Экономико-математические методы и модели

ЭКОНОМИКО
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва

ИНФРА-М

Р.Ш. ХУСНУТДИНОВ

Рекомендовано

ФБГОУ ВПО «Государственный университет управления»

в качестве учебного пособия для студентов высших 
учебных заведений, обучающихся по специальности 

080116 «Математические методы в экономике»

Регистрационный номер рецензии 1864 от 19.06.2012 г. (МГУП)

2020

Хуснутдинов Р.Ш.
Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие. — 

М.: ИНФРА-М, 2020. — 224 с.  — (Высшее образование). — www.dx.doi.
org/10.12737/1446.

ISBN 978-5-16-005313-4 (print)
ISBN 978-5-16-100660-3 (online)

Учебное пособие «Экономико-математические методы и модели» напи
сано в соответствии с федеральными государственными образовательными 
стандартами высшего профессионального образования и содержит весь материал новой программы дисциплины «Экономико-математические методы».

Изложены основные экономико-математические методы и модели для 

решения широкого круга прикладных задач экономики.

Предназначается для студентов, аспирантов и преподавателей экономи
ческих специальностей, а также для лиц, использующих экономико-математические методы в их практической деятельности.

ББК 65.40

Х98

ISBN 978-5-16-005313-4 (print)
ISBN 978-5-16-100660-3 (online)

© Хуснутдинов Р.Ш., 2013

Р е ц е н з е н т ы:

зав. кафедрой математического анализа КГГПУ, профессор Ф.Г. Мухлисов;
профессор каф. высшей математики КГАСУ И.П. Семенов

УДК 330.115(075.8)
ББК 
65.40

 
Х98

Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М

Подписано в печать 25.11.2013. 

Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 

Печать офсетная. Усл. печ. л. 14,0. Уч.-изд. л. 13,25

ПТ30. 

ТК 430100-9943-250912

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

1. 
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Матричный анализ, к изложению которого мы приступаем, широко 
используется при решении линейных математических и экономических 
задач. Это, в частности, связано с тем, что, используя основные понятия и 
идеи матричного анализа, значительная часть математических моделей 
экономических объектов и процессов удается записывать в достаточно компактной форме – матричной.

1.1. 
Основные понятия. Виды матриц

Определение 1.1. Матрицей порядка m × n (размерности m × n) называется таблица из m ⋅ n чисел, расположенных в виде таблицы 
из m строк и n столбцов:

A =


















a
a
a

a
a
a

a
a
a

n

n

m
m
mn

11
12
1

21
22
2

1
2

...

...

. . . . . . . . .
...


=
=( )

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a

n

n

m
m
mn

ij

11
12
1

21
22
2

1
2

...

...

. . . . . . . . .
...

,i
m
=1,
; j
n
=1, ,
(1.1)

где aij ∈ — элемент матрицы А, расположенный на i-й строке и 
j-м столбце. Выше (см. формулу (1.1)) даны три способа записи 
матрицы.
Если число строк равно числу столбцов, т.е. m = n, то матрица 
называется квадратной, и тогда n — ее порядок. Если же m ≠ n, 
т.е. число строк матрицы не равняется числу ее столбцов, то матрица 
– прямоугольная.
Пример 1.1. В таблице 1.1 приведено распределение ресурсов по отдельным отраслям экономики (в. усл. ед.).

Таблица 1.1

Ресурсы
Отрасли экономики
Промышленность
Сельское хозяйство

Трудовые ресурсы
3,2
2,5
Электроэнергия
6,2
4,9
Водные ресурсы
5,3
6,1

По табл. 1.1 можно составить матрицу распределения ресурсов по 
отраслям. Она имеет вид

A =














3 2 2 5
6 2 4 9
5 3 6 1

,
,
,
,
,
,
.

Ее элементы показывают, какие ресурсы и в каком количестве 
употребляет каждая отрасль экономики. Например, согласно этой 
матрице промышленность употребляет 3,2 усл. ед. электроэнергии, 
а сельское хозяйство использует 6,1 усл. ед. водных ресурсов.
Определение 1.2. Две матрицы A = (aij) и B = (bij) одного и того же 
порядка равны, если равны их соответствующие элементы, 
т.е. aij = bij.
А теперь укажем основные виды матриц, с которыми будем встречаться при дальнейшем изложении.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей 
(вектором)-строкой, а из одного столбца, – матрицей (вектором)столбцом:
A = (a1, a2, …, an) — матрица-строка (вектор-строка);

B =



















b

b

bn

1

2


 — матрица-столбец (вектор-столбец).

Элементы a11, a22, …, amm (или a11, a22, …, ann) матрицы A (см. формулу (1.1)) образуют ее главную диагональ.
Прямоугольная матрица A, элементы которой под (над) главной 
диагональю равны нулю, называется ступенчатой (или почти треугольной). Если же матрица A, кроме того, и квадратная, то такая матрица называется треугольной.

Например, A =














2
1
0
4
0
0

 — ступенчатая матрица порядка 3 × 2 с диа
гональными элементами 2 и 4;

B =














1
7
2
0
3
4
0
0
5

 — треугольная матрица 3-го порядка.

Квадратная матрица с равными нулю недиагональными элементами называется диагональной матрицей. Если же у диагональной 
матрицы все диагональные элементы равны единице, то такая мат

рица называется единичной. Обозначение: Е. Например, 2
0
0
7



  — 

диагональная матрица 2-го порядка, а Ε =














1
0
0
0
1
0
0
0
1

 — единичная 
матрица 3-го порядка.

Матрица, состоящая целиком из нулей, называется нулевой матрицей. Обозначение: Θ.

1.2. 
Основные действия над матрицами

Над матрицами, как и над обычными числами, можно производить ряд арифметических действий, некоторые из которых аналогичны действиям над числами, а некоторые носят специфический характер.
1°. Умножение матрицы на число.
Определение 1.3. Произведением матрицы A = (aij), i
m
=1,
; j
n
=1, , на 
число α∈ называется матрица B = (bij), определяемая формулой

 
bij = α· aij, i
m
=1,
; j
n
=1, ,
(1.2)

или подробней:

B
A
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅



















=
α
α

α
a
a
a
a
a
a

a
a
a

a
n

n

m
m
mn

11
12
1

21
22
2

1
2

11





α
α
α
α
α

α
α
α

a
a
a
a
a

a
a
a

n

n

m
m
mn

12
1

21
22
2

1
2





⋅
⋅
⋅
⋅



















.

Например, если A = 



1
5
1
2
4
3 , то 6
6
30
6
12
24
18
A = 


.

Следствие 1.1. Если все элементы матрицы содержат общий множитель, то его можно вынести за знак матрицы.

Например, 4
12
8
16
4
1
3
2
4



 =
⋅ 


.

2°. Сложение матриц.
Пусть A = (aij) и B = (bij), i
m
=1,
; j
n
=1, , — две матрицы одного 
порядка m × n.
Определение 1.4. Суммой матриц A и B называется матрица C = (cij), 
определяемая формулой

cij = aij + bij, i
m
=1,
; j
n
=1, ,
(1.3)

или подробней:

a
a
a
a
a
a

a
a
a

b
b
b
b

n

n

m
m
mn

n
11
12
1

21
22
2

1
2

11
12
1







⋅
⋅
⋅
⋅



















+
21
22
2

1
2

11
11
12
12
1

b
b

b
b
b

a
b
a
b
a
b

n

m
m
mn

n







⋅
⋅
⋅
⋅



















=

=

+
+
+ 1

21
21
22
22
2
2

1
1
2
2

n

n
n

m
m
m
m
mn
mn

a
b
a
b
a
b

a
b
a
b
a
b

+
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
+





















,

т.е. матрицы складываются поэлементно.
Нуль-матрица Θ играет в матричном анализе ту же роль, что и 
число 0 в области вещественных чисел, т.е. A + Θ = A для ∀A (матрицы A и Θ имеют один и тот же порядок).
3°. Умножение матриц.
Специфичность некоторых операций, которые совершаются над 
матрицами, ярко проявляется при умножении матриц: в частности, 
умножение матриц A и B возможно только в том случае, если число 
столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Такие матрицы 
называются согласованными.

Определение 1.5. Под произведением матриц A = (aik), i
m
=1, ; k
l
=1, , 
B = (bkj), k
l
=1, ; j
n
=1, , понимают матрицу С = (cij), i
m
=1,
, 

j
n
=1, ,, определяемую формулой

 
c
a b
a b
a b
a b
ij
i
j
i
j
il lj
ik kj
k

l
=
+
+
+
=

=∑
1 1
2 2
1

, i
m
=1, ; j
n
=1, ,, 
(1.4)

т.е. элемент cij  матрицы C находится как сумма произведений элементов i-й строки первой матрицы на соответствующие элементы 
j-го столбца второй матрицы1.

Например, если A =




1
2
3
5
6
2 , B =














2
1
0
3
1
7
, то их произведение

1 Это правило умножения матриц «столбец на строку»: j-й столбец второй 
матрицы накладывается на i-ю строку первой матрицы и полученные произведения складываются.

C
AB
=
=
⋅ + -(
)⋅ + ⋅
⋅ -(
) + -(
)⋅ + ⋅
⋅ + -(
)⋅ + ⋅
⋅ -(
) + 1 2
2 0
3 1
1
1
2 3
3 7
5 2
6 0
2 7
5
1
6 3
2 7
5
14
12
9
(
)⋅ + ⋅






 =



.

Введенные выше операции над матрицами подчиняются многим 
арифметическим законам: коммутативному, дистрибутивному и ассоциативному:
1) A + B = B + A; 
5) (A + B)·C = AB + BC;
2) (A + B) + C = A + (B + C); 
6) A(B +·C)= AB + AC;
3) α(A + B) = αA + αB; 
7) A · (BC)= (AB)·C;
4) (α + β)A = αA + βA; 
8) λ(AB) = (λA)·B = A·(λB).
Однако между свойствами матриц и числами есть и существенные 
различия: в частности, произведения матриц AB и BA могут одновременно и не существовать. Если же эти произведения и существуют, 
то не обязательно, чтобы они были равными, т.е. произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно.

Например, если A =




1
2
3
5
6
2 , B =














2
1
0
3
1
7

 и C =




2
5
4
1 , то:

1) CA = 



23
26
4
9
14
14 , но уже произведение AC не существует 

(матрицы A и С не согласованы);

2) AB =




5
14
12
9 , но BA =















8
2
4
15
18
6
36
44
17
, т.е. хотя произведения 

AB и BA существуют, но они не равны (эти матрицы имеют разные 
размерности).
Пусть A = (aij) — произвольная квадратная матрица размерности 
n и E — единичная матрица той же размерности. Легко проверить, 
что единичная матрица E коммутирует (перестановочна) с матрицей A:

 
EA = AE, 
(1.5)

т.е. единичная матрица при умножении матриц играет ту же роль, что 
и число 1 при умножении чисел.
4°. Возведение в степень.
Целая положительная степень квадратной матрицы A определяется по формуле A
A A
A
k

k
k
=
⋅
⋅
⋅
∈

 



раз
,
.


По определению считают A0 = E. Используя ассоциативное свойство умножения матриц, легко проверить, что Am·An = Am+n; 
(Am)n = Amn.
Пример 1.2. Возвести в квадрат следующие матрицы:

а) A = 



1
2
3
0 ;  б) B = 



0
2
0
0 .

 а) A2
1
2
3
0
1
2
3
0
5
2
3
6
= 


 ⋅ 


 = 


;

б) B2
0
2
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
= 


 ⋅


 = 


 .

Последний пример нас убеждает, что из An = Θ еще не следует, что 
сама матрица – нулевая, т.е. A = Θ. 
5°. Транспонирование матриц.
Определение 1.6. Транспонированием матрицы A называется замена 
ее строк соответствующими столбцами (1-ю строку – 
1-м столб цом, 2-ю строку – 2-м столбцом и т.д.).

Определение 1.7. Матрица, полученная из данной матрицы A  путем 
ее транспонирования, называется транспонированной матрицей и обозначается A′ (или AT).

Например, для матрицы  A =




2
3
7
5
0
1  ее транспонированной 

является матрица ′ = 












A
2
5
3
0
7
1
.

Операция транспонирования обладает следующими свойствами.
1) (A′)′ = A; 
3) (A + B)′ = A′ + B′;
2) (αA)′ = αA′; 
4) (AB)′ = B′A′.
Проверку этих свойств рекомендуем провести читателю самостоятельно.
А теперь рассмотрим экономическую задачу, где используется 
матричный анализ.
Пример 1.3. Предприятие выпускает продукцию трех видов P1, P2, P3 
и для их производства использует сырье двух видов. Нормы расхода 
сырья, его стоимость и план выпуска продукции приведены в 
табл. 1.2.

Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска 
продукции, и общую стоимость сырья.

Таблица 1.2

Виды сырья
Виды продукции
Стоимость 
сырья
P1
P2
P3
1
2
1
2
4
5
2
3
10
20
План выпуска продукции
50
30
40

 Введем матрицы: A = 



1
4
2
2
5
3  — технологическая матрица, ее 

элементы выражают норму расхода сырья для производства каж
дой единицы продукции; B =














50
30
40

 — матрица – план выпуска про
дукции и C = (10 20) — матрица – стоимость единицы каждого 
типа сырья. Тогда нетрудно видеть, что общие затраты S сырья 
выразятся матричным произведением

S = 


 ⋅












 = 



1
4
2
2
5
3

50
30
40

250
370 ,

что в денежном выражении составит

P = (
)⋅


 =
10
20
250
370
9900 ден.ед. 

Таким образом, для вычисления общей стоимости сырья мы получили общую формулу

 
P = C(AB), 
(1.6)

где C — матрица — стоимость сырья; A — технологическая матрица 
и B — матрица – план выпуска продукции.
Кстати, общую стоимость израсходованного сырья можно было 
вычислить и в другом порядке: например, сначала можно найти матрицу – стоимость сырья для производства единицы каждого вида 
продукции:

R
CA
=
= (
)⋅


 = (
)
10
20
1
4
2
2
5
2
50
140
80 ,

а затем и общую стоимость сырья:

P
R B
CA
B
=
⋅
= (
)⋅
= (
)⋅












 =
50
140
80
50
30
40
9900 ден.ед.

Сравнивая последнюю формулу с соотношением (1.6), мы получаем, что (CA)·B = C(AB), т.е. для рассматриваемых матричных произведений выполняется ассоциативный закон умножения.

1.3. 
Определители. Теорема Лапласа

Пусть

 
J = (j1, j2, …, ji, …, jk, …, jn) 
(1.7)

некоторая перестановка из n натуральных чисел 1, 2, 3, …, n.
Определение 1.8. Говорят, что в перестановке J  ее элементы ji и jk 
(i < k) образуют инверсию (беспорядок) (ji, jk), если ji > jk.

Пример 1.4. Найти число инверсий в перестановках:
а) (1, 3, 2); б) (3, 1, 2).

 В первой перестановке имеется одна инверсия (3, 2), а во второй — две: (3, 1) и (3, 2). 

Определение 1.9. Определителем n-го порядка, составленного из n2  чисел a11, a12, ann называется число ∆, определяемое по формуле

 

∆ =
⋅
⋅
⋅
=
-(
)
⋅
⋅
⋅
( )

a
a
a
a
a
a

a
a
a

a
a
a

n

n

n
n
nn

r J
j
j

11
12
1

21
22
2

1
2

1
2
1
1
2







nj
J
n
( )∑
,
(1.8)

где сумма берется по всем перестановкам J (см. формулу (1.7)), образованным из вторых индексов сомножителей слагаемых, а первые 
индексы сомножителей всех слагаемых образуют перестановку 
(1, 2, …, n) без инверсий; r(J) — число инверсий в перестановке J. 
Число слагаемых в сумме (1.8) равно n! (числу перестановок из n натуральных чисел).