Физические основы волоконной оптики

Москва
РИОР

ИНФРА-М

А.В. СТРЕКАЛОВ
Н.А. ТЕНЯКОВА

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 
ВОЛОКОННОЙ ОПТИКИ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано УМО по образованию

 в области телекоммуникаций в качестве 

учебного пособия для студентов,
обучающихся по специальностям 

«Сети связи и системы коммуникации»,

«Многоканальные телекоммуникационные системы»

УДК 535:621.372.8(075.8)
ББК 32.88я73
 
C84

Стрекалов А.В., Тенякова Н.А.

Физические основы волоконной оптики : учебное пособие / А.В. Стрекалов, Н.А. Тенякова. — Москва : РИОР : ИНФРА­М, 2020. — 106 с. — 
(Высшее образование: Бакалавриат). — DOI: https://doi.org/10.12737/13472

ISBN 978-5-369-00966-6 (РИОР)
ISBN 978-5-16-005524-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-103881-9 (ИНФРА-М, online)

В пособии приведены краткие теоретические сведения, решения типовых задач и контрольные задания по дисциплине «Физические основы волоконной оптики». Рассмотрены базовые темы курса: отражение 
и преломление света на границе двух диэлектриков, полное внутреннее 
отражение, оптические резонаторы, распространение гауссовых пучков, 
распространение света в волоконных световодах. 

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям «Сети связи и системы коммутации» и «Многоканальные телекоммуникационные системы» и может быть полезно для студентов других специальностей, изучающих основы волоконно­оптических систем передачи.

УДК 535:621.372.8(075.8)

 
 
 
 
 
      ББК 32.88я73

C84

© Стрекалов А.В.,
       Тенякова Н.А.

ISBN 978­5­369­00966­6 (РИОР)
ISBN 978­5­16­005524­4 (ИНФРА­М, print)
ISBN 978­5­16­103881­9 (ИНФРА­М, online)

Рецензенты:
Червяков Н.И. — д­р техн. наук, профессор;
Башта Ю.Н. — канд. техн. наук, доцент

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие разработано в соответствии с государственным образовательным стандартом по дисциплине «Физические основы волоконной оптики» для специальностей 200900 «Сети связи 
и системы коммутации» и 201000 «Многоканальные телекоммуникационные системы».
В пособии изложены краткие теоретические сведения по базовым темам курса: «Уравнения Максвелла. Отражение и преломление 
света на границе двух диэлектриков. Полное внутреннее отражение», «Оптические резонаторы», «Распространение лучей. Распростра нение гауссовых пучков», «Распространение света в оптических 
волокнах».
Основное содержание пособия включает применение теории 
Максвелла для описания падения волны на границу раздела двух 
диэлектриков, формулы Френеля для коэффициентов отражения 
и преломления, условия полного внутреннего отражения, необходимые для анализа процесса распространения света в световодах. 
Рассмотрены вопросы сдвига фаз, продольного смещения отраженного луча при полном отражении. Проведен анализ различных видов 
оптических резонаторов, применяемых для создания положительной 
обратной связи в лазерах, причем основное внимание уделено конфокальному резонатору. Рассмотрены свойства гауссовых пучков 
и их преобразование оптическими системами. Описаны методы расчета преобразования гауссовых пучков с помощью комплексного 
параметра пучка и матрицы передачи (ABCD­матрицы).
Излагаются основы теории распространения света в оптических 
волокнах. Рассмотрены плоский световод, цилиндрические ступенчатый и градиентный световоды в рамках лучевой  и волновой теорий, 
виды дисперсии в волоконных световодах и методы их оценки, основные механизмы потерь в световолокне.
Поскольку пособие предназначено для использования студентами 
как очной, так и заочной форм обучения, в конце каждой главы даны 
примеры решения  типовых задач, которые могут быть полезны при 
выполнении контрольных заданий по дисциплине. В пособии приведены  задачи для самостоятельного решения и таблица вариантов 
контрольных заданий. Для удобства список литературы разбит на 
темы, что позволяет более рационально проводить поиск необходимой 
литературы.

ГЛаВа 1. 
Уравнения Максвелла.  
Отражение и прелОМление света 
на границе двУх диэлектрикОв. 
пОлнОе внУтреннее Отражение

1. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной 
формах:

rot
t
H
j
D
= + ∂

∂ ,
H
j S
D S
∫
∫
∫
=
+
∂
∂
dl
d
t d ,

rot
t
E
B
= − ∂
∂ ,
E
B S
∫
∫
= − ∂

∂
dl
t
d ,

divB = 0,
B S
d
=
∫
0
,

divD = ρ,
D S
d
dV
= ∫
∫
ρ
.

Здесь E и H — напряженности электрического и магнитного полей, 
B — индукция магнитного поля, D — вектор электрического смещения, j — плотность тока проводимости, ∂

∂
D
t

 — плотность тока смещения, r — объемная плотность электрических зарядов.
2. Уравнения Максвелла необходимо дополнить материальными 
уравнениями:
D = ε0e0E,

B = mm0H,

j = sE,

где e0 = 8,85×10–12 Ф/м — электрическая постоянная, m0 = 
= 4p×10–7 Гн/м — магнитная постоянная, e и m — относительные 
диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества соответственно, s — удельная проводимость.
3. Для полей, изменяющихся во времени по гармоническому закону, используется метод комплексных амплитуд.
Например, вектор E в некоторой точке пространства в декартовой 
системе координат записывается в виде:

E
l
l
l
x
y
z
( )
cos(
)
cos(
)
cos(
) ,
t
E
t
E
t
E
t
mx
x
my
y
mz
z
=
+
+
+
+
+
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ

где Emx, Emy, Emz — амплитуды отдельных составляющих поля, jx, jy, 
jz — их фазовые углы, lx, ly, lz — единичные векторы (орты) вдоль 

осей x, y, z; w — частота изменения поля, j — мнимая единица. 
Эквивалентная запись имеет вид: 

E
l
l
l
x
y
z
( )
Re [
]
.
t
E e
E e
E e
e
mx
j
my
j
mz
j
j t
x
y
z
=
+
+
{
}

ϕ
ϕ
ϕ
ω

Комплексный вектор

E
l
l
l
x
y
z
=
+
+
E e
E e
E e
mx
j
my
j
mz
j
x
y
z
ϕ
ϕ
ϕ

называется комплексной амплитудой поля Е.
Мгновенное значение Е определяется через комплексную амплитуду следующим образом:

E
E
( )
Re
.
t
e j t
=
{
}
ω

4. Уравнения Максвелла с использованием комплексных амплитуд запишутся в виде:

rot
j
j
H
E
D
E
=
+
=
σ
ω
ωεε0 ,

rot
j
E
B
= − ω ,

div B = 0,

div D = ρ.

Величина ε
ε
σ
ωε
=
− j

0

 называется относительной комплексной 

диэлектрической проницаемостью данного вещества.
5. В области пространства, где объемная плотность зарядов отсутствует (ρ = 0), из уравнений Максвелла для электрических и магнитных полей получаются волновые уравнения или уравнения 
Гельмгольца:

∆

∆

E
E

H
H

+
=

+
=

β

β

2

2
0

0

,

,

где ∆ = ∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂

2

2

2

2

2

2
x
y
z  — оператор Лапласа, β
ω εε µµ
=
0
0  — в общем 

случае комплексное число называется постоянной распространения 
электромагнитной волны. В физике величина b называется комплексным волновым числом.

6. Плотность потока электромагнитной энергии, т.е. количество 
энергии, проходящей за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, характеризуется вектором Пойнтинга:

П = [EH].

Для гармонически изменяющихся со временем электромагнитных 
полей среднее за период значение вектора Пойнтинга равно:

〈
〉 =
∗
H
1
2 Re[
]
П
,

где индекс * обозначает комплексно сопряженную величину.
7. Скорость электромагнитной волны:

υ
εµ

=
=
c
c
n

,

где c = 1
0
0
/
ε µ  — скорость света в вакууме, n =
εµ  — показатель 

преломления среды.
8. На границе раздела двух диэлектриков (при отсутствии свободных зарядов и токов проводимости) должны выполняться следующие граничные условия для 
векторов поля волны:

D2n = D1n,  B2n = B1n,

E2t = E1t,  B2t = B1t,

где индексы n и t обозначают соответственно нормальную и тангенциальную составляющие векторов.
9. Закон отражения света. Угол отражения равен углу падения i1 = i. 
Закон преломления света. Отношение синуса угла падения к синусу 
угла преломления равно отношению показателя преломления второй 
среды к показателю преломления первой среды sin i/sin r = n2/n1.
10. Формулы Френеля для амплитудных коэффициентов отражения и преломления (m1 = m2 = 1).
а. Вектор E перпендикулярен плоскости падения:

Рис. 1.1

H
H

r
i
r
i

1

0
=
−
+
sin(
)
sin(
) ,
 

H
H
i

r
i

2

0

2
=
+
sin
sin(
) ,

E
E

r
i
r
i

1

0
=
−
+
sin(
)
sin(
) ,
 

E
E

i
r

r
i

2

0

2
=
+
cos sin
sin(
) .

б. Вектор E лежит в плоскости падения:

H
H
tg i
r

tg i
r

1

0
=
−
+

(
)
(
)

, 
H
H
i
i
r
i
r

2

0

2
=
+
−

sin
sin(
)cos(
) ,

E
E
tg i
r

tg i
r

1

0
=
−
+

(
)
(
)

, 
E
E

i
r

i
r
i
r

2

0

2
=
+
−

cos
sin
sin(
)cos(
)

.

11. Энергетические коэффициенты отражения и преломления.
Плотность потока энергии электромагнитной волны можно разложить на нормальную и тангенциальную к поверхности раздела 
составляющие:

П = Пn + Пt .

Энергетическим коэффициентом отражения называется абсолютное значение отношения нормальных компонентов плотностей 
потоков энергии в отраженной и падающей волнах:

.
1n
1

0n
0
ρ =
=
П
П n

П
П n

Единичный вектор n направлен 
во вторую среду по нормали к поверхности раздела сред.
Энергетическим коэффициентом пропускания называется абсолютное значение отношения нормальных компонентов плотностей 
потоков энергии в преломленной 
и падающей волнах:

.
2n
2

0n
0
t =
=
Ï
Ï n

Ï
Ï n
Рис. 1.2

Из закона сохранения энергии 
следует очевидное равенство:

r + t = 1.

а. Вектор E перпендикулярен 
плоскости падения (рис. 1.2):

ρ =
−
+
sin (
)
sin (
) ,

2

2
r
i
r
i
τ =
+
sin
sin
sin (
) .
2
2

2
i
r

r
i

б. Вектор E лежит в плоскости 
падения (рис. 1.3):

ρ =
−
+
tg
i
r
tg
i
r

2

2
(
)
(
) ,

τ =
+
−

sin
sin
sin (
)cos (
) .
2
2

2
2

i
r
i
r
i
r

12. При угле падения i = iБр, удовлетворяющем условию:

2
Áð
1
tg
,
n
i
n
=

отраженный луч полностью поляризован. Он содержит только колебания, перпендикулярные плоскости падения. Этот закон носит 
название закона Брюстера, а угол iБр называется углом Брюстера. 
Легко убедиться, что при падении света под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны:

iБр + r = p/2.

Рис. 1.4

13. Степень поляризации cвета 
при отражении и преломлении:

P
I
I

I
I
=
−

+

⊥
↑↑

⊥
↑↑
,

где I^ — интенсивность света, 
в котором колебания вектора E 
происходят в плоскости, перпенРис. 1.3

дикулярной плоскости падения, I – интенсивность света, 
в котором вектор E совершает 
колебания в плоскости падения.
14. Интенсивностью I света 
в данной точке пространства 
называется модуль среднего по 
времени значения плотности 
потока энергии, переносимой 
световой волной:

[
]
 
 
 
.
I
Ï
ÅÍ
=
<
>
=
<
>

Для плоской электромагнитной волны интенсивность волны равна половине произведения амплитудных значений векторов E и H:

I
E H
m
m
= 1
2
,

причем 
εε
µµ
0
0
E
H
m
m
=
. Величина Z =
µµ
εε
0
0  называется волновым сопротивлением среды с данными e и m.
15. Если свет переходит из оптически более плотной среды в оптически менее плотную (n1 > n2), то при некотором угле падения i = 
= iпр, называемом предельным углом, угол преломления становится 
равным p/2, т.е. преломленный луч скользит вдоль поверхности раздела двух сред.
Предельный угол полного внутреннего отражения определяется 
формулой:

sini
n
n
np =
2

1

  (n1 > n2).

При углах падения i > iпр, преломленный луч отсутствует. Световая 
волна проникает во вторую среду на расстояние порядка длины волны l и затем возвращается в первую среду. Это явление называется 
полным внутренним отражением.
16. При полном внутреннем отражении фаза волны испытывает 
скачок, и притом, как правило, отличный от нуля или p.
Если волна поляризована перпендикулярно плоскости падения, 
то амплитудный коэффициент отражения будет равен:

E
E
e j
1

0

⊥

⊥
=
⊥
δ ,

Рис. 1.5

где скачок фазы d^ определяется соотношением:

tg δ⊥ =
−
2

2
2
1
2
sin
(
/
)
cos
.
i
n
n
i

Если волна поляризована в плоскости падения, то E
E
e
j
1

0

↑↑

↑↑
=
↑↑
δ , 

где tg δ↑↑ =
−
2

2
2
1
2

2
1
2
sin
(
/
)
(
/
) cos
.
i
n
n
n
n
i

Скачки фаз d^ и d неодинаковы. Если падающая волна поляризована линейно и плоскость колебаний вектора E образует некоторый угол с плоскостью падения, то в отраженной волне между E↑↑  
и E^ возникает определенная разность фаз. Поэтому отраженная 
волна будет, вообще говоря, поляризована эллиптически.
Разность фаз E↑↑ и E^ определяется из выражения:

tg
i
i
n
n

i

δ
δ
↑↑
⊥
−
=
−

2

2
2
1
2

2
cos
sin
(
/
)

sin
.

17. Процесс распространения электромагнитной волны при полном внутреннем отражении в случае ограниченных пучков сопровождается продольным и поперечным смещением падающего пучка. 
Величина продольного смещения d зависит от состояния поляризации пучка, угла падения i, величины n2/n1 и вблизи i ≈ iпр равна:

    
 
 
.
d
K
n
n
n
i
n
n
↑↑ ⊥
↑↑ ⊥
=
⋅
−
,
,
/

sin
(
/
)

2
1

1
2
2
1
2
π
λ

Для излучения, поляризованного в плоскости падения,  
K↑= 1/(n2/n1)2; для излучения, поляризованного перпендикулярно 
плоскости падения, K^ = 1. Величина смещения d сравнима с глубиной проникновения и по порядку величины близка l.

1.1. Типовые задачи

Задача 1. На границу раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями e1 и e2 под углом i к нормали падает естественный монохроматический свет интенсивности I0. Найти интенсивность отраженного и преломленного света.