Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2013, № 1

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение  
высшего профессионального образования  
 
«Тульский государственный университет» 
 

 
 
ISSN 2071-6168 
 
 
 
ИЗВЕСТИЯ  
ТУЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 
 
 
 
 
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ 
 
 
Выпуск 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Тула 
Издательство ТулГУ 
2013 

ISSN 2071-6168 
 
 
УДК 621.86/87 
 
Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. 408 с. 
 
Рассматриваются научно-технические проблемы в области технологии и оборудования обработки металлов давлением, управления качеством, 
стандартизации и сертификации, технологии и оборудования обработки 
металлов резанием, управления, вычислительной техники и информационных технологий, энергетики, электроснабжения электроприводов, горного 
дела, машиностроения и машиноведения, охраны окружающей среды и рационального использования природных ресурсов.  
Материалы предназначены для научных работников, преподавателей вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в проблематике 
технических наук. 
 
 
Редакционный совет 
 
М.В. ГРЯЗЕВ – председатель, В.Д. КУХАРЬ – зам. председателя, 
В.В. ПРЕЙС – главный редактор, А.А. МАЛИКОВ – отв. секретарь, 
И.А. БАТАНИНА, О.И. БОРИСКИН, В.И. ИВАНОВ, Н.М. КАЧУРИН, 
Е.А. ФЕДОРОВА, А.К. ТАЛАЛАЕВ, В.А. АЛФЕРОВ, В.С. КАРПОВ, 
Р.А. КОВАЛЁВ, А.Н. ЧУКОВ 
 
Редакционная коллегия 
 
О.И. Борискин (отв. редактор), А.Н. Карпов (зам. отв. редактора), 
Р.А. Ковалев (зам. отв. редактора), А.Н. Чуков (зам. отв. редактора),  
С.П. Судаков (выпускающий редактор), Б.С. Яковлев (отв. секретарь),  
И.Е. Агуреев, А.Н. Иноземцев, С.Н. Ларин, Е.П. Поляков, В.В. Прейс,  
А.Э. Соловьев 
 
 
Подписной индекс 27851 
по Объединённому каталогу «Пресса России» 
 
«Известия ТулГУ» входят в Перечень ведущих научных 
журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, 
в которых должны быть опубликованы научные результаты 
диссертаций на соискание учёной степени доктора наук 
 
 
© Авторы научных статей, 2013 
© Издательство ТулГУ, 2013 

ТЕХНОЛОГИИ И ОБОРУДОВАНИЕ 
ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ 
 
 
 
 
УДК 629.113.011 
 
НЕЛИНЕЙНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ДВУХФАЗНОЙ СТАЛИ В ОБЛАСТИ 
УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ 
 
А.П. Фалалеев 
 
Разработана модель поведения двухфазной стали DP780 при загрузкеразгрузке и пластическом деформировании. Модель основана на двухповерхностной 
теории течения материала и включает кинематическое и изотропное упрочнения, нелинейное поведение стали в области упругих деформаций. 
Ключевые слова: двухфазная сталь, кинематическое упрочнение, изотропное 
упрочнение, нелинейная упругая деформация. 
 
Двухфазные стали активно используются в современной автомобильной промышленности для несущих деталей, отвечающих за пассивную безопасность. Это позволило значительно снизить вес автомобиля, 
обеспечив более высокий уровень безопасности. Сложность моделирования упругопластического поведения подобных сталей на этапах производства, во время столкновения и во время ремонтных операций обусловлена 
тем, что прочностные характеристики материала зависят от всех предыдущих деформаций и температурных воздействий, начиная с момента производства. Технологическая память двухфазной стали создает предпосылки 
для анизотропного поведения детали, изготовленной изначально из изотропного материала. Одной из проблем при моделировании больших пластических деформаций является нелинейность в зоне упругих деформаций. 
Точное моделирование изменений модуля упругости и эффекта Баушингера является сложной задачей при учете пластических деформаций кузова 
автомобиля при ДТП и последующем ремонте. 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2013. Вып. 1 
 

 
4

Последние исследования свидетельствуют о том, что использование 
постоянного, линейного модуля Юнга вносит существенную погрешность 
при прогнозировании свойств материала при разгрузке после больших 
пластических деформаций [1], [2].  
Нелинейное поведение сталей при снятии нагрузки наблюдается 
фактически у всех сталей. Изменение модуля упругости при разгрузке может достигать 22 % для высокопрочных сталей и зависит от типа и состава 
стали. Для двухфазных сталей будет наблюдаться наибольшее смещение 
кривой прочности от первоначальной линейной из-за большого содержания мартенситной фазы. Нелинейное поведение объяснялось остаточными 
напряжениями, развитием микротрещин, накоплением и релаксацией дислокаций. В работе [3] нелинейность определена как упругость второго порядка и описывается так: 

2

0
0







 σ
δ
+
σ
=
ε
E
E
,                                              (1) 

где σ – напряжения, возникающие в образце; ε  – удлинение, 
0
E  – стандартный модуль упругости; δ – нелинейный параметр.  
В соответствии с (1) для стали DP 780 изменение модуля должно 
составить около 3 %.   
Для экспериментальной оценки значений исследовались образцы 
стали DP780, соответствующей стандарту Mazda МES MM 106G SPCN 
780Y длиной 75 мм и шириной 12,5 мм согласно стандарту ASTM-E646 на 
скорости 10-3 с–1 на универсальной разрывной машине MTS 810. Удлинение фиксировалось лазерным экстензометром LE-05. График растяжения 
двухфазной стали представлен на рис. 1. Двухфазная сталь обеспечила 
предел прочности 840 МПа и предел текучести 470 МПа. Отношение предела текучести к пределу прочности составило 0,56. При этом максимальное эффективное удлинение 9,8 %. График отчетливо демонстрирует петлю при снятии нагрузки и вторичной загрузке. 
Изменение модуля упругости традиционно учитывают вычислением наклона хорды (рис.2) от точки уменьшения нагрузки С и до точки полной разгрузки D. Такой подход удобно использовать в расчетах одномерных деформаций, изменяя модуль упругости при нагрузке и разгрузке. Для 
сложных реальных деформаций остаются участки детали, где остаточные 
напряжения не позволяют произойти полной разгрузке. В этих местах модель будет заведомо иметь погрешности. На графике (рис.2) отчетливо 
видна зона линейных упругих деформаций при разгрузке (С-В) и при повторной загрузке (D-A). На этих участках материал подчиняется закону 
Гука с модулями упругости Е1 и Е2 соответственно. Для стали DP 780 они 
оба равны стандартному модулю упругости 208 ГПа. Использование метода «хорды» демонстрирует значение модуля Е3=145 ГПа (участок D-C). 

Технологии и оборудование обработки металлов давлением 
 

 
5

 
Рис. 1. Циклы загрузки–разгрузки при растяжении стали DP 780 
 

 
Рис. 2. Цикл загрузки–разгрузки двухфазной стали DP 780 
 
В соответствии с [4] дислокации двигаются до достижения границ 
зерен или препятствий. Это создает нагромождение дислокаций в виде 
простейших дислокационных структур. После снятия напряжений дислокации расходятся друг от друга, обеспечивая дополнительную деформацию материала, которая складывается с обратной упругой линейной деформацией.  
Последнее время для описания поведения двухфазных сталей в 
сложнонагруженных условиях широко стала использоваться нелинейная 
кинематическая модель упрочнения Шабоша [5]. Такой подход совмещает 
изотропную и нелинейную модели упрочнения, которые учитывают эффект Баушингера при нагружении в обратном направлении [6], [7].  
Анализируя экспериментальное поведение двухфазной стали DP 
780 в месте сжатия–растяжения (см. рис.2), в фазе растяжения можно выделить следующие элементы: эффект Баушингера, переходное упрочнение 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2013. Вып. 1 
 

 
6

вблизи начала пластичности и постоянное разупрочнение. 
В изначально изотропном и однородном материале за счет накопления деформаций может возникать  анизотропия. Полагается, что в пространстве составляющих тензора напряжений существуют поверхность 
предела пропорциональности f и поверхность течения материала F. Внутри 
пропорциональной поверхности f материал ведет себя линейно-упруго и 
подчиняется закону Гука. За границей поверхности течения F материал ведет себя пластично. Расстояние между поверхностью течения и пропорциональной поверхностью является непрерывной функцией и в зависимости от функции может описывать нелинейное поведение упругой 
деформации или изменение модуля упругости. Графическая интерпретация 
двухповерхностной теории пластичности для двухмерного случая (
0
3 =
σ
) 
демонстрирует взаимодействие поверхностей (рис.3).  
 

 
 
Рис. 3. Графическая интерпретация двухповерхностной теории  
течения материала 
 
Поверхности f и F могут быть описаны уравнениями 

0
)
(
)
(
=
−
−
=
P
r
f
ε
ϕ
α
σ
,                                         (2) 

0
)
,
,
(
)
(
=
−
−
Φ
=
T
R
F
P
P
F
F
ε
ε
&
α
σ
,                                 (3) 
где r и R  определяют размеры поверхностей f и F, центры которых описываются тензорами остаточных микронапряжений α и 
F
α  соответственно; 

P
ε – эквивалентная пластическая деформация; P
ε&
 – скорость пластической 
деформации; T  – температура нагрева детали.  
Размеры поверхностей r и R определяются экспериментально исходя из диаграммы одноосного растяжения металла. Изменение размера поверхностей f и F описывается эволюционными уравнениями. Простейший 

Технологии и оборудование обработки металлов давлением 
 

 
7

закон изотропного упрочнения, предложенный Холомоном [6], не может 
учесть влияние технологий ремонта кузова, но для выполнения экспертизы 
ДТП или холодной ремонтной правки он может быть использован с небольшими допущениями 
n
P
K
R
)
(ε
=
,                                                  (4) 
где К и n – постоянные, определяемые методом наименьших квадратов для 
описания кривой 
ε
δ −
, полученной при растяжении. 
Эволюционные уравнения зеркально отображают друг друга с учетом собственных постоянных. Основным допущением можно считать, что 
f меньше F и имеет ту же форму, соответственно f  имеет во всех точках 
большую кривизну, это допущение необходимо для того, чтобы быть уверенными, что f  никогда не пересечет F. Изменение размера поверхностей 
представляет собой изотропное упрочнение, вызванное накоплением деформации, или разупрочнение, связанное с влиянием технологической 
температуры при вытяжке и(или) низких скоростей вытяжки, близких к 
условиям ползучести стали.  
При начальной упругой деформации e
ε  тензор напряжений σ  находится внутри или на границе поверхности f , причем вектор приращений 
напряжений σ
d направлен внутрь поверхности, тогда угол между вектором 
приращения напряжений σ
d и нормалью n
d  к поверхности f  должен быть 
острый, а их скалярное произведение меньше нуля, т.е. 
.0
::
<
n
σ
d
d
 
Размеры и центры поверхностей f и F не меняются во время упругой 
деформации, которая подчиняется классическим линейным принципам: 
e
d
d
ε
C
σ
:
0
=
,                                                (5) 
где 
0
C  – постоянный тензор модулей упругости, демонстрирующий растяжение атомных связей.  
Уравнение (5) определяет 
e
dε  в любом состоянии материала (пластическое течение, упругонелинейная или упругая деформация). При достижении тензора напряжений σ  границы поверхности f центр поверхности 
α начинает смещаться вместе с поверхностью в сторону роста напряжений. В этот момент происходит упругонелинейная деформация 
ne
ε
. Для 
идентификации этого состояния должны одновременно выполняться три 
основных условия: 
- тензор напряжений σ  должен находиться на поверхности f; 
- вектор приращения тензора 
σ
d должен быть направлен наружу, 

0
::
<
n
σ
d
d
; 
- поверхности  f  и F не должны находиться в контакте.  
Во время упругонелинейной деформации размер и расположение F 
не меняются, размер f  постоянен, но поверхность смещается. В отличие от 
чистой упругой деформации в этом состоянии происходит некоторое рассеяние энергии, этим оно схоже с пластической, хотя при снятии нагрузки 

Известия ТулГУ. Технические науки. 2013. Вып. 1 
 

 
8

остаточной деформации не обнаруживается. Наблюдаемая на диаграмме 
петля гистерезиса обусловлена данным видом деформации. Смещение f  во 
время упругонелинейной деформации подчиняется законам двухповерхностной модели течения материала для того, чтобы обеспечить к моменту наступления пластичности (касание поверхностей) совпадение тензоров σ  и 
F
σ
, а также равенство нормалей n и 
F
n
 в этих точках поверхностей: 

σ
σ
n
∂
∂
∂
∂
=
f
f /
,                 
σ
σ
n
∂
∂
∂
∂
=
F
F
F
/
,                            (6) 

где ..  – норма вектора или тензора. 
Для обеспечения этого должны выполняться следующие законы 
трансляции поверхности: 

                  
)
(
σ
σ
α
−
=
F
d
d
µ
 ,                                             (7) 

                   
R
r

F
F
α
σ
α
σ
−
=
−
.                                              (8) 

При условии того, что размеры поверхности остаются неизменными, т.е. 
0
=
df
, закон (7) можно записать в виде 

            
)
(
)
(:

:
σ
σ
σ
σ
n

σ
n
α
−
−
=
F
F
d
d
 ,                                       (9) 

где угловые скобки .  демонстрируют, что 
0
:
=
σ
n d
 если 
0
:
≤
σ
n d
, иначе 
σ
n
σ
n
d
d
:
:
=
. 
Соотношение между приращением напряжений и приращением 
общей деформации можно записать в следующем виде: 

            
ε
C
ε
C
σ
d
d
d
e
:
:
0
=
=
,                                           (10) 

                  
ne
e
d
d
d
ε
ε
ε
+
=
  ,                                               (11) 

                     
ne

ne

e

e

d

d

d

d

ε

ε

ε

ε
=
 ,                                                  (12) 

где С – функция тензора линейной и нелинейной упругости, который отражает изменение модуля Юнга Е, представляющая наклон кривой одноосного нагружения в координатах 
ε
σ −
,  

 
(
)
[
]
∫
−
−
−
−
=
p
d
d
b
E
E
E
ε
ε
exp
1
1
0
,                                  (13) 

где интеграл оценивается от момента первого касания поверхности  f изнутри и до текущего упругонелинейного состояния; Е0 – традиционный 
модуль упругости материала; E1 и b – параметры, определяемые эмпирически. 
Форма (13) определяет, что при переходе от упругой к нелинейноупругой деформации модуль упругости будет принимать значение Е0 неза

Технологии и оборудование обработки металлов давлением 
 

 
9

висимо от того, с какой стороны будет двигаться тензор напряжений. Коэффициент Пуассона принимаем постоянным, поэтому С зависит только 
от Е. 
Выражая тензор С в явном виде, получим 

oijkl
jk
il
jl
ik
kl
ij
ijkl
C
E
E
v
E
v
v
vE
C








=
δ
δ
+
δ
δ
+
+
δ
δ
−
+
=
0
)
(
)
1(
)
2
1
)(
1(
,   (14) 

где 
ij
δ  – символ Кронекера; 
oijkl
C
 – компонент тензора С0 в прямоуголь
ной системе координат.  
Отметим, что С параллелен С0, что обеспечивается параллельностью 
e
dε и 
ne
dε
 (12). 
В явной форме приращение упругонелинейной деформации можно 
выразить из (7):  

                          
(
)
σ
S
S
ε
d
d ne
:
0
−
=
,                                        (15) 
где S и  S0 – тензоры с компонентами обратными матрицам, представляющих тензоры  С и С0.  
При достижении внутренней поверхностью f  поверхности текучести F наступает пластическое состояние материала. Согласно условиям  
трансляции поверхностей это касание происходит в точке, конгруэнтной 

тензору напряжений 
F
σ
σ =
, и приращение тензора напряжений направлено наружу поверхности  f, 
.0
::
>
n
σ
d
d
 
В этот момент присутствуют все три вида деформаций, описываемые данной теорией - пластическая деформация 
p
ε , упругая деформация 
e
ε и нелинейно-упругая деформация ne
ε
. В процессе деформации размеры f  
и F могут изменяться в соответствии с эволюционными законами, которые 
отражают изотропное упрочнение, обеспечивая конгруэнтность тензоров σ 
и 
F
σ
. Определяющие соотношения для этого вида деформации можно записать следующим образом: 

                  
)
(:
:
0

p
e
d
d
d
d
ε
ε
C
ε
C
σ
−
=
=
,                                 (16) 

                  
p
ne
e
d
d
d
d
ε
ε
ε
ε
+
+
=
,                                        (17) 

                     
ne

ne

e

e

d

d

d

d

ε

ε

ε

ε
=
.                                               (18) 

При пассивной разгрузке поверхность пропорциональности f перемещается на величину α назад под воздействием напряжений, вызывавших упругонелинейную деформацию, а затем упругая деформация e
ε  возвращается в ноль. Таким образом, центр поверхности f  возвращается в 
исходное положение, а наружная поверхность течения F остается смещенной на величину тензора остаточных микронапряжений 
F
α
. При повтор

Известия ТулГУ. Технические науки. 2013. Вып. 1 
 

 
10

ном активном пластическом деформировании материал уже не является 
изотропным, т.к. наблюдается асимметрия расположения внутренней и наружной поверхностей. Благодаря тензору остаточных микронапряжений 
моделируется кинематическое упрочнение, известное как эффект Баушингера. Кинематическое упрочнение, как и изотропное, носит выраженный 
характер у современных автомобильных сталей в связи с необходимостью 
поглощать большое количество энергии при деформации. Тензор остаточ
ных микронапряжений 
F
α
 состоит из нелинейной составляющей 
F
1
α
, 
предложенной в классической модели Шабоша, которая описывает пере
ходное поведение материала и линейной составляющей 
F
2
α
, описывающей 
постоянное разупрочнение при активном деформировании: 
F
F
F

2
1
α
α
α
+
=
,                                                   (19) 

P
F
P
F
d
d
C
d
ε
α
ε
α
1
1
1
3
2
γ
−
=
 ,                                         (20) 

P
F
d
C
d
ε
α
2
2
3
2
=
,                                                  (21) 

где 
P
dε
– приращение эквивалентной пластической деформации определяется по критерию фон Мизеса 

2
1
:
3
2




=
P
P
P
d
d
d
ε
ε
ε
.                                          (22)  

Отметим, что для начальной растягивающей нагрузки недеформированного материала α и 
F
α
 будут равны нулю, r  будет представлять 
предел пропорциональности (упругонелинейный переход), R  – предел текучести (пластический переход). Это означает, что f  будет значительно 
меньше  F, это избавляет от проблем взаимного геометрического пересечения двух поверхностей. При анализе больших деформаций возможно 
влияние поворота жесткого тела, которое может привести к погрешности в 
расчетах, поэтому все напряжения должны соответствующим образом пересчитываться с учетом поворота базиса. 
На основе графика одноосного растяжения (см. рис.1) определяем 
значения коэффициентов модели, которые приведены в таблице. Подбор 
коэффициентов осуществлялся методом наименьших квадратов. 
   
Эмпирические коэффициенты модели для стали DP780 
 

К, 
МПа
n 
b
v
0
E , 
МПа 

1
C , 
МПа 

2
C , 
МПа

1
E , 
МПа 
γ

1080
0,14 645 0,71 208000 17062 1270
117500 72