Статистические методы обработки экспериментальных данных с использованием пакета MathCad

СТАТИСТИЧЕСКИЕ 
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ 
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
ДАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ 
ПАКЕТА MathCad

Москва
КУРС
ИНФРА-М
2019

Ф.И. Карманов, В.А. Острейковский

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 

Рекомендовано УМО вузов по университетскому 
политехническому образованию в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению 09.03.01 (230100) «Информатика и вычислительная 
техника», направлениям и специальностям группы 
«Техника и технологии»

УДК 004.41(075.8)
ББК 22.18я73
          К 24

УДК 004.41(075.8)
ББК 22.18я73

Карманов Ф.И., Острейковский В.А. 
Статистические методы обработки экспериментальных данных 
с использованием пакета MathCad: Учеб. пособие/Ф.И. Карманов, 
В.А. Острейковский. — М.: КУРС: ИНФРА-М, 2019. — 208 с.

ISBN   978-5-905554-96-4 (КУРС)
ISBN   978-5-16-010989-3 (ИНФРА-М, print)
ISBN   978-5-16-103020-2 (ИНФРА-М, online) 
     

Основное внимание в пособии уделено постановке задач, формулировке 
методов их решения, алгоритмам и программам моделирования обработки 
экспериментальных данных с применением широких возможностей пакета 
MathCad. Наряду с материалом, используемым в рамках традиционных разделов теории вероятностей и математической статистики, в лабораторный 
компьютерный практикум включена тематика задач по планированию эксперимента и обработке данных. Результаты расчетов, иллюстрирующие теоретические разделы, получены с помощью приведенных в учебном пособии 
программ. Они могут быть использованы для интерактивного и вариантного анализа задач.
Для студентов технических и экономических направлений и специальностей вузов.

  К 24

ISBN  978-5-905554-96-4  (КУРС)
ISBN  978-5-16-010989-3  (ИНФРА-М, print)
ISBN  978-5-16-103020-2  (ИНФРА-М, online)
© КУРС, 2016

ФЗ
№ 436-ф3
Издание не подлежит маркировке
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ВВЕДЕНИЕ

Разумеется, компьютер — не панацея и он сам не решает задачу. Ее нужно правильно сформулировать, проанализировать возможность решения, выяснить вопрос о существовании и единственности решения. Очень важно знать, обладает ли получаемое решение свойством устойчивости при малых изменениях исходных
данных.
Если решение какойто математической задачи в «домашинное
время» предполагало выполнение всех расчетов исследователем «в
ручном» режиме, то с появлением достаточно мощных компьютеров и языков программирования высокого уровня большая часть
рутинной вычислительной работы стала «перекладываться на плечи
машин». Это привело к резкому расширению круга решаемых задач, их сложности и небывалому до этого прогрессу во всех без исключения областях науки и техники.
Однако при этом алгоритмическая часть вычислительной работы оказывается «скрытой в пучине программирования». Очень часто эти программы представляют собой написанные профессионалами высокоэффективные, изощренно, с использованием всех
имеющихся в их распоряжении возможностей, и красиво реализованные решения. Это своего рода произведения искусства, и поэтому в них тоже бывает сложно разобраться начинающему инженеру или исследователю. Для него они представляют собой своеобразные «черные ящики», на вход которых подаются данные и на
выходе получаются нужные, иногда не очень, результаты. Такая
ситуация, например, имеет место при использовании специализированных статистических комплексов типа Statistica, Statgraphics,
PeakFit и др.
Авторы далеки от утверждения о том, что такие высокопрофессиональные программы больше не следует создавать. Для специалистов, занимающихся обработкой данных и хорошо знакомых с
основами теории, такие программы — рабочий инструмент первостепенной важности.
Основываясь на опыте своей работы, считаем, что для целей образования имеет смысл использовать разработанные в последние

3

годы и все более внедряющиеся в практику работы инженера математические пакеты, такие как MathCad, Mathematica, Maple, Matlab.
Например, в пакете MathCad реализуется промежуточный вариант работы, когда в качестве базисных элементов математического
«конструктора»
выступают
основные
математические
объекты:
функции, их производные и интегралы, суммы и др. Процедуры
реализации этих объектов тоже могут выступать в роли «черных
ящиков», но это уже гораздо более мелкие «прорехи» образования,
которые при необходимости легче ликвидировать, по крайней
мере, на уровне алгоритма, составляющего основу метода расчета.
При этом появляется возможность представить алгоритм, являющийся предметом изучения, в гораздо более наглядной форме,
с детализацией «по шагам» и выводом промежуточных результатов.
Если для данного алгоритма есть встроенная функция, то можно
провести его всестороннее сравнение с этой встроенной функцией.
Следует отметить, что MathCad по принципу его работы относится к числу систем, называемых интерпретаторами. Такие системы выполняют интерпретацию каждой введенной команды сразу
после ее получения. Это особенно удобно при отладке рабочего
листа с процедурой расчета и выводе промежуточных результатов,
но не является самым эффективным вариантом конечной реализации рассматриваемого алгоритма. Как показывают оценки, один и
тот же алгоритм, построенный средствами MathCad, и даже с использованием встроенных функций, бывает на порядок медленнее,
чем его аналог, написанный на языках высокого уровня, например
на С или Fortran.
При проведении сравнительно несложных инженерных расчетов (сложные просто не удастся выполнить в MathCad) и в процессе обучения наглядность и простота процедуры может быть предпочтительнее эффективности реализации этого же алгоритма на
языке высокого уровня. Время и усилия, затраченные на получение
результата, будут значительно ниже, чем в варианте с программированием, да и «степень черноты ящиков» будет меньше, чем при
использовании специализированных пакетов.
Простота обращения в рамках пакета MathCad с интегралами и
производными, суммами и пределами не должна «расхолаживать»
читателя. Это вовсе не означает, что теперь нет необходимости
знать, как эти математические объекты определяются и вычисляются. Такая простота «всего лишь» позволяет читателю сконцентрироваться на «стратегических проблемах» решения задачи, доверяя, но проверяя предлагаемое MathCad’ом решение ранее сформулированных промежуточных вопросов и задач.

4

Определение, постановка и корректная формулировка промежуточных задач, планирование расчетов, оценка правильности их
решения MathCad’ом всецело являются задачами инженера или исследователя. Часто такую оценку приходится проводить на уровне
качественного анализа свойств решения и особенностей исследуемой задачи, сопоставления получаемого решения с известными решениями в частных случаях или оценки его асимптотического поведения. Ясно, что такая работа требует достаточно широких кругозора и интуиции и, в свою очередь, способствует их развитию в
процессе решения задач математического моделирования.
Предлагаемый читателю лабораторный практикум охватывает
некоторые разделы курса теории вероятностей и математической
статистики для технических направлений и специальностей с акцентом на статистические процедуры и компьютерные методы обработки
экспериментальных
данных
в
математическом
пакете
MathCad. К настоящему времени выпущено несколько хороших
книг, рассматривающих аналогичные вопросы с использованием
пакета MathCad. Однако часть из них, например [16], ориентирована на студентов экономического профиля, а другие, например [10],
в силу рассматриваемых примеров и задач, скорее могут служить
прекрасной иллюстрацией теории, чем пособием по реализации
алгоритмов прикладной математической статистики и задач обработки данных.
Данное учебное пособие ориентировано на студентов и аспирантов технических вузов, изучающих теорию вероятностей и математическую статистику и сталкивающихся на практике с необходимостью проведения статистических расчетов и обработкой экспериментальных данных.
Цель данного учебного пособия:
— продемонстрировать возможности, в том числе и символьные,
математического пакета MathCad при решении простых, стандартных задач по теории вероятностей и математической статистике;
— показать подробно детали выполнения алгоритмов при проведении вычислений в типовых задачах, но достаточно трудоемких
и сложных для впервые встречающихся с ними студентов;
— привести примеры программной реализации алгоритмов в
пакете MathCad в сочетании с всесторонним использованием
встроенных функций;
— проиллюстрировать примеры проведения расчетов при использовании методов оптимального планирования экспериментов.
Пособие состоит из введения, четырех глав и заключения.

5

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней содержится краткий обзор возможностей математического пакета MathCad.
Все приведенные в книге результаты расчетов и их иллюстрации
получены в версии MathCad11а, но могут быть воспроизведены и в
более поздних версиях MathCad13 и MathCad14 с незначительными
модификациями рабочих листов.
Вторая глава посвящена иллюстрации проведения простейших
расчетов в теории вероятностей с помощью пакета MathCad, таких
как вычисления математического ожидания и дисперсии случайных величин, нахождение производящей функции моментов и характеристической функции. Подробно рассмотрен пример, иллюстрирующий двумерное нормальное распределение и его параметры. Обсуждены характеристики распределений χквадрат, Стьюдента и Фишера, важные для математической статистики. Значительное внимание уделено процедурам преобразования случайных
величин и расчету законов их распределения.
В третьей главе приведены примеры решения типовых задач
математической статистики: оценка выборочных характеристик генеральной совокупности и интервальные оценки параметров нормального распределения, проверка параметрических гипотез. Во
второй части данной главы представлены решения некоторых типовых задач регрессии и аппроксимации и сглаживание экспериментальных данных.
Четвертая глава содержит примеры выполнения факторного
дисперсионного анализа, проверки гипотез о законе распределения
случайной величины и решения задачи о множественной корреляции средствами MathCad. Вопросы оптимального планирования
эксперимента рассмотрены на примерах построения планов полного факторного эксперимента, центрального композиционного ортогонального плана и некомпозиционного плана Бокса—Бенкина.
Заключение содержит тенденции развития информационных
технологий и применения вычислительной техники. Рассмотрено
применение пакетов прикладных программ для решения сложных
инженерных задач.
Данная книга не является ни учебником по теории вероятностей и математической статистике, ни справочным руководством
по применению пакета MathCad. Она может служить лишь пособием при решении обсуждаемых в книге задач, поэтому студентам
для всесторонней подготовки к занятиям необходимо изучить соответствующий материал по рекомендуемым на лекциях учебникам
по теории вероятностей,
математической статистике и оптимальному планированию эксперимента.

6

В основу лабораторного практикума положен опыт проведения
в течение ряда лет практических и лабораторных занятий по курсу
«Планирование эксперимента и обработка данных» в Обнинском
государственном техническом университете атомной энергетики.
Авторы выражают искреннюю признательность рецензентам:
профессорам Л.И. Григорьеву и Ю.Г. Древсу, а также профессору
А.Ф. Гурбичу за подготовку материалов и текста, содержащихся в
заданиях 3.9 и 3.10, и С.П. Саакяну за помощь в подготовке рукописи к изданию.

Г Л А В А 1

Основы работы с пакетом MathCad

Важное преимущество пакета MathCad перед другими интегрированными пакетами в том, что он позволяет в наглядной форме,
как на листе бумаги, представлять основные математические объекты в привычной математической нотации. Для сравнительно несложных инженерных расчетов он является наилучшим инструментом, сочетающим наглядность и простоту проведения расчета и
представления результатов. Документ MathCad, или рабочий лист,
выглядит как страница учебника или статьи, поскольку на нем могут быть органично совмещены текст, формулы и графика.
Эта особенность пакета MathCad широко используется в данной книге, поскольку текст перемежается формулами, результатами расчетов и иллюстрирующей их графикой. Приведенные в тексте фрагменты рабочих листов являются «живыми» в том смысле,
что если внести в них изменения в среде MathCad, то данная программа их заново пересчитает и перерисует графики. В связи с
этим в приводимых фрагментах рабочих листов будем следовать
принятым в MathCad соглашениям о форматировании и пунктуации в математических выражениях, отделяющихся друг от друга
достаточными пробелами, но не разделяющихся знаками препинания, например запятыми, поскольку не несут дополнительной информации и лишь загромождают рабочее пространство на листе, а
в некоторых случаях могут быть причиной недоразумений или неверных результатов расчета.

1.1. Интерфейс пакета

Пакет MathCad имеет интерфейс, очень похожий на интерфейс
текстового редактора Microsoft Word (рис. 1.1). С помощью меню
File можно создать новый (New) рабочий листок, открыть (Open)
уже существующий, сохранить (Save или Save as…) данный рабо8

чий лист под этим же именем или переименовать этот файл. Здесь
же помещены вызовы программ предварительного просмотра (Print
preview) документа и его печати (Print).
Пункты меню Edit, Format и Tools позволяют копировать в буфер и вставлять из буфера обмена текстовые или графические объекты, форматировать текст, проводить проверку правописания. Пакет MathCad обеспечивает возможность возвращения к предыдущим версиям данного документа посредством опций (Undo, Redo)
на глубину порядка ста шагов.
С помощью меню View можно настроить удобную форму панелей, вынести наиболее часто используемые в данном рабочем листе
панели инструментов на передний план.
Для ввода текста можно использовать меню Insert → Text region.
Коллекция шрифтов позволяет создавать тексты хорошего качества
с использованием форматирования, стилей и выравнивания. Единственным, но существенным недостатком форматирования является
отсутствие возможности выравнивания текста по ширине.
Меню Tools → Worksheet options позволяет выбрать значения для
встроенных переменных. Среди них — параметр ORIGIN, определяющий начало индексации в массивах (по умолчанию равный нулю).

9

Р и с. 1.1. Общий вид интерфейса пакета MathCad 11

Здесь же указывается начальное значение Seed value для псевдослучайных последовательностей датчиков случайных чисел. Параметры TOL
и CTOL (по умолчанию равные 0,001) определяют точность нахождения корней нелинейных уравнений, вычисления интегралов и решения систем нелинейных уравнений с учетом дополнительных ограничений и т.п. Здесь же можно выбрать систему единиц измерения величин, представленных на рабочем листе. Как правило, будем работать с
безразмерными величинами или их размерность указывать особо, но в
этом пункте меню Unit system выбирать опцию none.
С помощью меню Insert → Graph можно выбрать нужный тип
графика и с помощью опции Plot_Wizard настроить параметры
3Dграфика. Вставку векторов и матриц можно выполнить с помощью пункта Insert → Matrix.
Огромный выбор встроенных математических функций доступен через пункт меню Insert → Function. В открывающемся окне
представлены либо все имеющиеся функции, расположенные в алфавитном порядке, либо функции, рассортированные по категориям. Это позволяет быстрее найти нужную функцию. Вставка функции из окна имеет важное преимущество: она дает краткое описание входных и выходных параметров и гарантирует синтаксически
верное написание функции.
Пункт меню Symbolics позволяет выполнять простейшие операции символьной математики: дифференцирование и интегрирование, разложение в ряд Тейлора, преобразования Фурье и Лапласа и
др. Символьные операции можно выполнять (иногда даже быстрее
и эффективнее) еще и с помощью панели инструментов Toolbars →
→ Math → Symbolic.

1.2. Простейшие операции

MathCad оперирует с привычными числовыми и строковыми
данными, включающими массивы, векторы и матрицы. Операции
с данными включают обычные арифметические операции сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня и др.
Важными объектами входного языка являются переменные, содержащие численную, строковую или символьную информацию.
Значения переменным присваиваются с помощью оператора присваивания, обозначаемого символом «:=», который можно найти
на панели Calculator или ввести с клавиатуры (символ «:» на верхнем регистре английской раскладки). В то же время запрос на вычисление представляется обычным знаком равенства, следующим
за переменной или арифметическим выражением. Например, в

10