Начертательная геометрия. Основной курс

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ

ОСНОВНОЙ КУРС

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва
ИНФРАМ
2019

Допущено УМО по образованию в области 
архитектуры в качестве учебного пособия 
для студентов вузов, обучающихся 
по направлению 07.03.01 «Архитектура»

Н.А. САЛЬКОВ

Р е ц е н з е н т ы:
Ткачев В.Н., д-р архитектуры, профессор МГАХИ им. В.И. Сурикова;
Трушин С.И., д-р техн. наук, профессор МГСУ;
Вышнепольский В.И., канд. пед. наук, доцент, зав. кафедрой инженерной графики 
МИТХТ им. М.В. Ломоносова

УДК 515(075.8)
ББК 22.151.3я73
        
С16

ISBN 978516006755-1 
© Сальков Н.А., 2014

Сальков Н.А.
Начертательная геометрия. Основной курс : учеб. пособие / 
Н.А. Сальков. — М. : ИНФРАМ, 2019. — 235 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — www.dx.doi.org/10.12737/764.

ISBN 978516006755-1

Настоящее учебное пособие написано для студентов по направлению 
07.03.01 «Архитектура» (квалификация – «бакалавр», «специалист», «магистр») и охватывает теоретические вопросы аксонометрии, перспективы, 
проекций с числовыми отметками и теорию теней.
Учебное пособие полностью отвечает требованиям ФГОС ВО последнего поколения, утвержденного Минобрнауки Российской Федерации.
Пособие является второй частью учебного курса по начертательной 
геометрии и составляет вместе с учебным пособием «Начертательная геометрия. Базовый курс» полный курс начертательной геометрии для архитекторов. Может быть полезно студентам других направлений обучения, а 
также преподавателям геометро-графических дисциплин.

УДК 515(075.8)
ББК 22.151.3я73

С16

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Федеральный государственный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 270100 Архитектура, квалификации (степени) бакалавр требует, чтобы выпускник 
умел применять методы начертательной геометрии в профессиональной деятельности. 
Данное учебное пособие – «Начертательная геометрия. Основной 
курс» – совместно с учебным пособием «Начертательная геометрия. 
Базовый курс» [24] являются полным курсом для студентов вузов по 
направлению «Архитектура». 
Каждый раздел имеет структуру, аналогичную структуре учебного пособия «Начертательная геометрия. Базовый курс». Структура 
курса научно, методически и системно обоснована, позволяет алгоритмизировать процесс преподавания и решения задач.  
Курс читался семь лет в Московском государственном академическом художественном институте им. В.И. Сурикова для студентов 
архитекторов. 
Настоящее пособие содержит материал части курса, являющегося 
основой для профессионального цикла подготовки бакалавра: 
– аксонометрические проекции; 
– перспективные проекции; 
– проекции с числовыми отметками; 
– теория теней. 
Главной особенностью пособия является рассмотрение вариантов 
проецирования только на одну плоскость проекций, в отличие от пособия «Начертательная геометрия. Базовый курс», в котором рассматривалось ортогональное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций. 
Изучение начертательной геометрии способствует развитию следующих компетенций: 
– способности к восприятию информации, к обобщению, анализу, 
постановке цели и выбору путей ее достижения, овладению культурой мышления; 
– умению логически верно, аргументированно и ясно строить 
устную и письменную речь; 
– работе в творческом коллективе, готовностью к кооперации с 
коллегами. 
Пособие может быть использовано также при подготовке специалистов и магистров. 

1.  АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ 
 
1.1.  ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 
 
Аксонометрическая проекция (или просто аксонометрия) является неотъемлемой частью изобразительной грамоты. Главной целью 
применения аксонометрических проекций является построение 
изображения, более близкого к зрительному восприятию, чем чертеж в ортогональных проекциях. 
Аксонометрические проекции широко используют в различных 
областях техники для наглядных изображений, они служат дополнением и пояснением к ортогональным проекциям, поэтому овладение 
приемами построения аксонометрических проекций имеет важное 
значение для дальнейшей практической работы. Аксонометрия облегчает представление о детали, ее частях и их соотношениях.  
При построении аксонометрии деталь с привязанной к ней системой координат специальным образом проецируется на плоскость 
чертежа, при этом существует строгая однозначная связь между ортогональным чертежом и аксонометрическим изображением. 
Перед студентами ставится задача приобрести знания, умения и 
навыки в построении аксонометрии плоских и объемных геометрических фигур. 
 
 
1.1.1.  Связь между ортогональными и  
аксонометрическими проекциями 
 
Пусть мы имеем некоторую ортогональную систему координат Оxyz (рис. 1.1) и аксонометрическую плоскость проекций П'. 
Аксонометрической проекцией (аксонометрией) называется параллельная проекция геометрической фигуры с привязанной 
к ней системой ортогональных координат 
на  аксонометрическую  плоскость проекций П'. 
Спроецируем пространственную систему Оxyz на П'. 
При аксонометрическом проецировании 
ни одна из трех осей ортогональной системы не должна совпадать с направлением 
проецирования (см. рис. 1.1). 
Пусть на осях x, y и z отложены от начала координат – точки О – единичные отрезки ах, ау  и аz. Их проекции 
а'х, а'у  и а'z называются аксонометрическими единицами.  

 
Рис. 1.1 
 

Отношения 

 
 
называются коэффициентами (или показателями) искажения. 
В зависимости от соотношения между коэффициентами искажения аксонометрические проекции делятся на три вида: 
1) изометрические, если все показатели искажения одинаковы, 
т.е. p=q=r; 
2) диметрические, если два какие-нибудь показателя равны 
между собой, а третий отличен от них, например, p=q≠r; 
3) триметрические, если все показатели различны. 
В зависимости от направления проецирующих лучей по отношению к аксонометрической плоскости проекций различают прямоугольную и косоугольную аксонометрические проекции. Прямоугольную аксонометрическую проекцию мы получим по аналогии с 
общим курсом начертательной геометрии, когда проецирующие лучи будут перпендикулярны плоскости проекций П'. 
Коэффициенты искажения p, q, r и угол φ наклона проецирующих 
лучей к плоскости П' могут быть выбраны совершенно произвольно, 
однако они связаны формулой 
 
p2 + q2 + r2 = 2 + ctg2φ.  
 
(1.2) 
 
Доказательство представленной формулы имеется в [1, 3]. 
В случае прямоугольных аксонометрических проекций φ=90о и 
ctg2φ= 0. Формула (1.2) примет вид: 
 
   p2 + q2 + r2 = 2. 
 
 
(1.3) 
 
 
1.1.2. Построение аксонометрических проекций 
 
Любая геометрическая фигура на ортогональном чертеже задается как множество точек, а поскольку та же самая геометрическая фигура может быть построена и в других системах проецирования как 
множество точек, то достаточно знать, как строится однаединственная точка именно в этой системе. Остальные точки можно 
построить по аналогии.  
Рассмотрим построение аксонометрической проекции заданной 
на ортогональном чертеже точки. 
Пусть на чертеже задана точка А (рис.1.2). При этом мы имеем 
осевую систему, аналогичную системе в начертательной геометрии. 
Тогда аксонометрия этой точки строится, как показано на 
рис.1.3 – по осям х, у, z откладываются координаты ХА, YA, ZA, 
умноженные  на соответственные коэффициенты искажения. 

В обязательном порядке на аксонометрическом чертеже должна 
присутствовать вторичная проекция точки: на рис.1.3 кроме аксонометрии А' точки А имеется аксонометрическая проекция А'1 горизонтальной проекции А1. Может присутствовать любая другая аксонометрическая проекция: А'2 или А'3.  
 

 
Рис. 1.2 
 
 
 
Рис. 1.3 
 
Необходимость во вторичной проекции возникает из-за требования обратимости чертежа (см. Начертательная геометрия. Базовый 
курс). 
При построении аксонометрии детали необязательно брать начало координат в точке пересечения ортогональных осей, тем более, 
что обычно чертежи являются безосными, и точка О на них как таковая отсутствует. В этом случае выбирается какая-нибудь точка на 
самой детали, которая и назначается началом прикрепленных к детали координат (см. рис.1.38). 
Ось z в аксонометрии всегда вертикальна. 
 
 
1.1.3. Стандартные аксонометрические проекции 
 
Согласно ГОСТ 2.317-69 в инженерной графике применяют пять 
видов аксонометрических проекций: 
1) прямоугольные проекции: 
 
а) изометрическая; 
 
б) диметрическая; 
2) косоугольные проекции: 
 
а) фронтальная изометрическая; 
 
б) фронтальная диметрическая; 
 
в) горизонтальная изометрическая. 
 
1.1.4. Прямоугольные аксонометрические проекции 
1.1.4.1. Прямоугольная изометрическая проекция 
А. Связь с ортогональным чертежом 
 
Этот вид аксонометрии широко распространен благодаря хорошей наглядности изображений и простоте построения. 

Рассматривая формулу (1.3), видим, что при одинаковом коэффициенте искажения p = q = r она (заменяем все равные коэффициенты 
на p) приобретает вид: 
3p2 = 2, 
 
  
 (1.4) 
откуда 
p = q = r = 
3
/
2
 
 0,82. 
 
(1.5) 

 
Таким образом, мы получили естественный коэффициент искажения по осям. Чтобы построить аксонометрии ряда точек, необходимо координаты каждой точки умножать на 0,82. Это, естественно, 
неудобно, поэтому ГОСТ предусматривает так называемые приведенные коэффициенты искажения. В случае с прямоугольной 
изометрией они принимаются равными 1: 
 
p = q = r = 1.   
 
     (1.6) 
 
Получается, что само изображение аксонометрии увеличивается в  

1 : 
3
/
2
 
 1,22. 

 
То есть  масштаб  изображения:  
1,22 : 1 
Углы между аксонометрическими 
осями 
в 
прямоугольной 
изометрии 
(рис.1.4) равны между собой и равны 
120о. Как уже говорилось, ось z направлена вертикально, а другие оси проходят 
под углом 30о к горизонтальной прямой 
линии. 
 
 
Б. Построение окружности в прямоугольной изометрии 
 
Окружность в прямоугольной изометрии представляет собой, как 
правило, эллипс. Если плоскость, в которой находится окружность, 
параллельна какой-либо координатной плоскости (x'O'y'; x'O'z'; 
y'O'z'), то необходимо руководствоваться следующими правилами. 
1. Большая ось эллипса перпендикулярна той оси, которая отсутствует в соответствующей координатной плоскости. Так, например, 
если плоскость, содержащая окружность, параллельна горизонтальной координатной плоскости x'O'y', то большая ось эллипса должна 
быть перпендикулярна оси z', то есть расположена на чертеже горизонтально (рис.1.5, отрезок [1,2]). Соответственно, для окружности, 
лежащей в плоскости, параллельной x'O'z', большая ось перпендикулярна оси y'. Для окружности, лежащей в плоскости, параллельной y'O'z', большая ось эллипса перпендикулярна оси x'. 

 
Рис. 1.4 

2. Малые оси эллипсов перпендикулярны большим осям и, следовательно, 
параллельны тем осям, которые отсутствуют в соответствующей координатной 
плоскости. 
3. При применении естественных коэффициентов искажения большая ось эллипса равна диаметру изображаемой 
окружности (см. рис.1.5, отрезок [1,2]), а 
малая составляет 0,58 большой оси 
(рис.1.5, отрезок [3,4]). 
4. Диаметры эллипсов, параллельные 
осям, составляют 0,82 диаметра окружности (рис.1.5, отрезки [5,6] и [7,8]). 
5. Если применяются приведенные коэффициенты искажения, в 
соответствии с ГОСТ 2.317-69, то большая ось (рис.1.5 отрезок [1,2]) 
равна 1,22 от диаметра изображаемой окружности, а малая (рис.1.5, 
отрезок [3,4]) – 0,71 от ее диаметра. Диаметры же эллипсов, параллельные осям (рис.1.5, отрезки [5,6] и [7,8]), равны диаметру изображаемой окружности. 

 
Рис. 1.6 
 
Размеры эллипсов по приведенным коэффициентам можно определить графически, как показано на рис.1.6. Малая ось эллипса приблизительно равна расстоянию между концами двух взаимно перпендикулярных диаметров изображаемой окружности – отрезку CD. 
Для определения величины большой оси из точек С и D описывают 
дуги радиусом CD до их взаимного пересечения в точках А и В. Отрезок АВ приблизительно равен большой оси эллипса. 
 
В. Замена эллипса овалом 
 
Практически при выполнении аксонометрических проекций, особенно когда приходится вычерчивать много эллипсов, их заменяют 

 
Рис. 1.5 
 

на овалы (коробовые кривые), представляющие собой состыкованные по сопряжению первого порядка гладкости (совпадающие в одну прямую касательные для стыкующихся точек двух кривых) 
окружности. Такая замена вызвана тем, что строить овал гораздо 
проще, а поскольку при равенстве осей очертания эллипса и овала 
очень близки, то по зрительному восприятию они равноценны. 
Рассмотрим два способа построения овала, приближенно заменяющего прямоугольную изометрическую проекцию окружности, 
расположенной в плоскости проекций (или в плоскостях, параллельных ей). 
Предположим, что надо построить прямоугольную изометрическую проекцию окружности диаметром D, расположенную в плоскости x'O'y'. 
Построим овал с большой осью АВ=1,22D, малой осью 
CD=0,71D. 
 
Способ 1 
 
Зададим центр овала – точку О и через нее проведем две взаимно 
перпендикулярные прямые – большую АВ и малую СD оси 
(рис.1.7,а). 

 
а) 
 
 
 
 
б) 
Рис. 1.7 
 
Из точки О опишем окружность радиусом, равным большой полуоси овала ОА=АВ/2. В пересечениях окружности с проведенными 
осями отметим точки О1, О2 – центры дуг искомых окружностей, и 
вершины овала – точки А и В. На пересечении прямых, проходящих 
через точку О под углами 30о к большой оси, с построенной окружностью получим точки 1, 2, 3 и 4, которые соединим с точками О1, 
О2, как показано на рис.1.7,а. Получим прямые О11, О14, О23 и О22, 
на которых располагаются точки сопряжения дуг овала K, L, M, N. 
На пересечении указанных прямых О11, О14, О23 и О22 с большой 
осью получим центры еще двух дуг окружностей О3 и О4. Две дуги 
LСM и KDN радиуса R1=О2С=О1D опишем из центров О1 и О2, а 

оставшиеся две дуги LАK и MВN радиусом R2=О3А=О4В – из центров О3 и О4 (рис.1.7,б).  
Для остальных координатных плоскостей и плоскостей, им параллельных, овалы строят аналогично, располагая их оси соответственно. 
Следует пояснить, что приведенное построение не является точным, стыковка дуг окружностей происходит лишь исходя из достаточной толщины линий овала. 
 
Способ 2 
 
Зададим центр овала – точку О 
и через нее проведем две взаимно 
перпендикулярные оси (рис.1.8). 
Из точки О опишем окружность диаметром D. Эта окружность пересечет вертикальную 
ось в точках 1 и 2. На вертикальной оси отметим точки Е и G – 
вершины малого диаметра эллипса. Из точек 1 и 2, как из центров, 
радиусом Е2=G1=R1 опишем дуги окружностей КЕL и МGN. Затем радиусом ОЕ проведем дугу 
окружности, которая на горизонтальной оси даст нам точки 3 и 4 – еще два центра дуг. Проводим 
прямые 23, 24, 13 и 14. Пересекаясь с построенными дугами окружностей, эти прямые дают точки сопряжения K, L, М и N. 
Наконец, радиусом 4L=3K=R2 строим из центров 3 и 4 недостающие дуги окружностей КАМ и LBN, которые завершают построение овала. 
Данное построение также не является точным. 
В связи с вычерчиванием эллипсов на компьютере построение 
овалов уходит в прошлое, однако знания не бывают лишними. 
 
1.1.4.2. Прямоугольная диметрическая проекция 
 
А. Связь с ортогональным чертежом 
 
Аксонометрические изображения, построенные в прямоугольной 
диметрической проекции (диметрии), обладают наибольшей наглядностью, однако построение изображения сложнее, чем в прямоугольной изометрии. 
Рассмотрим случай, когда два коэффициента равны друг другу, а 
третий в два раза меньше: p=r=2q. 

 
Рис. 1.8