Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2014, № 5

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение  
высшего профессионального образования  
 
«Тульский государственный университет» 
 

 
 
ISSN 2071-6168 
 
 
 
ИЗВЕСТИЯ  
ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 
 
 
 
 
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ 
 
 
Выпуск 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Тула 
Издательство ТулГУ 
2014 

ISSN 2071-6168 
 
 
УДК 621.86/87 
 
Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 5. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. 237 с.
 
Рассматриваются научно-технические проблемы машиностроения и 
машиноведения, технологий и оборудования обработки металлов давлением, технологий и оборудования обработки металлов резанием, цифровых 
технологий, информационной безопасности, горного дела, вооружения и 
военной техники, управления, вычислительной техники и информационных технологий. 
Материалы предназначены для научных работников, преподавателей вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в проблематике 
технических наук. 
 
Редакционный совет 
 
М.В. ГРЯЗЕВ – председатель, В.Д. КУХАРЬ – зам. председателя, 
В.В. ПРЕЙС – главный редактор, А.А. МАЛИКОВ – отв. секретарь, 
И.А. БАТАНИНА, О.И. БОРИСКИН, В.И. ИВАНОВ, Н.М. КАЧУРИН, 
Е.А. ФЕДОРОВА, А.К. ТАЛАЛАЕВ, В.А. АЛФЕРОВ, А.А. СЫЧУГОВ, 
Р.А. КОВАЛЁВ, А.Н. ЧУКОВ 
 
 
Редакционная коллегия 
 
О.И. Борискин (отв. редактор), А.А. Сычугов (зам. отв. редактора), 
Р.А. Ковалев (зам. отв. редактора), А.Н. Чуков (зам. отв. редактора),  
С.П. Судаков (выпускающий редактор), Б.С. Яковлев (отв. секретарь),  
И.Е. Агуреев, С.Н. Ларин, Е.П. Поляков, В.В. Прейс, А.Э. Соловьев 
 
 
 
Подписной индекс 27851 
по Объединённому каталогу «Пресса России» 
 
«Известия ТулГУ» входят в Перечень ведущих научных 
журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, 
в которых должны быть опубликованы научные результаты 
диссертаций на соискание учёной степени доктора наук 
 
 
 
© Авторы научных статей, 2014 
© Издательство ТулГУ, 2014 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 5 
 

 
4

где y – вектор состояния стержня, то есть матрица-столбец, составленная 
из ненулевых компонент состояния стержня (перемещений, углов поворота 
сечения, крутящего и изгибающих моментов, продольной и поперечных 
сил); верхний индекс обозначает номер стержня; нижний индекс 0 относится к начальному состоянию.  
            Матрица V(х) есть нормированная матрица фундаментальных решений дифференциальных уравнений состояния, вычисленная в точке 
0≤х≤L, (L – длина стержня). Считается, что уравнения состояния допускают представление решения для одного стержня в виде 

0
)
V(
)
(
y
y
x
x =
. 
(2)

Представление (2) допустимо в статике и динамике при вычислении 
собственных состояний; тогда в число аргументов следует добавить неизвестную частоту свободных колебаний ω, (все дополнительные аргументы 
опустим для сокращения записи). 
Граничные условия в начале стержня удовлетворяются выбором 
части начальных параметров, очевидным из условий опирания начала 
стержня. Недостающие значения начальных параметров определяются из 
условий опирания конца стержня. При анализе свободных колебаний граничные условия однородные; система уравнений для определения начальных параметров - однородная линейная алгебраическая. Для расчета параметра ω имеем условие равенства нулю ее главного определителя, а вектор 
начального состояния находится нетривиальным решением этой системы. 
Для составного стержня (1) очевидна формула, связывающая начальные параметры с состоянием конца стержня: 

0
0
0
1
V
)
(
V
y
y
y
N
N

k
n
(n)
k
L
=








= ∑
=
. 
(3)

Здесь произведение матриц фундаментальных решений следует рассматривать как матрицу влияния начального узла системы стержней, имеющего 
номер 0, на конечный узел, имеющий номер N. Термин «система стержней» следует понимать в вышеприведенном смысле, нумерация узлов 
0,…,N, нумерация стержней – 1,…,N. Таким образом, для одного стержня 
присутствуют узлы 0,…,1 и стержень 1, а матрица V01 представляет собой 
нормированную матрицу фундаментальных решений V(L). 
Отметим, что матрица фундаментальных решений вычисляется в 
локальной координатной системе с началом в начале стержня, направление 
продольной оси – от начала к концу, оси у и z – главные центральные оси 
инерции поперечного сечения. 
Применим МНП к задаче о поперечных колебаниях составного 
стержня. В рамках линейных свойств материала и гипотез Бернулли [4, 5] 
дифференциальное уравнение состояния прямого стержня, учитывающее 
влияние продольной силы на изгиб, имеет вид [2, 3] 

Машиностроение и машиноведение 
 

 
5

[
]
y
IV
q
t
x
N
t
x
N
v
ρA
EJv
=
θ′
+
θ
′
−
+
)
,
(
)
,
(
&&
, 
(4)

где v– поперечное перемещение; N – продольная сила, которую считаем 
известной гладкой и непрерывной функцией координат и времени; θ =v’–
угол поворота сечения; Е, ρ - модуль Юнга и плотность материала, А;  
J – площадь и главный центральный момент инерции поперечного сечения; qy(x,t) –распределенная поперечная нагрузка; t–время, (′)  – производная по продольной координате; (.) – то же по времени. 
На торцах стержня могут быть заданы силовые 

0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(

;
0
)
(
)
(
)
(
)
(
;
0
)
0
(
)
0
(
;
0
)
(
)
(

=
−
−
′′′
=
−
+
′′′
−

=
+
′′
=
−
′′

Q
N
v
EJ

L
Q
L
L
N
L
v
EJ
M
v
EJ
L
M
L
v
EJ

θ

θ
 

или кинематические  

0
)
(
,0
)
(
,0
)
0
(
,0
)
0
(
=
θ
=
=
θ
=
L
L
v
v
(6)

граничные условия, а также смешанные условия, определяющие допустимую пару силовых и кинематических условий. Отметим, что второе слагаемое во второй и третьей строке формул  представляет собой проекцию 
продольной силы на нормаль к деформированной оси в начале или конце 
стержня и отлично от нуля только при «мертвой» продольной силе, направленной вдоль недеформированной оси стержня. При «следящей» же 
силе это слагаемое следует опустить, так как «следящая» нагрузка всегда 
направлена по касательной к оси и в начальном, и в деформированном состояниях. 
Начальные условия 
)
(
)
0,
(
);
(
)
0,
(
);
(
)
0,
(
);
(
)
0,
(
x
x
x
V
x
v
x
x
x
V
x
v
V
V
Θ
=
θ
=
Θ
=
θ
=
&
&
.  
 (7)

Приведем уравнение (4) к системе уравнений первого порядка: 

,
)
,
(
)
,
(

;

;

;

y
q
v
ρA
M
EJ
t
x
N
t
x
N
Q

Q
M
EJ
M

v

=
+
+
⋅
′
=
′

=
′

=
′

=
′

&&
θ

θ

θ

 
(8)

причем даже при постоянных параметрах стержня коэффициенты последнего уравнения из (8) зависят как от координаты, так и от времени. Пока 
будем считать, что продольная сила не зависит от времени, что позволяет 
разделить переменные в уравнениях (4) и (8). 
Приведем систему уравнений  состояния в безразмерном виде, используя относительную координату ξ=x/L, безразмерные переменные 
ϖ=v/L, 
θ, 
µ=ML/EJ, 
Θ=QL2/EJ. 
n2=NL2/EJ, 
γx=qxL/EA, 
γy=qyL2/EJ, 
Ω4=ω2T2=ω2ρAL4/EJ, Tx=ρL2/ETy
2=ρAL4/EJ и безразмерное время τ=t/T. То
(5)

Машиностроение и машиноведение 
 

 
7

тудных функций в предположении, что состояние стержня может быть 
представлено по методу Фурье: 

τ
Ω
ξ
=
ξ
ie
t
)
(
)
,
(
Ψ
ψ
. 
(12)

Параметр Ω имеет смысл безразмерной частоты свободных колебаний стержня. 
Граничные условия (5), (6) в безразмерном виде выглядят так: 

.0
)1(
;0
)1(
;0
;0

;0
)1(
)1(
)1(
;0
)
0
(

;0
)1(
;0

0
0

2
0
2
0

0

=
θ
=
ϖ
=
θ
=
ϖ

=
Θ
−
θ
+
Θ
−
=
Θ
−
θ
−
Θ

=
µ
−
µ
=
µ
+
µ

e
b

e
b

n
n
 
(13)

Здесь нижний индекс 0 обозначает компоненты вектора начальных параметров, индекс b указывает внешний силовой фактор, приложенный в начале, а индекс е – то же в конце стержня. При определении спектра безразмерные внешние силы и моменты Θе, Θb, µe, µb следует считать нулями. 
Отметим, что для систем стержней безразмерные уравнения применить непосредственно не удастся, так как у каждого стержня свои безразмерные переменные и свое безразмерное время. Тогда для стержневых 
систем (или составных стержней) следует перейти к размерным состояниям, умножая слева матрицу фундаментальных решений на постоянную 
диагональную матрицу: 























=

2
0
0
0

0
0
0

0
0
1
0

0
0
0

 
D

n

n
n
n

n
n
n

L

J
E
L
J
E

L

 
(14)

Введение безразмерного времени нерационально; поэтому в уравнениях состояния следует сохранить физическое время. Тогда в аналитических выражениях (10) вместо безразмерной частоты Ω следует использовать размерную частоту 

EJ
AL
T
4
2
2
2
2
ρ
⋅
ω
=
ω
=
Ω
. 
 (15)

Теперь для системы стержней матрицу влияния можно записать следующим образом:  

∏
−

=
+










ρ
⋅
ω










ρ
⋅
ω
=
ω
1

1

4
2
11

4
2
0
,1
V
D
D
,1
V
)
(
V
N

n
n
n

n
n
n
n
n
n
N
N

N
N
N
N
N
J
E
L
A
J
E
L
A
. 
(16)

Структура произведения матриц показывает, что сначала происходит переход от безразмерных переменных предыдущего участка стержня к 
размерным, а затем – от размерных переменных к безразмерным перемен

Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 5 
 

 
8

ным следующего участка. Следовательно, воздействием на систему являются безразмерные переменные начального участка, а выходом – безразмерные переменные последнего участка: 
,
)
(
V
0
0
Ψ
Ψ
ω
N
N =
 
 (17)

и граничные условия следует принимать в форме (13). 
В качестве примера применения метода рассмотрим задачу о поперечных свободных колебаниях стержня, состоящего из трех участков, рассмотренную в [3] (рис. 1). 
 

 
Рис. 1. Конфигурация стержня [3] 
 
Параметры стержня задавались следующим образом: материал 
стержня – сталь с модулем упругости Е=200 ГПа, ρ=7850 кг/м3, длина 
стержня 1 м, сечение стержня – сплошной круг диаметром d, соотношение 
размеров: а=βl, 0<β≤1, d2=λl, d1=αd2. Параметр λ принят 0.05 (то есть стержень тонкий); остальные параметры – соотношения длин β и  диаметров α 
изменялись в процессе исследований. 
Прежде всего было принято соотношение диаметров α=1, то есть 
стержень гладкий; изменялось соотношение длин: β=0.2…0.8. Результаты 
расчетов для всех значений оказались идентичны; один из них при β=0.25 
(l2=2l1) приведен на рис. 2. 
Вертикальные линии – точки бифуркации гладкого шарнирноопертого стержня. 
На рис. 3 приведены результаты определения критической силы для 
разных соотношений размеров стержня (см. рис. 1). 
Для сравнения полученных результатов (рис. 3) с результатами  
А.С. Вольмира [3] представим их в форме относительной критической  
силы К: 

64
,
4
2
2

2

2

2
d
J
EJ

l
P
K
кр
π
=
π
=
. 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 5 
 

 
10

и всегда приводится к системе уравнений второго порядка, так как условия 
совместности при переходе от участка к участку выполняются автоматически. Кроме того, критическая сила определяется по первому скачку в значении первой собственной частоты (рис. 3), то есть в динамической постановке, что важно при решении неконсервативных задач. 
 
Список литературы 
 
1. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004. 592 с. 
2. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. 340 с. 
3. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 
1957. 984 с. 
4. Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела.    
Ч. 1. Статика стержней // М.В. Грязев [и др.]. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 
112 с. 
5. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. 
М.: Высшая школа, 1979. 580 с. 
 
Чадаев Юрий Андреевич, аспирант, inbi@tsu.tula.ru,Россия, Тула, Тульский государственный университет 
 
TRANSVERSE VIBRATIONS OF COMPLEX RODS UNDER LONGITUDINAL LOAD 
 
Y.A. Chadaev 
 
This is a review about an elastic complex rod under Bernoulli hypotheses. Rod is 
loaded with time-independent longitudinal load. In formulation of the problem we consider 
sections square rotation angles that leads to well-known equations describing stability  
of straight rods. Implemented approach of method of initial parameters based on analytical 
solution of the equations of rod state in statics and dynamics. The general algorithm  
is implemented by specific examples. 
Key words: compressed-bent rod, transverse vibrations, the spectrum. 
 
Chadaev Yury Andreevich, postgraduate, inbi@tsu.tula.ru, Russia, Tula, Tula State 
University