
z
y
x
d
d
d
z
y
x
T
V
T
)
,
,
(
1
0
.      

Оптимальное расположение электрических дуг и донных
материала определено решением вариационной задачи

min
var
var
var

→
=
=
=

γ
DF
De

T
S
. 

Распределение зависимости дисперсии температуры от
характеристик показано на рис. 2.

Зависимость дисперсии температуры от: а –

фурм; б – диаметров центров электрических

в – угла поворота 

б 

коэффициент теплопроводности 

нормального протекания 

металлургической печи требуется обес
по объему печи. Равно
железа необходимое для 

обеспечивается при расположении зон 

зонами нисходящих вих
подаче руды и угля и струй 

ия оптимального распо
реагирующих веществ.

являются: а) оптималь
фурм для подачи материала; 

электрических дуг.

дисперсию температуры, можно 
диаметров центров

                    (16) 

объем ванны с 

(17) 

дуг и донных фурм для 

вариационной задачи

температуры от конструк
 

диаметров  

электрических дуг; 

в