Эконометрика

ЭКОНОМЕТРИКА

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Третье издание, переработанное и дополненное

Рекомендовано
Учебно-методическим объединением по образованию 
в области экономики и экономической теории 
в качестве учебного пособия для студентов, 
обучающихся по направлению 38.03.01 «Экономика» 
и экономическим специальностям

А.И. НОВИКОВ

УДК 330.115(075.8)
ББК 65в6я73
 
Н73

Новиков А.И.
Эконометрика : учеб. пособие / А.И. Новиков. – 3-е изд., перераб. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 272 с. — (Высшее 
образование: Бакалавриат). — www.dx.doi.org/10.12737/1596.

ISBN 978-5-16-004634-1 (print)
ISBN 978-5-16-100386-2 (online)

Содержит систематическое изложение основ эконометрики, подготовлено в соответствии с требованиями государственного стандарта для 
экономических специальностей.
При изложении курса эконометрики используется минимальный математический аппарат, все излагаемые методы и подходы в эконометрике иллюстрируются примерами и упражнениями.
Для студентов экономических вузов и аспирантов, ориентированных 
на прикладные задачи моделирования и прогнозирования в экономике.

УДК 330.115(075.8)
ББК 65в6я73

Р е ц е н з е н т ы:
В.Е. Поляк, канд. физ.-мат. наук, член-корреспондент 
Международной академии информатизации, генеральный директор 
корпорации «Диоль»;
М.В. Дуброва, канд. экон. наук, профессор, зав. кафедрой 
финансов и статистики Российского университета кооперации

Н73

© Новиков А.И., 2014
ISBN 978-5-16-004634-1 (print)
ISBN 978-5-16-100386-2 (online)

Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М

Подписано в печать 25.09.2014. 
Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Усл. печ. л. 17,0. Уч.-изд. л. 15,12.
ПТ20.

ТК  46290-485216-251113

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru                 http://www.infra-m.ru

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

В В е д е н и е

Предмет эконометрики

Закономерности в экономике выражаются в виде зависимостей 
экономических показателей и математических моделей их поведения. Такие зависимости и модели могут быть получены только путем 
обработки реальных статистических данных с учетом внутренних 
связей и случайных факторов.
Эконометрика — наука, изучающая количественные закономерности и взаимозависимости в экономике методами математической 
статистики.
Цель эконометрики — эмпирический вывод экономических законов.
Задачи эконометрики — построение экономических моделей 
и оцениваниe их параметров, проверка гипотез о свойствах экономических показателей и формах их связи.
Эконометрический анализ служит основой для экономического 
анализа и прогнозирования, создавая возможность для принятия 
обоснованных экономических решений.

Типы данных

При моделировании экономических процессов оперируют двумя 
типами данных: пространственными и временными.
Пространственные данные — это данные по какому-либо экономическому показателю, полученные от разных однотипных объектов 
(фирм, регионов и т.п.), но относящиеся к одному и тому же моменту времени (пространственный срез). Например, данные об объеме 
производства, количестве работников, доходе разных фирм в один 
и тот же момент времени.
Временные ряды — это данные, характеризующие один и тот же 
объект в различные моменты времени (временной срез). Например, 
ежеквартальные данные об инфляции, средней заработной плате, 
данные о национальном доходе за последние годы.
Отличительная черта временных данных — упорядоченность во 
времени. Кроме того, наблюдения в близкие моменты времени часто бывают зависимы.
Любые экономические данные представляют собой характеристики какого-либо экономического объекта. Они формируются под 
воздействием множества факторов, не все из которых доступны 
внешнему контролю. Неконтролируемые (неучтенные) факторы обусловливают случайность данных, которые они определяют.

Поскольку экономические данные имеют статистическую природу, для их анализа и обработки необходимо применять статистические методы.

Классы моделей

Можно выделить три основных класса моделей: модели временных рядов, регрессионные модели с одним уравнением и системы 
одновременных уравнений.
К моделям временных рядов относятся модели тренда и сезонности. Тренд представляет собой устойчивое изменение уровня показателя в течение длительного времени. Сезонность характеризует 
устойчивые внутригодовые колебания уровня показателя.
Кроме того, к этому классу относится множество более сложных 
моделей, таких, например, как модель с распределенным лагом, модель 
авторегрессии и модель адаптивных ожиданий.
Их общей чертой является то, что они объясняют поведение временного ряда исходя только из его предыдущих и будущих значений.
Различают модели, построенные по стационарным и нестационарным временным рядам. Стационарные временные ряды — это 
ряды, которые имеют постоянное среднее значение и колеблются 
вокруг него с постоянной дисперсией. Распределение показателей 
уровня ряда в них не зависит от времени, т.е. такой временной ряд 
не содержит трендовой или сезонной компоненты. В нестационарных 
временных рядах распределение уровня ряда зависит от времени, 
т.е. ряд имеет трендовую или сезонную компоненту.
В регрессионных моделях с одним уравнением объясняемая переменная представляется в виде функции от объясняющих переменных. Например, модель спроса на некоторый товар в зависимости от 
его цены и дохода.
По виду функции регрессионные модели делятся на линейные 
и нелинейные. Существуют эффективные методы оценки и анализа 
линейных регрессионных моделей. Анализ линейных регрессионных 
моделей является базовым в прикладной эконометрике.
Область применения регрессионных моделей, даже линейных, 
значительно шире, чем моделей временных рядов.
Системы одновременных уравнений описываются системами уравнений, состоящими из тождеств и регрессионных уравнений, в каждом из которых аргументы помимо объясняющих переменных содержат объясняемые переменные из других уравнений системы. 
Например, модель формирования доходов.
Все три класса моделей могут использоваться при моделировании экономических процессов.
Обычно предполагают, что все факторы, не учтенные явно в экономической модели, оказывают на объект некое результирующее 

воздействие, величина которого задается случайной компонентой. 
Введение случайной компоненты в экономическую модель делает ее 
доступной для эмпирической проверки на основе статистических 
данных.

Основные этапы эконометрического моделирования

Укажем основные этапы эконометрического исследования.
1. Постановочный. Формулируется цель исследования, определяется набор участвующих в модели экономических переменных. 
Целью эконометрического моделирования могут быть анализ изучаемого экономического процесса (объекта), прогноз его экономических показателей, анализ возможного развития явления при различных значениях экзогенных (независимых) переменных, выработка 
управленческих решений. При выборе экономических переменных 
необходимо теоретическое обоснование каждой переменной. Объясняющие переменные не должны быть связаны функциональной 
или тесной корреляционной зависимостью, так как это может привести к невозможности оценки параметров модели (явление мультиколлинеарности). Для отбора переменных можно использовать процедуру пошагового отбора переменных, а для оценки влияния качественных признаков — фиктивные переменные.
2. Априорный. Проводится анализ сущности изучаемого объекта, 
формирование и формализация априорной (известной до начала моделирования) информации.
3. Информационный. Осуществляется сбор необходимой статистической информации, значений экономических переменных. Здесь 
используются данные наблюдения, полученные в условиях активного (с участием исследователя) и пассивного (без участия исследователя) эксперимента.
4. Спецификация модели. В математической форме выражаются 
обнаруженные связи и соотношения, устанавливается состав экзогенных и эндогенных переменных, формируются исходные предпосылки и ограничения модели. От того, насколько точно выполнена 
задача спецификации, зависит успех эконометрического моделирования.
5. Параметризация. Оцениваются параметры (коэффициенты) 
выбранной зависимости. Эта оценка осуществляется на основе имеющихся статистических данных.
6. Идентификация. Осуществляются статистический анализ модели и оценка ее параметров.
7. Верификация. Производится проверка адекватности модели, 
выясняется, насколько удачно решены проблемы спецификации, 
идентификации, какова точность расчетов по данной модели, насколько соответствует построенная модель реальному экономическому явлению.

Типы зависимостей

В экономических исследованиях одной из основных задач является анализ зависимостей между переменными. Зависимость может 
быть функциональной или статистической.
Функциональная зависимость задается в виде точной формулы, 
в которой каждому значению одной переменной соответствует строго определенное значение другой, воздействием случайных факторов 
при этом пренебрегают.
В экономике функциональная зависимость между переменными 
проявляется редко.
Статистической зависимостью называется связь переменных, на 
которую накладывается воздействие случайных факторов. При этом 
изменение одной переменной приводит к изменению математического ожидания другой переменной.
По направлению выделяют прямые и обратные связи. Направление изменения результативного признака при прямой связи совпадает с направлением изменения факторного признака, а при обратной связи — противоположно направлению изменения факторного 
признака.
Уравнение регрессии — это формула статистической связи между 
переменными. Если эта формула линейна, то имеем линейную регрессию.
Формула статистической связи  д в у х  переменных называется 
парной регрессией, зависимость от  н е с к о л ь к и х  переменных — 
множественной регрессией.

Тема 1.  ЭлеменТы маТемаТичесКОй 
сТаТисТиКи

1.1. 
ОПерация суммирОВания

Пусть величина  X  задается последовательностью данных 
x1, x2, …, xn,  каждое из которых можно записать как  xi,  i
n
= 1,
.

Сумма этих чисел обозначается следующим образом:

x
x
x
x
i
i

n

n
=∑
=
+
+
+

1
1
2
...
,   причем  
x
x
i
i

n

j
j

n

=
=
∑
∑
=

1
1
.

Если из контекста ясно, каковы начальный и конечный суммируемые члены, то часто используют сокращенные обозначения:

x
x
i
i

n

i
=∑
∑
=

1
.

Сумма квадратов этих чисел обозначается следующим образом:

x
x
x
x
i
n
2
1
2
2
2
2
∑
=
+
+
+
...
.

Обозначим средние значения величин  X, X2, XY  соответственно 
как

x
n
x
x
n
x
xy
n
x y
i
i
i
i
=
=
=
∑
∑
∑
1
1
1
2
2
,
,
.

Имеет место неравенство 

( )
.
x
x
2
2
≤

Правила суммирования (a, b — константы):

1. 
a
na
=
∑
.

2. 
bx
b
x
bnx
i
i
∑
∑
=
=
.

3. 
(
)
.
a
bx
na
bnx
i
+
=
+
∑

4. 
(
)
(
).
x
y
x
y
n x
y
i
i
i
i
∑
∑
∑
+
=
+
=
+

5. 
(
)
.
x
x
i
∑
−
= 0

6. 1
2
2
2
n
x
x
x
x
i
(
)
( ) .
−
=
−
∑

7. 1
n
x
x
y
y
x y
x y
i
i
(
)(
)
.
−
−
=
−
∑

1.2. 
случайные Величины

Случайной величиной (переменной) называется величина, 
которая под воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества чисел.
Случайные величины обозначаются прописными буквами латинского алфавита (X, Y  и т.п.), а их возможные значения — строчными 
(x, y  и т.п.).
Универсальным способом задания случайной величины  Х  является 
задание ее функции распределения.
Функцией распределения  F(x)  случайной величины  X  называется 
вероятность того, что величина  X  принимает значение, меньшее  x, 
т.е.

F x
P X
x
x
( )
(
),
.
=
<
∈R

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретной называется случайная величина, которая принимает 
отдельные, изолированные друг от друга значения.
Непрерывной называется случайная величина, множество значений 
которой непрерывно заполняет некоторый числовой промежуток.
В основе математической статистики лежат понятия генеральной 
и выборочной совокупностей.
Генеральная совокупность — множество всех значений случайной 
величины, которые она может принять в процессе наблюдения.  
Например, данные о доходах всех жителей страны.
Выборочная совокупность (выборка) — это множество наблюдений, составляющих лишь часть генеральной совокупности.
Для любой случайной величины важную роль помимо функции 
распределения играют числовые характеристики ее распределения.
Пусть из генеральной совокупности извлекается выборка  
объема  n.  Выборочной средней называется среднее арифметическое 
наблюдаемых значений случайной величины в выборке, т.е.

x
n
xi
= ∑
1
.

Выборочной дисперсией (вариацией) называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений случайной 
величины в выборке от их среднего значения, т.е.

var( )
(
) ,
x
n
x
x
i
=
−
∑
1
2     или    var( )
( ) ,
x
x
x
=
−
2
2

где  x
n
xi
2
2
1
= ∑
.

Значения   x–,  var(х)  являются числовыми характеристиками выборочной совокупности.
Для разных выборок, взятых из одной и той же генеральной  
совокупности, выборочные средние и дисперсии будут различны, 
т.е. выборочные характеристики являются  с л у ч а й н ы м и  величинами.

Пример 1.1. Вычислим выборочные характеристики по данным наблюдения:

№ п/п
1
2
3
4
5

х
2
6
10
14
18

 
d Исходные данные (затемнены) и расчетные показатели представим в виде расчетной таблицы:

№ п/п
x
x2

1
2
4

2
6
36

3
10
100

4
14
196

5
18
324

Итого
50
660

Среднее
10
132

x–
x2

Окончательно имеем:

var( )
( )
.
x
x
x
=
−
=
−
=
2
2
2
132
10
32  

Для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии 
в Excel имеются функции:  x– = СРЗНАЧ(массив_x), var(x) = ДИСПР(массив_x).
Генеральной средней называется математическое ожидание случайной величины  Х,  т.е.
μх = М(Х),
и характеризует среднее значение случайной величины в генеральной 
совокупности.
Генеральной дисперсией называется математическое ожидание 
квадрата отклонения случайной величины  Х  относительно ее средней, т.е.

σ
µ
x
x
D X
M X
2
2
=
=
−
(
)
(
) ,

и характеризует меру рассеяния случайной величины в генеральной 
совокупности относительно ее средней.

Стандартным отклонением случайной величины  Х  называется 
корень квадратный из ее дисперсии, т.е.

σx
D X
=
(
),

и показывает, насколько в среднем отклоняется случайная величина 
в генеральной совокупности относительно ее средней.
Значения  μx, s2
x — это числовые характеристики генеральной совокупности (числа), которые в отличиe от выборочных характеристик 
x–,  var(х)  являются  н е с л у ч а й н ы м и  величинами (истинными).
Две случайные величины называются независимыми, если закон 
распределения одной из них не меняется от того, какие возможные 
значения приняла другая величина.
Если случайные величины  X, Y  независимы, то

M(XY) = M(X)M(Y),

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Из условия, что выборочные наблюдения  X1, X2, …, Xn  независимы и имеют одинаковые распределения, вытекают следующие 
соотношения:

µ
µ
σ
σ
σ
σ
x
x
x
x
x
x
M X
D X
n
n
=
=
=
=
=
(
)
,
(
)
/ ,
/
.
2
2

Для задания непрерывной случайной величины обычно используется плотность распределения вероятностей  f x
F
x
( )
( ).
=
′

Площадь  S  под кривой распределения  f(x)  в интервале  (a, b) 
равна вероятности попадания случайной величины Х в этот интервал:

S
f x dx
P a
X
b

a

b
=
=
<
<
∫ ( )
(
),    причем   
f x dx
( )
.

−∞

∞
∫
=1

Наблюдаемое распределение  f(x)  сводят к одному из хорошо 
исследованных видов распределения — нормальному или другим 
специальным распределениям, получаемым из нормального. В эконометрических исследованиях чаще всего используются нормальное 
распределение, распределение Стьюдента и распределение Фишера. 
На основе этих распределений построены статистические критерии, 
служащие для проверки гипотез.
Нормальное распределение случайной величины  X  характеризуется лишь двумя параметрами: средним значением  μ  и дисперсией  s2.  Это обозначается как  X ~ N(μ, s2).
График плотности нормального распределения  f(x)  имеет колоколообразный вид, симметричный относительно центра распределения (рис. 1.1).