Ортогонализация функций и повышение помехоустойчивости высокоскоростных систем передачи информации

ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ
ФУНКЦИЙ И ПОВЫШЕНИЕ 
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ 
ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ
СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ
ИНФОРМАЦИИ

А.Н. Дегтярев

Москва
ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК
ИНФРА-М
2019

Севастопольский государственный университет

Дегтярев А.Н. 
Д26 
 
Ортогонализация функций и повышение помехоустойчивости 
высокоскоростных систем передачи информации : монография / 
А.Н. Дегтярев. – М. : Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2019. — 152 с. — 
(Научная книга).
ISBN 978-5-9558-0416-3 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-010644-1 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102653-3 (ИНФРА-М, online)
В монографии обоснован метод ортогонализации функций, основанный 
на определении веса ортогональности. Непротиворечивость предлагаемого метода существующим теоретическим положениям показана на примерах 
определения веса ортогональности полиномов Чебышева и Эрмита. Выявлены некоторые новые системы ортогональных и квазиортогональных функций. 
Для описания сигналов предложено использовать квазиортогональные ряды, 
полученные путем смещения на кратные интервалы времени импульсной характеристики физически реализуемой системы.
Рассмотрены критерии оценки ошибки аппроксимации сигналов такими 
рядами. С использованием свойств квазиортогональных базисов разработаны 
структурные схемы каналоформирующего оборудования, модуляторов и демодуляторов одно- и двумерных сигналов. Рассмотрены условия, позволяющие 
одновременно минимизировать межканальные и межсимвольные помехи, 
а также некоторые искусственные узкополосные помехи.

УДК 621.391.1(075.4)
ББК 32.811.3

УДК 621.391.1(075.4)
ББК 32.811.3
 
Д26

Подписано в печать 25.11.2014. 
Формат 60 × 90/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. 
Гарнитура Newton.  Усл. печ. л. 9,5. Уч.-изд. л. 9,88.
ПТ10.
ТК 333700-497266-251114
Издательский Дом «Вузовский учебник»
127247, Москва, ул. С. Ковалевской, д. 1, стр. 52
www.vuzbook.ru
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru                 http://www.infra-m.ru

© Вузовский учебник, 2015

ISBN 978-5-9558-0416-3 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-010644-1 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102653-3 (ИНФРА-М, online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Введение

Повышение помехоустойчивости и эффективности систем передачи 
информации (СПИ) является одной из важнейших проблем современной теории и техники связи. В настоящее время стала актуальной задача 
создания СПИ, в которых достигаются близкие к предельным скорость 
и верность передачи. В этом смысле наиболее перспективными являются спутниковые, радиорелейные СПИ и системы, использующие выделенные кабельные линии связи. Особенностью таких СПИ является то, 
что уровни межсимвольной интерференции (МСИ) и межканальных 
помех (МКП) превышает уровень шума в канале связи.
Современная теория утверждает, что одновременное снижение 
уровней МСИ и МКП до любого заранее заданного значения при обусловленных параметрах соседних каналов связи невозможно. Снижение 
уровня МСИ приводит к росту уровня МКП, и наоборот. Взаимосвязь 
между МСИ и МКП объясняется взаимной зависимостью между эффективной длительностью сигнала и эффективной шириной его спектра, 
т.е. свойствами прямого и обратного преобразований Фурье.
Кроме того существенное влияние на правильный прием сообщения 
могут оказывать искусственные узкополосные помехи в виде немодулированной несущей и повторной помехи.
Наиболее эффективно борьба с указанными узкополосными помехами осуществляется посредством метода псевдослучайной перестройки 
частоты несущего колебания, который не может быть реализован в рассматриваемых системах связи. 
Таким образом, решение задачи повышения помехоустойчивости и 
эффективности СПИ связано с разработкой новых методов описания 
сигналов. 
Целью работы является создание методологии моделирования сигналов и синтеза физически реализуемого каналоформирующего оборудования (КО) и детекторов символов сообщений (ДСС), которые позволяют снизить влияние межканальных помех и межсимвольной интерференции в системах связи с частотным разделением абонентов.
Основные задачи исследования заключаются в разработке методов
теоретических исследований основных характеристик физически реализуемых каналоформирующих устройств, лежащих в основе развития 
теории 
представления 
сигналов 
современных 
высокоскоростных 
средств связи и передачи информации, которые включают в себя:

общую методологию создания адекватной модели физически реализуемых сигналов;

проверку непротиворечивости разрабатываемых методов современным научным положениям;

методику синтеза устройств каналоформирующего оборудования и 
детекторов символов сообщения;

внедрение результатов исследований в практическую деятельность.

Объектом исследования является процесс передачи информации по 
физически реализуемым каналам связи.
Предметом исследования являются причины возникновения и способы устранения межсимвольной интерференции и межканальных помех.
Теоретические исследования проводились на основе теории связи, 
методов теории специальных функций, теории интегральных преобразований, теории случайных процессов и вариационного исчисления.
Основные научные результаты, полученные в ходе исследований, 
заключаются в следующем:

впервые реализован метод ортогонализации линейно независимых 
функций путем определения веса их ортогональности;

сформулированы теоремы об ортогональности с весом функций вида 
)
(
sinc
)
(
n
t
t
k
n




, где n и k – целые числа;

обосновано утверждение о том, что на бесконечном интервале функции Бесселя 
)
(
J
x

целого порядка ортогональны с весом, который 

можно представить в виде ряда 






1

2
/
)
(
n

n
n x
a
x
h
, а  на неотрица
тельном интервале функции Бесселя полуцелого порядка ортогональны с весом









0

2
/
1
/
)
(
n

n
n x
a
x
h
;


доказано утверждение об ортогональности с весом полиномов Эрмита на симметричном, в том числе и ограниченном интервале;

сформулирована и доказана теорема о зависимости ортогональных 
полиномов от моментов их веса ортогональности;  

проведена оценка скорости сходимости ряда, составленного из эквидистантных функций, модуль спектральной плотности которых зависит от вида энергетического спектра исследуемого процесса.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

разработан метод ортогонализации линейно независимых функций, в 
котором, в отличие от метода ортогонализации Грамма-Шмидта, определяется вес ортогональности, а базисные функции не изменяются;

получена зависимость между весом ортогональности и ортогонализуемыми функциями; 

впервые 
доказано, 
что 
функции 
вида 
)
(
sinc
)
(
n
t
t
k
n




                   
(k и n — целые числа) на бесконечном интервале изменения аргумента ортогональны с весом, который имеет вид полинома по четным степеням функции 
t

sin
;


впервые получено условие ортогональности функций Бесселя, отличающееся от известного условия интервалом и весом ортогональности;

получено условие ортогональности полиномов Эрмита, отличающееся от известного условия интервалом ортогональности;

доказано, что ортогональные полиномы определяются моментами их 
веса ортогональности;

впервые доказано, что базисными функциями, обеспечивающими 
быструю сходимость ортогонального ряда, являются функции, модуль спектральной плотности которых совпадает с модулем спектральной плотности исследуемого процесса, и доказана теорема о 
скорости сходимости данного ряда;

впервые доказано, что из системы функций, полученных смещением 
импульсной характеристики физически реализуемого линейного 
устройства, можно составить квазиортогональный базис, вес которого представляет собой конечную сумму тригонометрического ряда 
Фурье.
Практическое значение полученных результатов состоит в следующем. Применение разработанных теоретических методов позволило 
разработать методы построения каналоформирующего оборудования и 
детекторов символов сообщения, позволяющий снизить уровень межсимвольной интерференции и межканальных помех, связанных с потерей ортогональности передаваемыми сигналами, а также уменьшить 
влияние искусственных узкополосных помех на правильный прием 
данных. 
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью 
постановки задач, обоснованностью принятых допущений, корректным 
применением математического аппарата, а также согласованностью полученных результатов с известными теоретическими выводами теории 
специальных функций. Адекватность полученных результатов подтверждена численными экспериментами.
Настоящая монография является систематизацией результатов исследований, опубликованных в работах /1 — 41/.

Глава 1.                                                                             
СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. НАУЧНАЯ ПРОБЛЕМА И ЗАДАЧИ 
ИССЛЕДОВАНИЯ

В большинстве высокоэффективных цифровых систем передачи информации (спутниковые, радиорелейные и кабельные системы) дисперсия случайной межсимвольной интерференции или случайной межканальной помехи существенно превышает мощность шума в канале связи. 
МСИ обусловлена наложением во времени откликов линейных устройств КО на различные элементарные сигналы, несущие информацию 
о передаваемых символах, в результате чего на расшифровку одного 
символа оказывают влияние несколько предыдущих, а в каналах с 
большим групповым временем запаздывания еще и последующих символов. МСИ также возникает в результате многолучевого распространения радиоволн.
Причиной МКП является проникновение на выход КО одного канала 
сигналов соседних каналов из-за перекрытия по частоте амплитудночастотных характеристик (АЧХ) фильтров КО каналов. 
В /42/ показано, что полное устранение МСИ при одновременной 
минимизации дисперсии аддитивного шума достигается, если приемный фильтр состоит из каскадного соединения фильтра, согласованного 
с принимаемым сигналом, и трансверсального фильтра (эквалайзера), 
содержащего бесконечное число отводов с соответствующими весовыми коэффициентами.
Линия задержки физически реализуемого эквалайзера имеет конечное число отводов и, следовательно, полностью устранить МСИ невозможно. На практике производится оптимизация эквалайзера по критериям минимума пикового значения МСИ или минимума среднеквадратического значения МСИ /42/. В общем случае оптимальный по указанным критериям эквалайзер не является оптимальным по критерию минимума вероятности ошибки, т.к. он нарушает условие согласованности 
приемного фильтра с сигналом.
Наряду с линейной обработкой сигнала для компенсации МСИ в отсчетные моменты времени используют и нелинейную обработку, в частности, прием с обратной связью по решению /43, 44/. На основе решений о переданных сигналах и сведений об отклике тракта формируется 
сигнал, компенсирующий МСИ за счет предыдущих символов. Этому 
методу присуще явление размножения ошибок. 
Если последующие символы создают значительный уровень МСИ, 
то линейная и нелинейная обработки используются совместно /45/.
В системах с неизменными во времени параметрами приемопередающего тракта линейный выравниватель в виде трансверсального 
фильтра предусматривается в модуляторе /42/.

Если параметры тракта в процессе эксплуатации подвержены изменениям, то его характеристики должны периодически подстраиваться. 
Такая подстройка осуществляется использованием на приеме адаптивной коррекции тракта /44 — 49/.
Снижение уровня межсимвольной интерференции, возникающей в 
результате многолучевого распространения радиоволн, достигается путем адаптивной коррекции тракта, а также применением пространственно-временной селективности сигналов /50 — 55/. Отметим, что данный тип МСИ по своему влиянию на качество принимаемого сообщения аналогичен повторной помехе.
Снижение уровня МКП достигается повышением избирательности 
КО и введением защитного частотного интервала между соседними каналами связи.
Одновременное снижение уровней МСИ и МКП в рамках существующей теории невозможно. При снижении уровня МСИ повышается 
уровень МКП и наоборот. На практике приходится искать параметры 
КО, оптимальные по критерию минимальной суммарной ошибки, обусловленной действием МСИ, МКП и шума в канале связи.
Невозможность одновременного снижения уровней МСИ и МКП 
обусловлена принятой в современной теории связи, основы которой 
разработаны К. Шенноном и В.А. Котельниковым, моделью передаваемого по каналу связи сигнала /56, 57/. 
Так, в цифровых системах связи и передачи информации непрерывный сигнал источника сообщения дискретизируется по времени и преобразуется в цифровой код, которым осуществляется модуляция несущего колебания.
Дискретизация непрерывного сигнала производится в соответствии с 
теоремой отсчетов, доказанной В.А. Котельниковым /57/. Ниже приводится формулировка этой теоремы в соответствии с /17/. 
Теорема отсчетов /58/.  Сигнал 
)
(t
s
, ограниченный по спектру наивысшей частотой 
m
m
f



2
, может быть представлен рядом


























 









 











n
m
n

m
m

m
m

m
t
n
t
t
n
s

f
n
t

f
n
t

f
n
s
t
s
)
(
c
sin
)
(

2

2
sin

2
)
(
,(1.1)

где 
)
2
/(
1
m
f
t 

— интервал дискретизации функции 
)
(t
s
, 
)
(
t
n
s

—
выборки (отсчеты) функции 
)
(t
s
в моменты времени 
t
n . 
Заметим, что функции 
)
(
sinc
t
n
t
m



представляют собой импульсные характеристики идеального фильтра с прямоугольной АЧХ и 
частотами среза 
m


, смещенные на интервалы времени 
t
n . Для того, 
чтобы восстановить непрерывный сигнал 
)
(t
s
из дискретного, доста

точно последовательность его отсчетов 
)
(
t
n
s

подать на указанный 
идеальный фильтр. 
При разработке теории связи К. Шенноном была принята модель, согласно которой ограниченный по частоте сигнал, имеющий длительность 
T

, может быть представлен в виде конечной суммы ряда (1.1), 
содержащей 
T
f
N
m
 2
слагаемых.
Однако, такая модель приводит к противоречивости теории связи и 
возникновению систематических погрешностей при технической реализации теоретических положений.
Во-первых, предположение об ограниченности сигнала по длительности и по частоте противоречит свойствам прямого и обратного преобразований Фурье.
Во-вторых, для точного восстановления непрерывного сигнала по 
его выборкам требуется идеальный фильтр, который, согласно  известной теореме Р. Пэли и Н. Винера физически не реализуется и противоречит принципу причинности /59/.
При технической реализации КО указанные противоречия приводят 
к появлению МКП и МСИ, а в случае необходимости восстановления на 
приемном конце непрерывного сигнала — к погрешности восстановления. 
МКП возникают в результате того, что сигналы, передаваемые в соседних каналах связи, из-за неидеальности АЧХ каналов перестают 
быть ортогональными. 
МСИ является следствием потери ортогональности сигналами, с помощью которых передаются символы сообщения. 
Вообще говоря, многие задачи науки и техники связаны с разложениями функций в ряды. Наиболее широко применяются разложения 
функций в ряды по системам ортогональных функций, по вейвлетам, 
разложение Карунена-Лоева-Пугачева (К-Л-П-разложе-ние).
При анализе общих свойств систем ортогональных функций и для 
получения таких систем используются теория специальных функций и 
теория линейных интегральных преобразований.
Метод исследования ортогональных рядов, предлагаемый теорией 
специальных функций, основан на изучении дифференциальных 
свойств веса ортогональности этих функций /60/. В соответствии с данным методом теория специальных функций строится следующим образом. Через дифференциальное уравнение веса ортогональности вводится понятие классических ортогональных полиномов. Выводится формула Родрига — дифференциальное уравнение, решением которого являются классические ортогональные полиномы. Путем обобщения формулы Родрига на нецелые значения степени и комплексные значения коэффициентов уравнения в рассмотрение вводится дифференциальное 
уравнение гипергеометрического типа. Решением данного уравнения 
являются гипергеометрические, вырожденные гипергеометрические 
функции и функции Эрмита. С помощью замены переменных устанав

ливается связь уравнений гипергеометрического типа с обобщенными 
уравнениями гипергеометрического типа, при решении которых получаются цилиндрические и гипергеометрические функции.
В соответствии с указанной теорией вес ортогональности должен 
быть неотрицательной функцией.
В теории специальных функций обосновывается метод ортогонализации Грамма-Шмидта, который позволяет из системы линейно независимых функций получить ансамбль ортогональных функций /61/. 
Недостатком указанной теории является то, что она позволяет вычислять ортогональные функции по известному весу, но не отвечает на 
вопрос, как определить вес ортогональности для уже известных линейно независимых функций. Кроме того, метод ортогонализации ГраммаШмидта не дает возможность в полной мере использовать преимущества многих линейно независимых функций, поскольку получаемые ортогональные функции по форме отличаются от исходных. Например, 
большей частью системы вейвлетов представляют собой системы линейно независимых неортогональных функций. Ряды по вейвлетам сходятся быстро, поскольку базисные функции «похожи» на раскладываемую функцию /62, 63/. Использование указанного метода ортогонализации приводит к снижению скорости сходимости рядов.
В теории линейных интегральных преобразований доказывается, что 
собственные функции этих преобразований ортогональны /64/.
Частным случаем линейных интегральных преобразований являются 
гильбертовы преобразования с воспроизводящим ядром (ГПВЯ) /65/.
Для пространств функций, описываемых с помощью собственных 
функций ГПВЯ, доказываются теоремы отсчетов. Наиболее известная 
из них теорема отсчетов В.А. Котельникова.
При 
исследовании 
случайных 
процессов 
рассматривается                 
К-Л-П-разложение /66/. Доказывается, что координатные функции данного разложения являются собственными функциями линейного интегрального преобразования с ядром в виде корреляционной функции исследуемого случайного процесса. Дисперсии коэффициентов разложения случайного процесса по таким функциям представляют собой собственные числа данного интегрального преобразования. Коэффициенты 
К-Л-П-разложения оказываются некоррелированными между собой, 
следовательно, получаемый ряд сходится быстро. 
Однако, практическое применение разложения Карунена-ЛоеваПугачева связано с большими вычислительными затратами при определении координатных функций.
В 2010 году Петровым Д.А. защищена диссертация /67/, в которой 
разработаны математические методы синтеза конечномерных, дискретных обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга с заданными параметрами, 
обладающие хорошей локализацией одновременно и в частотной и во 
временной области. Указанные базисы получаются смещением на кратные интервалы времени некоторой формирующей функции. Показано, 
что формирующая функция по форме близка к функции Гаусса. Доказаны условия ортогональности обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга, 

сформулированные в виде специальных условий на формирующую 
функцию и критерии отсутствия межканальной и межсимвольной интерференции. Однако, автор работы сам признает сложность получения 
рассматриваемых базисов, и отмечает, что ортогональность базиса возможна при определенных условиях, связанных с изменением формы 
формирующей функции и интервалом смещения функций друг относительно друга.
Таким образом, существует научная проблема, которая заключается 
в следующем: 

с одной стороны существует необходимость в передаче информации 
со скоростями близкими к предельным скоростям, но ее не могут 
обеспечить имеющиеся системы связи.

с другой стороны отсутствуют результаты теоретических и экспериментальных исследований, связанные с применением физически 
реализуемых каналоформирующих устройств в системах передачи 
информации, а существующие теоретические положения не способны дать методологию их разработки и проведения экспериментальных исследований.
Сформулированная проблема решается путем:

разработки метода ортогонализации линейно независимых функций, 
который позволяет сохранить форму исходных функций;

проверки непротиворечивости метода ортогонализации известным 
математическим положениям;

получения новых систем ортогональных функций;

обоснования выбора системы функций для разложения в ряд физически реализуемых процессов;

разработки структурных схем устройств каналоформирующего оборудования;

разработки структурных схем детекторов символов сообщения.
При решении указанных задач учитывались следующие требования:

каналоформирующее оборудование и детекторы символов сообщений должны быть физически реализуемыми;

каналоформирующее оборудование и детекторы символов сообщений должны работать в реальном масштабе времени;

ошибка аппроксимации сигнала с заданным энергетическим спектром быть минимально возможной.