Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2014, № 11. Часть 2

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение  
высшего профессионального образования  
 
«Тульский государственный университет» 
 

 
 
ISSN 2071-6168 
 
 
 
ИЗВЕСТИЯ  
ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 
 
 
 
 
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ 
 
 
Выпуск 11 
 
 
Часть 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Тула 
Издательство ТулГУ 
2014 

ISSN 2071-6168 
 
 
УДК 621.86/87 
 
Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 11: в 2 ч. Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 
2014. 638 с.
 
Рассматриваются научно-технические проблемы в области электро- и нанотехнологий, технологий и оборудования обработки металлов давлением, транспорта, 
управления, вычислительной техникой и информационных технологий, охраны окружающей среды и рационального использования природных ресурсов, горного дела, 
пищевой и перерабатывающей промышленности, управления качеством, стандартизации и сертификации, технологий и оборудования обработки металлов резанием, цифровых технологий, информационной безопасности, машиностроения и машиноведения, 
моделирования динамических систем. 
Материалы предназначены для научных работников, преподавателей вузов, 
студентов и аспирантов, специализирующихся в проблематике информационных технологий и управления. 
 
 
Редакционный совет 
 
М.В. ГРЯЗЕВ – председатель, В.Д. КУХАРЬ – зам. председателя, 
В.В. ПРЕЙС – главный редактор, А.А. МАЛИКОВ – отв. секретарь, 
И.А. БАТАНИНА, О.И. БОРИСКИН, В.И. ИВАНОВ, Н.М. КАЧУРИН, 
Е.А. ФЕДОРОВА, А.К. ТАЛАЛАЕВ, В.А. АЛФЕРОВ, А.А. СЫЧУГОВ, 
Р.А. КОВАЛЁВ, А.Н. ЧУКОВ 
 
 
Редакционная коллегия 
 
О.И. Борискин (отв. редактор), А.А. Сычугов (зам. отв. редактора), 
Р.А. Ковалев (зам. отв. редактора), А.Н. Чуков (зам. отв. редактора),  
С.П. Судаков (выпускающий редактор), Б.С. Яковлев (отв. секретарь),  
И.Е. Агуреев, С.Н. Ларин, Е.П. Поляков, В.В. Прейс, А.Э. Соловьев 
 
 
Подписной индекс 27851 
по Объединённому каталогу «Пресса России» 
 
«Известия ТулГУ» входят в Перечень ведущих научных 
журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, 
в которых должны быть опубликованы научные результаты 
диссертаций на соискание учёной степени доктора наук 
 
 
 
© Авторы научных статей, 2014 
© Издательство ТулГУ, 2014 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 11. Ч. 2 
 

 
4

еще несколько статей, посвященных изучению близкой к рассматриваемой 
проблеме задачи - электроосаждению металла в поры маски при получении упорядоченных массивов нанопроволочек [22 – 24]. 
Настоящая работа посвящена разработке метода моделирования наноструктурирования поверхности металла при анодном растворении через 
маску из коллоидного кристалла и теоретическому исследованию закономерностей этого процесса. 
Постановка задачи. На рис. 1 представлена схема наноструктурирования поверхности металла с использованием в качестве маски однослойного коллоидного кристалла. Принимая во внимание расположение 
частиц в маске, будем использовать единичную ячейку с сечением в виде 
правильного шестиугольника (рис .2). 
 

 
 
Рис. 1. Схема формирования наноструктурированной поверхности  
металла анодным растворением через маску из коллоидного  
кристалла: а -  металлическая подложка с маской до начала  
обработки; б - металлическая подложка с маской  
в процессеобработки; в, г - наноструктурированная поверхность  
металла после удаления маски; в - частитчно наноструктурированная 
поверхность; г - полностью наноструктурированная поверхность 
 
В качестве математической модели будем использовать уравнение 
Лапласа для потенциала электрического поля в растворе электролита (1) и 
уравнение эволюции обрабатываемой поверхности (2): 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 11. Ч. 2 
 

 
6

При моделировании будем использовать квазистационарное приближение, в соответствии с которым при расчете распределения потенциала не учитывается движение поверхности подложки вследствие ее анодного растворения, а при расчете эволюции обрабатываемой поверхности используется распределение потенциала, полученное на предыдущем шаге. 
Таким образом на каждом шаге по времени: 
- рассчитывается вторичное распределение плотности тока в единичной ячейке в результате решения уравнения Лапласа; 
- определяется новое положение анодной поверхности в результате 
решения уравнениия (2). 
Метод численного моделирования. Для численного решения 
уравнения Лапласа использовался метод граничных элементов [25, 26], 
важным достоинством которого является простота перестроения сетки при 
изменении геометрии расчетной области в результате анодного растворения подложки. При этом уравнение Лапласа сводилось к граничному интегральному уравнению: 

∫
∫

Γ
Γ

Γ
∂
Φ
∂
+
Γ
Φ
−
=
Φ
d
G
d
F
c
N
p
q
p
p
q
q
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
 
(5) 

Численное решение уравнения (5) осуществлялось обычным методом граничных элементов (объем вычислений от N2 до N3 в зависимости от 
метода решения системы линейных алгебраических уравнений) 

∑
∑
=
=




∂
Φ
∂
+
Φ
=
Φ
N

m
m

km
N

m
m
km
k
G
F
c
1
1
N
 
(6) 

где 
∫
∫
Γ
Γ

Γ
=
Γ
−
=

m
m
d
G
G
d
F
F
k
km
k
km
)
,
(
    
,
)
,
(
p
q
p
q
. 

Обычный метод граничных элементов не позволяет использовать 
достаточно мелкие сетки, обеспечивающие достаточную точность расчета 
распределения потенциала, поэтому также был использован быстрый 
мультипольный метод граничных элементов (объем вычислений от N дo N2 
в зависимости от метода решения системы линейных алгебраических 
уравнений) [27, 28]. В случае использования быстрого мультипольного метода граничнеых элементов коэффициенты системы разностных уравнений 
определялись с использованием следующих соотношений: 

  
)
(
)
(
 
4
1
)
,
(

    
,)
(
)
(
 
4
1
)
,
(

0

,
,

0
,
,

∑
∑

∑
∑

∞

=
−
=

∞

=
−
=

∂

−
∂
−
π
≈

−
−
π
≈

n

n

n
m

c
m
n
c
m
n

n

n

n
m
c
m
n
c
m
n

R
S
F

R
S
G

N

p
p
p
q
p
q

p
p
p
q
p
q

                   (7) 

где 
1
,
,
1
)
(cos
)!
(
1
)
(
    
,
)
(cos
)!
(
)
(
+
+
=
−
=
n
im
m
n
m
n
n
im
m
n
m
n
r
e
P
m
n
R
r
e
P
m
n
S
φ
φ
θ
θ
q
q
; 
c
p  - базо
вая точка разложения; 
φ
θ  ,
 ,r
 - координаты точки q в сферической системе 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 11. Ч. 2 
 

 
8

граничных элементов и определены параметры сетки, обеспечивающие независимость результатов расчета от числа узлов сетки. Было установлено, 
что в зависимости от степени упаковки сферических частиц (безразмерного радиуса сферических частиц R), необходимо использовать сетку, содержащую от 5000 до 20000 граничных элементов (рис. 4). На поверхностях, 
соответствующих подложке (анод) и внешней границе расчетной области, 
формировались граничные элементы в виде равносторонних треугольников. На боковых поверхностях расчетной области использовались граничные элементы в виде прямоугольных треугольников, причем для исключения влияния сетки на распределение потенциала высота элементов уменьшалась по мере приближения к обрабатываемой поверхности. 
 

 
Рис. 4. Схема разбиения границы расчетной области на граничные  
элементы: (а) R=0.1; (б) R=0.25; (в) R=0.5 
 
На втором этапе осуществлялось моделирование формирования наноструктурированной поверхности при различной степени упаковки сферических чатиц (рис. 5, 6). 
 

 
Рис. 5. Эволюция поверхности в процессе обработки при R=0.25: 
(а) =0; (б) =0.025; (в) =0.050; (г) =0.075; (д) =0.100; (е) =0.125 

Электро- и нанотехнологии 
 

 
9

 
Рис. 6. Эволюция поверхности в процессе обработки при R=0.5: 
(а) =0 (б) =0.05; (в) =0.10; (г) =0.15; (д) =0.20; (е) =0.25 
 
В процессе анодного растворения на обрабатываемой поверхности 
формируются нановыступы, форма которых близка к осесимметричной. 
Причем при уменьшении степени упаковки сферических частиц (при 
уменьшении R) отклонение от осесимметричности также уменьшается. 
Высота нановыступов увеличивается с течением времени до тех пор пока 
не будет нарушен контакт между сферической частицей маски и поверхностью подложки. Причем максимальная высота нановыступов зависит от 
степени упаковки сферических частиц (рис. 5, 6). При дальнейшей обработке принципиально возможно два различных сценария: 1) маска остается 
в первоначальном положении; 2) маска перемещается для сохранения контакта с обрабатываемой поверхности. В первом случае после потери контакта между маской и обрабатываемой поверхностью высота нановыступов будет уменьшаться (рис. 5е, 6е). А во втором случае высота нановыступов достигнет установившегося значения, которое в дальнейшем не будет изменяться. 
Заключение. Разработан метод численного моделирования анодного растворения металла через маску из однослойного коллоидного кристалла, базирующийся на расчете распределения потенциала электрического поля методом граничных элементов и расчете эволюции обрабатываемой повкерхности методом “Level Set”. Полученные результаты могут 
быть использованы при проектировании и оптимизации процессов формирования наноструктурированных поверхностей анодным растворением че

Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 11. Ч. 2 
 

 
10

рез маску из коллоидного кристалла. 
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (Базовая часть госзадания, проект 1096) и РФФИ (проект 13-03-00537). 
 
Список литературы 
 
1. Deckman H.W., Dunsmuir J.H. Natural lithography // Appl. Phys. 
Lett. 1982. V.41(4). p. 377. 
2. Burmeister F., Badowsky W., Braun T., Wieprich S., Boneberg J., 
Leiderer P. Colloid monolayer lithography-A flexible approach for nanostructuring of surfaces // Applied Surface Science. 1999. V.144-145. p. 461. 
3. Velev O.D., Tessier P.M., Lenhoff A.M., Kaler E.W. Materials: a 
class of porous metallic nanostructures // Nature. 1999. V.401(6753). p. 548. 
4. Xia Y., Gates B., Yin Y., Lu Y. Monodispersed colloidal spheres: old 
materials with new applications // Advanced Materials. 2000. V.12(10). p. 693. 
5. Shiu J.Y., Kuo C.W., Chen P., Mou C.Y. Fabrication of tunable superhydrophobic surfaces by nanosphere lithography // Chemistry of materials. 
2004. V.16(4). p. 561. 
6. Manoharan V.N., Pine D.J. Building materials by packing spheres // 
MRS Bulletin. 2004. V.29(02). p. 91. 
7. Asoh H., Oide A., Ono S. Formation of microstructured silicon surfaces by electrochemical etching using colloidal crystal as mask // Electrochemistry Communications. 2006. V.8. p. 1817. 
8. Yang S.-M., Jang S.G., Choi D.-G., Kim S., Yu H.K. Nanomachining 
by Colloidal Lithography // Small. 2006. V.2(4). p. 458. 
9. Duan G., Cai W., Luo Y., Lv F., Yang J., Li Y. Design and electrochemical fabrication of gold binary ordered micro/nanostructured porous arrays 
via step-by-step colloidal lithography // Langmuir. 2009. V.25. p. 2558. 
10. Asoh H., Uchibori K., Ono S. Structural features of anodic oxide 
films formed on aluminum substrate coated with self-assembled microspheres // 
Corrosion Science. 2009. V.51. p. 1496. 
11. Sapoletova N., Makarevich T., Napolskii K., Mishina E., Eliseev A., 
Van Etteger A., Rasing T., Tsirlina G. Controlled growth of metallic inverse opals by electrodeposition // Phys. Chem. Chem. Phys. 2010. V.12. p. 15414. 
12. Lei Y., Yang S., Wu M., Wildex G. Surface patterning using templates: concept, properties and device applications // Chemical Society Reviews. 
2011. V.40(3). p. 1247. 
13. Ye X., Qi L. Two-dimensionally patterned nanostructures based on 
monolayer colloidal crystals: controllable fabrication, assembly, and applications // Nano Today. 2011. V.6(6). p. 608. 
14. Yang J.W., Sim J.I., An H.M., Kim T.G. Fabrication of nanometerscale pillar structures by using nanosphere lithography // Journal of Korean