Параметрическая устойчивость и качество систем управления тепловыми объектами с распределенными параметрами

Н АУ Ч Н А Я  К Н И ГА
Н АУ Ч Н А Я  К Н И ГА
Севастопольский государственный университет 
В.Н. Мирянова
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ 
УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО 
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 
ТЕПЛОВЫМИ ОБЪЕКТАМИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
Монография
Москва
ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК
ИНФРА-М
2020

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1
УДК 
515.14(075.4)
ББК 
31.3
 
М64
Р е ц е н з е н т ы:
В.А. Крамарь, д-р техн. наук, профессор кафедры океанотехники и кораблестроения Института 
кораблестроения и морского транспорта Севастопольского государственного университета;
А.А. Кабанов, канд. техн. наук, заведующий кафедрой информатики и управления в 
технических системах Института информационных технологий и управления в технических 
системах Севастопольского государственного университета
Н а у ч н ы й  р е д а к т о р:
А.М. Олейников, д-р техн. наук, проф., заведующий кафедрой судового электрооборудования Севастопольского государственного университета
М64
Мирянова В.Н.
Параметрическая устойчивость и качество систем управления тепловыми 
объектами с распределенными параметрами : монография / В.Н. Мирянова. — 
Москва : Вузовский учебник : ИНФРА-М, 2020. — 166 c. — (Научная книга).
ISBN 978-5-9558-0492-7 (Вузовский учебник) 
ISBN 978-5-16-011866-6 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104346-2 (ИНФРА-М, online)
В монографии рассматриваются методы построения областей устойчивости и 
качества в пространстве варьируемых параметров систем автоматического управления пространственно-одномерными тепловыми объектами, математические модели которых включают трансцендентные передаточные функции.
Для специалистов в области систем автоматического управления, аспирантов, 
и студентов технических специальностей вузов.
УДК  515.14(075.4)
ББК  31.3
© Вузовский учебник, 2016
ISBN 978-5-9558-0492-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-011866-6 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104346-2 (ИНФРА-М, online)
Подписано в печать 03.03.2016. Формат 60  90/16. Бумага офсетная.
Печать цифровая. Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 10,5. ПТ6.
ТК 352000-544682-180116
ООО «Издательский Дом «Вузовский учебник»
127247, Москва, ул. С. Ковалевской, д. 1, стр. 52
www.vuzbook.ru
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru
Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

ВВЕДЕНИЕ
Характерной особенностью современного этапа развития теории автоматического управления является возрастающий интерес специалистов к 
проблемам управления системами с распределенными параметрами (РП), к 
классу которых относятся и многие системы управления тепловыми объектами, включающие различные теплообменные аппараты с явным распределением тепловой емкости по всей длине их труб или каналов. Это объясняется широким распространением таких систем в энергетике [1; 2], на 
транспорте [3; 4], в машиностроении [5], теплотехнике [6; 7], строительстве 
[8], пищевой промышленности [9], экологии [10] и других отраслях, а также необходимостью более точно учитывать зависимость параметров объектов управления от их пространственной протяженности при исследовании 
и создании сложных систем автоматического управления (САУ). 
Успешное решение задач автоматизации объектов и процессов в указанных и смежных с ними отраслях промышленности, в окружающей 
среде тесно связано с развитием теории автоматического управления. Для 
выполнения требований к точности и надежности систем управления такими объектами необходимо иметь достаточно полные сведения об их 
свойствах, статических и динамических характеристиках, показателях 
качества.
Динамика тепловых объектов с РП, в отличие от объектов с сосредоточенными параметрами (СП), существенно зависит не только от времени, 
но и от пространственных переменных или от переменных другой природы. Особенностью этих систем является то, что они описываются дифференциальными уравнениями в частных производных и требуют специальных математических методов расчета. Моделирование процессов теплообмена в таких объектах достаточно широко описано специалистами 
в области математической физики [11–18], теплотехники [2; 19–23].
В последнее время стала интенсивно развиваться теория автоматического управления объектами подобного рода. Наиболее известными 
публикациями, в которых поднимаются вопросы общей теории САУ 
с РП, являются работы Неймарка Ю.И. [24], Бутковского А.Г. [25–30], 
Кубышкина В.А., Финягиной В.И. [31–33], Сиразетдинова Т.К. [34–37] 
и других. Однако остается еще достаточно нерешенных проблем.
Главным недостатком существующих методов исследования САУ с РП
является то, что они основываются, обычно, на моделях с сосредоточенными параметрами или замыкаются на узкие задачи математической физики. Такой подход снижает адекватность модели распределенной системы и может вносить существенные погрешности в расчеты. 
Поэтому разработка методов анализа и синтеза САУ с РП и в особенности инженерной методики их расчета в настоящее время является весьма актуальной.
3 

Одной из важных задач представляется изучение влияния изменения 
параметров системы на ее свойства (устойчивость, показатели качества 
и др.). Эта задача связана с понятием грубости (робастности). Свойство 
грубости определяет способность системы сохранять свои свойства при 
изменении параметров в процессе эксплуатации. 
Наиболее полное представление о грубости системы дают области варьируемых параметров, в которых система сохраняет свои свойства. При 
проектировании это позволяет с помощью экспертных оценок выбрать 
наилучшие значения параметров (например, по возможности дальше от 
границы области), а в процессе эксплуатации учитывать возможность 
потери системой своих свойств при том или ином изменении этих параметров.
Таким образом, анализ грубости и связанные с ним задачи синтеза 
грубых систем управления является одной из важнейших задач теории 
автоматического управления.
Основополагающими в этой области являются работы следующих известных ученых: Харитонова В.Л. [38], Кунцевича В.М. [39], Поляка Б.Т., 
Цыпкина Я.З. [40; 41], Неймарка Ю.И. [42], Кимура Х. [43], и ряда 
других.
В этих и других работах рассматривается проблема анализа устойчивости линейных стационарных систем автоматического управления.
Одним из направлений при решении задачи исследования параметрических свойств системы является построение областей устойчивости 
и качества по выделенным варьируемым параметрам на основе решения 
уравнений, определяющих границы этих областей.
Для систем управления тепловыми объектами с распределенными параметрами эта задача является гораздо более трудной, чем аналогичная 
проблема для систем с сосредоточенными параметрами, поскольку движение САУ с РП описывается математическими моделями, включающими уравнения в частных производных при учете сложных реальных краевых условий, характеризующих работу объекта в процессе эксплуатации. 
При этом некоторые системы могут быть описаны как линейными, так 
и нелинейными уравнениями в частных производных с коэффициентами, 
являющимися функциями пространства координат и времени. Аналитические краевые условия могут быть определены на множествах различного типа: односвязных, многосвязных, открытых, замкнутых, ограниченных и неограниченных. Кроме того, изображения регулируемых величин 
в комплексной области могут содержать особые точки разного рода: полюсы, существенно особые точки, точки ветвления. 
Таким образом, возникает необходимость в разработке аналитических 
методов параметрического исследования САУ тепловыми объектами с 
РП, обеспечивающих возможность проведения анализа и синтеза при 
максимальном использовании их потенциальных возможностей.
4 

В настоящей работе предлагается распространить методы построения 
областей устойчивости и качества САУ, применяющихся для систем с 
сосредоточенными параметрами и запаздываниями [45; 46], на системы 
автоматического управления тепловыми объектами с распределенными 
параметрами, математические модели которых включают трансцендентные передаточные функции. Предлагаемые методы обеспечивают гарантированность результата и снижение вычислительных затрат.
Объектом и предметом исследования являются соответственно системы автоматического управления пространственно-одномерными тепловыми объектами типа теплообменных аппаратов (ТА) при конвективном 
теплообмене и методы построения областей устойчивости и качества 
в пространстве варьируемых параметров САУ ТА.
В качестве основного метода исследования параметрических свойств 
САУ ТА при наличии трансцендентных передаточных функций в модели 
объекта используется обобщение метода D-разбиения, разработанное 
профессором Пряшниковым Ф.Д. [47; 48; 49], основанное на построении 
и решении уравнений, определяющих границы областей устойчивости 
и заданного качества.
С целью повышения эффективности исследования параметрических 
свойств САУ ТА с распределенными параметрами за счет применения 
методов построения областей устойчивости и качества, гарантирующих 
точный результат и снижение объема вычислений, в работе решается несколько задач:
•
обобщение результатов, полученных при исследовании методов построения областей устойчивости и качества систем автоматического 
управления с сосредоточенными параметрами и запаздываниями, 
и распространение их на системы управления пространственноодномерными теплообменными аппаратами;
•
построение трансцендентных уравнений, определяющих границы областей устойчивости в пространстве одного, двух и общего числа варьируемых параметров САУ ТА для случая полиномиальной зависимости коэффициентов передаточных функций от этих параметров;
•
построение трансцендентных уравнений, определяющих границы областей заданных запасов устойчивости по амплитуде и фазе, секторного и кругового запасов устойчивости, показателя колебательности, 
полосы пропускания, малых перерегулирований, монотонности переходного процесса в пространстве одного и двух варьируемых параметров САУ ТА для случая полиномиальной зависимости коэффициентов передаточных функций от этих параметров.
•
исследование численных методов решения уравнений, определяющих 
границы областей устойчивости и заданного качества САУ, и распространение их на аналогичные уравнения для САУ ТА;
•
построение переходных процессов на основе численного решения 
уравнений динамики САУ ТА;
5 

•
построение и исследование областей устойчивости и качества САУ 
ТА и сравнительный анализ с существующими методами решения 
этой задачи.
Основные научные результаты, представленные в монографии, заключаются в следующем:
•
получил дальнейшее развитие метод построения областей устойчивости и качества систем автоматического управления пространственноодномерными теплообменными аппаратами, являющийся обобщением 
метода D-разбиения, использовавшийся ранее при решении аналогичной задачи для САУ с сосредоточенными параметрами и запаздываниями;
•
получены уравнения, определяющие границы областей устойчивости 
и качества САУ пространственно-одномерными ТА для случаев полиномиальной зависимости коэффициентов передаточных функций системы от варьируемых параметров;
•
получил дальнейшее развитие метод численного решения трансцендентных уравнений границ областей устойчивости и качества САУ 
пространственно-одномерными ТА, применявшийся ранее с целью 
решения аналогичных уравнений для систем с запаздываниями. Исследована и доказана возможность применения указанного метода для 
исследуемых систем;
•
решена задача интегрирования совместной системы обыкновенных 
дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными на основе применения численных методов, использующаяся для 
построения 
переходных 
процессов 
САУ 
пространственноодномерными ТА. 
Практическое значение результатов исследования состоит в том, что
разработано математическое обеспечение и получены инженерные алгоритмы построения областей устойчивости и качества САУ ТА, которые 
реализованы в программном обеспечении. С помощью указанных методов разработана и получила практическое внедрение одна из подобных 
систем. Даны рекомендации по выбору параметров САУ, обеспечивающих устойчивость и качество в процессе проектирования и эксплуатации 
системы. Предложенные математические и программные методы могут 
быть использованы в учебном процессе при изучении таких дисциплин, 
как «Теория автоматического управления» и связанных с ней. 
Монография включает пять глав, заключение, список использованных 
источников и приложения.
В первой главе проведен сравнительный анализ методов построения 
областей устойчивости и качества САУ и показаны их ограничения. 
Предложен ряд математических моделей тепловых объектов с РП различного уровня сложности. Рассмотрена задача анализа устойчивости САУ 
теплообменным аппаратом, изображения регулируемых величин которой 
6 

содержат существенно особые точки. Приведена постановка задачи построения областей устойчивости и качества САУ ТА. 
Во второй главе предложен метод построения уравнений, определяющих границы областей устойчивости САУ ТА в пространстве одного 
и двух варьируемых параметров, различным образом входящих в коэффициенты математической модели системы. В качестве варьируемых рассматривались параметры, от которых полиномиальным образом зависят 
коэффициенты дробно-рациональных передаточных функций сосредоточенной части системы и показателя экспоненциальной функции распределенной части системы. Исследован случай нескольких варьируемых 
параметров. 
В третьей главе получены уравнения, определяющие границы областей заданных показателей качества работы системы: запасов устойчивости по амплитуде и фазе, кругового запаса устойчивости, секторного запаса устойчивости, показателя колебательности, полосы пропускания, 
малых перерегулирований, монотонности переходного процесса в пространстве одного и двух параметров САУ ТА. 
В четвертой главе проведен анализ особенностей применения численных методов в задачах построения областей устойчивости и качества 
САУ. Описан метод численного решения трансцендентных уравнений, 
применяющийся для построения границ областей заданных показателей 
работы САУ ТА. Рассмотрен численный метод решения совместной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Метод основан на применении процедур численного 
интегрирования Рунге-Кутта и метода конечных разностей (сеток) для 
представления частных производных. 
В пятой главе произведен анализ устойчивости и качества в пространстве варьируемых параметров системы автоматического управления паровым подогревом топлива, содержащей распределенный объект (теплообменный аппарат), с помощью методов, предложенных в монографии, 
и разработанного программного обеспечения. Для этой системы построены области устойчивости, запасов устойчивости по фазе и амплитуде, 
кругового и секторного запасов устойчивости, заданного показателя колебательности, полосы пропускания, малых перерегулирований, монотонности переходного процесса в пространстве двух параметров, переходные процессы, амплитудно-фазовые характеристики, амплитудночастотные характеристики. Анализ построенных областей и переходных 
характеристик подтверждает корректность рассмотренных методов решения уравнений динамики САУ ТА и уравнений границ областей 
устойчивости и качества, а также разработанного программного обеспечения. На основе анализа построенных переходных характеристик и областей сделан вывод о возможности варьирования параметров САУ паровым подогревом топлива и указаны значения параметров регулятора, 
7 

обеспечивающие устойчивость и заданные показатели качества. В этой 
же главе описано программное обеспечение, разработанное для построения переходных процессов и областей устойчивости и качества в пространстве параметров САУ паровым подогревом топлива. При разработке 
программ использовались математические методы получения областей
устойчивости и качества и переходных процессов, предложенных в главах 3 и 4.
В заключении сформулированы общие выводы и результаты работы.
В приложениях приведены рисунки областей устойчивости и качества 
системы автоматического управления паровым подогревом топлива. 
8 

Глава 1. 
АНАЛИЗ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
И КАЧЕСТВА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 
ТЕПЛОВЫМИ ОБЪЕКТАМИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ 
ПАРАМЕТРАМИ
1.1. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ
ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ И КАЧЕСТВА СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
В настоящее время проблема исследования параметрической устойчивости и качества САУ является одной из ведущих в теории автоматического управления. Она достаточно полно решена для линейных сосредоточенных систем автоматического управления с дробно-рациональными 
передаточными функциями [40–42; 47; 69–79] и др. Имеется ряд работ, 
направленных на решение таких задач и для других типов систем. В частности, получены уравнения границ областей устойчивости и качества для 
систем с запаздываниями [45; 46; 80; 81]. Для САУ с РП подобные задачи 
обычно ограничиваются построением областей устойчивости в некоторых частных случаях [22; 24; 82–90]. 
Для построения областей устойчивости и качества обычно применяются методы D-разбиения, перебора, методы, основанные на теореме Харитонова [38].
Метод D-разбиения заключается в разбиении пространства параметров на области с одинаковым числом правых корней характеристического 
полинома замкнутой системы внутри каждой области и выделении среди 
полученных областей области устойчивости [90; 91]. Однако недостатками метода D-разбиения является то, что он применяется, в основном, для 
анализа устойчивости обыкновенных стационарных систем с сосредоточенными параметрами; области устойчивости определяются графическими методами или методами перебора, поэтому решение является не достаточно точным или требует больших вычислительных возможностей; 
обычно варьируемые параметры входят линейно в коэффициенты характеристического полинома системы.
Метод перебора заключается в разбиении пространства допустимых 
значений параметров сеткой с анализом выбранного критерия качества в 
каждом узле сетки [92, с. 296–297]. Достоинством данного метода является его алгоритмическая простота и то, что он подходит для математических моделей любого вида. Однако его недостатком является отсутствие 
гарантии корректности результата. Повышение степени достоверности 
путем увеличения числа узлов сетки ведет к часто недопустимому росту 
числа расчетных точек и времени вычисления. 
9 

Методы, основанные на теореме Харитонова, применяются для построения области устойчивости путем вписывания в нее некоторой заранее известной области [70; 71; 87–91]. Основной недостаток методов заключается в применении их, как правило, только для решения задачи 
устойчивости. 
В монографии ставится задача построения и решения уравнений, 
определяющих границы областей, как устойчивости, так и качества САУ 
тепловыми объектами с РП типа теплообменных аппаратов в пространстве варьируемых параметров, полиномиально входящих в коэффициенты передаточной функции системы. Такой подход соответствует современным тенденциям решения подобных задач [42; 45; 46; 49; 71; 89; 91; 
96–98]. 
Прежде чем переходить к решению поставленной задачи, необходимо 
рассмотреть математические модели тепловых объектов с распределенными параметрами (ввиду их значительных отличий от моделей обыкновенных систем) и вопросы исследования устойчивости САУ такими объектами. 
1.2. ХАРАКТЕРИСТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
ТЕПЛОВЫХ ОБЪЕКТОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Математические модели САУ тепловыми объектами с РП, в отличие 
от систем с сосредоточенными параметрами, включают дифференциальные уравнения в частных производных различных видов, что гораздо 
осложняет решение задач, связанных с этим классом систем.  
Сюда можно отнести системы с направленным движением обрабатываемых материалов через ряд распределенных в пространстве зон тепловой обработки [27; 30], ядерно-энергетические установки [2; 21; 98; 99], 
двигательные установки с атомными источниками энергии [22], различные тепловые промышленные агрегаты, в состав которых входят теплообменные и массообменные аппараты с массой теплоносителя, распределенной по длине труб или каналов [9; 23; 100; 101].
Рассмотрим некоторые виды тепловых объектов с распределенными 
параметрами и их математические модели.
Схема проходной печи изображена на рис. 1.1 [30, с. 139]. Через печь 
длиной l непрерывно со скоростью v проходит нагреваемый материал, 
считающийся тонким телом.
Функцией 
)
(t
u
, не зависящей от пространственной координаты x , задано распределение температуры в печи. Температура нагреваемого материала 
)
,
( x
t
Θ
зависит как от времени, так и от координаты x и связна 
с 
)
(t
u
линейным дифференциальным уравнением в частных производных 
первого порядка:
10