Математические олимпиады студентов технических вузов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

ОЛИМПИАДЫ
СТУДЕНТОВ 

ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ

Москва

ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК

ИНФРА-М

2020

М.И. ДЕРКАЧ, Ю.Е. ОБЖЕРИН

Севастопольский государственный университет 

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Деркач М.И.

Математические олимпиады студентов технических вузов : учебное

пособие / М.И. Деркач, Ю.Е. Обжерин. — Москва : Вузовский учебник : 
ИНФРА-М, 2020. — 112 с.

ISBN 978-5-9558-0521-4 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-012204-5 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105059-0 (ИНФРА-М, online)

В учебное пособие включены задачи, которые предлагались на 

заключительном этапе олимпиады по математике среди студентов технических, 
экономических и сельскохозяйственных вузов, проводившемся в 2005– 2013 
годах в Севастопольском национальном техническом университете. Все задачи 
снабжены ответами и решениями. По уровню сложности задачи варьируются от 
доступных для широкого круга студентов до достаточно трудных, требующих 
хорошей математической подготовки.

Пособие может быть использовано в работе математических кружков, 

а также для подготовки к математическим олимпиадам.

Рекомендовано для студентов, преподавателей и всех, интересующихся 

математическими задачами повышенной сложности.

Д36

УДК
51(075.8)

ББК
22.1я73
Д36

Подписано в печать 23.11.2016. Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Печать цифровая 

Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 7,0. ПТ10.

ТК 634193-559527-121016

ООО «Издательский Дом «Вузовский учебник»
127247, Москва, ул. С. Ковалевской, д. 1, стр. 52

www.vuzbook.ru

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

ISBN 978-5-9558-0521-4 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-012204-5 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105059-0 (ИНФРА-М, online)

Р е ц е н з е н т ы:

В.Н. Орлов, д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математики, теории и мето
дики обучения математике Гуманитарно-педагогической академии (филиал) 
«КФУ им. В.И. Вернадского» в г. Ялта;

М.П. Евстигнеев, д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой физики Сева
стопольского государственного университета

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

© Вузовский учебник, 2016

УДК  51(075.8)

ББК  22.1я73

3 

 
C 2005 по 2013 г. в Севастопольском национальном техническом 
университете проходил заключительный этап Всеукраинской олимпиады по математике среди студентов технических, экономических и 
аграрных вузов. 
Все участвовавшие в олимпиаде вузы были подразделены на три 
категории в зависимости от числа академических часов, отводимых на 
изучение математики. Категория Т — это вузы в основном технического профиля: индустриальные, металлургические и горнодобывающие, транспортные, приборо- и машиностроительные и т.д., с большим объёмом курса высшей математики. Категория С — это аграрные, торгово-экономические, а также различного профиля технологические и строительные вузы. К категории М были отнесены студенты, 
обучающиеся по специальности «Прикладная математика» и специальностям, где курс математики приближен к факультетам кибернетики и механико-математическим факультетам университетов. Итоги 
олимпиады подводились в каждой категории отдельно. 
Олимпиадные задания в каждой категории содержали по десять 
задач из различных разделов высшей математики разного уровня 
сложности. Среди задач, включённых в олимпиадные задания, встречаются и задачи, которые предлагались в разные годы на математических олимпиадах студентам других вузов. 
В настоящем пособии приводятся условия, ответы и решения всех 
задач, которые предлагались студентам технических специальностей 
категории Т. 
 

4 

 
1. Решить уравнение  

arctg
lim arctg(
arctg(
arctg(
...
arctg )))
4
n
n
x
x
x
x
.  

2. Пусть дан определитель третьего порядка, все элементы которого отличны от нуля. Могут ли все шесть членов разложения этого 
определителя быть одновременно положительными? Какое наименьшее число отрицательных членов может содержать такое разложение? 
3. Многочлен 
1
2
0
1
2
( )
...
n
n
n
n
n
P x
a x
a x
a x
a
c целыми коэффициентами принимает при 
1,
2
x
x
и 
3
x значение 5. Существует ли целое число x , при котором этот многочлен равен 6?  
4. Доказать, что если функция 
является периодической, где 
попарно различные 

положительные числа, то  и — рациональные числа. 

5. Функция ( )
y x  удовлетворяет дифференциальному уравнению  

и начальному условию 0
0
y
. Доказать, что при любом 
0
x имеет 

место неравенство y x
x
. 

6. Пусть a  и b  — цифры, 
0,
0
a
b
. Найти предел 

2

n
2
lim10
(
...
...
)
n

n знаков
ab
abab
abab ab
. 

7. Вычислить интеграл 

2005

2
2005
0 (1
)(1
)
x
dx
x
x

. 

 
8. Найти множество точек z  комплексной плоскости С, которые 
можно представить в виде  

z
1
1
ix
ix
, где x
R
. 

5 

9. Найти вероятность того, что при подбрасывании монеты серия 
из трёх «гербов» подряд появится раньше, чем серия из двух «цифр» 
подряд. 
10. Решить дифференциальное уравнение 

2
2
(1
)
(
)
x
y dy
y x
y
dx
. 
 

11. Последовательность положительных чисел n
a
 удовлетво
ряет условию 
2
1,
1, 2, 3, ...
n
n
n
a
a
a
n
. Доказать, что данная последовательность является сходящейся, и найти её предел. 
12. Концы отрезка постоянной длины a  перемещаются по двум 
скрещивающимся взаимно перпендикулярным прямым, расстояние 
между которыми равно 
a
l
l
,
. Найти геометрическое место середин 
этого отрезка.  
13. Длина вектора, равного сумме данных десяти векторов, 
больше, чем длина суммы любых девяти из них. Доказать, что существует ось, на которую проекция каждого из данных десяти векторов 
положительна. 
14. Найти все многочлены 
)
(x
P
, для которых справедливо тождество  
1
2006
x
xP
x
P
x
. 
15. Вычислить определитель  

,
ij
a
где
n
j
n
i
j
i
aij
,...,
3
,2
,1
,
,...,
3
,2
,1
,
. 

16. Функция 
)
(x
f
 определена и дифференцируема на отрезке 
a
;0
, причём
0
)
0
(
f
. Доказать, что для любого 
;0
b
 на отрезке 
a
;0
 найдётся точка 
0x  такая, что 
0
0
0
(
)
(
)
(
)
bf x
a
x
f
x
.  
17. Найти все функции 
R
f
]1
;0
[:
, удовлетворяющие равенству 

uv
v
u
f
uv
f
2
)
(
4
)
2
(
3
2
2
при 
1
2
2
v
u
 и 
0
v
u
. 

18. Доказать, что несобственный интеграл 0
2
2
ln
dx
a
x

x
, 
0
a
 схо
дится, и найти его значение. 

19. Решить дифференциальное уравнение 
y
x
x
y

3
.  

20. При изготовлении из листового металла закрытого бака объёмом 0,25 м3, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, про

6 

изводится сварка швов, проходящих по рёбрам обоих оснований и одному боковому ребру, а по остальным рёбрам осуществляется изгиб 
листового металла. Стоимость одного метра сварного шва —  
13 ден. ед., а стоимость 1 м2  листового металла — 26 ден. ед. Определите размеры бака так, чтобы его стоимость была наименьшей. 
 

 
21. Вычислить определитель 
n
ij
a
, где 
ij
i
a
x
, если j
i
и 

ij
a
b
, если j
i
; 
1, 2, ..., ,
1, 2, ...,
i
n j
n
. 

22. Объём тетраэдра DABC  равен V . Точки 
, ,
,
K L M N  таковы, 

что 
, 
, 
, 
, где . 
Найти объём тетраэдра LKNM .  
23. На плоскости расположены две параболы так, что их оси взаимно перпендикулярны, а сами параболы пересекаются в четырёх точках. Доказать, что эти четыре точки лежат на одной окружности.  
24. Найти все функции 
:
f
R
R
, удовлетворяющие 
,x y
R
уравнению 
(
)
(
)
2 ( )cos
f x
y
f x
y
f y
x
. 
25. Для всех значений действительного параметра 
1
p решить 
уравнение 

26. Выяснить, существует ли действительное число 
0
x такое, 
что 
e
x
x
e
. 
27. Пусть непрерывная функция 
:[0;1]
[0;1]
f
дифференцируема в промежутке (0;1) , причём 
(0)
0
f
и 
(1)
1
f
. Доказать, что существуют такие числа ,
(0;1)
a b, что a
b
и 
( )
( )
1
f a
f b
. 

28. Найти неопределённый интеграл 
3
3
cos
sin
dx
x
x
. 

29. Решить дифференциальное уравнение 
2
3
(
2
)
(
2
)
y
ydx
xdy
x
xdy
ydx
. 
30. Исследовать абсолютную и условную сходимость числового 

ряда 
. 

 

7 

 
31. Каким условиям должны удовлетворять действительные числа 

1
2
3
1
2
3
,
,
, ,
,
,
a a a b b b c , чтобы система линейных уравнений 

3 2
2
3
1

3 1
1 3
2

2 1
1 2
3

1 1
2
2
3 3

,

,

,

a x
a x
b

a x
a x
b

a x
a x
b

a x
a x
a x
c


была несовместной?  
32. На всех сторонах выпуклого n угольника 
1
2...
n
A A
A  вне его 
построены правильные треугольники 
1
2
2
3
1
3
4
2
,
,
, ...,
n
A A B
A A B
A A B
 

1
1.
n
n
A A B Доказать, что 
1
2
1
2
...
0
n
n
A B
A B
A B
.  

33. Даны параболы 
2
y
x
и 
2
0
y
x
m
m
. В каком отношении хорда первой параболы, касающаяся второй параболы, делится 
точкой касания?  
34. Последовательность n
a
, 
,
n
N
задана рекуррентной форму
лой:
1
2
4
3
,
3,
n
n
n
a
a
a
n
1
2
,
a
a a
b
. Найти lim
3

n
n
n
a

. 

35. Найти все функции 
:
f
R
R
, которые при любых действительных , ,
x y z  удовлетворяют уравнению  
f x
f
y
f z
f xyz
xy
xz
yz
x
y
z
. 

36. Функция 
f x  удовлетворяет условиям  

2
2
1
1
1,
1
f
f
x
x
x
f
x
. 

Доказать, что существует 
lim
x
f x
и что этот предел не больше, 

чем 
.  

37. Функция 
y
f x
определена на отрезке 0,1  и в каждой 
точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, 
что 
0
1
0
f
f
и  
1
f
x
0;1
x
. Какое наибольшее значе
ние может принимать максимум функции 
f x  для всевозможных 
функций, удовлетворяющих этим условиям? 

8 

38. Найти несобственный интеграл  

, где 

. 
39. Пусть многочлен 
n
P
x  степени n  с действительными коэффициентами при всех действительных значениях x  принимает лишь 
положительные значения. Доказать, что многочлен 
n
P
x  можно 
представить в виде суммы квадратов двух многочленов.  
40. Два тела нагрели до 100 ºС, а затем поместили в среду, температура которой поддерживается постоянной и равной 0 ºС. Через  
10 минут после начала остывания тел температура первого понизилась до 80 ºС, а температура второго — до 64 ºС. Через сколько минут 
от начала охлаждения тел температура одного из них будет на 25 ºС 
больше температуры другого, если скорость изменения температуры 
тела пропорциональна разности температур тела и окружающей 
среды? 
 
 
Олимпиада 2009 г. 
 
41. Векторы 
1
2
3
,
,
a a
a  не компланарны. Доказать, что векторы 

3

1
,
1, 2, 3,
i
i
j
j
j
b
a a
a
i

также не компланарны.  

42. Вычислить определитель 
n
ij
a
, где 
0
ij
a , если j
i
, 

ij
a
a
, если j
i
, 
ij
a
b
, если j
i
; 1
,1
i
n
j
n
. 

43. Прямая пересекает равнобочную гиперболу в точках A  и B , а 

её асимптоты — в точках C  и D . Найти отношение AC
BD . 

44. Не пользуясь таблицами и калькулятором, сравнить числа 

2009
2008
2010
2008
и 
2009
2008
2009
2009
. 
45. Найти число упорядоченных наборов 1
2
,
,...,
m
A A
A
 множеств, 

удовлетворяющих условиям:  1)  
1
2
...
1, 2, ...,
m
A
A
A
n
и   

2) 
1
2
...
m
A
A
A
, где 
,
,
2.
m n
N m
46. Пусть 
f x  — многочлен степени n  с действительными коэффициентами, имеющий n  действительных корней (не обязательно 

9 

различных). Доказать, что для любого x
R
выполняется неравенство 

2
f x
f
x
f
x
. 

47. Найти сумму числового ряда 
1
2
3
4
1
...
1
...
1!
2!
3!
!

n
n
n

48. Вычислить  интеграл 1

3
0

1

1

x
x
e dx

x

. 

49. Решить систему дифференциальных уравнений 

2
dx
dy
dz
x z
y
y y
x
y
xz
. 

50. Найти все дифференцируемые функции  
: 0;
0;
f
, 

удовлетворяющие уравнению 
a
x
f
x
f x
, где 
0
a . 

 

 
51. Упростить матричное выражение  

1
1
1
2
3
2
5 6
E
A
E
A
E
A
A
, 

где A  — квадратная матрица порядка n , E  — единичная матрица 
того же порядка, 
1
A— матрица, обратная для матрицы A . 
52. Точки 
1
2
2
,
, ...,
n
A
A
A
 разбивают окружность диаметром 1 на 
2n  равных дуг; B  — произвольная точка этой же окружности. Найти 
модуль суммы векторов  
1
2
2
...
n
BA
BA
BA
. 
53. Доказать, что середины параллельных хорд эллипса лежат на 
одной прямой, которая проходит через центр эллипса. (Хордой эллипса называется отрезок прямой, соединяющий любые две точки эллипса.)  
54. Доказать, что при 
3 4; 0
aпоследовательность 

2
1
1
,
,
n
n
x
a x
a
x
n
N
сходится, и найти её предел.  
55. Пусть функция  
f x  определена и трижды непрерывно диф
ференцируема на R . Доказать, что существует точка 
0x
R
такая, что 
0
0
0
0
0
f x
f
x
f
x
f
x
.  

10

56. Найти наименьшее значение функции  

2
2
2
1
1
2
,
0,
.
1
1

n
n
n

n
n
n

x
x
x
x
f x
x
n
N

x
x
x
x

57. Вычислить интеграл 
2

0

sin 3

sin 3
sin
1

x dx

x
x

. 

58. Найти производную решения задачи Коши  
по параметру при .  
59. Из двух единиц, двух двоек и двух троек наудачу составляют 
шестизначное число. Найти вероятность того, что две одинаковые 
цифры не будут стоять рядом. 
60. Для всех действительных значений x  исследовать сходимость 

ряда 
3
3

1
1

n

x
n
n

. 

 
61. Для всех действительных значений параметров a  и b  решить 
систему уравнений  

1
2
3

1
2
3

1
2
1

1
2
1

...
1,

...
1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
1,

...
,

n

n

n
n
n

n
n

ax
x
x
x

x
ax
x
x

x
x
ax
x

x
x
x
ax
b

где  
,
2
n
N n
.  
62. Точки 
, ,
,
K L M N  не лежат в одной плоскости. Выяснить, при 
каких значениях действительного параметра существует точка O  
такая, что 
.  
63. Точки 
6,6; 6 ,
5; 5,2 ,
0,8;
5 ,
7; 0,2
K
L
M
N
лежат со
ответственно на сторонах  AB , BC , CD  и DA  квадрата ABCD. 
Найти площадь квадрата ABCD. (Точки 
, ,
,
K L M N  заданы относительно прямоугольной декартовой системы координат Oxy.)