Теория функций действительного переменного

О.Н. БыкОва 

С.Ю. кОлягиН 

Б.Н. кУкУШкиН

УчеБНОе пОСОБие

Москва
КУРС
ИНФРА-М
2019

ТеОрия фУНкций 
дейСТвиТельНОгО 
перемеННОгО 

Рекомендовано УМО 
по образованию в области подготовки 
педагогических кадров в качестве 
учебного пособия для студентов 
высших  учебных заведений, 
обучающихся по направлению 050100 
«Педагогическое образование

Удк 51(075.8)
ББк 22.1я73

Б95

© КУРС, 2015

Быкова О.Н., колягин С.Ю., кукушкин Б.Н.
Теория функций действительного переменного: Учебное

пособие. — М.: КУРС: ИНФРА-М, 2019. — 196 с.

ISBN 978-5-905554-21-6 (КУРС)
ISBN 978-5-16-011338-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-103521-4 (ИНФРА-М, online)

Учебник включает все разделы одноимённого курса, читаемого на математических и физико-математических факультетах высших педагогических учебных 
заведений РФ. Учебник предназначен студентам, обучающимся по направлениям 
бакалавриата 440305 — Педагогическое образование (профили «Математика», 
«Информатика», «Математика и информатика», «Информатика и математика», 
«Математика и экономика»), а также 010100 — Математика (профиль «Преподавание математики и информатики»).

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

Б95

ISBN 978-5-905554-21-6 (КУРС)
ISBN 978-5-16-011338-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-103521-4 (ИНФРА-М, online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебная дисциплина «Теория функций действительного переменного» является одной из базовых дисциплин в образовательной программе подготовки учителя математики. Курс ТФДП изучается студентами, как правило, на III курсе в течение пятого учебного семестра.
Предложенный учебник адресован в первую очередь студентам математических и физико-математических факультетов высших педагогических учебных заведений, обучающихся по направлениям бакалавриата 440305 Педагогическое образование (профили «Математика», «Информатика», «Математ ика и информатика», «Информатика и 
математика», «Математика и экономика»), 010100 Математика (профиль 
«Преподавание математики и информатики»).
Учебник полностью соответствует Федеральному государственному 
образовательному стандарту профессионального образования 
(ФГОС ПО) и рабочим программам по указанным направлениям и 
их различным профилям.
Учебник написан на основе лекций, которые на протяжении многих лет авторы читали на математическом факультете Московского 
педагогического государственного университета (МПГУ). Авторы 
искренне надеются, что данный учебник окажется полезным как для 
студентов высших педагогических учебных заведений РФ, так и для 
самостоятельно изучающих курс ТФДП.
В завершении отметим, что нумерация определений, теорем, формул, рисунков и сносок в каждом параграфе учебника собственная.
Все пожелания и замечания по данному учебнику с благодарностью будут приняты авторами. Их можно присылать на кафедру математического анализа МПГУ (107140, Москва, ул. Краснопрудная, 
д. 14) и, в том числе, по электронной почте: kafmatanmpgu@mail.ru.

ГЛАВА I.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

§1. Взаимно-однозначное соответствие.
Равномощность и неравномощность множеств

Теория множеств зародилась в конце XIX века. Основоположником современной теории множеств является немецкий математик 
Георг Кантор (1845–1918). В одном из писем, адресованных математику Р. Дедекинду, Г. Кантор писал, что ему удалось доказать посредством теории множеств, что действительных чисел больше, чем 
натуральных. Датировано это письмо,  — 7 декабря 1873 г.  — математики считают днем рождения теории множеств.
Что же такое множество? Сам Г. Кантор сказал, что под множеством мы подразумеваем объединение в целое определенных, различающихся между собой объектов нашего представления или мышления. Другой математик  — француз Э. Борель — говорил, что каждый сам знает, что он понимает под множеством.
Множество  — это элементарное неопределяемое понятие в современной математике. Мы не можем его определить так же, как точку в геометрии, число в арифметике.
В этой главе речь будет идти в основном о бесконечных множествах. Сравнить количества элементов двух конечных множеств всегда 
можно, пересчитав элементы этих множеств и сравнив полученные 
натуральные числа. Так, разумеется, нельзя поступить с бесконечными множествами  — пересчитать их элементы невозможно. Как 
же сравнить количества элементов двух бесконечных множеств? На 
этот и другие подобные вопросы ответы будут получены ниже. Но 
сначала дадим строгие определения некоторых важных понятий.
Определение 1. Отображение f  множества A  во множество B  (пишут f
A
B
→
:
) называется инъективным, если разным элементам множества A  (разным прообразам) соответствуют разные элементы множества B  (разные образы), т.е. 
( )
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
a a
A
a
a
f a
f a
∀
∈
≠
⇒
≠
,
.
Отображение f
A
B
→
:
 называется сюръективным, если каждый 
элемент множества B  является образом при данном отображении 
некоторого элемента множества A, т.е. 
( )
b
B
a
A
b
f a
∀
∈
∃
∈
=
:
 
(если отображение f
A  в B  сюръективно, то говорят, что f  есть 
отображение А на В).

Отображение f
A
B
→
:
 называется биективным (биекцией), если 
оно и инъективно, и сюръективно.
Замечание. Ясно, что если f   — биекция A  на В, то существует 
биекция B  на A  и, в частности, обратное отображение 
1
f
B
A
−
→
:
 
(это такое отображение, что обе композиции 
1
f
f
− и 
1
f
f −
дают 
тождественное отображение соответственно множеств A  и B  на 
себя, т.е. 
1
1A
f
f
−
=
и 
1
1B
f
f − =
).
Определение 2. Если существует биекция A  на B , то говорят, что 
между множествами A  и B  можно установить взаимно-однозначное 
соответствие. При этом данные множества называются равномощными. Этот факт будем обозначать так: А=В(можно читать: 
«мощности множеств A  и B  равны»). Если множества A  и B  не 
равномощны, то будем писать A
B
≠
.
Определение 3. Множество E называется конечным, если существует 
номер 
0
n ∈ такой, что между множеством E  и множеством 

{
}
0
0
1
N
n
n
n
=
∈
≤
≤
:
 (так называемым отрезком натурального ряда 
длины 
0
n ) можно установить взаимно-однозначное соответствие. При 
этом число 
0
n  называют числом (количеством) элементов множества E  
или его мощностью и пишут 
0
E
n
=
. Пустое множество ∅  будем считать конечным и его мощность равной нулю, т.е. 
0
∅ =
. Множество называется бесконечным, если оно не является конечным.
Замечание. Ясно, что результат операций объединения, пересечения, 
разности и декартова умножения двух конечных множеств есть всегда конечное множество. В классе бесконечных множеств лишь объединение и декартово произведение двух множеств всегда дают в 
результате бесконечное множество, а пересечение и разность могут 
давать в результате как конечное, так и бесконечное множество (приведите соответствующие примеры). В «смешанном» же варианте 
(т.е. когда одно из множеств конечно, а другое  — бесконечно) объединение и декартово произведение по-прежнему дают в результате 
бесконечное множество, пересечение всегда дает в результате конечное множество, а разность  — конечное или бесконечное множество, 
в зависимости от того, конечным либо бесконечным соответственно 
является «уменьшаемое» множество.
Сравнивать «количества» элементов двух множеств (в смысле 
«равны-не равны») всегда можно, пытаясь поставить эти множества 
(элементы этих множеств) во взаимно-однозначное соответствие. 
Если такое соответствие существует, то количества элементов этих 
множеств естественно считать одинаковыми, в противном случае  — 
разными.

Примеры. 1) Множества и равномощны, т.е. 
=
. 
Дейст вительно, следующая неограниченная вправо таблица задает 
биекцию f
на :

1
2
3
4
5
6
7
8
…

0
1
1
2
2
3
3
4
…

Задайте эту биекцию аналитически (формулой).
2) Равномощны и множества точек двух отрезков 
1
Δ  и 
2
Δ , где 
2
Δ , 
например, в два раза длиннее, чем 
1
Δ . Действительно, рис. 1 показывает очевидную биекцию 
1
Δ  на 
2
Δ .

Рис. 1
Замечание. Ясно, что если множества конечны, то они равномощны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же число элементов. В случае бесконечных множеств, как следует из примеров 1 и 2, 
множество может быть равномощно своей правильной части (собственному или истинному своему подмножеству)1.
Нетрудно видеть, что равномощность множеств есть отношение 
эквивалентности, т.е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. 
Поэтому равномощные множества A  и B  называют также эквивалентными и обозначают это так: A
B
∼
. Таким образом, А  В  
А=В.
Определение 4. Будем говорить, что мощность множества A  не 
больше мощности множества B  (множество A  не мощнее множест
1 
Напомним, что правильной частью (собственным или истинным подмножеством) некоторого множества Е называется всякое его подмножество, не равное самому множеству Е.

ва В) и писать A
B
≤
, если существует инъективное отображение 

A  в B .
Будем говорить, что мощность множества A  меньше мощности 
множества B  (множество B  мощнее множества A ) и писать A
B
<
, 
если A
B
≤
 и A
B
≠
, т.е. существует инъективное отображение 
 
в B  и не существует биекции A  на B .
Замечание. Очевидно, что если A
B
⊂
, то A
B
≤
. Действительно, тождественное отображение f  множества A  на себя 
(т.е. ( )
f x
x
x
A
=
∀
∈
,
) есть инъективное отображение A  в B .
Упражнение. Докажите, что A
B
C
B
A
C
≤
⇔ ∃
⊂
=
:
.
Теорема 1. Мощность множества натуральных чисел меньше 
мощности отрезка (множества точек отрезка) 
[
]
0 1
Δ =
;
.
 Во-первых, отображение f
→ Δ
:
 такое, что ( )
1
f n
n
n
=
∀
∈ ,
, 

очевидно, инъективное и, следовательно, 
≤ Δ
.
Во-вторых, покажем, что 
≠ Δ
. Более того, докажем, что любое 
отображение f
→ Δ
:
 не является сюръективным. Рассмотрим про
извольное отображение f
→ Δ
:
. Разобьем отрезок Δ  точками 1
3  и 

2
3  на три равных смежных отрезка и обозначим через 
1
Δ  тот из них, 

который не содержит образ 1 при данном отображении f , т.е. ( )
1
1
f
∉ Δ . 
Ясно, что такой отрезок всегда найдется (если таких отрезков два, то 
за 
1
Δ  берем любой из них). С отрезком 
1
Δ  поступаем аналогично, как и 
с Δ , т.е. делим его на три равных смежных отрезка и обозначаем через 

2
Δ  тот из них, который не содержит образ 2 при данном отображении 
f , т.е. 
( )
2
2
f
∉ Δ . Процесс продолжаем неограниченно. В результате 
получим последовательность стягивающихся отрезков (
)
n
Δ
, причем 

( )
n
f n
n
∉ Δ
∀
∈ ,
. В силу теоремы Кантора существует единственная 
точка 
0
x , принадлежащая и отрезку , и всем отрезкам этой последовательности, т.е. 
(
)
0
0
0
n
x
n
∈ Δ
∀
∈
Δ
= Δ
,
. В частности, имеем 
0
1
x ∈ Δ

, а по построению отрезков последовательности (
)
n
Δ
, ( )
1
1
f
∉ Δ . Поэтому 
( )
0
1
x
f
≠
. Аналогично, 
0
2
x ∈ Δ  и 
( )
2
2
f
∉ Δ , следовательно, 

( )
0
2
x
f
≠
. И т.д., получим: 
( )
0
x
f n
≠
, 
n
∀
∈ , т.е. нашлась точка отрезка , не являющаяся образом ни одного натурального числа при данном отображении. Поэтому отображение f  не является сюръективным. 
Таким образом, не существует биекции на Δ .
Итак, 
≤ Δ
и 
≠ Δ
, следовательно, 
< Δ
. 
Определение 5. Булеаном множества E  называется совокупность всех 
подмножеств этого множества, включая пустое множество ∅  и само 
множество Е. Обозначать булеан множества E  будем так: 
( )
E
B
.

Замечание. Из элементарной математики известно, что если множество E  конечно и имеет 
(
)
0
m
m ∈ элементов, то булеан этого 
множества 
( )
E
B
 тоже конечен и содержит 2m  элементов. Таким 
образом, для конечного множества E  имеет место неравенство 

( )
E
E
< B
.
Покажем, что неравенство 
( )
E
E
< B
 имеет место и для бесконечного множества Е.
Теорема 2 (теорема Кантора). Мощность любого множества E  
меньше мощности своего булеана, т.е. 
( )
E
E
< B
.
 Случай конечного множества очевиден, т.к. 
0
2m
m
m
<
∀
∈ ,
 
(для пустого множества ( )
∅  m = 0, а его булеан 
( )
{ }
∅ = ∅
B
 одноэлементен).
Пусть E   — бесконечное множество (впрочем, все нижеприведенные рассуждения правомочны и для конечного множества). Покажем сначала, что 
( )
E
E
≤ B
, т.е. существует инъективное отображение E  в 
( )
E
B
. Действительно, отображение 
( )
f
E
E
→ B
:
 такое, что 
{ }
x
x
x
E
∀
∈
,
, есть, очевидно, искомое инъективное 
отображение.
Покажем теперь, что любое отображение 
( )
f
E
E
→ B
:
 не является биективным, более того, не является сюръективным. Пусть 

( )
f
E
E
→ B
:
  — произвольное отображение. Для любого элемента 

x
E
∈
 возможны следующие альтернативы:

( )
x
f x
∈
, т.е. x  содержится в своем образе (назовем такой элемент, например, «внутренним»);

( )
x
f x
∉
, т.е. x  не содержится в своем образе (такой элемент назовем, например, «внешним»).
Ясно, что всякий элемент множества E  либо «внутренний», либо 
«внешний». Рассмотрим совокупность M  всех «внешних» элементов 
множества Е для заданного отображения f, т.е. 
( )
{
}
M
x
E
x
f x
=
∈
∉
:
. 
Ясно, что M   — непустое подмножество E  (ему заведомо принадлежит прообраз пустого множества), т.е. М — элемент булеана 
( )
E
B
, 
отличный от ∅ . Покажем, что любой элемент множества E  не может быть прообразом множества M  при рассматриваемом отображении f . От противного: пусть существует 
0
x
E
∈
 такой, что 

(
)
0
f x
M
=
. Если 
0
x
M
∈
 (т.е. 
0
x   — «внешний» элемент множества 

E ), то 
(
)
0
0
x
f x
M
∉
=
. Получили два взаимоисключающих утверждения: 
0
x
M
∈
 и 
0
x
M
∉
. Аналогично, если 
0
x
M
∉
 (т.е. 
0
x  — 
«внутренний» элемент множества E ), то 
(
)
0
0
x
f x
M
∈
=
. Опять 
получили те же два взаимоисключающих утверждения: 
0
x
M
∉
 и 

0
x
M
∈
. Итак, оба возможных варианта приводят к противоречию. 
Следовательно, не существует элемента 
0
x
E
∈
 такого, что 

(
)
0
f x
M
=
 и потому отображение 
( )
f
E
E
→ B
:
 не является 
сюръективным и тем более биективным. Таким образом, 
( )
E
E
≠ B
 
и, следовательно, 
( )
E
E
< B
. 
Теорема 3. В классе бесконечных множеств существует бесконечная 
совокупность попарно неравномощных множеств.
 Сразу отметим, что в классе конечных множеств теорема очевидна, т.к. множество 
{ }
0
0
=
∪
 (его элементы  — «мощности» 
конечных множеств) бесконечно. Хотя, впрочем, все дальнейшие 
рассуждения вполне применимы и для этого случая.
Итак, пусть E   — какое-либо бесконечное множество. По теореме 2, 
имеем 
( )
E
E
< B
 и, следовательно, на тех же основаниях 

( )
( )
(
)
E
E
<
B
B B
 (здесь 
( )
(
)
E
B B
  — «двукратный» булеан множества E , т.е. булеан булеана этого множества). Аналогично, 

( )
(
)
( )
(
)
(
)
E
E
<
B B
B B B
 (ясно, что здесь 
( )
(
)
(
)
E
B B B
  — «трехкратный» булеан множества E), и т.д.. Всю эту бесконечную совокупность 
«неравенств» можно для краткости записать в виде одного «бесконечного неравенства»: 
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
E
E
E
E
<
<
<
< B
B B
B B B
. Так как 
транзитивность отношения «<» еще не установлена (это будет сделано 
позже), то нужно доказать, что произвольный элемент этой цепочки 
меньше следующего (кроме случая непосредственно следования  — это 
установлено в теореме 2). Покажем, например, что 
( )
(
)
E
E
< B B
 
(аналогично можно доказать и другие «неравенства»). Сначала покажем, что 
( )
(
)
E
E
≤ B B
. Действительно, т.к. 
( )
E
E
≤ B
, то существует инъективное отображение 
( )
1 :
.
f
E
E
→ B
 Аналогично 

( )
( )
(
) ,
E
E
≤
B
B B
 т.к., то существует инъективное отображение 

( )
( )
(
)
2f
E
E
→
B
B B
:
. Рассмотрим композицию 
2
1
f
f
этих отображений. Как композиция инъективных отображений это будет 
инъективное отображение множества E  в 
( )
(
)
E
B B
. Следовательно, 

( )
(
)
E
E
≤ B B
. Покажем теперь, что 
( )
(
)
E
E
≠ B B
. Допустим противное: 
( )
(
)
E
E
= B B
, следовательно, существует биективное и потому сюръективное отображение 
( )
(
)
g
E
E
→ B B
:
. Рассмотрим отображение 
( )
( )
(
)
h
E
E
→
B
B B
:
, определенное следующим образом: на 
одноэлементных подмножествах множества E  оно совпадает со значениями отображения g  на соответствующих элементах множества Е, 
т.е. 
{ }
(
)
( )
h
x
g x
x
E
=
∀
∈
,
. Все другие элементы булеана 
( )
E
B
 отобра

жение h  пусть переводит в какой-либо фиксированный элемент «двукратного» булеана 
( )
(
)
E
B B
 (например, в ∅ ). В результате h  будет 
сюръективным отображением 
( )
E
B
 на 
( )
(
)
E
B B
, а это противоречит теореме 2 (никакое отображение множества 
( )
E
B
 в свой булеан 

( )
(
)
E
B B
 не может быть сюръективным). Итак, 
( )
(
)
E
E
≠ B B
 и, 
следовательно, 
( )
(
)
E
E
< B B
. 
Теорема 4. Мощность декартова произведения конечной непустой 
совокупности множеств не зависит от природы этих множеств, т.е. если 

(
)
1
k
k
A
B
k
n
=
= ,
, то 

1
1

n
n

k
k
k
k
A
B
=
=
=
⊗
⊗

2.

 Доказательство проведем для двух пар равномощных множеств, 
а далее по индукции. Итак, если A
B
=
 и C
D
=
, то надо доказать, 
что A
C
B
D
×
=
×
.
Так как A
B
=
, то существует биекция f  множества A  на множество В, f
A
B
→
:
. Аналогично, т.к. C
D
=
, то существует биекция g  
множества C  на множество D , g
C
D
→
:
. Рассмотрим отображение 

h  множества A
C
×
 во множество B
D
×
, заданное по формуле 

(
)
(
)
( )
( )
(
)
h a c
f a g c
=
,
,
, т.е. произвольной точке (
)
a c
A
C
∈
×
,
 ставится в 
соответствие точка (
)
b d
B
D
∈
×
,
 такая, что 
( )
b
f a
=
 и 
( )
d
g c
=
. Покажем, что построенное отображение h
A
C
B
D
×
→
×
:
 биективно.
Во-первых, оно инъективно. Действительно, если 
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
2
2
h a c
h a c
=
,
,
,  
т. е .  
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
1
1
2
2
f a
g c
f a
g c
=
,
,
,  
т о 

( )
(
)
1
2
f a
f a
=
 и ( )
( )
1
2
g c
g c
=
. А т.к. отображения f  и g  биективны 
(и потому инъективны), то отсюда следует 
1
2
a
a
=
 и 1
2
c
c
=
, следовательно, (
)
(
)
1
1
2
2
a c
a c
=
,
,
. Таким образом, равным образам 

(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
2
2
h a c
h a c
=
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
2
2
h a c
h a c
B
D
∈
×
,
,
,
 при отображении 

h  соответствуют только равные прообразы (
)
(
)
1
1
2
2
a c
a c
=
,
,

(
) (
)
(
)
1
1
2
2
a c
a c
A
C
∈
×
,
,
,
, поэтому отображение h  инъективно.
Во-вторых, отображение h  сюръективно. В самом деле, любая 
точка (
)
b d
B
D
∈
×
,
 имеет прообраз при отображении 

h : (
)
a c
A
C
∈
×
,
, где 
( )
1
a
f
b
−
=
 и 
( )
1
c
g
d
−
=
 (здесь, как обычно, 
1
f −  
и 
1
g−   — обратные биекции соответственно к f  и g). Действительно, 
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
h a c
h
f
b g
d
f
f
b
g g
d
b d
−
−
−
−
=
=
=
,
,
,
,
.

2 
Знаком 
1

n

k =⊗  будем обозначать декартово произведение  
{ }
(
)
1
n n ∈ \
 множеств, последовательно пронумерованных начиная с 1, т.е., например, 

1
2
1

n

k
n
k
A
A
A
A
=
=
×
×
×
⊗
.