Квазиматричная (квазифункциональная) логика

Издательство Московского университета
2018

Квазиматричная 
(квазифункциональная) 
логика

Ю. В. Ивлев

Московский государственный университет  
имени М.В.Ломоносова

УДК 16/001.12
ББК 87.4
 
И25 

Исследование выполнено 
при финансовой поддержке РГНФ (РФФИ) 
в рамках научного проекта № 15-03-00372а

Издание осуществлено при финансовой поддержке 
Российского  фонда  фундаментальных  исследований 
по проекту № 18-111-00102, не подлежит продаже

Ивлев Ю. В.
Квазиматричная (квазифункциональная) логика. – М.: Издательство Московского университета, 2018. – 128 с.
ISBN 978-5-19-011300-6

В монографии формулируется принцип квазифункциональности (квазидетерминизма, или ограниченного детерминизма), согласно которому в природе, социуме, 
познании между явлениями имеет место отношение не только однозначной обусловленности, но и неоднозначной обусловленности. Частные случаи квазифункциональности — функциональность и полная неопределенность (хаотичность). На основе 
принципа квазифункциональности построены модальные логики. В книге показана 
возможность применения этого принципа в других областях познания и деятельности (абстрактные и реальные автоматы, социальное прогнозирование, нервные 
сети, генетика, теория уб еждения и др.). Применены разработанные автором методы 
доказательства метатеорем. 
Адресовано преподавателям и студентам вузов, а также всем тем, кто интересуется проблемами современной логики.

УДК 16/001.12
ББК 87.4

Ivlev Yu. V.
Quasi-matrix (Quasi-functional) Logic. Moscow, Moscow University Press, 2018. 128 p.

In the monograph the quasi-functionality principle (the principle of quasi-determinism, 
or limited determinism) is formulated. The special cases of quasi-functionality (quasi-determinism) are functionality (determinism, unambiguous causality) and complete uncertainty (the chaotic state). The book explicates modal logics (alethic, deontic, etc.) grounded 
on the quasi-functionality principle. The possibility of applying the principle to other 
fi elds of knowledge and activities is shown (i.e. to abstract and real automata, social 
forecasting, neural networks, genetics, theory of persuasion).

 
© Ивлев Ю.В., 2018
 
© Издательство Московского университета, 
 
 2018
ISBN 978-5-19-011300-6

И25

Глава 1
ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ 

1.0. Логика – наука о мышлении   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 5
1.1. Логика – наука об особых структурах мыслей, называемых, не 
совсем удачно, формами мыслей   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 6
1.2. Логика традиционная и современная   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 9
1.3. Логика традиционная и суррогатная   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .11
1.4. Эмпирический и теоретический уровни исследования в логике   .  .  .11
1.5. Логика и «как-бы-логика» (“as-if-logic”)   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  19
1.6. Логика классическая и неклассическая  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  21
1.7. Алетические модальности   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  22
1.8. Логика и методология   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  26
ABSTRACT .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  28
Список литературы   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  31

Глава 2
КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 
ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ПРЕДИКАТОВ

1.0. Исчисление высказываний. Система натурального вывода   .  .  .  .  .  32
1.1. Логика высказываний. Семантические таблицы   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  39
1,2. Исчисление предикатов. Система натурального вывода .  .  .  .  .  .  .  41
1.3. Логика предикатов. Семантические таблицы .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  46

Глава 3
ДВУХЗНАЧНАЯ КВАЗИМАТРИЧНАЯ ЛОГИКА

1.0. Логика Smin   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  47
ABSTRACT .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  53

Глава 4
ТРЕХЗНАЧНАЯ КВАЗИМАТРИЧНАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ 
СЛУЧАИ – ЛОГИКИ ЛУКАСЕВИЧА И КЛИНИ

1.0. Квазиматричная логика Sг   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  56
1.1. Логика Sг как содержательное обобщение трехзначных логик 
Лукасевича и Клини   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  67
ABSTRACT .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  69
Список литературы   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  71

ОГЛАВЛЕНИЕ

Оглавление

Глава 5
ЧетырехзнаЧные матриЧные и квазиматриЧные 
пропозициональные модальные логики

1.0. Матричные четырехзначные логики
                 72
1.1. Основные четырехзначные квазиматричные логики           80
1.2. Обобщение квазиматричных логик и их частных случаев – матричных логик
                             95
ABSTRACT                                    99
Список литературы
                             101

Глава 6

деонтиЧеская квазиматриЧная логика.  

логика норм

1.0. Трехзначная деонтическая логика                     102
1.1. Пятизначная деонтическая логика                     107
1.2. Шестизначная деонтическая логика                    109
Список литературы
                             109

Глава 7

квазифункциональная логика ограниЧенных 
множеств описаний состояний

1.0. Логика ограниченных множеств описаний состояний (логика

ОМОСов)                                  110
1.1. Метатеоремы                                113
ABSTRACT                                   114
Список литературы                               116

Глава 8

другие возможные приложения принципа 
квазифункциональности

1.0. Квазидетерминизм в биологии                      117
1.1. Нервные сети
                               117
1.2. Генетика (наследственность)                       118
1.3. Абстакные и реальные квазиавтоматы                  118
1.4. Социальное прогнозирование                       119
1.5. Аргументация                               120
1.6. Управленческое решение                          120
1.7. Квазифункциональная модель специалиста                120
1.8. Квазифункциональная логика предикатов                 122
Заключение к главе
                             122
Список литературы
                             122
Послесловие                                  123

Работы автора по квазифункциональной логике и ее приложениям    124

Глава 1

ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ

Что такое логика? Объект логики – мышление. Предмет логики – 
особые структуры мыслей и процессов мышления. Логика традиционная и современная. Логика традиционная и суррогатная. Эмпирический 
и теоретический уровни исследований в логике. Логика и «как-бы-логика» 
(“as-if-logic”). Логика классическая и неклассическая. Модальная логика. 
Онтологические и логические модальности. Квазифункциональная 
логика.

1.0. Логика – наука о мышлении

Против этого утверждения выдвигается следующий аргумент: мы не 
знаем, как рождаются мысли. Действительно, в некоторых случаях нам 
неизвестен источник наших знаний и процесс их получения неконтролируем. В таких случаях говорят об «озарении», или интуиции. Интуиция – процесс получения знаний помимо органов чувств и осознаваемых рассуждений. Одно из объяснений интуиции, названное концепцией 
светлого пятна, дано лауреатом Нобелевской премии И.П. Павловым и 
развито Ф. Криком, тоже лауреатом Нобелевской премии. Последний 
«предположил наличие специального аппарата, создающего “луч прожектора”, связанного с оперативным мышлением. <…> Нейронные 
процессы, попадающие под луч прожектора внимания, определяют содержание нашего сознания и, в той или иной мере, переживаются, в то 
время как нейронные процессы вне света прожектора образуют подсознание, и, хотя они постоянно и плодотворно функционируют, результаты их действия остаются неосознанными, но именно они и участвуют в 
процессе интуитивного мышления» [7, с. 249].
Среди каждого из трех, по крайней мере, типов явлений – (1) эмоции 
(страх, радость и т.д.), (2) чувства (ощущения, восприятия, представления, процессы так называемого предметного мышления), (3) процессы 
и элементы аналитико-логического мышления (умозаключения и аргу

Глава 1. Предмет логики

ментации, суждения, понятия и т.д.) – есть явления, осознаваемые субъектом, и есть неосознаваемые явления1.
Логика является наукой об осознаваемых явлениях третьего типа, то 
есть наукой о мышлении. Что именно в мышлении изучает логика, то 
есть если объектом науки логики является мышление, то что является ее 
предметом?
Замечание. Не являются предметом изучения логики умозаключения следующего типа: «Идет дождь. Следовательно, крыши домов мокрые», поскольку вывод сделан на основе мысленного эксперимента: 
«если дождь идет, то куда же капли денутся; у нас не Сахара, они не 
могут испариться на лету».

1.1. Логика – наука об особых структурах мыслей, 
называемых, не совсем удачно, формами мыслей

Форма мысли (процесса мышления) – это ее (его) структура, выявляемая в результате частичного отвлечения от смыслов и значений нелогических терминов, входящих в словосочетание, выражающее эту мысль 
(этот процесс мышления). Таким образом, вопрос о предмете логики 
сводится к вопросу о различении терминов логических и нелогических 
и о понимании «частичности» отвлечения от смыслов и значений нелогических терминов. Некоторое общее основание для выделения логических терминов есть. Таким основанием является то, что логические термины выражают наиболее общие связи и характеристики явлений 
объективной и субъективной действительности: количественные характеристики («все», «некоторые», «большинство»…), отношения между 
ситуациями («если…, то…», «и», «или»…), отношения между мыслями 
(«следовательно», «совместимо по истинности»…) и т.д. В конечном же 
счете вопрос о различении логических и нелогических терминов решается имеющейся практикой, то есть фактически соглашением.
Замечание. Указанные выражения еще не логические термины. 
В естественном языке они употребляются в разных смыслах. Выраже
1 В соответствии с этим можно выделить типы интуиции: эмоциональную, чувственную и мыслительную. Мне представляется, что существуют интуиции еще двух типов: 
интуиция, которая заключается в неосознаваемом и не имеющем достаточных оснований 
(с точки зрения современной теории познания) процессе рождения оригинальных идей, 
решения сложных проблем и т.д., – интеллектуальная интуиция; интуиция, которая заключается в неосознаваемом и не имеющем достаточных оснований (опять же с точки зрения 
современной теории познания) процессе получения чувственных образов. Пример. У 
меня – это было много лет назад – сломалась пишущая машинка. Я ее никогда не разбирал 
и не знал, как она устроена, поэтому решил отнести ее в мастерскую. Вдруг каким-то 
внутренним зрением ясно «увидел», что в машинке есть рычажок и он сместился. Долго 
колебался, разбирать ее или нет, так как не верил этому «озарению». Наконец, разобрал, 
увидел рычажок, поставил его на место, и машинка стала работать. 

1.1. Логика – наука об особых структурах мыслей

ние естественного языка становится логическим термином, если ему 
придается точный смысл. 

Примеры логических терминов.
1. Логические термины, посредством которых образуются соединительные суждения, то есть суждения, в которых утверждается наличие 
двух или более ситуаций.
Первый. Логический термин, посредством которого образуется одновременно-конъюнктивное суждение – суждение, в котором утверждается одновременное существование двух ситуаций. Это суждение образуется из двух суждений посредством союза, для которого введем знак 
«&=» – знак одновременной конъюнкции. Выражение «A&=B» читается 
«A и одновременно B». 
Второй. Логический термин, посредством которого образуется последовательно-конъюнктивное суждение – суждение, в котором утверждается последовательное возникновение или существование двух или 
более ситуаций. Эти суждения образуются из двух или более суждений 
при помощи союзов, которые обозначим символами «&→2», «&→3» и т.д. 
в зависимости от числа суждений, из которых образовано сложное суждение. Эти символы называются знаками последовательной конъюнкции 
и соответственно читаются: «…, а затем…», «…, затем…, а затем…» 
и т.д. Индексы 2, 3 и т.д. указывают на местность союза. Структура суждения с двухместным союзом: &→2(A, B), или А &→2В. Пример: «Прошел дождь, а затем засияло солнце». Вместо выражения «а затем» чаще 
всего употребляется союз «и»: «Прошел дождь, и засияло солнце». 
Структура суждения с трехместным союзом: &→3(A, B, C). Пример: 
«Петров вышел из дома, сломал ногу, и его отправили в больницу».
Третий. Логический термин, посредством которого образуется последовательно-одновременно-конъюнктивное суждение – суждение, 
в котором утверждается последовательное возникновение двух, трех 
и т.д. ситуаций, а потом их одновременное существование. Они образуются из двух или более суждений при помощи союзов, обозначаемых 
символами &→2,=, &→3,= и т.д. в зависимости от числа суждений, из которых они образуются.
Примеры. Пошел дождь, потом пошел снег, хотя дождь продолжил 
идти. Пошел дождь, потом пошел снег, потом поднялся ветер, хотя 
дождь и снег продолжали идти, и ветер продолжался. Обозначим суждения «Пошел снег», «Пошел дождь», «Поднялся ветер» буквами A, B, C 
соответственно. Структура первого суждения: &→2,=(A, B), структура 
второго: &→3,=(A, B, C). 
Четвертый. Логический термин, посредством которого образуется 
возможно-конъюнктивное суждение – суждение, в котором выражается 

Глава 1. Предмет логики

правомерность реализации любой из двух возможностей. Пример: число 6 
делится на 2 и на 3. Обозначение: «&◊». Структура суждения: A&◊В.
Есть и другие логические термины, посредством которых образуются 
соединительные суждения.
2. Логические термины, посредством которых образуются разделительные суждения.
Первый. Союз, посредством которого образуется строго-разделительное суждение, то есть суждение, в котором утверждается наличие 
ровно одной из двух, трех и т.д. ситуаций. Этот союз обозначается знаком «∨n», где n ≥ 2.
Второй. Эмпирический союз, посредством которого образуется нестрого-разделительное суждение, обозначается знаком «∨∗» и определяется посредством описанных выше союзов:

A∨∗В есть ∨8 (A, B, A&=В, A &→2B, B&→2A, A&→2,= B, B&→2,= A, A &◊В).

3. Логические термины, выражаемые в естественном языке союзом 
«если…, то…».
Первый. Союз условной связи, обозначаемый знаком «→». В условном суждении «A→B» выделяют основание и следствие. Основание 
выражает ситуацию, достаточную для существования ситуации, выражаемой следствием.
Союзы условной связи в свою очередь делятся на виды: (1) причинно-следственную связь, A(c)→B; (2) наличие определенного свойства 
у предмета обусловливает наличие определенного (возможно, другого) 
свойства у другого или того же предмета, A(p)→B. Решение одной задачи 
дает метод решения другой задачи, A(i)→B; и др.
Второй. Союз условно-ограничительной связи. Обозначение: «↵». 
Пример условно-ограничительного суждения: если собака откусит 
у курицы левую ногу, то курица сможет стоять (на одной ноге). Основание 
здесь выражает условие, недостаточное для того, чтобы ситуация, выражаемая следствием, отсутствовала. Суждение можно переформулировать 
так: Если собака откусит у курицы только левую ногу, то курица сможет 
стоять. Обозначение суждения: A↵B. Читается: если только A, то B.
Третий. Союз контрфактической связи, A•→B. Cитуация, описываемая основанием, не имеет места, но если бы она существовала, то существовало бы и следствие.
Четвертый. Союз профактической связи, A♦→B. Ситуация, описываемая основанием, имеет место, и основание выражает достаточное 
условие для ситуации, выражаемой следствием.
Пятый. Союз логического следования, A⇒B. Пример: если все футболисты – спортсмены, то некоторые спортсмены – футболисты.
Есть и другие смыслы союза «если…, то…». 

1.2. Логика традиционная и современная

Частичность отвлечения от смыслов и значений нелогических 
терминов заключается в следующем: остается информация о типе терминов, от смыслов и значений которых произошло отвлечение, а также 
информация о том, где находился один и тот же термин, а где разные.
Знание типов нелогических терминов предполагает знание видов 
объектов, которые этими терминами обозначаются (или выражаются). 
Основными из объектов являются предметы, свойства предметов, отношения между предметами, функциональные зависимости между предметами.
Другая часть знания, выражаемого логической формой мысли, – это 
информация, которая представлена логическими терминами.
Логика исследует виды логических форм, отношения между мыслями по логическим формам, в том числе отношения, называемые логическими законами. Логические законы – это, в частности, связи между 
мыслями по формам, при которых истинность одних из этих мыслей 
обусловливает истинность других.
Определение логики: логика – наука об особых структурах (формах) 
мыслей и процессов мышления и об отношениях между мыслями и процессами мышления по этим структурам.
Одним из разделов логики является модальная логика, которая исследует отношения по формам не только между ассерторическими суждениями – (просто) утверждениями и отрицаниями, но и между так 
называемыми сильными и слабыми утверждениями и отрицаниями. Например, усилениями ассерторического суждения «Человек имеет мягкие мочки ушей» являются суждения «Необходимо, что человек имеет 
мягкие мочки ушей» и «Случайно, что человек имеет мягкие мочки 
ушей», а ослаблением – суждение «Возможно, что человек имеет мягкие мочки ушей». Сильные и слабые утверждения называются алетическими модальными суждениями. 

1.2. Логика традиционная и современная 

В истории логики можно выделить два больших этапа: традиционную логику и современную. Традиционная логика основана Аристотелем. Его учение, во многом дополненное, развитое и отчасти искаженное, существовало до начала XX в. В начале прошлого столетия 
произошла своеобразная научная революция, связанная с широким применением для исследования отношений между мыслями по указанным 
выше структурам (формам) методов так называемой символической 
(математической) логики. Идеи последней высказаны немецким ученым Г.В. Лейбницем (1646–1716): «Единственное средство улучшить 
наши умозаключения – сделать их, как и у математиков, наглядными, 

Глава 1. Предмет логики

так, чтобы свои ошибки находить глазами, и, если среди людей возникнет спор, нужно сказать: “Посчитаем!”, тогда без особых формальностей можно будет увидеть, кто прав» [12, c. 217].
Идея Лейбница о возможности и продуктивности сведения рассуждений к вычислениям в течение многих лет не находила развития и применения. Символическая логика начала создаваться лишь в середине 
XIX в. Ее развитие связано с деятельностью Дж. Буля, А.М. Де-Моргана, 
Ч. Пирса, Г. Фреге и других известных ученых. Значительный вклад 
в создание символической логики внес отечественный ученый П.С. Порецкий.
К началу двадцатого столетия символическая логика оформилась 
в качестве относительно самостоятельной дисциплины в рамках логической науки. Первым капитальным трудом по символической логике 
является сочинение Б. Рассела и А. Уайтхеда «Principia Mathematica» 
(в 3-х томах), вышедшее в 1910–1913 гг. на английском языке. В России 
в XX в. символическую логику разрабатывали Д.А. Бочвар, В.И. Гливенко, И.И. Жегалкин, А.Н. Колмагоров, А.А. Марков, П.С. Новиков, 
В.И. Шестаков и многие другие. Применение методов символической 
логики к решению проблем, поставленных традиционной логикой, а 
также проблем, которые даже не могли быть ею поставлены, и вызвало 
в начале XX в. революцию в логике. Именно использование методов 
символической логики отличает логику современную от традиционной, 
но в современной логике сохраняются все достижения и вся значимая 
для науки и обыденного познания проблематика традиционной логики.
Примечательна история учебных курсов логики в нашей стране. До 
40-х гг. прошлого столетия значение символической логики в СССР 
подвергалось сомнению, поскольку эта логика лежит в основе кибернетики, а кибернетика объявлялась лженаукой, как и генетика. В 1947 г. на 
русский язык была переведена первая книга по символической логике. 
Это книга Д. Гильберта и В. Аккермана «Основы теоретической логики». 
Затем стали появляться другие фундаментальные работы по символической логике. Преподаватели, читавшие курсы традиционной логики 
в вузах, стали приобщаться к логике символической, или, как тогда ее 
чаще всего называли, логике математической. Большая роль в пропаганде 
символической логики принадлежит профессору МГУ имени М.В. Ломоносова С.А. Яновской.
Чтение курсов традиционной логики и занятия логикой символической позволили применять методы последней для решения проблем старой 
логики. Особый вклад в это применение внес Е.К. Войшвилло – профессор воссозданной в августе 1943 г. кафедры логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.