Математика и информатика

МАТЕМАТИКА

И ИНФОРМАТИКА

Москва

ИНФРАМ

2020

В.Я. ТУРЕЦКИЙ

Третье издание, переработанное и дополненное

Допущено

Министерством образования Российской Федерации 

в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений, 

обучающихся по гуманитарным 

направлениям и специальностям

УЧЕБНИК

УДК 681.3.06(075.8)
ББК 22.18я73
 
Т86

Турецкий В.Я. 

Математика и информатика : учебник / В.Я. Турецкий. – 

3е изд., испр. и доп. – Москва : ИНФРАМ, 2020. – 558 с. –
 (Высшее образование).

ISBN 9785160052960

Содержит базовые разделы математики и основы информатики. Материал 

изложен с учетом требований, предъявляемых к студентам гуманитарных 
направлений и специальностей.

Предназначен для студентовгуманитариев.

УДК 681.3.06(075.8)

ББК 22.18я73

Т86

Р е ц е н з е н т ы:  др физ.мат. наук, профессор А.В. Арутюнов, 

 
др физ.мат. наук, профессор Н.А. Бобылев

Редактор И.В. Мартынова
Корректор М.В. Литвинова

Компьютерная верстка О.В. Савостиной

Оформление серии Е.А. Доний

Подписано в печать 25.10.2011. 

Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 

Печать цифровая. Усл. печ. л. 35,0.  

ПТ20. 

ТК 26800-995-250800

ISBN 9785160052960 
© Турецкий В.Я., 2000

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Уважаемый читатель!

Перед Вами один из учебников нового поколения по дисциплине «Математика и информатика» для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по гуманитарным направлениям и специальностям профессионального образования, прошедший сложный
и длительный путь конкурсного отбора.
Данное учебное пособие является одним из двух победителей по
дисциплине «Математика и информатика» Всероссийского конкурса учебников нового поколения по общим фундаментальным естественнонаучным дисциплинам. Этот конкурс впервые в истории
высшей школы в России был инициирован Г
оскомвузом России
(в дальнейшем – Минобразованием России) в связи с реформированием структуры и содержания программ высшего образования и
проведен в течение 1995–1998 годов на базе Российского университета дружбы народов.
В конкурсе приняли участие свыше 350 авторских коллективов
практически из всех регионов России, заявки представлялись по
11 номинациям, а в их оценке участвовало более ста высококвалифицированных экспертов.
В результате двух туров конкурса было отобрано 39 авторских
коллективов, чьи заявки, а затем и рукописи более всего соответствовали как новым учебным программам, так и государственным
образовательным стандартам по каждой дисциплине.
Конкурсная комиссия выражает надежду , что данное учебное
пособие внесет свой полезный вклад в дело дальнейшего совершенствования российского высшего профессионального образования,
и желает всем читателям – студентам и преподавателям – больших
творческих успехов.

Заместитель министра образования России,
академик Российской академии образования,
председатель конкурсной комиссии профессор
В.Д. Шадриков

Îãëàâëåíèå

Предисловие ректора ..................................................................... 13
К читателю .................................................................................... 15
Предисловие автора ....................................................................... 19

Часть 1
ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ ............................................... 21

Глава 1
Множества ............................................................................... 22

1.1. Канторовское понятие множества ........................................ 22
1.2. Конечные и бесконечные множества ................................... 24
1.3. Равенство множеств ............................................................... 25
1.4. Подмножества ........................................................................ 26
1.5. Операции над множествами .................................................. 28
1.6. Алгебраические свойства операций над множествами ........ 31
Задачи............................................................................................ 33

Глава 2
Отношения и функции ............................................................... 35

2.1. Понятие отношения............................................................... 35
2.2. Отношение эквивалентности ................................................ 38
2.3. Отношение частичного порядка ........................................... 39
2.4. Функции ................................................................................. 41
2.5. Числовые функции ................................................................ 44
2.6. Композиция функций ........................................................... 53
2.7. Обратная функция ................................................................. 55
Задачи............................................................................................ 58

Глава 3
Основы математической логики ................................................. 60

3.1. Высказывания и логические связки ...................................... 61
3.2. Логическая эквивалентность.
Свойства логических операций............................................. 66

3.3. Тавтологии, или законы логики ............................................ 68
3.4. Правила логического вывода................................................. 70
Задачи............................................................................................ 73

Часть 2
ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ
И АНАЛИТИЧЕСКОЙ  ГЕОМЕТРИИ .................................... 75

Глава 4
Аналитическая геометрия .......................................................... 76

4.1. Векторы на плоскости ........................................................... 76
4.1.1. Понятие вектора. Операции над векторами ............................. 76
4.1.2. Разложение по базису. Система координат .............................. 83
4.1.3. Скалярное произведение ........................................................... 87
4.2. Векторы в пространстве......................................................... 90
4.3. Определители 2-го порядка ................................................... 96
4.4. Прямая на плоскости ........................................................... 100
4.4.1. Уравнение линии ..................................................................... 100
4.4.2. Уравнения прямой ................................................................... 103
4.4.3. Расположение прямой на плоскости.
Взаимное расположение прямых ............................................ 107
4.4.4. Основные задачи о прямых ..................................................... 111
4.5. Плоскость и прямая в пространстве ................................... 113
4.5.1. Поверхности и линии в пространстве ..................................... 113
4.5.2. Уравнения плоскости .............................................................. 115
4.5.3. Расположение плоскости в пространстве.
Взаимное расположение плоскостей ...................................... 117
4.5.4. Основные задачи о плоскостях ............................................... 119
4.5.5. Прямая в пространстве ............................................................ 119
Задачи...........................................................................................121

Глава 5
Элементы линейной алгебры.....................................................123

5.1. Пространство R n ....................................................................................................................123
5.1.1. n-мерные векторы и операции над ними ................................ 123
5.1.2. Линейная независимость. Базис ............................................. 124
5.1.3. Скалярное произведение в R n.
Норма вектора .......................................................................... 127
5.2. Матрицы ............................................................................... 128
5.2.1. Понятие матрицы.
Основные операции над матрицами ....................................... 128

5.2.2. Умножение матриц .................................................................. 130
5.2.3. Транспонирование матриц ...................................................... 133
5.2.4. Квадратные матрицы ............................................................... 134
5.3. Определители и системы линейных уравнений ................. 136
5.4. Линейное пространство ....................................................... 146
5.4.1. Понятие и примеры линейного пространства........................ 146
5.4.2. Линейное подпространство ..................................................... 150
5.4.3. Норма и расстояние ................................................................. 151
5.4.4. Скалярное произведение. Евклидово пространство .............. 153
Задачи.......................................................................................... 155

Глава 6
Алгебраические структуры ........................................................156

6.1. Бинарные операции ............................................................. 157
6.2. Полугруппы, группы и подгруппы ...................................... 164
6.3. Кольца. Тела. Поля............................................................... 173
Задачи.......................................................................................... 178

Часть 3
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ........................180

Глава 7
Теория пределов .......................................................................180

7.1. Предел последовательности ................................................ 180
7.1.1. Последовательности ................................................................ 180
7.1.2. Предел ...................................................................................... 183
7.1.3. Арифметические свойства предела ......................................... 188
7.1.4. Бесконечно большие и бесконечно малые
последовательности ................................................................. 191
7.1.5. Монотонные ограниченные последовательности .................. 193
7.2. Предел функции....................................................................198
7.2.1. Определение предела ............................................................... 198
7.2.2. Пределы справа и слева ........................................................... 203
Задачи.......................................................................................... 204

Глава 8
Непрерывные функции ............................................................. 204

8.1. Непрерывность в точке ........................................................ 204
8.1.1. Основные определения ........................................................... 204

8.1.2. Непрерывность слева и справа.
Классификация разрывов........................................................ 207
8.2. Непрерывность на отрезке .................................................. 210
Задачи.......................................................................................... 214

Глава 9
Основы дифференциального исчисления ...................................215

9.1. Производная ........................................................................ 215
9.1.1. Мгновенная скорость. Определение производной ................ 215
9.1.2. Геометрический смысл производной ...................................... 222
9.1.3. Правила дифференцирования................................................. 224
9.2. Исследование функций с помощью производных ............. 230
9.2.1. Монотонность .......................................................................... 230
9.2.2. Максимумы и минимумы ........................................................ 231
Задачи.......................................................................................... 236

Глава 10
Основы интегрального исчисления ............................................237

10.1. Первообразная. Неопределенный интеграл ..................... 238
10.1.1. Основные определения.......................................................... 238
10.1.2. Таблица простейших интегралов ........................................... 240
10.1.3. Линейные свойства интеграла ............................................... 243
10.2. Приемы интегрирования ................................................... 244
10.2.1. Метод замены переменной .................................................... 244
10.2.2. Метод интегрирования по частям ......................................... 248
10.3. Определенный интеграл Римана ....................................... 250
10.3.1. Основные определения.......................................................... 250
10.3.2. Геометрический смысл интеграла Римана ............................ 254
10.3.3. Формула Ньютона – Лейбница ............................................. 256
10.3.4. Свойства интеграла Римана .................................................. 258
10.3.5. Замена переменной и интегрирование по частям ................ 261
10.4. Интегралы на бесконечных промежутках ......................... 262
Задачи.......................................................................................... 263

Часть 4
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ..................................265

Глава 11
Случайные события..................................................................268

11.1. Понятие случайного события ............................................ 268
11.1.1. Классификация событий ....................................................... 268

11.1.2. Действия над случайными событиями.................................. 271
11.1.3. Эмпирическая вероятность ................................................... 274
11.2. Классическое определение вероятности ........................... 277
11.2.1. Классическая схема ............................................................... 277
11.2.2. Комбинаторика и схемы выбора ........................................... 280
11.2.3. Геометрическая вероятность.................................................. 289
11.3. Аксиоматический подход к вероятности .......................... 294
11.3.1. Пространство элементарных исходов ................................... 294
11.3.2. Алгебра случайных событий .................................................. 296
11.3.3. Аксиоматическое определение вероятности ........................ 300
11.4. Условная вероятность ........................................................ 305
11.4.1. Определение условной вероятности ..................................... 305
11.4.2. Независимость событий ........................................................ 310
11.4.3. Формула Байеса ..................................................................... 312
11.5. Схема испытаний Бернулли .............................................. 317
Задачи.......................................................................................... 322

Глава 12
Случайные величины ................................................................ 324

12.1. Понятие случайной величины ........................................... 324
12.2. Конечные случайные величины ........................................ 327
12.2.1. Закон распределения конечной
случайной величины ............................................................. 327
12.2.2. Совместное распределение случайных величин .................. 331
12.2.3. Действия над конечными случайными величинами ............ 335
12.3. Числовые характеристики конечных
случайных величин ............................................................ 339
12.3.1. Математическое ожидание .................................................... 339
12.3.2. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение ..................... 344
12.3.3. Ковариация и коэффициент корреляции ............................. 347
12.4. Функция распределения .................................................... 351
12.5. Непрерывные случайные величины.................................. 355
12.6. Числовые характеристики непрерывных
случайных величин ............................................................ 361
12.6.1. Математическое ожидание .................................................... 361
12.6.2. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение ..................... 363
12.6.3. Квантили ................................................................................ 364
12.7. Нормальное распределение ............................................... 366
12.7.1. Определение и свойства ........................................................ 366

12.7.2. Важная роль нормального распределения ............................ 378
Задачи.......................................................................................... 383

Часть 5
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ..............386

Глава 13
Задачи оценивания параметров .................................................386

13.1. Основные понятия ............................................................. 386
13.1.1. Что такое математическая статистика? ................................. 386
13.1.2. Генеральная совокупность и выборка ................................... 388
13.1.3. Эмпирическое распределение ............................................... 390
13.1.4. Первичная обработка выборки ............................................. 391
13.2. Точечные оценки ................................................................ 393
13.2.1. Оценки и их классификация ................................................. 393
13.2.2. Частота и вероятность............................................................ 396
13.2.3. Оценка функции распределения ........................................... 397
13.2.4. Гистограмма и полигон .......................................................... 399
13.2.5. Выборочные характеристики как оценки ............................. 401
13.3. Некоторые статистические распределения....................... 406
13.3.1. χ2-распределение.................................................................... 406
13.3.2. Распределение Стьюдента ..................................................... 407
13.3.3. Распределение Фишера ......................................................... 409
13.4. Интервальные оценки........................................................ 410
13.4.1. Доверительные интервалы .................................................... 410
13.4.2. Доверительные интервалы для параметров
нормального распределения ................................................. 411
Задачи.......................................................................................... 417

Глава 14
Задачи проверки статистических гипотез................................... 418

14.1. Статистические гипотезы .................................................. 418
14.1.1. Понятие статистической гипотезы.
Классификация гипотез ........................................................ 418
14.1.2. Общая схема проверки гипотез ............................................. 420
14.1.3. Ошибки при проверке гипотез .............................................. 422
14.1.4. Проверка гипотез и доверительные интервалы .................... 424
14.2. Гипотезы о параметрах нормального распределения ....... 425
14.2.1. Гипотеза о математическом ожидании .................................. 425