Математика для экономического бакалавриата

М.С. КРАСС,  Б.П. ЧУПРЫНОВ

МАТЕМАТИКА

ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО 
БАКАЛАВРИАТА

УЧЕБНИК

Москва
ИНФРА-М
2020

Рекомендовано УМО по образованию
в области финансов, учета и мировой экономики
в качестве учебного пособия для студентов, 
обучающихся по направлению 38.03.01 «Экономика»

Р е ц е н з е н т ы:
В.В. Кульба, д-р техн. наук, профессор;
П.Н. Брусов, д-р физ.-мат. наук, профессор

Красс М.С.
Математика для экономического бакалавриата : учебник / 
М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. — Москва : ИНФРА-М, 2020. —
472 с. — (Высшее образование: Бака лавриат).

ISBN 978-5-16-004467-5 (print)
ISBN 978-5-16-105061-3 (online)

Изложены основы математического анализа, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики, экономико-математического моделирования, эконометрики. Именно такая базовая совокупность знаний необходима бакалавру экономики. По всем разделам, помимо решения соответствующих задач, 
приведены экономические приложения и модели. 
Материал полностью соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего образования последнего поколения по направлению 
38.03.01 «Экономика», степень – бакалавр экономики.
Предназначена для студентов экономических и смежных технических специальностей вузов, экономистов, а также для тех, кто хочет самостоятельно углубить 
свои знания.

УДК 51+33(075.8)
ББК 22.1я73

УДК  51+33(075.8) 
ББК  22.1я73
 
К78

K78

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ISBN 978-5-16-004467-5 (print) 
ISBN 978-5-16-105061-3 (online) 
© Красс М.С., Чупрынов Б.П., 2011

В В Е Д Е Н И Е

Математика — самая древняя наука, живущая и развивающаяся 

вместе с человечеством. Она появилась из насущных нужд человека, 
когда возникла потребность в количественном отображении окружающего его мира.

Статус самостоятельной науки математика приобрела в Древней 

Греции примерно в VI в. до н.э. Все философские школы того времени включали математику в круг вопросов миросозерцания; строгий 
язык формальной логики (именно он стал языком математики) формировал уровень и строй мышления. В III в. до н.э. математика выделилась из философии, что отражено в «Началах» — эпохальном 
труде, прославившем в веках имя Евклида и заложившем фундамент 
классической геометрии. Более двух тысяч лет математику изучали 
по этой книге.

XVII в. стал эпохой бурного развития математики. Труды Декарта, 

Ньютона и Лейбница ознаменовали новый этап ее эволюции и появление математики переменных величин. Начинается период дифференциации единой науки на ряд самостоятельных математических 
наук: алгебру, математический анализ, аналитическую геометрию.

Современная математика характеризуется интенсивным проник
новением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. 
Язык математики оказался универсальным, и это есть объективное 
отражение универсальности законов окружающего нас многообразного мира.

Экономика, как наука об объективных причинах функциониро
вания и развития общества, еще со времен Луки Пачоли (основателя 
бухгалтерского дела в XV в.) и Адама Смита пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя 
большое число математических методов. Современная экономика 
использует практически весь аппарат прикладной математики.

Современная концепция высшего экономического образования 

достаточно полно реализует специфику изучения математических 
дисциплин. Цикл математических дисциплин для бакалавриата по 
направлению «Экономика» согласно Государственному стандарту 
высшего профессионального образования состоит из ряда взаимосвязанных разделов с иллюстрацией их применения в экономике. 
К ним относятся математический анализ, линейная алгебра и ее при

ложения в задачах оптимизации, теория вероятностей и математическая статистика. Наиболее современным разделом прикладной 
математики в экономике является эконометрика. Именно эти разделы и их экономические приложения вошли в настоящий учебник.

В изложении материала доказательная база почти отсутствует: 

основное внимание уделено приобретению навыков использования 
математического аппарата. Все главы учебника содержат подборку 
упражнений для самостоятельного выполнения. Кроме того, в книге имеется практикум с разделами по каждой теме.

Книга написана на основе лекций, прочитанных авторами в те
чение последних лет в экономических вузах, в том числе и при подготовке слушателей второго высшего образования. В книгу вошли 
материалы, прошедшие практическую проверку при преподавании 
цикла математических дисциплин в экономических государственных 
и негосударственных вузах для различных форм обучения.

При изложении материала авторы постарались сохранить как сло
жившуюся терминологию, так и традиционные обозначения в формулировках задач и математических моделей и в решениях.

Предлагаемый учебник рассчитан на самую широкую экономиче
скую аудиторию — студентов, преподавателей, аспирантов. Он может 
быть использован и в различных формах обучения по программам 
высшего экономического образования: очной, вечерней и дистанционной, а также при получении второго высшего образования.

Благодаря достаточно обширному материалу и большому числу 

разобранных задач и экономических приложений, предлагаемая 
книга может служить справочным пособием для специалистов, работающих в различных областях экономики.

Р а з д е л  I

ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ

Часть 1.  МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Часть 2.  ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Часть 3.  ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Ч а с т ь  1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Математический анализ представляет собой основу всей высшей 

математики. Его содержание составляют дифференциальное и интегральное исчисления одной и нескольких переменных.

Глава 1.  МНОЖЕСТВА

1.1.  Множества. Основные обозначения. 

Операции над множествами

Понятие множества является одним из основных в математике. 

Система, семейство, совокупность — эти термины можно считать 
синонимами слова «множество». Множество можно определить как 
совокупность объектов, объединенных по определенному признаку. 
Например, множество зрителей в данном кинотеатре; множество 
студентов определенного учебного заведения; совокупность студентов, учащихся на «хорошо» и «отлично», в некоторой школе, совокупность коммерческих банков, имеющих уставный фонд не ниже 
100 миллиардов рублей. Множество может содержать конечное или 
бесконечное число объектов.

Объекты, составляющие множество, называются его элементами 

или точками. Обычно множества обозначаются большими буквами, 
а входящие в них элементы — малыми буквами. Выражение «элемент  х  из множества X» соответствует записи  х ∈ X  (х  принадлежит  X); если же элемент  х  не входит в множество  X, то это соответствует записи  х ∉ X  (х  не принадлежит  X).

Пусть  X  и  Y  — два множества. Тогда между ними можно опре
делить следующие соотношения. Если оба множества состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают, что соответствует записи 
X = Y.  Если все элементы множества  X  содержатся в множестве  Y,
то  X  целиком содержится в  Y, или  X ⊂ Y  (X  является подмножеством множества  Y).  Если ни один элемент множества  X  не содержится в  Y, то, значит, и само множество  X  не содержится в  Y, 
или X ⊄Y.

В математике используется понятие пустого множества, обозна
чаемого символом  ∅.  Это множество, в котором не содержится ни 
один элемент, и потому оно является подмножеством любого множества.

Введем также понятия суммы множеств и их пересечения. Суммой 

или объединением двух множеств  X  и  Y  называется совокупность 
элементов, входящих как в множество  X, так и в множество  Y.  Сумма этих множеств обозначается  X ∪ Y.  Например, пусть  X  — множество государственных предприятий с годовым оборотом не ниже  S  денежных единиц, a  Y  — множество негосударственных предприятий с тем же порогом годового оборота; тогда  X ∪ Y  будет 
множеством всех предприятий с указанным нижним ограничением  S.

Отметим, что добавление пустого множества  ∅  к любому мно
жеству  X  не меняет этого множества, т.е.

X ∪ ∅ = X.

Пересечением множеств  X  и  Y  (или их общей частью) является 

совокупность элементов, входящих как в множество  X,  так и в множество  Y;  это множество обозначается  X ∩ Y.  Например, если 
X  — это множество предприятий с годовым оборотом  Т  не ниже  s,
a  Y — совокупность предприятий с годовым оборотом не более  S,
причем  s < S, то в пересечение  X ∩ Y  войдут объекты с годовым 
оборотом  Т, удовлетворяющим неравенству

s ≤ Т ≤ S.

Отсутствие элементов со свойствами множеств  X  и  Y  одновре
менно означает, что пересечение этих множеств представляет собой 
пустое множество  ∅.  Схематически пересечение двух множеств показано на рис. 1.1 (заштрихованная область).

A
B

Рис. 1.1

Разностью множеств  X  и  Y  называется множество  Z, содержа
щее все элементы множества  X, не содержащиеся в  Y;  эта разность 
обозначается  Z = X \Y.

Дополнением до  X  множества Y  называется множество всех эле
ментов множества  X, не принадлежащих  Y;  это множество обозначается  Y– = X \Y.

В общем случае сложение и пересечение определяются для любо
го конечного числа множеств путем последовательного попарного 
проведения соответствующих операций.

В математических формулировках довольно часто используются 

отдельные предложения и слова, так что при их записи целесообразно употреблять экономную логическую символику. Вместо выражения «любое  х  из множества  X» употребима запись  ∀x ∈ X, где 
перевернутая латинская буква  Α  взята от начала английского 
слова  Any  — «любой». Аналогично вместо выражения «существует 
элемент  х  из множества  X» кратко пишут:  ∃х ∈ X, где перевернутая латинская буква  Ε  является начальной в английском слове 
Existence — «существование».

1.2.  Вещественные числа и их свойства

Множество вещественных чисел является бесконечным. Оно 

состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональным 
называется число вида  р/q, где  р  и  q  — целые числа. Всякое вещественное число, не являющееся рациональным, называется иррациональным. Всякое рациональное число либо является целым, либо 
представляет собой конечную или периодическую бесконечную 
десятичную дробь. Например, рациональное число  1/9  можно представить в виде  0,11111... . Иррациональное число представляет собой 
бесконечную непериодическую десятичную дробь; примеры иррациональных чисел:

√⎯  2  = 1,41421356... ;              π = 3,14159265... .

Сведения о вещественных числах могут быть кратко системати
зированы в виде перечисления их свойств.

A.  Сложение и умножение вещественных чисел

Для любой пары вещественных чисел  a  и  b  определены един
ственным образом два вещественных числа  а + b  и  а ⋅ b,  называемые соответственно их суммой и произведением. Для любых чисел 
а, b  и  с  имеют место следующие свойства.

1. а + b = b + а,     а ⋅ b = b ⋅ а   (переместительное свойство).
2. а + (b + с) = (а + b) + с,     а ⋅ (b ⋅ с) = (а ⋅ b) ⋅ с   (сочетательное 

cвойство).

3. (а + b) ⋅ с = а ⋅ с + b ⋅ с   (распределительное свойство).

4. Существует единственное число  0,  такое, что   a + 0 = a   для 

любого числа  а.

5. Для любого числа   а   существует такое число  (−а),  что

а + (−а) = 0.

6. Существует единственное число  1 ≠ 0,  такое, что для любого 

числа  а  имеет место равенство   а ⋅ 1 = а.

7. Для любого числа  а ≠ 0  существует такое число  а −1,  что

а ⋅ а−1 = 1.  Число  а−1  обозначается также символом 1

a .

B.  Сравнение вещественных чисел

Для любых двух вещественных чисел имеет место одно из трех 

соотношений:  а = b  (а  равно  b),  а > b  (а  больше  b) или  а < b 
(а  меньше  b).  Соотношение равенства обладает свойством транзитивности: если  а = b  и  b = с,  то  а = с.

Отношение «больше» обладает следующими свойствами.
8. Если  а > b   и   b > с,   то   а > с.
9. Если  а > b,   то   а + с > b + с.
10. Если  а > 0   и   b > 0,   то   ab > 0.

Вместо соотношения  а > b  употребляют также  b < а.  Запись
а ≥ b  (b ≤ а)  означает, что либо  а = b,  либо  а > b.  Соотношения со знаками  >,  <,  ≥  и  ≤  называются неравенствами, 
причем соотношения типа  8–10  — строгими неравенствами.

11. Любое вещественное число можно приблизить рациональны
ми числами с произвольной точностью.

С.   Непрерывность вещественных чисел

12. Пусть  X  и  Y  — два множества вещественных чисел. Тогда, 

если для любых чисел  х ∈X  и  у ∈Y  выполняется неравенство
х ≤ у,  то существует хотя бы одно число  с,  такое, что для всех
х  и  у  выполняются неравенства  х ≤ с ≤ у.
Отметим здесь, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных (действительных) чисел, но не обладает множество, состоящее только из рациональных чисел.
Таким образом, вещественные числа представляют собой 
множество элементов, обладающих свойствами А-С. Такое 
определение, из которого выводятся остальные свойства, называется аксиоматическим, а сами свойства А-С — аксиомами 
вещественных чисел.