Справочник по финансовой математике

СПРАВОЧНИК
ПО ФИНАНСОВОЙ
МАТЕМАТИКЕ

Москва
ИНФРА-М
2019

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

П.Н. БРУСОВ
Т.В. ФИЛАТОВА
Н.П. ОРЕХОВА

Рекомендовано 
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
подготовки 38.00.00 «Экономика и управление»

УДК 336(075.8)
ББК 65.261я73
 
Б89

Брусов П.Н.
Справочник по финансовой математике : учеб. пособие / 
П.Н. Брусов, Т.В. Филатова, Н.П. Орехова. — М. : ИНФРА-М, 
2019. — 239 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-009577-6 (print)
ISBN 978-5-16-100824-9 (online)

Первый в России справочник с детальным изложением основных тем финансовой математики. Он включает в себя сведения по финансовой математике, знание которых необходимо не только каждому финансисту, но и каждому 
грамотному экономисту широкого профиля. Состоит из семи глав: Теория 
процентов, Финансовые потоки и ренты, Доходность и риск финансовой операции, Портфельный анализ, Облигации, Схемы погашения долгосрочных 
кредитов, Лизинг. В каждой главе приведены детально разобранные практические примеры, позволяющие лучше усвоить приведенные формулы, понятия, 
определения.
Предназначен для бакалавров всех финансовых и экономических профилей, включая финансы и кредит, финансовый менеджмент, бухгалтерский 
учет и аудит, налоги, страхование, международные экономические отношения 
и др., магистров направлений: экономика, финансы и кредит, менеджмент. Он 
будет также полезен специалистам всех финансовых и экономических специальностей, финансовым директорам предприятий, финансовым аналитикам, 
а также всем желающим освоить количественные методы в финансах и экономике.

УДК 336(075.8)
ББК 65.261я73

Б89

© Брусов П.Н., Филатова Т.В., 
Орехова Н.П., 2014
ISBN 978-5-16-009577-6 (print)
ISBN 978-5-16-100824-9 (online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Глава I

Теория проценТов

введение

Проценты — плата, которую заемщик платит кредитору, чтобы 

компенсировать потери от неиспользования последним капитала 
за время займа. Кредитор предоставляет заемщику некоторую сумму 
денег; по истечении установленного срока заемщик должен вернуть 
наращенную сумму, равную сумме долга плюс проценты.

Эффективная ставка процента — это сумма, выплачиваемая за
емщику (инвестору) в конце периода начисления за каждую единичную сумму, занятую (инвестируемую) в начале периода. Обозначая наращенное значение единичной суммы в момент времени t
через at, ставку процента — через i, а наращенное значение полной 
суммы через St, имеем соответственно для первого и n-го периодов 
начисления

i
i
a
a

a

S
S

S
1

1
0

0

1
0

0

1

1
=
+
=
=
;
(1.1)

i
a
a

a

S
S

S
n

n
n

n

n
n

n

=
=




1

1

1

1

.
(1.2)

Из последней формулы видно, что эффективная процентная 

ставка может меняться и меняется в зависимости от номера периода 
начисления, однако, как будет показано ниже, в очень важном и широко применяемом случае сложных процентов эффективная процентная ставка остается постоянной для всех периодов начисления, 
т.е. для всех n ≥ 1.

1.1. просТые проценТы

Пусть S0 — первоначальная сумма долга; i — ставка процента, 

тогда в схеме простых процентов S0 к концу единичного промежутка 
начисления (обычно это год) возрастет на iS0, а наращенная сумма 
будет равна

S1 = S0 + iS0 = S0(1 + i).
(1.3)

К концу второго промежутка начисления первоначальная сумма 

долга S0 возрастет еще на iS0 и наращенная сумма станет

S2 = S1 + iS0 = S0(1 + 2i).
(1.4)

К концу n-го промежутка начисления наращенная сумма будет

Sn = S0(1 + ni).
(1.5)

Данная формула называется формулой простых процентов. Мно
житель (1 + ni) называют коэффициентом (множителем) наращения, 
а величину ni — ставкой процентов за время n.

Таким образом, последовательность наращенных сумм S1, S2, …, 

Sn, … является арифметической прогрессией с начальным членом S0
и разностью iS0.

Проценты за n лет можно представить в виде

In = S0in.
(1.6)

Отметим, что эффективная ставка процента в схеме простых про
центов 

i
a
a

a

S
S

S

in
i n

i n

i

i
n

n
n

n

n
n

n

=
=
=
+
+

+
=
+





1

1

1

1

1
1
1

1
1
1

(
)
(
(
))

(
)
(n - 1) (1.7)

убывает с ростом n.

Если на разных промежутках начисления процентов n1, n2, …, nm

устанавливаются разные ставки процентов i1, i2, …, im, то наращенная 
сумма за время n1 + n2 + … + nm будет равна

S
S
n i
n
k k

i

m

=
+








=∑
0

1

1
.
(1.8)

Момент возврата ссуды может не указываться точно, а быть пе
ременной величиной (например, в случае накопительного вклада 
до востребования). Тогда формула простых процентов приобретает 
следующий вид:

St = S0(1 + i(t - t0)),
(1.9)

где t0 — момент выдачи ссуды; t — момент возврата долга с процентами.

В соответствии с формулой (1.9) накопленная сумма является ли
нейной функцией времени. Графиком этой функции на плоскости 
время — деньги служит луч с начальной точкой (t0, S0) и угловым 
коэффициентом S0i. Очевидно, 

¢ =
S
S i
t
0 .
(1.10)

1.2. Cложные проценТы

При наращении по схеме сложных процентов происходит реин
вестирование, или капитализация полученных процентов, таким 
образом, при ставке i каждая следующая наращенная сумма воз

растает на долю i от предыдущей суммы, в которой учтены проценты, 
начисленные в предыдущие периоды.

В схеме сложных процентов величина S0 к концу единичного про
межутка начисления возрастет на iS0, а наращенная сумма будет 
равна

S1 = S0 + iS0 = S0(1 + i).
(1.11)

К концу второго промежутка начисления величина S1 возрастет 

на iS1 и наращенная сумма станет

S2 = S1 + iS1 = S1(1 + i) = S0(1 + i)2.
(1.12)

К концу n-го промежутка начисления наращенная сумма будет 

равна

Sn = S0(1 + i)n.
(1.13)

Данная формула называется формулой сложных процентов. Таким 

образом, последовательность наращенных сумм S0, S1, S2, …, Sn, … 
является геометрической прогрессией с начальным членом S0 и знаменателем прогрессии q = (1 + i).

Эффективная процентная ставка в схеме сложных процентов

за n-й период начисления

i
a
a

a

S
S

S

i
i

i

i
i

n

n
n

n

n
n

n

n
n

n

n

=
=
=
+
+

+

=
+






1

1

1

1

1

1

1
1

1

1
(
)
(
)

(
)

(
) 
+

=

1

1
1(
)i

i
n
(1.14)

не зависит от n и равна номинальной.

Наращенная сумма Sn пропорциональна начальной сумме S0. Ко
эффициент пропорциональности (1 + i)n называют множителем наращения.

Заметим, что в качестве «нулевого» может быть взят любой мо
мент времени tk. При этом формула (1.13) приобретает следующий 
вид:

Sn = Sk(1 + iT)n-k.
(1.15)

Полагая t = nT, формулу (1.15) можно переписать следующим 

образом:

S(t) = S0(1 + iT)t/T.
(1.16)

Формулу (1.16) можно использовать для вычисления накоп
ленной суммы в произвольный момент времени t (не обязательно 
кратный периоду начисления T). В этом случае говорят, что используется непрерывная модель накопительного счета в схеме сложных 
процентов. В дальнейшем, если не оговорено противное, будет применяться именно эта модель.

Аналогом формулы (1.15) в непрерывной модели служит сле
дующая формула:

S(t) = S(t)(1 + iT)(t-t)/T.
(1.17)

При начислении процентов раз в год (или, в более общем случае, 

если период начисления процентов совпадает с основной временной 
единицей), формулы (1.16) и (1.17) упрощаются:

S(t) = S0(1 + i)t;
(1.18)

S(t) = S(t)(1 + i)t-t,
(1.19)

где i — годовая ставка процентов.

Проценты за n лет можно представить в виде

I
S
i
n

n
=
+


0
1
1
(
)
.
(1.20)

1.3. КраТное начисление проценТов

Если начисление процентов происходит несколько раз в году (m) 

(ежеквартально, ежемесячно и т.п.), то по истечении t лет наращенная сумма станет равной:

а) в случае простых процентов

S t m
S
i
m mt
S
it
( ,
)
(
),
=
+



 =
+
0
0
1
1

т.е. наращенная сумма не зависит от кратности начисления. Этот вывод 
будет использован нами при рассмотрении непрерывного начисления процентов в случае простых процентов;

б) в случае сложных процентов

S t m
S
i
m

mi

( ,
)
.
=
+




0 1
(1.21)

Ниже мы покажем, что эффективная процентная ставка в схеме 

сложных процентов растет с увеличением кратности начисления 
и достигает максимума при непрерывном начислении процентов. 
При этом эффективная процентная ставка практически выходит 
на насыщение при m ≥ 6–10, т.е. выше этой кратности начисления 
рост эффективной процентной ставки резко замедляется.

1.4. непрерывное начисление проценТов

Если частота начисления сложных процентов m неограниченно 

возрастает, то имеет место непрерывное начисление процентов. В этом 
случае по истечении t лет наращенная сумма будет равна:

а) в случае простых процентов

S t
S t m
S
i
m mt
S
it

m
m
( ,
)
lim
( ,
)
lim
(
),
∞ =
=
+



 =
+

→∞
→∞
0
0
1
1

т.е. наращенная сумма остается той же, что и при однократном начислении процентов. Этот вывод был сделан нами и в случае кратного начисления процентов, и связаны оба вывода с тем, что при 
любой кратности начисления процентов начисление производится 
на исходную сумму пропорционально времени вклада;

б) в случае сложных процентов

S t
S t m
S
i
m

S
i
m

m
m

mt

m

( ,
)
lim
( ,
)
lim

lim

∞ =
=
+




=

=
+




→∞
→∞

→∞

0

0

1

1

=

mit
i
it
S e
0
.
(1.22)

Процентную ставку i в (1.22) называют также силой роста и обо
значают обычно буквой d. С учетом этого (1.22) можно записать так:

S(t) = S0edt.
(1.23)

Силу роста d характеризует относительный прирост наращенной 

суммы за бесконечно малый промежуток времени:

S¢(t) = S0edtd = S(t)d
(1.24)

или

dS t
S t
dt
( )
( )
.
=
⋅
d
(1.25)

Если сила роста зависит от времени, то S(t) может быть получено 

как решение дифференциального уравнения (1.25). Интегрируя обе 
части (1.25), получаем:

ln ( )
ln
.
S t
S
dt

t

=
⋅
∫
0

0
d
(1.26)

Значит,

S t
S e

dt

t

( )
.
=

∫ ⋅

0

0
d

(1.27)

Пример 1.1. В банк положен депозит в размере 1000 руб. под 10% го
довых по схеме сложных процентов. Найти величину депозита через три 
года при начислении процентов 1, 4, 6, 12 раз в году и в случае непрерывного начисления процентов.

По формуле (1.21) имеем

S3/1 = 1000 ⋅ (1 + 0,1)3 = 1331 руб.;

S3 4

3 4

1000
1
0 1
4
1344 9
=
⋅
+




=

⋅
,
,
.;
руб

S3 6

3 6

1000
1
0 1
6
1346 5
=
⋅
+




=

⋅
,
,
.;
руб

S3 12

312

1000
1
0 1
12
1348 2
=
⋅
+




=

⋅
,
,
.
руб

В случае непрерывного начисления процентов необходимо использо
вать формулу (1.22)

S
e
3

0 1 3
1000
1349 6
∞

⋅
=
=
,
,
.
руб

Проценты за три года составили:

• при однократном начислении процентов 331 руб.;
• при четырехкратном начислении процентов 344,9 руб.;
• при шестикратном начислении процентов 346,5 руб.;
• при двенадцатикратном начислении процентов 348,2 руб.;
• при непрерывном начислении процентов 349,6 руб.

Приходим к выводу, что наращенная сумма, как и величина про
центных денег, в схеме сложных процентов растет с увеличением кратности начисления и достигает максимума при непрерывном начислении 
процентов. При этом скорость роста обеих величин убывает с увеличением кратности начисления. Доказательство этих фактов дано в § 1.13 
пособия1.

Пример 1.2. Вклад в размере 3000 положен в банк на депозит 10 марта 

под 15% годовых по схеме сложных процентов. Какую сумму вкладчик 
получит 22 октября?

Используем формулу (1.13) для наращения по схеме сложных про
центов 

Sn = S0(1 + i)n.

Продолжительность финансовой операции

n
t
T
=
=
+
⋅
+
=
20
30 6
22

365
0 608
,
.

Считая, что в месяце 30 дней, в году 365, имеем

Sn = S0(1 + i)n = 3000 ⋅ (1 + 0,15)0,608 = 3266,07.

Итак, вкладчик получит 22 октября 3266,07.

1
Финансовая математика: Пособие для бакалавров / П.Н. Брусов, 
П.П. Брусов, Н.П. Орехова, С.В. Скоробулина. 2-е изд. М.: Кнорус, 2013.

1. 5. ЭКвиваленТносТь проценТных сТавоК

в схеме сложных проценТов

Рассмотрим процентные ставки, с использованием которых 

может быть описана модель процентного роста накопленной суммы 
в схеме сложных процентов.

Если указана ставка начисления i за период начисления T, то

St = S0(1 + i)t/T.
(1.28)

Если указана годовая ставка j и кратность начисления (в течение 

года) p, то

S
S
j
p
t

pt

=
+





0 1
.
(1.29)

В этом случае говорят, что j — номинальная ставка.
При непрерывном начислении процентов

St = S0edt,
(1.30)

и сила роста d называется также непрерывной номинальной ставкой.

Наконец, если указана так называемая эффективная ставка iэф, 

накопленная сумма определяется по формуле

St = S0(1 + iэф)t.
(1.31)

Формулы (1.28)–(1.31) имеют вид

St = S0at,
(1.32)

где a — соответствующий (нормированный) коэффициент роста. 
В каждом случае a получается как годовой коэффициент наращения.

Ставки называются эквивалентными, если они имеют одинаковые 

коэффициенты роста. Это означает, что при одинаковой начальной 
сумме накопленные к любому моменту времени t по эквивалентным 
ставкам суммы совпадают.

Коэффициент роста a и эффективная ставка iэф связаны простым 

соотношением

a = 1 + iэф.
(1.33)

С учетом этого можно сказать, что коэффициенты роста эквива
лентны, если совпадают эквивалентные им эффективные ставки.

Несложно указать соотношения, обеспечивающие эквивалент
ность ставок различных типов.

Если j — годовая ставка при кратности начисления p, то ей экви
валентна ставка iT = i1/p = j/p за период T = 1/p. Эквивалентная эффективная ставка определяется формулой

i
j
p

p

эф =
+





1
1
(1.34)

или

iэф = (1 + iT)1/T - 1.
(1.35)

Соответственно

j = p((1 + iэф)1/p - 1);
(1.36)

iT = (1 + iэф)T - 1.
(1.37)

При непрерывном начислении процентов получаем:

iэф = ed - 1;
(1.38)

d = ln(1 + iэф).
(1.39)

Ставки iT1 и iT2 с периодами начисления соответственно T1 и T2

эквивалентны, если

(
)
(
)
.
1
1
1

1

2

2
1
1
+
=
+
i
i
T

T

T

T
(1.40)

Если на разных промежутках начисления процентов n1, n2, …, nm

устанавливаются разные ставки процентов i1, i2, …, im, то наращенная 
сумма Sn за время n1 + n2 + … + nm будет равна

S
S
i
i
i
S
i
n

n
n

m

n

k

n

k

m

m
k
=
+
+
+
=
+

=∏
0
1
2
0

1

1
1
1
1
1
2
(
) (
) ...(
)
(
) .
(1.41)

1.6. сравнение наращения 

по просТой и сложной сТавКам проценТа

При одной и той же ставке процента наращение по схеме простых 

процентов является более выгодным для периода наращения менее 
года. Для периода наращения более года выгоднее наращение 
по схеме сложных процентов (рис. 1.1).

Для доказательства достаточно показать, что

f(t) = (1 + i)t < g(t) = 1 + ti, если 0 < t < 1;

f(t) = (1 + i)t > g(t) = 1 + ti, если t > 1.

Для второй производной функции f (t) имеем f ″(t) = ln2(1 + i) × 

× (1 + i)t > 0, следовательно, f(t) является выпуклой вниз функцией 
при t > 0, а g(t) = 1+ it — хордой к f(t), так как уравнение f(t) = g(t) или 
(1 + i)t = 1 + ti имеет два решения: t = 0 и t = 1. Следовательно, 
(1 + i)t < 1 + ti, если 0 < t < 1 и (1 + i)t > 1 + ti, если t > 1.