Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2009, № 2. Часть 2

ISSN 2071-6168 
 
УДК 621.86/87 
 
Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2: в 2 ч. Тула: Изд-во ТулГУ, 
2009. Ч. II. 259 с. 
 
Рассматриваются научно-технические проблемы в области машиностроения и машиноведения, новых технологий и оборудования для обработки металлов давлением и резанием, вычислительной техники и информационных технологий, охраны окружающей среды и рационального 
использования природных ресурсов, подготовки высококвалифицированных специалистов.  
Материалы предназначены для научных работников, преподавателей вузов, студентов и аспирантов, специализирующихся в проблематике 
технических наук. 
 
Редакционный совет 
 
М.В. ГРЯЗЕВ – председатель, В.Д. КУХАРЬ – зам. председателя, 
В.В. ПРЕЙС – главный редактор, В.А. АЛФЕРОВ, И.А. БАТАНИНА, 
О.И. БОРИСКИН, 
В.И. ИВАНОВ, 
В.С. КАРПОВ, 
Р.А. КОВАЛЁВ, 
А.Н. ЧУКОВ, Е.А. ФЕДОРОВА, А.А. ХАДАРЦЕВ 
 
Редакционная коллегия 
 
О.И. Борискин (отв. редактор), В.С Карпов (зам. отв. редактора), 
Р.А. Ковалев (зам. отв. редактора), А.Н. Чуков (зам. отв. редактора), 
В.Б. Морозов (отв. секретарь), А.Е. Гвоздев, А.Н. Иноземцев, А.Б.  Копылов, 
Е.А. Макарецкий, Е.П. Поляков, В.В. Прейс, П.Г. Сидоров, В.М. Степанов, 
А.А.Трещёв, С.С. Яковлев, А.С. Ямников 
 
Подписной индекс 27851 
по Объединённому каталогу «Пресса России» 
 
«Известия ТулГУ» входят в Перечень ведущих научных 
журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, 
в которых должны быть опубликованы научные результаты 
диссертаций на соискание учёной степени доктора наук 
 
 
 
© Авторы научных статей, 2009 
© Издательство ТулГУ, 2009 

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ 
 
 
 
УДК 621.833.16 
П.Г. Сидоров, д-р техн. наук, проф., (4872) 33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru, 
И.А. Ширяев, асп., (4872) 33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru, 
А.А. Пашин, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru, 
А.В. Плясов, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-23-80, plyasov-a@ya.ru 
(Россия, Тула, ТулГУ) 
 
МЕТОД ОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ПЛАНЕТАРНЫХ 
МЕХАНИЗМОВ 
 
Впервые изложены фрагменты метода структурного образования планетарных зубчатых передач как важного инструментария для направленного поиска их новых технических решений. Доказано, что известные в науке и технике технические 
решения на планетарные механизмы содержат в своей структуре только один активный сателлит и не охватывают всей возможной их гаммы. 
Ключевые слова: звено, водило, сателлит, группа Ассура, центроидная кинематическая пара, рычажный и планетарный механизмы. 
 
Несмотря на широкое внедрение планетарных механизмов в силовые трансмиссии современных машин и большие перспективы их использования в машинах нового поколения, в прикладной науке и научнотехнической литературе по-прежнему отсутствует четкое изложение метода их структурного образования, что отрицательно сказывается на создании новых решений в многопоточных трансмиссиях и совершенствовании 
аппарата их проектирования с учетом закономерностей формирования в 
целом.  
Машиноведческое определение планетарного механизма по проф. 
Н.Ф. Руденко [1], проф. В.Н. Кудрявцеву [2] и проф. Ю.Н. Кирдяшеву 
[2, 3] как «механизма, состоящего из зубчатых колес, в котором геометрическая ось хотя бы одного из них подвижна», только в целом отражает суть 
этого универсального механизма, так как не дает представления о его 
структуре, его механизмообразующих структурных элементах, их количестве и взаимосвязях, многовариантности структурного и конструктивного 
исполнения и т.д. 

Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2  

4

Планетарный механизм может оставаться простейшим, хотя и будет 
содержать достаточно большое количество структурных звеньев. Простота 
планетарного механизма определяется его неделимостью на структурные 
более простые элементы и, главное, методом его структурного образования. Таким образом, кардинально ставятся вопросы: «Из чего состоит простейший планетарный механизм? Что является субъектом его названия? 
Как можно получить известные и новые структурные образования из отдельных структурных звеньев и их соединений?». 
Простейшим механизмом по Ассуру-Артоболевскому [4] является 
механизм первого класса, содержащий в своей структуре одно подвижное 
(чаще вращающееся) звено, одно неподвижное звено, именуемое стойкой, 
и одну низшую вращательную кинематическую пару, которая предопределяет закон движения подвижного звена относительно стойки. В структуре 
всех многозвенных механизмов с одной степенью свободы, в том числе 
планетарных, независимо от их назначения, сложности и протяженности, 
содержится один механизм первого класса [1-5]. Поэтому напрашивается 
фундаментальный вывод, что все известные механизмы образуются методом наслоения на механизмы первого класса структурных групп, удовлетворяющих определенным условиям для каждой их разновидности [1-5]. В 
стержневых и рычажных механизмах – это диады и триады Ассура, состоящие из определенного сочетания рычажных подвижных звеньев и 
низших кинематических пар, образующих кинематические цепи с нулевой 
степенью подвижности (
0
=
гр
W
), которые наслаиваются на кривошип и 

стойку двухзвенного рычажного механизма [4]. В рядовых многозвенных 
зубчатых механизмах – это монады (по проф. С.Н Кожевникову [5]), состоящие из отдельных зубчатых звеньев с одной низшей и одной высшей 
кинематическими парами (
0
=
М
W
), которые наслаиваются на ведущее 
зубчатое колесо и стойку, образующих, в свою очередь, механизм первого 
класса в структуре зубчатых механизмов. 
В планетарных механизмах, по нашему мнению, – это планетарные 
зубчатые группы – подвижные кинематические цепи, состоящие из центральных колес 
ik , сателлитов 
ig  и рычага-водила, одновременно входящего в структуру двухзвенного рычажного механизма на правах ведущего 
звена, и планетарной группы – на правах структурообразующего звена. 
Таким образом, становится очевидной функциональная роль механизма первого класса в структуре планетарного механизма. Если в 
многозвенных стержневых механизмах он играет исключительно роль 
источника механического движения, то в планетарных механизмах он 
играет еще и дополнительную роль структурообразующего начала для 
планетарной группы, являясь подвижным основанием для организации 
планетарных кинематических связей между центральными колесами и 
сателлитами. 

Машиностроение и машиноведение 

5

Для выяснения роли всех зубчатых звеньев в структуре планетарного механизма рассмотрим их движения исключительно относительно водила рычажного механизма. В этом случае водило условно играет роль 
виртуальной стойки, а каждое из зубчатых звеньев, смонтированное на 
нём, образует с ним низшую вращательную 
3
н
p
, а попарно зацепляясь 

между собой, – высшую центроидную кинематическую пару 
в
p  (рабочее 
зацепление 
z
p ). Иными словами, во взаимосвязях только с водилом h  
центральные колеса 
ik  (
3,2,1
=
i
) и сателлиты 
j
g  (
l
j
...,
2,1
=
), активно 

влияющие на кинематику, образуют планетарную группу с параметрами 









−
+
=
−
=
=

+
=
=

+
=

,1
1

;

;

3

3

3

3
j
i
n
p
p

j
i
n
p

j
i
n

z
в

н
                                   (1) 

где 3
n  – общее число подвижных зубчатых звеньев в группе; 
3
н
p
 – общее 

число низших кинематических пар в группе; 
в
p  – общее число высших 

кинематических пар в группе; 
z
p  – число рабочих зацеплений в группе.  
Чтобы ответить на вопрос: «Чем является планетарная группа с параметрами (1) как структурное образование в планетарном механизме?», 
определим степень её относительной подвижности (по отношению к водилу), подставив (1) в известную структурную формулу П.Л. Чебышева [1-4]: 

1
)
(
2
)
(
3
2
3
=
−
+
=
−
+
−
+
=
−
−
=
z
z
в
н
h
p
j
i
p
j
i
j
i
p
p
n
W
,        (2) 

где n  – число подвижных звеньев, 
3
n
n =
; 
н
p  – число низших кинематических пар, 
3
н
н
p
p
=
; 
в
p  – число высших кинематических пар в структур
ном образовании, 
z
в
p
p =
. 

1
=
h
W
 означает, что планетарная группа, смонтированная на води
ле, – это многозвенный зубчатый механизм на подвижном основании с одной относительной по отношению к водилу степенью свободы, а, следовательно, имеет свой независимый от водила вход – ведущее зубчатое звено, 
роль которого может выполнять только одно из центральных колес как основных звеньев планетарного механизма, ось вращения которого совпадает с осью вращения водила. 

Центральное колесо, выполняющее роль входного звена планетар
ной группы, образует с водилом низшую вращательную кинематическую 
пару, которая предписывает ведущему звену планетарной группы строго 
определенный закон относительного вращения с угловой скоростью 

h
k
ω
ω
−
, где 
k
ω  – угловая скорость абсолютного вращения входного звена 

группы относительно стойки. Это очень важное свойство группы, из которого вытекает уравнение кинематических связей между угловыми скоро

Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2  

6

стями основных звеньев планетарного механизма (центральных колес и 
водила). 

При отсутствии независимых источников движения в планетарной 

группе 
0
=
−
h
k
ω
ω
 все зубчатые звенья, смонтированные на водиле, никак 

не проявляют себя и вращаются только вместе с водилом с угловой скоростью переносного движения 
h
е
ω
ω =
 как единое целое звено. 

Становятся очевидными два варианта обеспечения относительных 

движений зубчатых звеньев в планетарной группе. 

Первый вариант, когда 
0
≠
k
ω
 и входное центральное колесо 
ik

получает движение от независимого (по отношению к водилу) второго источника движения. В этом случае планетарный механизм складывает два 
независимых вращательных движения (со стороны водила h  и входного 
центрального колеса 
ik ), имеет две степени свободы (
2
=
W
) и является 

дифференциальным планетарным механизмом [6]. 

Второй вариант, когда 
0
=
k
ω
 и входное центральное колесо пла
нетарной группы переходит в разряд опорного (неподвижно закрепленного 
на стойке) центрального колеса. В этом случае планетарный механизм 
имеет один независимый вход (водило) и один выход (другое центральное 
колесо или сателлит) и носит название рядового планетарного механизма 
(
1
=
W
).  
Таким образом, зубчатые колеса планетарного механизма, объеди
ненные в планетарную группу, 
"
"
jg
ik −
 по средством водила, как и рядо
вые многозвенные зубчатые механизмы, преобразуют заданные относительные параметры входного звена в требуемые относительные параметры 
выходного звена (как правило, центрального колеса и очень редко, сателлита) путем организации сложных планетарных кинематических связей 
между входом и выходом (в этом и состоит универсальность механизма). 
Планетарные кинематические связи гарантируют воспроизведение больших передаточных чисел малым числом зубчатых звеньев и являются одним из главных достоинств планетарных механизмов. 

Изложенное позволяет впервые сформулировать важный одно
значный вывод, что структурообразующими элементами всех планетарных 
механизмов являются не один [1 – 5], а два механизма: двухзвенный рычажный 
(кривошипный) 
механизм 
первого 
класса 
по 
Ассуру
Артоболевскому и многозвенный зубчатый механизм на подвижном основании – водиле, именуемый авторами статьи планетарной группой 
(рис. 1), с одним общим звеном-водилом. 

Выделить эти структурообразующие элементы в самостоятельные 

механизмы без разрушения планетарного механизма как единого неделимого структурного образования не представляется возможным из-за общего их звена – водила, входящего одновременно в структуру рычажного 
и зубчатого механизмов. 

Машиностроение и машиноведение 

7

Впервые напрашивается и второй важный вывод: все планетар
ные 
механизмы 
являются 
рычажно-зубчатыми 
(кривошипно
зубчатыми) механизмами ротационного действия со структурообразующими звеньями: водилом h , центральными колесами ik  и сателлитами 
ig , 

активно влияющими на кинематику механизма в целом. Возможность тиражирования активно влияющих сателлитов приводит к появлению пассивных подвижных звеньев в структуре планетарных механизмов и является вторым их достоинством, известным в машиноведении как 
многопоточные передачи мощностного потока с входа на выход. 

Многовариантное исполнение планетарных групп, согласно форму
ле (1), а, следовательно, и планетарных механизмов на их основе ставит 
целесообразным присваивать им обозначения в строгом соответствии с 
обозначением структурообразующих звеньев с учетом их количества в 
структуре. 

Например, если в планетарном механизме содержатся два цен
тральных колеса 
ik  (
2
=
i
), один сателлит 
ig  (
1
=
j
) и одно водило h , то 

его следует обозначать как 
"
2
"
h
g
k
−
−
, а его планетарную группу – 

"
2
"
g
k −
или в общем виде соответственно - как 
"
"
h
jg
ik
−
−
 и 
"
"
jg
ik −
. 

Согласно формулам (1) и (2) планетарные группы 
"
"
jg
ik −
, как 

многозвенные зубчатые механизмы на подвижном основании, допускают 
разные комбинации между центральными колесами и сателлитами. Это 
новая впервые вскрытая нами, необозначенная в научно-технической 
литературе до настоящего времени закономерность структурного образования планетарных механизмов. В подтверждение сказанному укажем на 
широко распространенную классификацию простейших планетарных механизмов по проф. В.Н. Кудрявцеву [2], в которой сателлиты как структурообразующие звенья вообще не нашли отражения, а механизмы классифицируются только по числу центральных колес на 
"
"
h
k −
, 
"
2
"
h
k −
 и 

"
3
"
h
k −
 или 
"
3
" k , заранее предполагая, что в структуре только один актив
ный сателлит. Именно в таком исполнении с одним активным сателлитом 
они приводятся в научно-технической литературе и широко распространены в технике. Для них отлично разработаны теория функционирования, 
нормативно-техническая документация, аппарат проектирования [1 - 6] и др. 

Сразу заметим, что, согласно рекомендуемому обозначению плане
тарных механизмов и планетарных групп, последние многовариантны в 
структурном и конструктивном исполнениях, а поэтому простейшими из 
них являются неделимые структурные образования с одним водилом. 

Подводя итоги вышесказанному, сформулируем общий принцип 

структурного образования простейших планетарных механизмов: любой 
простейший планетарный механизм как неделимое структурное образование с одной степенью свободы, формируется из двухзвенного рычажного 
механизма с одной степенью свободы и размещенного на его ведущем зве

Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2  

8

не – водиле планетарной зубчатой группы – многозвенного зубчатого механизма, состоящего из центральных колес и сателлитов, с одной относительной степенью подвижности, ведущее звено (центральное колесо) которого присоединяется к стойке. 

В отличие от стержневого и рычажных механизмов структурное 

образование планетарных механизмов проводится в два этапа: наслоением 
зубчатых звеньев на водило рычажного механизма с образованием планетарной группы 
"
"
jg
ik −
 на первом этапе и присоединением её ведущего 

звена – центрального колеса к стойке с образованием неделимого структурного образования планетарного механизма 
"
"
h
jg
ik
−
−
 на втором.  

На рис. 1 представлена иллюстрация метода структурного образо
вания планетарных механизмов 
"
"
h
jg
ik
−
−
. 
Покажем применение вышеизложенного метода на примерах структурного синтеза известных простейших планетарных передач 
"
2
"
h
k −
 и 

"
3
"
h
k −
 по классификации проф. Кудрявцева В.Н. [2]. 
 

            а                                           б                                                в 
 
Рис. 1. Иллюстрация метода формирования рядовых 
планетарных механизмов 
"
"
h
jg
ik
−
−
: а – структурообразующий 
рычажный механизм; б – неделимые структурообразующие элементы: 
рычажный механизм и планетарная группа; в – планетарный 
механизм как неделимое структурное образование 
 
Начнем 
со 
структурного 
синтеза 
планетарного 
механизма 

"
2
"
h
g
k
−
−
 с одновенцовым сателлитом (рис. 2). Он содержит структурообразующие двухзвенный рычажный механизм “стойка – водило h” и 
трехзвенную планетарную зубчатую группу 
"
2
"
g
k −
, сформированную на 
водиле (рис. 2, а). Присоединением ведущего звена в планетарной группе 

"
2
"
g
k −
 к стойке получаем неделимый четырехзвенный планетарный ме

Машиностроение и машиноведение 

9

ханизм 
"
2
"
h
g
k
−
−
 (рис. 2, б) с одним внешним и одним внутренним зацеплениями. 

 
                       а                                                                  б 
 
Рис. 2. Структурный синтез рядового планетарного механизма 

"
2
"
h
g
k
−
−
 с одновенцовым сателлитом: а – структурообразующие 
двухзвенный рычажный механизм «стойка-водило» и трехзвенная 
планетарная группа 
"
2
"
g
k −
, размещенная на его водиле;  
б – планетарный механизм 
"
2
"
h
g
k
−
−
  
как неделимое структурное образование 

Аналогичным образом формируются планетарные механизмы 

с двухвенцовым сателлитом 
"
2
"
12
h
g
k
−
−
 (рис. 3) и 
"
3
"
12
h
g
k
−
−
 (рис. 4). 

 
                                а                                                                   б 

Рис. 3. Структурный синтез рядового планетарного механизма 

"
2
"
12
h
g
k
−
−
 с двухвенцовым сателлитом: а – структурообразующие 

двухзвенный рычажный механизм “стойка-водило” и трехзвенная 

планетарная зубчатая группа 
"
2
"
12
g
k −
, размещенная на его водиле; 

б – четырехзвенный планетарный зубчатый механизм 
"
2
"
12
h
g
k
−
−

как неделимое структурное образование 

Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2  

10

 
                                    а                                                   б 
 
Рис. 4. Структурный синтез рядового планетарного механизма 

"
3
"
12
h
g
k
−
−
: а – структурообразующие двухзвенный рычажный 
механизм “стойка - водило” и четырехзвенная планетарная зубчатая 
группа 
"
3
"
12
g
k −
, размещенная на водиле; б – пятизвенный планетарный 
механизм 
"
3
"
12
h
g
k
−
−
 как неделимое структурное образование 

Для лучшего понимания изложенного метода на рис. 5 и рис. 6 при
водятся структурные схемы кинематических связей между зубчатыми 
звеньями k  и g  в планетарных группах 
"
2
"
g
k −
 и 
"
3
"
g
k −
 (рис. 5) и меж
ду структурными звеньями k , g  и h  в планетарных. 

 
а                                    б                                      в 
 
Рис. 5. Кинематические связи между зубчатыми звеньями k  и g  
в планетарных группах: а – 
"
2
"
g
k −
; б – 
"
2
"
12
g
k −
; в – 
"
3
"
12
g
k −

                                а                                                                 б 
 
Рис. 6. Кинематические связи между структурными звеньями k , g  и h  
в планетарных механизмах: а – 
"
2
"
h
g
k
−
−
; б – 
"
3
"
12
h
g
k
−
−

Из совместного рассмотрения структурных схем кинематических 

связей в планетарных группах 
"
"
jg
ik −
 и в планетарных механизмах