Высшая математика

ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва
ИНФРА-М
2020

В.И. МАЛЫХИН

Второе издание, переработанное и дополненное

Рекомендовано Учебно-методическим 
объединением по образованию в области финансов, 
учета и мировой экономики в качестве 
учебного пособия для студентов, 
обучающихся по направлению подготовки 
38.03.01  «Экономика»

Малыхин В.И. 
Высшая математика : учебное пособие / В.И. Малыхин.
 — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва: ИНФРА-М, 2020. — 
365 с. — (Высшее  образование).

ISBN 978-5-16-002625-1

Учебное пособие соответствует государственному образовательному стандарту и составлено в виде лекций, объединенных 
по темам. 
В конце каждой лекции приведены решения типовых задач, 
а также задания для самостоятельной работы.
Предназначено для студентов экономических факультетов 
вузов.

          
 
 
 
       ББК 22.11.я73

УДК 330.115(075.8)
ББК 22.11.я73
       М 20

М20

ISBN 978-5-16-002625-1                    © В.И. Малыхин, 1999, 2006

ÂÂÅÄÅÍÈÅ

КАКУЮ МАТЕМАТИКУ И КАК ДОЛЖЕН ИЗУЧАТЬ
БУДУЩИЙ ЭКОНОМИСТ (МЕНЕДЖЕР)

Существуют два взгляда на математику и ее роль среди других
наук в процессе обучения. Согласно первому взгляду математика —
это нечто самостоятельное, самоценное. Те, кто придерживаются
второго взгляда, признают это, но в основном считают математику
инструментом, владение которым полезно и необходимо. Несомненно, математика имеет определенное мировоззренческое значение, но
для специалистов по экономике, управлению — «менеджеров» математика является в большей мере инструментом анализа, организации, управления. Исходя из этого и написана данная книга.
Книга называется «Высшая математика» и состоит из трех частей, соответствующих трем семестрам, в которых предполагается
изучение математики и ее применения в экономике и финансах.
Первая часть называется «Основы линейной алгебры и математического анализа». Вторая часть называется «Математический анализ с экономическими приложениями» и третья — «Теория вероятностей и статистические методы в экономике».
Книга написана иначе, чем классические курсы высшей математики для вузов. Первое отличие в том, что все изучаемые математические понятия иллюстрируются приложениями из экономики, финансов, управления. Эти приложения не разрозненны. Фактически
эти приложения охватывают важнейшие понятия, разделы «Математической экономики», «Финансовой математики» (например, теория потребительского спроса, теория оптимального портфеля, теория принятия решений группой лиц и т.п.). Часто эти приложения
выходят на первый план, т.е. показывается, что математические понятия вводятся и изучаются ради экономических. Это — вторая особенность книги. Третья особенность касается третьей части. В ней
теория вероятностей и математическая статистика излагаются, в сущности, одновременно, что придает учебному материалу сжатость,
концентрированность. Изложение полной теории некоторых вопросов не предусматривается, надежда на овладение соответствующими
компьютерными программами (например, нет теории симплекс-метода, однако вполне возможно освоение какого-нибудь пакета по линейному программированию на практических занятиях или самосто

ятельно). Многие доказательства опущены, при желании их легко
найти в более продвинутых курсах вузовской математики (см., например, учебники [11, 12]). Предусмотрены необходимые контрольные мероприятия (что особенно важно для заочного и вечернего
обучения).

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Реальные объекты слишком сложны, поэтому для их изучения
создают модели — копии изучаемых реальных объектов. С одной стороны, модели должны быть доступны для изучения, в силу чего они
не должны быть слишком сложными — значит, они неминуемо будут
лишь упрощенными копиями. Но, с другой стороны, выводы, полученные при их изучении, мы хотим распространить на реальные
объекты-прототипы, следовательно, модель должна отражать существенные черты изучаемого реального объекта.
В силу такой двойственности построение, составление моделей
во многом является искусством. Чем удачнее будет подобрана, построена модель, чем лучше она будет отражать существенные черты
реального объекта, тем успешнее будет ее исследование и полезнее
вытекающие из этого исследования выводы и рекомендации.
В научном исследовании используются самые различные модели: натуральные (например, в лаборатории строят маленький ручеек
и над ним возводят копию ГЭС в масштабе 1 : 100) и абстрактные;
физические (из трансформаторов, сопротивлений, вольтметров
и т.п.); математические (из переменных, функций, неравенств и т.п.).
Составление математических моделей и называется математическим моделированием. Именно через составление математических
моделей применяется математика в научных исследованиях, в других
науках. Это довольно ярко заметно и в экономической науке.
Фактически математический аппарат и математические модели,
в которых он применяется, излагаются в данной книге, в сущности,
параллельно.

СТРУКТУРА УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ

Книга имеет следующую структуру: части, темы, разделы,
пункты.
Автор старался написать тексты реальных лекций — по объему,
по удобству изложения и т.п. Номер раздела складывается из номера
темы и номера раздела внутри этой темы. Например, раздел 2.1 —
это во 2-й теме 1-й раздел. Автор старался компоновать пункты так,
чтобы их можно было взять в качестве экзаменационных или зачетных вопросов. В каждом разделе помещены также решения типовых
задач и задачи для практических занятий или самостоятельного ре

шения. Рисунки, формулы, примеры, задачи нумеруются внутри
раздела, при ссылках на них вне данного раздела к их номеру внутри
раздела добавляется указание номера раздела. Например, ссылка на
формулу (1) в разделе 2.1 из другого раздела выглядит так: см. формулу (1) в разделе 2.1. Если же ссылка делается на другую часть книги, то указывается эта часть. В контрольных работах приведены текст
задания, данные для одного варианта, решение задач этого варианта
и еще данные нескольких вариантов.

ОБ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЕ

По высшей математике имеется немало великолепных книг, и
автор (который и сам в свое время по ним учился) без зазрения совести широко использовал их, часто без прямых ссылок. Однако
специально отмечу «Лекции по высшей математике» В.Н. Кирюшенкова, любезно предоставленные им автору. Заранее приношу свои
извинения за то, что иногда оказалось неудобным цитирование авторства (иногда неизвестного). В оправдание отмечу, что автор и не
рассматривает свое учебное пособие как научный труд — это лишь
добросовестная обработка необходимого материала с некоторой точки зрения, а именно: какую математику и как должен изучать будущий экономист (менеджер)?

ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ

БД
—
база данных.
ГКО —
государственные казначейские обязательства
(облигации).
ДВР
—
дискретный вариационный ряд.
д.с.в. —
дискретная случайная величина.
ИВР —
интервальный вариационный ряд.
ЛПР —
лицо, принимающее решения.
МС
—
математическая статистика.
н.с.в. —
непрерывная случайная величина.
с.в.
—
случайная величина.
СКО —
среднее квадратическое отклонение.
ТВ
—
теория вероятностей.
ЦПТ —
центральная предельная теорема.

Òåìà 1
ÂÅÊÒÎÐÛ È ÌÀÒÐÈÖÛ Â ÝÊÎÍÎÌÈÊÅ

1.1. ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ

1. Начальные сведения о векторах. Вектором называется упорядоченный набор чисел. Так, (1, 3, 7) есть вектор. Обозначим его
кратко P, тогда P = (1, 3, 7). Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в наборе называются компонентами вектора. Так, в
векторе P число 1 есть 1-я компонента, число 3 — 2-я, число 7 —
3-я компонента. Число компонент вектора называется его размерностью. Следовательно, P — трехмерный вектор.
П р и м е р  1 .  Пусть завод производит мужские, женские и детские
велосипеды. Тогда объем его производства V за год можно записать как
вектор (M, L, D), где M — объем производства за год мужских велосипедов,
L — женских и D — детских. Например, пусть объем производства в 1996 г.
был V96 = (1000, 800, 4000). Предположим, что план на 1997 г. на 10% больше
объема производства в 1996 г., тогда этот план есть вектор V97 = (1100, 880,
4400). Пусть торговая фирма «Велосипеды» покупает половину всей продукции завода, тогда в 1996 г. она купила W = (500, 400, 2000). Предположим, что в стране всего три велосипедных завода, объемы производства которых в 1996 г. были Q1 = (1000, 800, 4000), Q2 = (1000, 600, 2000), Q3 = (2000,
1600, 8000). Тогда все три завода вместе произвели Q = (4000, 3000, 14 000),
т.е. 4000 мужских, 3000 женских и 14 000 детских велосипедов. Можно также отметить, что Q3 = 2Q1, т.е. 3-й завод произвел в 2 раза больше велосипедов каждого вида, чем 1-й завод.
Приведенные выше векторы V96, V97, W, Q1, Q2, Q3 и т.д. — это
примеры конкретных векторов. Произвольный трехмерный вектор
можно обозначить (x1, x2, x3) или кратко X. В векторе X компонента x1
есть 1-я компонента, x2 — 2-я, x3 — 3-я. Произвольный четырехмерный вектор можно обозначить (x1, x2, x3, x4), и если n — какое-нибудь
натуральное число, то (x1, ..., xn) обозначает произвольный
n-мерный вектор.
Векторы бывают двух видов — векторы-строки и векторы-столбцы. Все вышеприведенные были векторы-строки. Векторы-строки записываются в виде упорядоченной строки, векторы-столбцы записываются в виде упорядоченного столбца (нумерация компонент век
ЧАСТЬ 1. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

тора-столбца идет сверху), например 

4
3
0

. По типографским сообра
жениям удобнее иметь дело с векторами-строками. Однако иногда
необходимо использовать векторы-столбцы.
Векторы широко используются во всех областях науки, в том
числе в экономической. Многие обозначения при использовании
векторов очень компактны, при этом не теряют в наглядности и содержательности.

П р и м е ч а н и е  1. Вообще-то в математике понятие «вектор» многозначно. Уже в школе в курсе физики вектор понимался как направленный
отрезок с фиксированным началом (точкой приложения силы). В геометрии иногда под вектором понимается преобразование плоскости или пространства специального вида (перемещение). В дальнейшем такое понимание
вектора иногда будет использоваться.

П р и м е ч а н и е  2 . В математике понятие «вектор» может обозначать
упорядоченный набор не только чисел, но и любых объектов, т.е. когда 1-я
компонента вектора обозначает (или есть) элемент некоторого множества M1, 2-я компонента — элемент множества M2 и т.д. Это более общее понятие вектора иногда используется в нашем курсе далее.

2. Действия с векторами. В примере 1 мы уже умножали вектор на
число. Действительно, Q3 = 2Q1. В этом же примере мы сложили три
вектора Q1 + Q2 + Q3 и получили их сумму Q. Действия с векторами
очень естественны и весьма напоминают обычные действия с числами.
Можно сказать, что действия с векторами являются естественным распространением действий над числами на более широкую область.
Любой вектор можно умножить на любое число. Для этого каждая компонента вектора умножается на это число и эти произведения образуют вектор-результат.
Умножим вектор U = (2, 3) на 3. Получим вектор (6, 9). Его
естественно обозначить 3U.
Умножим вектор Q1 = (1000, 800, 4000) на 2. Получим вектор
(2000, 1600, 8000), равный Q3. Итак, Q3 = 2Q1, что и послужило нам
основанием сказать выше, что 3-й велосипедный завод произвел в
2 раза больше велосипедов, чем 1-й. (Иногда, впрочем, при умножении
вектора содержательный смысл вектора-результата теряется. Например,
при умножении вектора Q1 на 1/3 в векторе-результате 2-я компонента
не целое число и ее нельзя трактовать как число велосипедов.)
Любые два вектора одной размерности можно сложить. Для этого складываются первые компоненты, затем вторые и т.д. Эти суммы
образуют вектор-результат.
Сложим вектор Q1 = (1000, 800, 4000) и Q3 = (2000, 1600, 8000).
Получим вектор K = (3000, 2400, 12 000). Проверьте, что K = 3Q1.
Однако векторы разной размерности складывать нельзя.

Операции умножения вектора на число и сложения векторов
обладают следующими свойствами:

а) сложение векторов ассоциативно, т.е. (X + Y) + Z = X + (Y +
+ Z) — это свойство позволяет складывать любое конечное
число векторов (так, в примере 1 была найдена сумма трех
векторов Q1 + Q2 + Q3);
б) сложение векторов распределительно по отношению к умножению на число, т.е. λ(X + Y) = λX + λY.

Не будем описывать некоторые дальнейшие свойства операций
над векторами, скажем лишь еще раз о сходстве операций над векторами с обычными операциями над числами.
Но есть и некоторые отличия операций над векторами от операций над числами. Так, для любых чисел a и b 0 можно узнать, «во
сколько раз» a больше b, т.е. найти a/b. Но для двух векторов это
сделать, в общем, нельзя. Например, для E = (7, 1) и N = (1, 1) нет
такого λ, чтобы E = λN.
Два вектора называются равными, если они равны покомпонентно, т.е. если равны их первые компоненты, вторые и т.д. Итак, если
X = (x1, ..., xn), Y = (y1, ..., yn), то X = Y, если и только если x1 = y1, ...,
xn = yn. Как видно из определения равенства, лишь для векторов одинаковой размерности можно говорить о равенстве или неравенстве
этих векторов. Для векторов разной размерности говорить об их равенстве бессмысленно.
Пусть X, Y — векторы одинаковой размерности, тогда X ≥ Y,
если и только если x1 ≥ y1, ..., xn ≥ yn. Например, X ≥ Y, если X =
= (6, 3, 0) и Y = (5, 1, 0). Но векторы X и Z = (5, 4, 0) несравнимы:
ни одно из возможных соотношений X ≤ Z, X = Z, X ≥ Z не верно
(еще одно отличие от чисел).
Иногда вектор удобно записывать так: X = (xi), где xi обозначает
произвольную компоненту вектора X.
Описанные действия с векторами были иллюстрированы на
примере векторов-строк. Действия с векторами-столбцами точно
такие же, в результате получаются, конечно, также векторы-столб
цы. Пусть X = 

3
2
0

, тогда 2X есть вектор 

6
4
0

 и т.д. Векторы-строки

и векторы-столбцы одинаковой размерности связаны операцией
транспонирования. Она превращает вектор-строку в вектор-столбец
и, наоборот, вектор-столбец в вектор-строку. Эта операция обозна
чается верхним индексом т. Пусть U = (2, 3), тогда U т = 2
3
; пусть

H = 0
7
, тогда H т = (0, 7). Легко понять, что операция транспони
рования, осуществленная последовательно дважды, дает исходный
вектор: (X т)т = X, каков бы ни был вектор X — строка или столбец.

С к а л я р н о е  п р о и з в е д е н и е  в е к т о р о в .  Пусть X = (x1, ...,
xn), Y = (y1, ..., yn) — векторы одинаковой размерности, тогда число
x1y1 +... + xnyn называется скалярным произведением векторов X, Y и
обозначается X . Y. Приведем без доказательств (они очень просты)
свойства скалярного произведения: а) X . Y = Y . X;   б) X . (Y + Z) =
= X . Y + X . Z;  в) X . (λY) = λ(X . Y) для любых векторов X, Y и любого числа λ.

3. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость
векторов. Пусть Rn обозначает множество всех n-мерных векторовстрок. Заметим, что это не просто множество — Rn несет определенную структуру. Именно любой вектор X ∈ Rn можно умножить на любое число λ и результат — вектор λX есть cнова элемент множества Rn. Сумма двух и даже любого конечного числа векторов из Rn
снова есть элемент Rn. Вообще же, линейным пространством называется множество, элементы которого, называемые векторами, можно складывать друг с другом и умножать на числа, причем эти операции связаны друг с другом определенными соотношениями
(см. п. 2).

Во множестве Rn есть уникальный вектор 0  = (0, ..., 0). Его
роль вполне аналогична роли числа 0 во множестве чисел. Так,

0 . X = 0  и X + 0  = X для любого X ∈ Rn.

Вектор X, удовлетворяющий неравенству X ≥ 0 , называется неотрицательным. Неотрицательный вектор — это в точности тот, все
компоненты которого неотрицательны. Вектор (2, 3) является неотрицательным, а вектор (–2, 4) — нет, ибо его 1-я компонента не
является неотрицательным числом.
По всем этим причинам Rn называют n-мерным числовым (или
арифметическим) линейным пространством. Слово «числовое» в
названии линейного пространства подчеркивает, что элементами
такого пространства являются векторы, компоненты которых есть
числа.
Вектор B = (b1, ..., bm) называется линейной комбинацией векторов A1 = (a11, ..., am1), ..., An = (a1n, ..., amn) той же размерности, если
найдутся числа x1, ..., xn такие, что B = x1A1 +... + xnAn. Следовательно,
чтобы узнать это, надо решить систему из m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными:

a11x 1 + ... + a1nx n = b 1,
a21x 1 + ... + a2nx n = b 2,

am1x 1 + ... + amnx n = b m.

Узнаем, например, является ли вектор F = (1, 6) линейной комбинацией векторов H1 = (1, 2), H2 = (0, 2). Получаем совсем простую
СЛАУ:

x 1 = 1,
2x 1 + 2x 2 = 6.

Ее решение: x1 = 1, x2 = 2. Следовательно, F = H1 + 2H2.
Система векторов называется линейно зависимой, если какой-то
вектор системы есть линейная комбинация остальных векторов системы, и линейно независимой в противном случае, т.е. когда никакой
вектор системы не является линейной комбинацией остальных векторов системы.
Например, система из трех вышеприведенных векторов F1, H1,
H2 линейно зависима, ибо F = H1 + 2H2.
Пусть A — какая-нибудь система векторов, тогда ее подсистема Е
называется базисом этой системы, если Е линейно независима, и любой вектор системы A есть линейная комбинация векторов из Е.
Пусть Е = {E1, ..., En). Если B ∈ A, то B = λ1E1 +... + λnEn при
некоторых λ1, ..., λn. Линейная комбинация λ1E1 +... + λnEn называется разложением вектора B по векторам E1, ..., En, а числа λ1, ..., λn
называются коэффициентами этого разложения.
Эти коэффициенты называются координатами вектора в базисе Е.

Теорема 1. Любая система векторов имеет хотя бы один базис.
Число элементов в любом базисе данной системы одно и
то же. Координаты любого вектора в базисе определяются однозначно.
Теорема 2. В пространстве Rn любая система векторов в количестве более n является линейно зависимой.

П р и м е р  2 . Укажем базис в пространстве Rn. Его образуют векторы
E1 = (1, 0, ..., 0), E2 = (0, 1, ..., 0), ..., En = (0, 0, ..., 1).
Докажем, что E = {E1, ..., En} есть базис.
1. Система E — линейно независимая система. Действительно, предположим, что, например, E1 есть линейная комбинация векторов E2, ..., En,
т.е. E1 = λ2E2 +... + λnEn. Сравнивая первые компоненты вектора E1 и линейной комбинации λ1E2 +... + λnEn, получаем противоречие: 1 = λ2 . 0 + ... +
+ λn . 0, т.е. таких λi не существует.

...