Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2015, № 9

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Тульский государственный университет» 
 

 
 
 
16+ 
ISSN 2071-6168 
 
 
 
ИЗВЕСТИЯ  
ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 
 
 
 
 
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ 
 
 
Выпуск 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Тула 
Издательство ТулГУ 
2015 

УДК 621.86/87                                                                             ISSN 2071-6168 
 
 
Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 9. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. 318 с.
 
Рассматриваются научно-технические проблемы информатики, вычислительной техники и обработки информации. 
Материалы предназначены для научных работников, преподавателей вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в проблематике 
технических наук. 
 
 
Редакционный совет 
 
М.В. ГРЯЗЕВ – председатель, В.Д. КУХАРЬ – зам. председателя, 
В.В. ПРЕЙС – главный редактор, А.А. МАЛИКОВ – отв. секретарь, 
И.А. БАТАНИНА, О.И. БОРИСКИН, А.Ю. ГОЛОВИН, В.Н. ЕГОРОВ, 
В.И. ИВАНОВ, Н.М. КАЧУРИН, В.М. ПЕТРОВИЧЕВ  
 
 
 
 
Редакционная коллегия 
 
О.И. Борискин (отв. редактор), С.Н. Ларин (зам. отв. редактора), 
Б.С. 
Яковлев 
(отв. 
секретарь), 
И.Л. 
Волчкевич, 
Р.А. 
Ковалев,  
М.Г. Кристаль, А.Д. Маляренко (Республика Беларусь), А.А. Сычугов,  
Б.С. Баласанян (Республика Армения), А.Н. Чуков, С.С. Яковлев  
 
Подписной индекс 27851 
по Объединённому каталогу «Пресса России» 

Сборник 
зарегистрирован 
в 
Федеральной 
службе по надзору в сфере связи, информационных 
технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор).  
ПИ № ФС77-61104 от 19 марта 2015 г.  
«Известия ТулГУ» входят в Перечень ведущих 
научных 
журналов 
и 
изданий, 
выпускаемых 
в 
Российской Федерации, в которых должны быть 
опубликованы научные результаты диссертаций на 
соискание учёной степени доктора наук 
 
 
 
 
 
 
© Авторы научных статей, 2015 
© Издательство ТулГУ, 2015 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2015. Вып. 9 
 

 
4

u
J  - общее количество предметов на сцене; Y, Z - координаты системы  
координат, приведенной к плоскости расположения приемников излучения. 
На выходе аппаратных средств сигнал 
(
)
min
,
u
u
j
j
u
Z
Y
u
>
 внутри uj

-й области может быть представлен в виде [5, 6, 7] 

(
)
(
)
(
)
(
)
Z
Y
a
Z
Y
m
Z
Y
u
Z
Y
u
u
u
j
j
u
u
,
,
,
,
+
⋅
=
,                     (2) 

где 
(
)
Z
Y
u
uj
,
 - полезный сигнал, несущий информацию о 
uj -м предмете 

сцены; 
(
)
Z
Y
mu
,
 - мультипликативный шум; 
(
)
Z
Y
au
,
 - аддитивный шум. 
Общепринятой практикой является сведение мультипликативного 

(
)
Z
Y
mu
,
 и аддитивного 
(
)
Z
Y
au
,
 шума к суммарному эквивалентному аддитивному шуму 
(
)t
Z
Y
nu
,
,
, и представлению сигнала (2) в виде  
(
)
(
)
(
)
Z
Y
n
Z
Y
u
Z
Y
u
u
j
j
u
u
,
,
,
+
=
,                                (3) 

(
)
Z
Y
nu
,
 - эквивалентный аддитивный шум, который считается стационарным по всей плоскости расположения преобразователя электромагнитного 
излучения в электрический сигнал. 
Информативной составляющей при селекции точечного источника 
являются: вид области 
(
)
(
)
Z
Y
u
u
Z
Y
u
u
u
j
j
,
,
min
′
∈
>
, по которой может быть 

произведена классификация «точечный источник/не точечный источник», 
на основании той или иной модели и пиковое значение сигнала в указанной области. Именно по координатам (
)
(
)
[
]
Z
Y
u
Z
Y
u
u
u
j
Kj
Kj
,
max
arg
,
=
 опре
деляется местоположение точечного источника на наблюдаемой сцене.  
Преобразование модели (
)t
Z
Y
u
,
,
, полученной на выходе аппаратных средств, в множество информационных моделей областей 
(
)
Z
Y
u
uj
,
, 

u
u
J
j ≤
≤
1
, селекция из множества информационных моделей точечных 
источников и затем определение по отобранным моделям значений координат (
)

u
u
Kj
Kj
Z
Y
,
, определяющие местоположение uj -го точечного источ
ника 
{
}
u
u
J
j
...,
,1
∈
, производится программными средствами систем пеленгации/радиолокации, поэтому от сложности алгоритмов, закладываемых в программные средства, и точности их работы зависит эффективность функционирования всей системы в целом [8, 9, 10].  
Этапами преобразования сигнала являются: 
выделение из сигнала (
)
Z
Y
u
,
 области, 
(
)
Z
Y
u
uj
,
, являющейся моде
лью uj -го предмета на сцене; 
проверка гипотезы, является ли uj -й предмет сцены точечным источником; 
определение координат 
u
u
Kj
Kj
Z
Y
,
 местоположения uj -го точечно
го источника. 

Информатика, вычислительная техника и обработка информации 
 

 
5

Любое алгоритмическое преобразование сводится к вычислению 
некоторой функции от сигнала (
)
Z
Y
u
,
, например 
(
)
[
]
Z
Y
u
,
φ
. Критерий, по 
которому можно судить о качестве преобразования, имеет вид: 

(
)
(
)
[
]
{
}
(
)
min
,
,
1
,

2

min
→
φ
−
=
ε
∑
∫∫
=
>

u

u
uj
uj

u
u

J

j
u
Z
Y
u
j
j
dYdZ
Z
Y
u
Z
Y
u
.          (4) 

Исходя из критерия (4), преобразованный сигнал 
(
)
[
]
Z
Y
u
uj
,
φ
 дол
жен быть максимально приближен к исходному сигналу 
(
)
Z
Y
u
uj
,
 в облас
ти 
(
)
min
,
u
u
j
j
u
Z
Y
u
>
. 

Пусть преобразование [ ]
...
φ
 проводится для всей плоскости YОZ 
расположения преобразователя электромагнитного излучения в электрический сигнал, которую в данном случае будем считать бесконечной, как по 
координате Y, так и по координате Z. Целью преобразования является поиск области 
(
)
min
,
u
u
j
j
u
Z
Y
u
>
, в которой содержится информация о uj -м 

точечном источнике, сигнал которого имеет вид 
(
)
Z
Y
u
uj
,
. Вся прочая ин
формацию о других предметах наблюдаемой сцены считается, в контексте 
решаемой задачи, шумом. Сведем функциональное преобразование 

(
)
[
]
Z
Y
u
uj
,
φ
 к вычислению корреляционного интеграла  

(
)
(
)
[
]
(
)
(
) (
)
[
]
∫
∫

∞

∞
−

∞

∞
−

+
+
⋅
=
φ
=
′
Z
d
Y
d
Z
Z
Y
Y
f
Z
Y
u
Z
Y
u
Z
Y
u
u
u
j
sj
~
~
~
,
~
~
,
~
,
,
,     (5) 

где 
(
)
Z
Y
f
uj
,
 - импульсный отклик фильтра, обеспечивающего селекцию 

uj -го точечного источника; 
Z
Y
~
,
~
 - вспомогательные аргументы; 

(
)
[
]
Z
Y
u
u
sj
,
φ
 - функция селекции uj -го точечного источника. 

Импульсный отклик фильтра 
(
)
Z
Y
f
uj
,
 должен быть подобран та
ким образом, чтобы минимизировать ошибку  

(
)
(
)
[
]
min
,
,
2
2
→
′
−
=
ε
∫
∫

∞

∞
−

∞

∞
−

dYdZ
Z
Y
u
Z
Y
u
.                      (6) 

Очевидно, что зависимость (6) будет выполняться, если в результате обработки в сигнале 
(
)
Z
Y
u
,
′
 будет обеспечиваться максимальное соотношение сигнал/шум. 
Пусть с помощью фильтра с импульсным откликом 
(
)
Z
Y
f
uj
,
 обра
батывается белый шум, корреляционная функция которого определяется δфункцией Дирака. В этом случае мощность шума после обработки, определяется зависимостью 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2015. Вып. 9 
 

 
6

(
)
(
) (
)
[
]
=











+
+
⋅
δ
= ∫
∫
∫
∫
∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−
dYdZ
Z
d
Y
d
Z
Z
Y
Y
f
Z
Y
N
uj
nu

2
~
~
~
,
~
~
,
~
 

(
)
.
,
2
∫
∫

∞

∞
−

∞

∞
−

=
dYdZ
Z
Y
f
uj
                                   (7) 

Соотношение сигнал/шум, формируемое в результате функционального преобразования, определяется в виде  

(
)
(
) (
)
[
]

(
)
∫
∫

∫
∫

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−









+
+
⋅

=

dYdZ
Z
Y
f

Z
d
Y
d
Z
Z
Y
Y
f
Z
Y
u

N
N

u

u
u

j

j
j

nu

u

,

~
~
~
,
~
~
,
~

2

2

,              (8) 

где  
u
N  - мощность сигнала после преобразования; 
nu
N
 - мощность шума 

после преобразования; 
(
)
Z
Y
u
uj

~
,
~
 - полезная составляющая сигнала до об
работки.  
Согласно неравенству Шварца-Буняковского [11] 

(
)
(
) (
)
[
]

(
)
∫
∫

∫
∫
∫
∫

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−









+
+












≤

dYdZ
Z
Y
f

Z
d
Y
d
Z
Z
Y
Y
f
dYdZ
Z
Y
u

N
N

u

u
u

j

j
j

nu

u

,

~
~
~
,
~
,

2

2
2

.   (9) 

Подставляя в (10) выражение (9), получим 

(
)
(
) (
)
[
]

(
)
∫
∫

∫
∫

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−









+
+
⋅

dYdZ
Z
Y
f

Z
d
Y
d
Z
Z
Y
Y
f
Z
Y
u

u

u
u

j

j
j

,

~
~
~
,
~
~
,
~

2

2

≤ 

≤
(
)
(
)

(
)
∫
∫

∫
∫
∫
∫

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−


















dYdZ
Z
Y
f

Z
dY
Z
Y
f
dYdZ
Z
Y
u

u

u
u

j

j
j

,

~
,
,

2

2
2

.                (10) 

Равенство в (10) имеет место в случае, когда  

(
)
Z
Y
f
uj
,
=
(
)
Z
Y
u
u
u
j
j
,
κ
,                                    (11) 

где 
uj
κ
 - выравнивающий коэффициент.  

Известия ТулГУ. Технические науки. 2015. Вып. 9 
 

 
8

импульсный отклик фильтра 
( )
ρ

ujf
 содержит конечное множество 

точек разрыва первого рода  
N
n
n
N
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
−
−
−
...,
,
...,
,
,
...,
,
...,
,
1
1
 таких, что 
 
n
n
ρ
=
ρ
−
−
;                                                (14) 
в точке (
) (
)
0
,0
,
=
Z
Y
 импульсный отклик фильтра 
( )
ρ

ujf
 не имеет 

разрыва, т.е.  

( )
( )
ρ
=
ρ

>
ρ
→
ρ
<
ρ
→
ρ
u
u
j
j
f
f

0
,0
0
,0
lim
lim
;                                 (15) 

импульсный отклик фильтра 
( )
ρ
ujf
  на любом участке, 

N
−
ρ
<
ρ
<
∞
−
, 
..., 
1
+
−
−
ρ
<
ρ
<
ρ
n
n
, 
..., 
0
1
<
ρ
<
ρ−
, 
1
0
ρ
<
ρ
<
, 
..., 

n
n
ρ
<
ρ
<
ρ −1
, ..., 
∞
<
ρ
<
ρN
 является гладкой дифференцируемой функцией; 
вследствие симметрии для любой пары участков 
1
+
−
−
ρ
<
ρ
<
ρ
n
n
, 

n
n
ρ
<
ρ
<
ρ −1
 выполняется равенство  

(
)
( )
ρ
=
ρ
−
u
u
j
j
f
f
;                                        (16) 

для импульсного отклика фильтра 
( )
ρ
ujf
 выполняется условие Ди
рихле 

  
( )
[
]
∫
∞

∞
−

∞
<
ρ
ρ
d
f
uj
2
.                                      (17) 

Рассмотрим корреляционный интеграл 
( )
(
)
∫
∞

∞
−

ρ
ρ
+
ρ
⋅
ρ
~
~
~
d
f
u
u
u
j
j
. Ука
занный интеграл может быть представлен в виде 

( )
(
)
=
ρ
ρ
+
ρ
⋅
ρ
∫
∞

∞
−

~
~
~
d
f
u
u
u
j
j
 

( )
(
)
( )
(
)
∑
∫
∫
+

=

ρ

ρ

ρ

ρ
−











ρ
ρ
+
ρ
⋅
ρ
+
ρ
ρ
+
ρ
⋅
ρ
=

−

+
−

−

1

1
1

1
~
~
~
~
~
~
N

n
j
j
j
j

n

n
u
u

n

n
u
u
d
f
u
d
f
u
,        (18) 

где 
−∞
=
ρ
−
−
1
N
; 
∞
=
ρ
+1
N
. 
Каждая пара интегралов из (18), помещенная под знак суммы существует, поскольку для 
( )
ρ
ujf
 и 
( )
ρ
uj
u
 выполняется условия (13), (17). 

Вследствие справедливости равенств (15) и (16), для каждой пары интегралов, помещенных под знак суммы, в окрестностях точки (
) (
)
0
,0
,
=
Z
Y
, выполняется свойство  

( )
( )
( )
( )
∫
∫

ρ

ρ

ρ

ρ
−
−

+
−

−
ρ
ρ
⋅
ρ
=
ρ
ρ
⋅
ρ

n

n

u
u

n

n

u
u
d
f
u
d
f
u
j
j
j
j

1

1
~
~
~
~
~
~
.                     (19) 

Информатика, вычислительная техника и обработка информации 
 

 
9

Необходимым условием существования экстремума в точке 

(
) (
)
0
,0
,
=
Z
Y
 будет равенство нулю производной от (16). Продифференцируем (18) по ρ в окрестностях точки ρ = 0, будем иметь: 

( )
(
)
( )
(
)

0

~
~
~

0

~
~
~
1
1

=
ρ











ρ
ρ

ρ
+
ρ
⋅
ρ
ρ
=
=
ρ











ρ
ρ
+
ρ
⋅
ρ
ρ
∫
∫

+
−

−

+
−

−

ρ

ρ
−

ρ

ρ
−

n

n

u
u

n

n

u
u
d
d

df
u
d
d
d
f
u
d
d
j
j
j
j
= 

=
(
)
(
) (
)
=
=
ρ











ρ
−
ρ

ρ
−
ρ
−
⋅
ρ
−
ρ
−
∫

ρ

ρ −
0

~
~
~

1

n

n

u
u
d
d

df
u
d
d
j
j
 

( )
( )

0

~
~
~

1
=
ρ











ρ
ρ
⋅
ρ
ρ
−
=
∫

ρ

ρ −

n

n
u
u
d
f
u
d
d
j
j
.                              (20) 

Таким образом, для любой пары интегралов, помещенных под знак 
суммы в (18) выполняется равенство 

( )
(
)
( )
(
)
0
0

~
~
~
~
~
~

1

1
=
=
ρ











ρ
ρ
+
ρ
⋅
ρ
+
ρ
ρ
+
ρ
⋅
ρ
ρ
∫
∫

ρ

ρ

ρ

ρ
−
−

+
−

−

n

n
u
u

n

n
u
u
d
f
u
d
f
u
d
d
j
j
j
j
.   (21) 

Производная 
от 
корреляционного 
интеграла 
(18) 
в 
точке 

(
) (
)
0
,0
,
=
Z
Y
 обращается в ноль, а следовательно в указанной точке имеет 
место его экстремум. Таким образом, гипотеза об оптимальном выделении 
точечного источника, обладающего осевой симметрией, из сигнала, содержащего белый шум, с использованием фильтра, импульсный отклик которого также обладает осевой симметрией, может считаться доказанной. 
Функция, обеспечивающая оптимальное определение координат точечного 
источника с осевой симметрией, может быть произвольной. Минимальные 
требования к указанной функции являются следующими: 
функция должна быть обладать осевой симметрией; 
функция должна быть неотрицательной, на всей  области определения;  
функция должна эффективно подавлять аддитивный белый некоррелированный шум; 
процедура вычисления корреляционного интеграла с использованием функции должна иметь низкую вычислительную сложность. 
Применение функций с подобными свойствам позволяет эффективно выделять сигнал точечного источника, расположенного среди других 
предметов сцены. 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2015. Вып. 9 
 

 
10

Список литературы 
 
1. Аршакян А.А., Андросов А.Ю. Базовые функции, используемые 
для моделирования точечных источников // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ,  2015. 
Вып. 7. Ч. 1. С. 244 – 250. 
2. Аршакян А.А., Будков С.А., Ларкин Е.В. Математические модели 
точечных источников сигнала в полярной системе координат // Известия 
Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Издво ТулГУ, 2012. Вып. 10. С. 163 – 168. 
3. Горшков А.А., Ларкин Е.В. Расчет наблюдаемой площади в системе с множеством видеокамер // Фундаментальные проблемы техники и 
технологии. Орел: ГУ УНПК. 2012. № 4. С. 150 – 154. 
4. Ларкин Е.В., Котов В.В., Котова Н.А. Система технического зрения робота с панорамным обзором // Известия Тульского государственного 
университета. Технические науки. 2009. Вып. 2. Ч. 2. С. 161 – 166. 
5. Аршакян А.А., Будков С.А., Ларкин Е.В. Эффективность селекции точечных сигналов, сопровождаемых импульсной помехой // Известия 
Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Издво ТулГУ, 2012. Вып. 12. С. 198 – 204. 
6. Ларкин Е.В., Аршакян А.А., Луцков Ю.И. Селекция целей по наблюдаемым признакам // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. Вып. 9. Ч. 1.  
С. 74 – 81. 
7. Аршакян А.А., Ларкин Е.В. Определение соотношения сигналшум в системах видеонаблюдения // Известия Тульского государственного 
университета. Технические науки. 2012. Вып. 3. С. 168 - 175. 
8. Аршакян А.А., Ларкин Е.В. Оценка координат точечных источников сигналов // Известия Тульского государственного университета. 
Технические науки. 2013. Вып. 2. С. 3 – 10. 
9. Ларкин Е.В., Лагун В.В. Классификация как информационный 
процесс // Известия Тульского государственного университета. Проблемы 
специального машиностроения. Тула: ТулГУ, 2001. Вып. 4. Ч. 2. С. 21 – 25. 
10. Котов В.В., Ларкин Е.В. Поиск целей на тепловизионных изображениях // Известия Тульского государственного университета. Проблемы специального машиностроения. Тула: ТулГУ, 2001. Вып. 4. Ч. 2. 
С. 25 – 29. 
11. Купер Дж. Макгллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. М.: Мир, 1989. 378 с. 
 
Акименко Татьяна Алексеевна, канд. техн. наук, доц., tantan72@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,