Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2016, № 3

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Тульский государственный университет» 
 

 
 
 
16+ 
ISSN 2071-6168 
 
 
 
ИЗВЕСТИЯ  
ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 
 
 
 
 
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ 
 
 
Выпуск 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Тула 
Издательство ТулГУ 
2016 

УДК 621.86/87                                                                             ISSN 2071-6168 
 
 
Известия Тульского государственного университета. Технические науки.  
Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2016. 273 с.
 
Рассматриваются научно-технические проблемы технологии и оборудования обработки металлов давлением, военно-специальных наук, 
электротехники, 
приборостроения, 
метрологии 
и 
информационноизмерительных приборов и систем, информатики, вычислительной техники, обработки и защиты информации, машиностроения и машиноведения. 
Материалы предназначены для научных работников, преподавателей вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в проблематике 
технических наук. 
 
 
Редакционный совет 
 
М.В. ГРЯЗЕВ – председатель, В.Д. КУХАРЬ – зам. председателя, 
В.В. ПРЕЙС – главный редактор, А.А. МАЛИКОВ – отв. секретарь, 
И.А. БАТАНИНА, О.И. БОРИСКИН, А.Ю. ГОЛОВИН, В.Н. ЕГОРОВ, 
В.И. ИВАНОВ, Н.М. КАЧУРИН, В.М. ПЕТРОВИЧЕВ  
 
 
Редакционная коллегия 
 
О.И. Борискин (отв. редактор), С.Н. Ларин (зам. отв. редактора), 
Б.С. 
Яковлев 
(отв. 
секретарь), 
И.Л. 
Волчкевич, 
Р.А. 
Ковалев,  
М.Г. Кристаль, А.Д. Маляренко (Республика Беларусь), А.А. Сычугов,  
Б.С. Баласанян (Республика Армения), А.Н. Чуков  
 
Подписной индекс 27851 
по Объединённому каталогу «Пресса России» 

 

Сборник 
зарегистрирован 
в 
Федеральной 
службе по надзору в сфере связи, информационных 
технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор).  
ПИ № ФС77-61104 от 19 марта 2015 г.  
«Известия ТулГУ» входят в Перечень ведущих 
научных 
журналов 
и 
изданий, 
выпускаемых 
в 
Российской Федерации, в которых должны быть 
опубликованы научные результаты диссертаций на 
соискание учёной степени доктора наук 
 
 
© Авторы научных статей, 2016 
© Издательство ТулГУ, 2016 

Технологии и оборудование обработки металлов давлением 
 

 
5

Подставив в первое из уравнений состояния материала (1) входящие величины 
e
e ξ
σ ,
, получим 

(
)
(
)

n
n

n
n
m
c
A
n
e
n
a
D
B

d
ctg
h
C
dt
p

1

0
1
sin
sin
sin
1
α








α
−
α
ϕ
ϕ
α
ω
−
σ
=
.              (5) 

С учётом второго соотношения (2) повреждаемость 

α








α
−
α
ϕ
ϕ

α
=
ω
&
&
ctg
A
h

a
p
C
D
c
пр

c
A
sin
sin

sin

1
1
.                               (6) 

Так как давление p  равномерно распределено по поверхности оболочки,  
для определения его величины во времени достаточно рассмотреть случай, 
когда 
0
=
ϕ
. Кроме того, именно в этом направлении идет более интенсивное утонение толщины оболочки и накопление повреждаемости. При 

0
→
ϕ
 уравнения (5) и (6) преобразуются как 

(
)
(
)

n
n

n
n
m
c
A
n
e
n
a
D
B

d
ctg
h
C
dt
p

1

0
1
sin
1
sin
1
α




α
−
α
α
ω
−
σ
=
,                 (7) 

α




α
−
α
α
=
ω
d
ctg
A
h

a
p
C
D
d
c
n

c
A
sin
1

sin
р

1
1
.                            (8) 

Уравнения (7) и (8) можно записать в следующем виде: 

( )
( )(
)

n
m
c
A
t
AФ
t
p
ω
−
=
1
,                                    (9) 

где    

a
D
B

f
a
b
h
C
A
n

n
n
n

n
n

e
n

1
1

1
2
1

0
0
1
1
2

+
+






==
σ
; ( )

(
)
n
n

f
n
f
n
t
a

b
t
t
Ф

1
2

2
2

2
1
2
1
/

+
−
+











+
=
; 

c
ср

f
f

c
A
A
h

dt
t
t
a

b
f
b
p
C
D

d
0

1
2
2

2

1
1
1
−










+

=
ω
.                           (10) 

Система уравнений (9) и (10) решается совместно методом итераций. Решение этой системы при известном перемещении вершины купола 
от времени позволяет найти давление 
( )t
p
, обеспечивающее заданное деформирование, и определить предельную высоту купола при деформировании оболочки, для чего нужно принять накопленную повреждаемость 

1
=
c
A
ω
. 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2016. Вып. 3 
 

 
6

Как и в предыдущем случае, если формоизменение оболочки определяется давлением p , необходимо воспользоваться системой уравнений 

(7) и (8), куда нужно подставить 
2
cos2
0

α
h
h =
. Решение этой системы 

осуществляется в общем случае так же, как было указано раньше. Рассмотрим вариант, когда 
const
p =
. Интегрируя уравнение (8) при началь
ных условиях 
0
,0
,0
=
α
=
ω
=
c
A
t
, найдем  

∫
α

α
α

α




α
−
α
=
ω
0
2
0

1
1

2
cos
sin

sin
1
d
ctg

A
h

a
p
C
D
c
пр

c
A
,                              (11) 

откуда следует 
















α
+
α

α

=
ω
2
2

2
cos

2
sin

3
1

3
0

1
1
tg
A
h

a
p
C
D
c
пр

c
A
.                              (12) 

Из выражения (12) в момент разрушения определяется угол раствора дуги 
*
α , принимающего при 
1
=
ωc

A
 вид 

a
p
C
D

h
A
tg
tg
c
пр

1
1

0
*
*
3
3

2
3
2
=
α
+
α
.                                     (13) 

При постоянном давлении уравнение (7) определяется следующим 
образом: 

(
) (
)
α
α




α
−
α
α
ω
−
=
d
ctg
A
dt
p
n
n
m
c
A
n
2
cos
sin
1
sin
1
2
1
,               (14) 

где                                             
n
n

n
n
e
a
D
B

h
C
A

1

0
0
1
1
σ
=
.                                         

Безразмерное время разрушения 
∗
∗ =
t
A
p
t
n

1

1
 можно записать как  

(
) (
)
∫

α

∗
α
α




α
−
α
α
ω
−
=
*

0

2
2
cos
sin
1
sin
1
d
ctg
t
n
n
m
c
A
.             (15) 

Рассмотрим случай, когда 
const
e
e
==
====
1
ξ
ξ
:  

(
)
(
)
n
e
n
m
c
A

n

C
A
p
1
1
2
/
1

1

1
2
cos
sin
1
ξ
α
α
ω
−








=
.                     (16) 

Путем подстановки первого уравнения состояния (1) во второе вычисляется накопление повреждаемости  

Технологии и оборудование обработки металлов давлением 
 

 
7

(
)
(
)

c
пр
n
e
e
n
m
c
A
c
A
A
B

n
n

1
1
0
/
1

1

+

ξ
σ
ω
−
=
ω&
.                                  (17) 

Проинтегрируем 
это 
уравнение 
с 
начальными 
условиями 

0
;0
=
==
c
A
t
ω
:   

n
m
n

n
ср

e
n
n

e
c
A
B
A

t
n
m
n
−
+


















−
+
−
=
1
0

1

1)
(
1
1
σ
ξ
ω
.                           (18) 

Это выражение определяет 
( )t
c
A

c
A
ω
=
ω
. Изменение угла α  в зависимости от времени при начальных условиях 
0
,0
=
=
α
t
: 

;

2
cos

1
ln

;
sin
1

2
1
1

1
1

α
=
ξ

α




α
−
α
=
=
ξ

C
t

dt
d
ctg
C
const

e

e

                                 (19) 

1

1
2
arccos
2
C
t
c
e

ξ

α
−−
==
 .                                           (20) 

Определив 
( )t
c
A
ω
 из выражения (17) и 
( )t
α
, также подставив их в 
выражение (16), получим значение давления 
( )t
p
, обеспечивающее деформирование при 
const
e ==
1
ξ
. 
Рассмотрим формоизменение оболочки из материала, подчиняющегося кинетической теории ползучести и повреждаемости (2). 

Накопление повреждаемости 
c
e
ω  можно вычислить, подставив выражение 
e
σ  из первого уравнения состояния (2) во второе. В результате 
получим 

α
α
α
ξ
ω
&
&




−−−−
==
==
ctg
C
B
k
B
k
c
e
c
e
sin
1
1
,                             (21) 

которое справедливо при 
0
=
ϕ
. 
Интегрируя 
это 
уравнение 
при 
начальных 
данных 

0
,0
,0
=
α
=
ω
=
с
e
t
, определим 

2
cos

1
ln
2
1
α
ω
C
B
k
c
e ==
.                                           (22) 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2016. Вып. 3 
 

 
8

При 
1
=
c
e
ω
 получим из уравнения (22)  угол 
*
α  в момент разрушения:  
















=
α
−
1
2
*
arccos
2
C
k
B

e
.                                      (23) 

Давление 
( )t
p
 может быть определено с использованием выраже
ний (7) с заменой 
c
A
ω
 на 
c
e
ω
 и (22). 
Рассмотрим случай, когда 
1
e
e
ξ
ξ =
. При этом интегрирование урав
нения (21) с учетом начальных условий 
0
,0
====
====
c
e
t
ω
 записывается в виде 

t
B
k
c
e
c
e
1
ξ
=
ω
 .                                              (24) 

Определим значение 
c
e
ω  по формуле (24), подставим в выражение 
(7), получим зависимость деформирующего давления p  от величины на
копленных микроповреждений 
( )t
c
e
ω
. Если, кроме этого, принять во внимание, что 

2
cos

1
ln
2
1
1
α
ξ
C
t
e
==
,                                        (25) 

т.е.                                             

1

1
2
arccos
2
C
t
e
e

ξ
−
=
α
,                                       (26) 

то выражение (7) даст зависимость давления от времени, обеспечивающее 

условие деформирования, при котором 
const
c
e

c
e
=
==
1
ξ
ξ
.  
Далее рассматривается случай, когда 
const
p =
. Угол 
*
α  в момент 
разрушения будет определяться по формуле (23), а величина накопленной 

повреждаемости 
c
e
ω  – по выражению (22). Безразмерное время разрушения 

определяется по формуле (15) с заменой в ней 
c
A
ω  на 
c
e
ω  и использованием 
выражения (22). 
Пусть формоизменение задается перемещением вершины купола в 
зависимости от времени. В этом случае первое уравнение состояния системы (2) может быть преобразовано к виду (9) при 
0
=
ϕ
. 
Уравнение, характеризующее накопленную повреждаемость, будет 
иметь вид  

Известия ТулГУ. Технические науки. 2016. Вып. 3 
 

 
10

(
)

(
)

(
)
.
sin
1
1

2
cos
sin
cos

1
ln

1

1
1
1
0
0

1
0

2
1
2
1
1

1

α




α
−
α
ω
−
×

×
ξ
ε





α
α

















α
σ

=

d
ctg
C

a
D

h
C

dt
p

k
r
cp
A

k
k
e
k
d
e

k
k
k
k
d
k
e
k
         

(30)

 

Из второго соотношения (4) может быть вычислена величина повреждаемости  

dt
h
A

d
p
a
D
C
dt
d

h
A

ctg
p
a
D
C

dt

d

cp
np
cp
np

cp
A

2
cos
2
2
cos
sin

sin
1

4
0

1
1
2
0

1
1

α
α
=
α
α
α





α
−
α
=
ω
.          (31) 

Путем решения системы уравнений (30) и (31) определяются величины p  и 
cp
A
ω
. Разрушение оболочки происходит в момент времени, когда 

1
=
cp
A
ω
. 
Рассмотрим случай, когда скорость деформации постоянна: 
cp
e

cp
e
1
ξ
ξ
=
. В этом случае, если учесть, что 
0
=
ϕ
, из уравнения (30) получим соотношение для нахождения давления p , которое запишется следующим образом: 

(
)

k

e

e
d
e

r
ср
A

d

e

a
D

h
C

p








ξ
ξ

ε









ω
−
α
α

















α
σ

=
0

1

1
0

0
2
2
1
0
1
2
cos
sin
cos

1
ln

.          (32) 

В этом случае повреждаемость 
cp
A
ω
 будет определяться как  

∫
α

α
α
=
ω
0
4
0

1
1

2
cos
2

pd

h
A

a
D
C
cp
пр

cp
A
.                                     (33) 

Система выражений (32) и (33) решается методом итераций и опре
деляется так 
( )
α
= p
p
 и 
( )
α
ωcp

A
. Зависимость α  от времени находится из 
условия  

)
2
(
cos

1
ln
sin
1
2
1
1
1
α
α
α
α
ξ
C
d
ctg
C
t
e
=




−
=
∫
,                   (34) 

т.е.                                     

1

1
2
arccos
2
C
t
e
e

ξ
−
=
α
.                                      (35)